مجموعة مولدة لمجموعة

في الجبر المجرد ، مجموعة توليد مجموعة ما هي مجموعة جزئية من مجموعة المجموعة بحيث يمكن التعبير عن كل عنصر من عناصر المجموعة على أنه مزيج (تحت عملية المجموعة) من عدد محدود من عناصر المجموعة الجزئية ومعكوساتها .

بمعنى آخر، إذا${\displaystyle S}$هي مجموعة جزئية من مجموعة${\displaystyle G}$، ثم${\displaystyle \langle S\rangle }$، المجموعة الفرعية الناتجة عن${\displaystyle S}$، هي أصغر مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$يحتوي على كل عنصر من${\displaystyle S}$، وهو ما يساوي التقاطع على جميع المجموعات الفرعية التي تحتوي على عناصر من${\displaystyle S}$أو بعبارة أخرى،${\displaystyle \langle S\rangle }$هي مجموعة فرعية من جميع عناصر${\displaystyle G}$يمكن التعبير عن ذلك كحاصل ضرب محدود لعناصر في${\displaystyle S}$ومعكوساتها. (لاحظ أن المعكوسات مطلوبة فقط إذا كانت المجموعة لانهائية؛ في المجموعة المنتهية، يمكن التعبير عن معكوس عنصر ما كقوة لذلك العنصر.)

لو${\displaystyle G=\langle S\rangle }$ثم نقول ذلك${\displaystyle S}$يُنشئ${\displaystyle G}$والعناصر الموجودة في${\displaystyle S}$تُسمى هذه المولدات أو مولدات المجموعات . إذا${\displaystyle S}$إذا كانت المجموعة فارغة،${\displaystyle \langle S\rangle }$هي المجموعة التافهة${\displaystyle \{e\}}$، لأننا نعتبر المنتج الفارغ هو العنصر المحايد.

عندما يكون هناك عنصر واحد فقط${\displaystyle x}$في${\displaystyle S}$،${\displaystyle \langle S\rangle }$عادة ما تُكتب على النحو التالي:${\displaystyle \langle x\rangle }$في هذه الحالة،${\displaystyle \langle x\rangle }$هي المجموعة الفرعية الدورية لقوى${\displaystyle x}$، وهي مجموعة دورية ، ونقول إن هذه المجموعة مولدة بواسطة${\displaystyle x}$يعادل قول عنصر${\displaystyle x}$يُشير مصطلح "تكوين مجموعة" إلى أن${\displaystyle \langle x\rangle }$يساوي المجموعة بأكملها${\displaystyle G}$بالنسبة للمجموعات المنتهية ، فإن ذلك يعادل أيضًا القول بأن${\displaystyle x}$تم الطلب${\displaystyle |G|}$.

قد تحتاج المجموعة إلى عدد لا نهائي من المولدات. على سبيل المثال، المجموعة الجمعية للأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$ليست مجموعة مولدة نهائيًا. فهي تتولد من معكوسات جميع الأعداد الصحيحة، ولكن يمكن إزالة أي عدد محدود من هذه المولدات من المجموعة المولدة دون أن تفقد كونها مجموعة مولدة. في مثل هذه الحالة، تكون جميع عناصر المجموعة المولدة "عناصر غير مولدة"، كما هو الحال في الواقع مع جميع عناصر المجموعة بأكملها  - انظر المجموعة الفرعية فراتيني أدناه.

لو${\displaystyle G}$إذا كانت مجموعة طوبولوجية، فإنها مجموعة جزئية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle G}$تُسمى مجموعة مولدات طوبولوجية إذا${\displaystyle \langle S\rangle }$كثيف في​${\displaystyle G}$أي إغلاق​${\displaystyle \langle S\rangle }$هي المجموعة بأكملها${\displaystyle G}$.

لو${\displaystyle S}$إذا كانت منتهية، فإنها مجموعة${\displaystyle G=\langle S\rangle }$تُسمى المجموعة المولدة نهائيًا . يسهل وصف بنية المجموعات الأبيلية المولدة نهائيًا على وجه الخصوص. العديد من النظريات التي تنطبق على المجموعات المولدة نهائيًا لا تنطبق على المجموعات بشكل عام. وقد ثبت أنه إذا كانت مجموعة منتهية مولدة بواسطة مجموعة جزئية${\displaystyle S}$ثم يمكن التعبير عن كل عنصر من عناصر المجموعة بكلمة من الأبجدية.${\displaystyle S}$بطول أقل من أو يساوي رتبة المجموعة.

كل مجموعة منتهية مولدة بشكل منتهٍ لأن${\displaystyle \langle G\rangle =G}$تُعدّ مجموعة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع مثالاً على مجموعة لانهائية مولدة توليداً منتهياً بواسطة كل من 1 و -1، لكن مجموعة الأعداد النسبية تحت عملية الجمع لا يمكن أن تكون مولدة توليداً منتهياً. لا يمكن لأي مجموعة غير قابلة للعد أن تكون مولدة توليداً منتهياً. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الحقيقية تحت عملية الجمع،${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$.

يمكن أن تُولّد مجموعات فرعية مختلفة من نفس المجموعة مجموعات فرعية أخرى. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$إذا كان لدينا عددان صحيحان بحيث يكون القاسم المشترك الأكبر لـ ( p , q ) يساوي 1    ، فإن${\displaystyle \{p,q\}}$كما أنها تولد مجموعة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع بواسطة هوية بيزو .

صحيح أن كل مجموعة خارج قسمة لمجموعة مولدة نهائياً هي مجموعة مولدة نهائياً (لأن صور المولدات في مجموعة خارج القسمة تعطي مجموعة مولدة نهائية)، إلا أن المجموعة الجزئية من مجموعة مولدة نهائياً ليست بالضرورة مولدة نهائياً. على سبيل المثال، ليكن${\displaystyle G}$كن المجموعة الحرة في مولدين،${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$(وهو أمر واضح أنه مولد بشكل نهائي، لأن${\displaystyle G=\langle \{x,y\}\rangle }$)، ودع${\displaystyle S}$لتكن المجموعة الجزئية التي تتكون من جميع عناصر${\displaystyle G}$من الشكل${\displaystyle y^{n}xy^{-n}}$لبعض الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$.${\displaystyle \langle S\rangle }$متماثلة مع المجموعة الحرة في عدد لا نهائي قابل للعد من المولدات، وبالتالي لا يمكن أن تكون مولدة توليدًا منتهيًا. مع ذلك، فإن كل زمرة جزئية من زمرة أبيلية مولدة توليدًا منتهيًا هي في حد ذاتها مولدة توليدًا منتهيًا. في الواقع، يمكن القول أكثر من ذلك: فئة جميع الزمر المولدة توليدًا منتهيًا مغلقة تحت التمديدات . لإثبات ذلك، خذ مجموعة مولدة للزمرة الجزئية الطبيعية (المولدة توليدًا منتهيًا) وزمرة القسمة. عندئذٍ، تولد مولدات الزمرة الجزئية الطبيعية، بالإضافة إلى الصور العكسية لمولدات زمرة القسمة، الزمرة.

• الزمرة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد 9 ، U ₉  =  {1,  2,  4,  5,  7,  8} ، هي زمرة جميع الأعداد الصحيحة الأولية نسبيًا مع  9 تحت عملية الضرب بتردد  9. العنصر 7 ليس مولدًا لـ U ₉ ، لأن$${\displaystyle \{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},}$$بينما 2 هو، لأن$${\displaystyle \{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.}$$
• لا تُولَّد المجموعة المتناظرة S _{_n} من الدرجة n بأي عنصر منفرد (ليست دورية ) عندما n > 2. مع ذلك، في هذه الحالات، يمكن دائمًا توليد S _{_n} بتبديلين: في تدوين الدورة ، يُشكِّل التبديل (1 2) والدورة (1  2  3  ... n )  مجموعة مولدة. على سبيل المثال، يمكن توليد العناصر الستة لـ S _₃ من المولدين (1 2) و(1 2 3)، كما هو موضح في الطرف الأيمن من المعادلات التالية (التركيب من اليسار إلى اليمين):

  e = (1 2)(1 2)

  (1 2) = (1 2)

  (1 3) = (1 2)(1 2 3)

  (2 3) = (1 2 3)(1 2)

  (1 2 3) = (1 2 3)

  (1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

• يمكن أن تحتوي المجموعات اللانهائية على مجموعات مولدة منتهية. المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة لها  1 كمجموعة مولدة. العنصر  2 ليس مجموعة مولدة، لأن الأعداد الفردية ستكون غائبة. المجموعة الجزئية المكونة من عنصرين {3،  5} هي مجموعة مولدة، لأن ( -5 )  +  3  +  3  =  1 (في الواقع، أي زوج من الأعداد الأولية فيما بينها هو مجموعة مولدة، كنتيجة لهوية بيزو ).
• تتولد المجموعة ثنائية السطوح لمضلع ذي n ضلع (والذي رتبته 2n) بواسطة المجموعة { r , s } ، حيث يمثل r الدوران بمقدار 2π / n و s أي انعكاس حول خط التناظر . ^{[ 1 ]}
• المجموعة الدورية من الرتبة${\displaystyle n}$،${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$و${\displaystyle n}$^{جميع الجذور} النونية للوحدة ناتجة عن عنصر واحد (في الواقع، هذه المجموعات متماثلة مع بعضها البعض). ^{[ 2 ]}
• يُعرَّف تمثيل المجموعة بأنه مجموعة من المولدات ومجموعة من العلاقات بينها، لذا فإن أيًا من الأمثلة المدرجة في تلك الصفحة يحتوي على أمثلة لمجموعات مولدة. ^{[ 3 ]}

المجموعة الأكثر عمومية التي تولدها مجموعة${\displaystyle S}$هي المجموعة التي تم إنشاؤها بحرية بواسطة${\displaystyle S}$كل مجموعة تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle S}$متماثل مع خارج قسمة هذه المجموعة، وهي سمة يتم استخدامها في التعبير عن عرض المجموعة .

ومن المواضيع المصاحبة المثيرة للاهتمام موضوع العناصر غير المولدة .${\displaystyle x}$من المجموعة${\displaystyle G}$لا يكون مولدًا إذا كانت كل مجموعة${\displaystyle S}$يحتوي على${\displaystyle x}$ذلك يولد${\displaystyle G}$لا يزال يُولّد${\displaystyle G}$متى${\displaystyle x}$تمت إزالته من${\displaystyle S}$في الأعداد الصحيحة التي تتضمن الجمع، العدد الوحيد غير المولد هو 0. تشكل مجموعة جميع الأعداد غير المولدة مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$، المجموعة الفرعية فراتيني .

لو${\displaystyle G}$إذا كانت شبه مجموعة أو أحاديًا ، فلا يزال بإمكان المرء استخدام مفهوم المجموعة المولدة${\displaystyle S}$ل${\displaystyle G}$.${\displaystyle S}$هي مجموعة توليد شبه زمرة/أحادية${\displaystyle G}$لو${\displaystyle G}$هي أصغر مجموعة شبهية/أحادية تحتوي${\displaystyle S}$.

يجب تعديل تعريفات المجموعة المولدة لمجموعة باستخدام المجاميع المنتهية، المذكورة أعلاه، تعديلاً طفيفاً عند التعامل مع أنصاف المجموعات أو المونويدات. في الواقع، لا ينبغي لهذا التعريف استخدام مفهوم العملية العكسية بعد الآن.${\displaystyle S}$يُقال إنها مجموعة توليد شبه زمرة من${\displaystyle G}$إذا كان كل عنصر من${\displaystyle G}$هو مجموع محدود من عناصر${\displaystyle S}$وبالمثل، مجموعة${\displaystyle S}$يُقال إنها مجموعة مولدة أحادية لـ${\displaystyle G}$إذا كان كل عنصر غير صفري من${\displaystyle G}$هو مجموع محدود من عناصر${\displaystyle S}$.

على سبيل المثال، {1} هو مولد أحادي لمجموعة الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$تُعدّ المجموعة {1} أيضًا مولدًا لشبه المجموعة للأعداد الطبيعية الموجبة.${\displaystyle \mathbb {N} _{>0}}$ومع ذلك، لا يمكن التعبير عن العدد الصحيح 0 كمجموع (غير فارغ) من 1، وبالتالي فإن {1} ليس مولد شبه مجموعة للأعداد الطبيعية.

وبالمثل، في حين أن {1} هو مولد مجموعة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$، {1} ليس مولدًا أحاديًا لمجموعة الأعداد الصحيحة. في الواقع، لا يمكن التعبير عن العدد الصحيح −1 كمجموع محدود من 1.

• مجموعة توليد المعاني ذات الصلة في هياكل أخرى
• عرض مجموعة
• العنصر الأولي (الحقل المنتهي)
• رسم بياني لكايلي

• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001  
• كوكسيتر، إتش إس إم ؛ موسر، دبليو أو جيه (1980). المولدات والعلاقات للمجموعات المنفصلة . سبرينغر. ISBN 0-387-09212-9.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مولدات المجموعات" . عالم الرياضيات .