إحصائيات ماكسويل-بولتزمان

يمكننا استنتاج توزيع ماكسويل-بولتزمان من إحصائيات ماكسويل-بولتزمان، بدءًا من احتمال ماكسويل-بولتزمان لحالات الطاقة واستبدال الطاقة الحركية${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$للتعبير عن الاحتمالية بدلالة السرعة: $${\displaystyle {\begin{aligned}P(E)&={\frac {1}{Z}}~\exp \left({\frac {-E}{k_{\text{B}}T}}\right)\\\rightarrow P(v)&={\frac {1}{Z}}~\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\end{aligned}}}$$

في الأبعاد الثلاثية، يتناسب هذا مع مساحة سطح الكرة،${\displaystyle 4\pi v^{2}}$وبالتالي، فإن دالة كثافة الاحتمال (PDF) للسرعة${\displaystyle v}$يصبح: $${\displaystyle f(v)=C\cdot 4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)}$$

لإيجاد ثابت التطبيع${\displaystyle C}$، نشترط أن يكون تكامل دالة كثافة الاحتمال على جميع السرعات الممكنة مساوياً للوحدة: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }f(v)\,dv&=1\\\rightarrow C\int _{0}^{\infty }4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)dv&=1\end{aligned}}}$$

تقييم التكامل باستخدام النتيجة المعروفة${\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{2}e^{-av^{2}}dv={\frac {\sqrt {\pi }}{4a^{3/2}}}}$، مع${\displaystyle a={\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}}$، فنحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}C\cdot 4\pi \cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{4\left({\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}\right)^{3/2}}}=1\quad \rightarrow C=\left({\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}\right)^{3/2}\end{aligned}}}$$

وبالتالي، فإن توزيع سرعة ماكسويل-بولتزمان هو: $${\displaystyle f(v)=\left({\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}\right)^{3/2}4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)}$$

لنفترض أن لدينا وعاءً يحتوي على عدد هائل من الجسيمات الصغيرة جدًا، جميعها ذات خصائص فيزيائية متطابقة (مثل الكتلة والشحنة، إلخ). لنُسمِّ هذا النظام . افترض أنه على الرغم من تطابق خصائص الجسيمات، إلا أنه يمكن تمييزها. على سبيل المثال، يمكننا تحديد كل جسيم من خلال مراقبة مساراته باستمرار، أو بوضع علامة على كل جسيم، ككتابة رقم مختلف على كل منها كما هو الحال مع كرات اليانصيب .

تتحرك الجسيمات داخل هذا الوعاء في جميع الاتجاهات بسرعة كبيرة. وبسبب هذه السرعة، تمتلك الجسيمات طاقة معينة. يُعد توزيع ماكسويل-بولتزمان دالة رياضية تصف عدد الجسيمات في الوعاء التي تمتلك طاقة محددة. وبشكل أدق، يُعطي توزيع ماكسويل-بولتزمان الاحتمال غير المُعَيَّر (أي أن مجموع الاحتمالات لا يساوي 1) لشغل الحالة الموافقة لطاقة معينة.

بشكل عام، قد يكون هناك العديد من الجسيمات التي لها نفس مقدار الطاقة${\displaystyle \varepsilon }$لنفترض أن عدد الجسيمات التي لها نفس الطاقة هو${\displaystyle \varepsilon _{1}}$يكون${\displaystyle N_{1}}$عدد الجسيمات التي تمتلك طاقة أخرى${\displaystyle \varepsilon _{2}}$يكون${\displaystyle N_{2}}$وهكذا بالنسبة لجميع الطاقات الممكنة${\displaystyle \{\varepsilon _{i}\mid i=1,2,3,\ldots \}}$لوصف هذا الوضع، نقول إن${\displaystyle N_{i}}$هو رقم شغل مستوى الطاقة${\displaystyle i.}$إذا عرفنا جميع أرقام المهن${\displaystyle \{N_{i}\mid i=1,2,3,\ldots \}}$إذاً، نعرف الطاقة الكلية للنظام. ومع ذلك، بما أننا نستطيع التمييز بين الجسيمات التي تشغل كل مستوى طاقة، فإن مجموعة أعداد الشغل${\displaystyle \{N_{i}\mid i=1,2,3,\ldots \}}$لا يصف هذا وصفًا كاملًا لحالة النظام. لوصف حالة النظام، أو الحالة المجهرية ، وصفًا كاملًا، يجب تحديد الجسيمات الموجودة في كل مستوى طاقة بدقة. لذا، عند حساب عدد الحالات الممكنة للنظام، يجب حساب كل حالة مجهرية على حدة، وليس فقط مجموعات أعداد الشغل الممكنة.

بدايةً، افترض أن هناك حالة واحدة فقط عند كل مستوى طاقة${\displaystyle i}$(لا يوجد انحلال). ما يلي هو بعض التفكير التوافقي الذي لا علاقة له بوصف مخزون الجسيمات بدقة. على سبيل المثال، لنفترض أن هناك إجماليًا من${\displaystyle k}$صناديق تحمل ملصقات${\displaystyle a,b,\ldots ,k}$باستخدام مفهوم التوافيق ، يمكننا حساب عدد الطرق الممكنة للترتيب${\displaystyle N}$في مجموعة الصناديق، حيث لا يتم تتبع ترتيب الكرات داخل كل صندوق. أولاً، نختار${\displaystyle N_{a}}$كرات من إجمالي${\displaystyle N}$كرات لوضعها في الصندوق${\displaystyle a}$واستمر في اختيار الكرات المتبقية لكل صندوق، مع التأكد من وضع كل كرة في أحد الصناديق. إجمالي عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب الكرات هو $${\displaystyle {\begin{aligned}W&={\frac {N!}{N_{a}!{\cancel {(N-N_{a})!}}}}\times {\frac {\cancel {(N-N_{a})!}}{N_{b}!{\cancel {(N-N_{a}-N_{b})!}}}}\times {\frac {\cancel {(N-N_{a}-N_{b})!}}{N_{c}!{\cancel {(N-N_{a}-N_{b}-N_{c})!}}}}\times \cdots \times {\frac {\cancel {(N-\cdots -N_{\ell })!}}{N_{k}!(N-\cdots -N_{\ell }-N_{k})!}}\\[8pt]&={\frac {N!}{N_{a}!N_{b}!N_{c}!\cdots N_{k}!(N-N_{a}-\cdots -N_{\ell }-N_{k})!}}\end{aligned}}}$$

بما أن كل كرة قد وُضعت في صندوق،${\displaystyle (N-N_{a}-N_{b}-\cdots -N_{k})!=0!=1}$ونبسط التعبير على النحو التالي: $${\displaystyle W=N!\prod _{\ell =a,b,\ldots }^{k}{\frac {1}{N_{\ell }!}}}$$

هذا مجرد معامل متعدد الحدود ، وهو عدد طرق ترتيب N عنصرًا في k صندوقًا، حيث يحتوي الصندوق رقم l على N _l عنصرًا، مع تجاهل تبديل العناصر في كل صندوق.

والآن، لنفترض الحالة التي يوجد فيها أكثر من طريقة واحدة لوضع${\displaystyle N_{i}}$الجسيمات في الصندوق${\displaystyle i}$(أي مع الأخذ في الاعتبار مشكلة الانحطاط). إذا${\displaystyle i}$يحتوي الصندوق على "انحطاط" من${\displaystyle g_{i}}$أي أنه يمتلك${\displaystyle g_{i}}$"المربعات الفرعية" (${\displaystyle g_{i}}$صناديق بنفس الطاقة${\displaystyle \varepsilon _{i}}$تُسمى هذه الحالات/المربعات ذات الطاقة المتساوية بالحالات المتدهورة، بحيث لا يمكن ملء أي منها بأي طريقة أخرى.${\displaystyle i}$إذا كان المربع رقم i الذي يتم فيه تغيير الرقم في المربعات الفرعية يمثل طريقة مميزة لملء المربع، فيجب زيادة عدد طرق ملء المربع رقم i بمقدار عدد طرق توزيع المربعات الفرعية.${\displaystyle N_{i}}$الأشياء في${\displaystyle g_{i}}$"المربعات الفرعية". عدد طرق وضعها${\displaystyle N_{i}}$أشياء مميزة في${\displaystyle g_{i}}$"المربعات الفرعية" هي${\displaystyle g_{i}^{N_{i}}}$(يمكن وضع العنصر الأول في أي من${\displaystyle g_{i}}$يمكن وضع العنصر الثاني أيضاً في أي من الصناديق.${\displaystyle g_{i}}$الصناديق، وما إلى ذلك). وبالتالي عدد الطرق${\displaystyle W}$أن إجمالي${\displaystyle N}$يمكن تصنيف الجسيمات إلى مستويات طاقة وفقًا لطاقاتها، بينما كل مستوى${\displaystyle i}$تناول${\displaystyle g_{i}}$حالات متميزة بحيث يستوعب المستوى i${\displaystyle N_{i}}$الجسيمات هي: $${\displaystyle W=N!\prod _{i}{\frac {g_{i}^{N_{i}}}{N_{i}!}}}$$

هذه هي الصيغة التي اشتقها بولتزمان لأول مرة لـ W. معادلة بولتزمان الأساسية${\displaystyle S=k_{\text{B}}\,\ln W}$تربط هذه المعادلة الإنتروبيا الديناميكية الحرارية S بعدد الحالات المجهرية W ، حيث k_{_B} هو ثابت بولتزمان . ومع ذلك، أشار جيبس ​​إلى أن التعبير المذكور أعلاه لـ W لا يُعطي إنتروبيا شاملة ، وبالتالي فهو خاطئ. تُعرف هذه المشكلة بمفارقة جيبس . تكمن المشكلة في أن الجسيمات التي تتناولها المعادلة أعلاه ليست غير قابلة للتمييز . بعبارة أخرى، بالنسبة لجسيمين ( A و B ) في مستويين فرعيين للطاقة ، يُعتبر التوزيع المُمثل بـ [ A , B ] مُختلفًا عن التوزيع [ B , A ]، بينما بالنسبة للجسيمات غير القابلة للتمييز، لا يكون الأمر كذلك. إذا طبقنا الحجة على الجسيمات غير القابلة للتمييز، فسنصل إلى تعبير بوز-أينشتاين لـ W : $${\displaystyle W=\prod _{i}{\frac {(N_{i}+g_{i}-1)!}{N_{i}!(g_{i}-1)!}}}$$

ينتج توزيع ماكسويل-بولتزمان من توزيع بوز-أينشتاين هذا لدرجات حرارة أعلى بكثير من الصفر المطلق، مما يعني أن${\displaystyle g_{i}\gg 1}$يتطلب توزيع ماكسويل-بولتزمان أيضًا كثافة منخفضة، مما يعني أن${\displaystyle g_{i}\gg N_{i}}$في ظل هذه الظروف، يمكننا استخدام تقريب ستيرلينغ لحساب المضروب: $${\displaystyle N!\approx N^{N}e^{-N},}$$ للكتابة: $${\displaystyle {\begin{aligned}W&=\prod _{i}{\frac {g_{i}}{N_{i}+g_{i}}}{\frac {(N_{i}+g_{i})!}{N_{i}!g_{i}!}}\approx \prod _{i}{\frac {(N_{i}+g_{i})!}{N_{i}!g_{i}!}}\\&\approx \prod _{i}{\frac {(N_{i}+g_{i})^{N_{i}+g_{i}}e^{-N_{i}-g_{i}}}{N_{i}!g_{i}^{g_{i}}e^{-g_{i}}}}=\prod _{i}{\frac {g_{i}^{N_{i}}(1+N_{i}/g_{i})^{N_{i}+g_{i}}e^{-N_{i}}}{N_{i}!}}\end{aligned}}}$$

باستخدام حقيقة أن${\displaystyle (1+N_{i}/g_{i})^{N_{i}+g_{i}}\approx e^{N_{i}}}$ل${\displaystyle g_{i}\gg N_{i}}$نحصل على: $${\displaystyle W\approx \prod _{i}{\frac {g_{i}^{N_{i}}}{N_{i}!}}}$$

هذا في الأساس عبارة عن قسمة على N ! للتعبير الأصلي لبولتزمان عن W ، ويشار إلى هذا التصحيح باسمحساب بولتزمان الصحيح .

نرغب في العثور على${\displaystyle N_{i}}$والتي من أجلها الوظيفة${\displaystyle W}$يتم تحقيق أقصى قدر من الفائدة، مع مراعاة القيد المتمثل في وجود عدد ثابت من الجسيمات.${\textstyle \left(N=\sum N_{i}\right)}$وطاقة ثابتة${\textstyle \left(E=\sum N_{i}\varepsilon _{i}\right)}$في الحاوية. الحد الأقصى لـ${\displaystyle W}$و${\displaystyle \ln(W)}$يتم تحقيق ذلك بنفس قيم${\displaystyle N_{i}}$ولأنّ تحقيق ذلك رياضيًا أسهل، سنقوم بتعظيم الدالة الأخيرة بدلًا من ذلك. ونُقيّد حلّنا باستخدام مُضاعِفات لاغرانج التي تُشكّل الدالة: $${\displaystyle f(N_{1},N_{2},\ldots ,N_{n})=\textstyle \ln(W)+\alpha (N-\sum _{i}N_{i})+\beta (E-\sum _{i}N_{i}\varepsilon _{i})}$$$${\displaystyle \ln W=\ln \left[\prod _{i=1}^{n}{\frac {g_{i}^{N_{i}}}{N_{i}!}}\right]\approx \sum _{i=1}^{n}\left(N_{i}\ln g_{i}-N_{i}\ln N_{i}+N_{i}\right)}$$

أخيراً $${\displaystyle f(N_{1},N_{2},\ldots ,N_{n})=\alpha N+\beta E+\sum _{i=1}^{n}\left[N_{i}\ln g_{i}-N_{i}\ln N_{i}+N_{i}-\left(\alpha +\beta \varepsilon _{i}\right)N_{i}\right]}$$

لتحقيق أقصى قيمة للتعبير أعلاه، نطبق نظرية فيرما (النقاط الثابتة) ، والتي تنص على أن القيم القصوى المحلية، إن وجدت، يجب أن تكون عند النقاط الحرجة (حيث تتلاشى المشتقات الجزئية): $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial N_{i}}}=\ln g_{i}-\ln N_{i}-(\alpha +\beta \varepsilon _{i})=0}$$

بحل المعادلات أعلاه (${\displaystyle i=1\ldots n}$) نصل إلى تعبير لـ${\displaystyle N_{i}}$: $${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}}}}$$

استبدال هذا التعبير بـ${\displaystyle N_{i}}$في المعادلة لـ${\displaystyle \ln W}$وبافتراض أن${\displaystyle N\gg 1}$ينتج عنه: $${\displaystyle \ln W=(\alpha +1)N+\beta E\,}$$ أو، بإعادة الترتيب: $${\displaystyle E={\frac {\ln W}{\beta }}-{\frac {N}{\beta }}-{\frac {\alpha N}{\beta }}}$$

أدرك بولتزمان أن هذا مجرد تعبير عن المعادلة الأساسية للديناميكا الحرارية المتكاملة وفقًا لأويلر . وباعتبار E الطاقة الداخلية ، تنص المعادلة الأساسية المتكاملة وفقًا لأويلر على ما يلي  : $${\displaystyle E=TS-PV+\mu N}$$ حيث T هي درجة الحرارة ، وP هو الضغط، وV هو الحجم ، و μ هو الجهد الكيميائي . معادلة بولتزمان${\displaystyle S=k_{\text{B}}\ln W}$إن إدراك أن الإنتروبيا تتناسب مع${\displaystyle \ln W}$_{حيث أن} ثابت التناسب هو ثابت بولتزمان . باستخدام معادلة حالة الغاز المثالي ( PV  = NkBT ) ، يتبين مباشرة أن ${\displaystyle \beta =1/k_{\text{B}}T}$و${\displaystyle \alpha =-\mu /k_{\text{B}}T}$وبذلك يمكن الآن كتابة تعداد السكان: $${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/(k_{\text{B}}T)}}}}$$

لاحظ أن الصيغة المذكورة أعلاه تُكتب أحيانًا على النحو التالي: $${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}/z}}}$$ أين${\displaystyle z=\exp(\mu /k_{\text{B}}T)}$هو النشاط المطلق .

أو بدلاً من ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أن $${\displaystyle \sum _{i}N_{i}=N}$$ للحصول على أعداد السكان كما $${\displaystyle N_{i}=N{\frac {g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}}{Z}}}$$ حيث Z هي دالة التقسيم المعرفة بواسطة: $${\displaystyle Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}}$$

في تقريب يُعتبر فيه ε _i متغيرًا مستمرًا، ينتج عن تقريب توماس-فيرمي انحلال مستمر g يتناسب مع${\displaystyle {\sqrt {\varepsilon }}}$لهذا السبب: $${\displaystyle {\frac {{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}{\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}}={\frac {{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}{{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(k_{\text{B}}T)^{3/2}}}={\frac {2{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}{\sqrt {\pi (k_{\text{B}}T)^{3}}}}}$$ وهو ببساطة توزيع ماكسويل-بولتزمان للطاقة.

في المناقشة السابقة، تم الحصول على دالة توزيع بولتزمان من خلال التحليل المباشر لتعددية النظام. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام المجموعة الكنسية . في المجموعة الكنسية، يكون النظام على اتصال حراري مع خزان حراري. وبينما تتدفق الطاقة بحرية بين النظام والخزان، يُفترض أن للخزان سعة حرارية لا نهائية للحفاظ على درجة حرارة ثابتة، T ، للنظام المُدمج.

في هذا السياق، يُفترض أن نظامنا يمتلك مستويات الطاقة التالية${\displaystyle \varepsilon _{i}}$مع الانحطاطات${\displaystyle g_{i}}$كما في السابق، نود حساب احتمالية امتلاك نظامنا للطاقة${\displaystyle \varepsilon _{i}}$.

إذا كان نظامنا في حالة${\displaystyle s_{1}}$ثم سيكون هناك عدد مماثل من الحالات الجزئية المتاحة للخزان. لنسمي هذا العدد${\displaystyle \Omega _{\text{R}}(s_{1})}$بافتراض أن النظام المدمج (النظام الذي نهتم به والخزان) معزول، فإن جميع الحالات المجهرية متساوية الاحتمال. لذلك، على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \Omega _{\text{R}}(s_{1})=2\;\Omega _{\text{R}}(s_{2})}$ويمكننا أن نستنتج أن احتمالية وجود نظامنا في حالة معينة تبلغ ضعف احتمالية وجوده في حالة معينة.${\displaystyle s_{1}}$من${\displaystyle s_{2}}$بشكل عام، إذا${\displaystyle P(s_{i})}$احتمال أن يكون نظامنا في حالة${\displaystyle s_{i}}$، $${\displaystyle {\frac {P(s_{1})}{P(s_{2})}}={\frac {\Omega _{\text{R}}(s_{1})}{\Omega _{\text{R}}(s_{2})}}.}$$

بما أن إنتروبيا الخزان${\displaystyle S_{\text{R}}=k\ln \Omega _{\text{R}}}$يصبح ما سبق $${\displaystyle {\frac {P(s_{1})}{P(s_{2})}}={\frac {e^{S_{\text{R}}(s_{1})/k}}{e^{S_{\text{R}}(s_{2})/k}}}=e^{(S_{\text{R}}(s_{1})-S_{\text{R}}(s_{2}))/k}.}$$

بعد ذلك، نستذكر الهوية الديناميكية الحرارية (من القانون الأول للديناميكا الحرارية والقانون الثاني للديناميكا الحرارية ): $${\displaystyle dS_{\text{R}}={\frac {1}{T}}(dU_{\text{R}}+P\,dV_{\text{R}}-\mu \,dN_{\text{R}}).}$$

في المجموعة الكنسية، لا يوجد تبادل للجسيمات، لذا${\displaystyle dN_{\text{R}}}$الحد يساوي صفرًا. وبالمثل،${\displaystyle dV_{\text{R}}=0}$وهذا يعطي $${\displaystyle S_{\text{R}}(s_{1})-S_{\text{R}}(s_{2})={\frac {1}{T}}(U_{\text{R}}(s_{1})-U_{\text{R}}(s_{2}))=-{\frac {1}{T}}(E(s_{1})-E(s_{2})),}$$ أين${\displaystyle U_{\text{R}}(s_{i})}$و${\displaystyle E(s_{i})}$تشير إلى طاقات الخزان والنظام عند${\displaystyle s_{i}}$على التوالي. بالنسبة للمساواة الثانية، استخدمنا قانون حفظ الطاقة. بالتعويض في المعادلة الأولى التي تربط${\displaystyle P(s_{1}),\;P(s_{2})}$: $${\displaystyle {\frac {P(s_{1})}{P(s_{2})}}={\frac {e^{-E(s_{1})/k_{\text{B}}T}}{e^{-E(s_{2})/k_{\text{B}}T}}},}$$ وهذا يعني، بالنسبة لأي حالة s من النظام $${\displaystyle P(s)={\frac {1}{Z}}e^{-E(s)/k_{\text{B}}T},}$$ حيث Z هو "ثابت" تم اختياره بشكل مناسب لجعل الاحتمال الكلي 1. ( Z ثابت بشرط أن تكون درجة الحرارة T ثابتة.) $${\displaystyle Z=\sum _{s}e^{-E(s)/k_{\text{B}}T},}$$ حيث يمر المؤشر s بجميع الحالات المجهرية للنظام. يُطلق على Z أحيانًا اسم مجموع بولتزمان على الحالات (أو "Zustandssumme" في الأصل الألماني). إذا قمنا بفهرسة المجموع باستخدام قيم الطاقة الذاتية بدلًا من جميع الحالات الممكنة، فيجب مراعاة الانحلال. احتمال امتلاك نظامنا للطاقة${\displaystyle \varepsilon _{i}}$هو ببساطة مجموع احتمالات جميع الحالات الميكروية المقابلة: $${\displaystyle P(\varepsilon _{i})={\frac {1}{Z}}g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}}$$ حيث، مع تعديل واضح، $${\displaystyle Z=\sum _{j}g_{j}e^{-\varepsilon _{j}/k_{\text{B}}T},}$$ هذه هي نفس النتيجة السابقة.

تعليقات على هذا الاشتقاق:

• لاحظ أنه في هذه الصيغة، تم الاستغناء عن الافتراض الأولي "... لنفترض أن النظام يحتوي على N جسيمًا إجمالًا ...". في الواقع، لا يلعب عدد الجسيمات التي يمتلكها النظام أي دور في الوصول إلى التوزيع. بل إن الأمر يتعلق بعدد الجسيمات التي ستشغل حالات ذات طاقة معينة.  ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ويترتب على ذلك نتيجة سهلة.
• ما عُرض أعلاه هو في جوهره اشتقاق لدالة التقسيم الأساسية. وكما يتضح من مقارنة التعريفات، فإن مجموع بولتزمان على الحالات يساوي دالة التقسيم الأساسية.
• يمكن استخدام نفس المنهج تمامًا لاستنتاج إحصائيات فيرمي-ديراك وبوز -أينشتاين . مع ذلك، في هذه الحالة، يُستبدل التجمع الكنسي بالتجمع الكنسي الكبير ، نظرًا لوجود تبادل للجسيمات بين النظام والمستودع. كما أن النظام المدروس في هذه الحالات هو حالة جسيم واحد ، وليس جسيمًا واحدًا. (في المناقشة السابقة، كان بإمكاننا افتراض أن نظامنا عبارة عن ذرة واحدة).