بونافينتورا كافالييري

كان كتاب كافالييري الأول، الذي نُشر لأول مرة عام 1632 وأُعيد طبعه مرة واحدة عام 1650، بعنوان "المرآة المحترقة ، أو رسالة في القطوع المخروطية" . ^{[ 7 ]} كان الهدف من "المرآة المحترقة" هو الإجابة على سؤال كيف استطاع أرخميدس استخدام المرايا لحرق الأسطول الروماني أثناء اقترابه من سيراكوز ، وهو سؤال لا يزال محل نقاش. ^{[ 5 ] [ 8 ]} تجاوز الكتاب هذا الهدف، واستكشف أيضًا القطوع المخروطية، وانعكاسات الضوء، وخصائص القطع المكافئ. في هذا الكتاب، طوّر كافالييري نظرية المرايا المُشكّلة على هيئة قطع مكافئ ، وقطع زائد ، وقطع ناقص ، بالإضافة إلى تركيبات مختلفة من هذه المرايا. أثبت أنه إذا كانت سرعة الضوء، كما تبين لاحقًا، محدودة ومحددة، فإن التداخل في الصورة عند بؤرة المرآة المكافئة أو الزائدية أو الإهليلجية يكون ضئيلاً، مع أن هذا كان نظريًا نظرًا لعدم إمكانية تصنيع المرايا المطلوبة باستخدام التقنيات المعاصرة. وكان من شأن ذلك أن ينتج صورًا أفضل من تلك التي كانت تُنتجها التلسكوبات الموجودة آنذاك. ^{[ 5 ] [ 9 ]}

كما أوضح بعض خصائص المنحنيات. أولها أنه بالنسبة لشعاع ضوئي موازٍ لمحور قطع مكافئ وينعكس بحيث يمر عبر بؤرته، فإن مجموع زاوية سقوطه وزاوية انعكاسه يساوي مجموع زاوية سقوط أي شعاع مماثل. ثم أوضح نتائج مماثلة للقطع الزائد والقطع الناقص. أما النتيجة الثانية، المفيدة في تصميم التلسكوبات العاكسة، فهي أنه إذا مُد خط من نقطة خارج القطع المكافئ إلى بؤرته، فإن انعكاس هذا الخط على السطح الخارجي للقطع المكافئ يكون موازيًا لمحوره. ومن النتائج الأخرى: إذا مر خط عبر قطع زائد وبؤرته الخارجية، فإن انعكاسه على السطح الداخلي للقطع الزائد سيمر عبر البؤرة الداخلية؛ وعكس ذلك، أي أن شعاعًا موجهًا عبر القطع المكافئ إلى البؤرة الداخلية ينعكس من السطح الخارجي إلى البؤرة الخارجية؛ وخاصية أنه إذا مر خط عبر إحدى البؤرتين الداخليتين للقطع الناقص، فإن انعكاسه على السطح الداخلي للقطع الناقص سيمر عبر البؤرة الداخلية الأخرى. على الرغم من أن بعض هذه الخصائص قد لوحظت سابقاً، إلا أن كافالييري قدم أول دليل من بين العديد منها. ^{[ 5 ]}

كما تضمن كتاب "Lo Specchio Ustorio" جدولاً للأسطح العاكسة وأنماط الانعكاس للاستخدام العملي. ^{[ 5 ]}

تضمنت أعمال كافالييري أيضًا تصاميم نظرية لنوع جديد من التلسكوبات يستخدم المرايا، وهو التلسكوب العاكس ، الذي طُوِّر في البداية للإجابة على سؤال مرآة أرخميدس، ثم طُبِّق على نطاق أصغر بكثير في التلسكوبات. ^{[ 5 ] [ 10 ]} وقد أوضح ثلاثة مفاهيم مختلفة لدمج المرايا العاكسة في نموذج التلسكوب الخاص به. تضمنت الخطة الأولى مرآة كبيرة مقعرة موجهة نحو الشمس لعكس الضوء إلى مرآة ثانية أصغر محدبة. أما المفهوم الثاني لكافالييري، فقد تضمن مرآة رئيسية مقطوعة على شكل قطع مكافئ ومرآة ثانية محدبة. وأظهر خياره الثالث تشابهًا كبيرًا مع مفهومه السابق، حيث استبدل العدسة الثانوية المحدبة بعدسة مقعرة. ^{[ 5 ]}

استلهم كافالييري من أعمال غاليليو السابقة، فطور منهجًا هندسيًا جديدًا في حساب التفاضل والتكامل يُعرف باسم " طريقة الأجزاء غير القابلة للتجزئة"، ونشر رسالةً في هذا الموضوع بعنوان " Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota" أو "الهندسة المطورة بطريقة جديدة من خلال الأجزاء غير القابلة للتجزئة للمتصلات" . كُتبت هذه الرسالة عام 1627، لكنها لم تُنشر حتى عام 1635. في هذا العمل، يتناول كافالييري كيانًا يُشار إليه في النص باسم "جميع الخطوط" أو "جميع المستويات" لشكل ما، وهو عدد غير محدد من الخطوط أو المستويات المتوازية داخل حدود الشكل، والتي تُقارن بمساحة وحجم الشكل، على التوالي. قام علماء الرياضيات اللاحقون، بتحسين طريقته، بمعاملة "جميع الخطوط" و"جميع المستويات" على أنها مكافئة أو مساوية للمساحة والحجم، لكن كافالييري، في محاولة لتجنب مسألة تكوين المتصل، أصر على أن الاثنين قابلان للمقارنة ولكنهما ليسا متساويين. ^{[ 1 ]}

تُسمى هذه العناصر المتوازية بالعناصر غير القابلة للتجزئة، سواءً للمساحة أو الحجم، وهي تُشكل اللبنات الأساسية لطريقة كافالييري، كما أنها من السمات الأساسية لحساب التكامل . وقد استخدم كافالييري أيضًا طريقة العناصر غير القابلة للتجزئة لحساب النتيجة المكتوبة الآن$\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}$، في عملية حساب المساحة المحصورة داخل اللولب الأرخميدي ، والذي عممه لاحقًا على أشكال أخرى، موضحًا، على سبيل المثال، أن حجم المخروط يساوي ثلث حجم الأسطوانة المحيطة به. ^{[ 11 ]}

من التطبيقات المباشرة لطريقة الأجزاء غير القابلة للتجزئة مبدأ كافالييري ، الذي ينص على أن حجمي جسمين متساويان إذا كانت مساحات مقاطعهما العرضية المتناظرة متساوية في جميع الحالات. ويتطابق مقطعان عرضيان إذا كانا تقاطعين للجسم مع مستويين متساويي البعد عن مستوى أساسي مُختار. (وقد استخدم زو غينغتشي ( 480-525 ) الصيني المبدأ نفسه سابقًا ، في حالة حساب حجم الكرة تحديدًا. ^{[ 12 ]} )

كانت طريقة الأعداد غير القابلة للتجزئة، كما وضعها كافالييري، فعّالة، لكن فائدتها كانت محدودة من ناحيتين. أولًا، على الرغم من أن براهين كافالييري كانت بديهية، وثبتت صحتها لاحقًا، إلا أنها لم تكن دقيقة؛ ثانيًا، كان أسلوبه في الكتابة كثيفًا وغامضًا. وبينما ساهم العديد من علماء الرياضيات المعاصرين في تطوير طريقة الأعداد غير القابلة للتجزئة، لاقى كتاب "الهندسة غير القابلة للتجزئة" (Geometria indivisibilibus) ردودًا قاسية. وقد نشر كل من أندريه تاكيه وبول غولدين ردودًا على هذا الكتاب . وأشار نقد غولدين المتعمق بشكل خاص إلى أن طريقة كافالييري مستمدة من أعمال يوهانس كيبلر وبارتولوميو سوفيرو ، وانتقدها لافتقارها إلى الدقة، ثم جادل بأنه لا يمكن أن تكون هناك نسبة ذات معنى بين عددين لانهائيين، وبالتالي فإن مقارنة أحدهما بالآخر أمرٌ لا معنى له. ^{[ 4 ] [ 1 ]}

كُتب كتاب كافالييري " التمارين الهندسية الستة " (1647) ردًا مباشرًا على انتقادات غولدين. وقد صِيغ في البداية على شكل حوار على غرار غاليليو، لكنّ المراسلين نصحوا بعدم اعتماد هذا الأسلوب لما فيه من إثارة للجدل. كانت اتهامات الانتحال لا أساس لها من الصحة، لكنّ جزءًا كبيرًا من " التمارين" تناول الجوهر الرياضي لحجج غولدين. زعم غولدين، بأسلوبٍ مُخادع، أن عمله يعتبر "جميع الخطوط" كيانًا منفصلًا عن مساحة الشكل، ثمّ زعم أن "جميع الخطوط" و"جميع المستويات" لا تتعامل مع اللانهاية المطلقة بل مع اللانهاية النسبية، وبالتالي يمكن مقارنتها. لم تكن هذه الحجج مقنعة للمعاصرين. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، مثّلت "التمارين" تحسينًا ملحوظًا لطريقة الأجزاء غير القابلة للتجزئة. فمن خلال تطبيق التحويلات على متغيراته، عمّم غولدين نتيجته التكاملية السابقة، مُبينًا أن$\int _{0}^{1}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}$ل${\displaystyle n\in \{3,\dots ,9\}}$، والتي تُعرف الآن باسم صيغة كافالييري التربيعية . ^{[ 4 ] [ 11 ]}

في أواخر حياته، نشر كافالييري كتابين في علم الفلك . ورغم استخدامهما لغة التنجيم ، إلا أنه صرّح في النص بأنه لم يكن يؤمن بالتنجيم ولم يمارسه . هذان الكتابان هما: Nuova pratica astrologica (1639) و Trattato della ruota planetaria perpetua (1646).

نشر جداول اللوغاريتمات ، مؤكداً على استخدامها العملي في مجالي علم الفلك والجغرافيا . ^{[ 4 ] [ 1 ] [ 6 ]}

كما قام كافالييري ببناء مضخة هيدروليكية لدير كان يديره. وحصل دوق مانتوا على مضخة مماثلة. ^{[ 6 ]}