عرض مجموعة

في الرياضيات ، يُعدّ التمثيل إحدى طرق تحديد الزمرة . يتألف تمثيل الزمرة G من مجموعة S من المولدات - بحيث يمكن كتابة كل عنصر من عناصر الزمرة كحاصل ضرب قوى بعض هذه المولدات - ومجموعة R من العلاقات بين تلك المولدات. عندئذٍ نقول إن G لها تمثيل.

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$

بصورة غير رسمية، يكون للمجموعة G التمثيل المذكور أعلاه إذا كانت "المجموعة الأكثر حرية" المولدة بواسطة S والتي تخضع فقط للعلاقات R. بصورة رسمية، يقال إن للمجموعة G التمثيل المذكور أعلاه إذا كانت متماثلة مع خارج قسمة مجموعة حرة على S بواسطة المجموعة الجزئية الطبيعية المولدة بواسطة العلاقات R.

كمثال بسيط، يمكن تمثيل المجموعة الدورية من الرتبة n على النحو التالي:

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}=1\rangle ,}$

حيث يمثل الرقم 1 هوية المجموعة. ويمكن كتابة ذلك بصورة مكافئة على النحو التالي:

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle ,}$

بفضل الاصطلاح القائل بأن المصطلحات التي لا تتضمن علامة يساوي تُعتبر مساوية لهوية المجموعة. تُسمى هذه المصطلحات بالعلاقات ، تمييزًا لها عن العلاقات التي تتضمن علامة يساوي.

لكل مجموعة عرض تقديمي، وفي الواقع العديد من العروض التقديمية المختلفة؛ وغالبًا ما يكون العرض التقديمي هو الطريقة الأكثر إيجازًا لوصف هيكل المجموعة.

ثمة مفهوم وثيق الصلة ولكنه مختلف، وهو مفهوم العرض المطلق لمجموعة ما .

المجموعة الحرة على مجموعة S هي مجموعة يمكن وصف كل عنصر فيها بشكل فريد على أنه حاصل ضرب محدود الطول على الشكل التالي:

${\displaystyle s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}}$

حيث _تمثل sᵢ عناصر من _{المجموعة} S ، _وتكون sᵢ المتجاورة مختلفة، و aᵢ أعدادًا صحيحة غير صفرية (مع إمكانية أن يكون n صفرًا). بعبارة أخرى، تتكون المجموعة من الكلمات في المولدات ومعكوساتها ، مع مراعاة إلغاء المولد الذي يجاوره معكوسه فقط.

إذا كانت G أي مجموعة، و S مجموعة جزئية مولدة من G ، فإن كل عنصر من G يكون أيضًا من الشكل المذكور أعلاه؛ ولكن بشكل عام، لن تصف هذه المنتجات عنصرًا من G بشكل فريد .

على سبيل المثال، يمكن توليد المجموعة ثنائية السطوح D ₈ من الرتبة السادسة عشرة عن طريق دوران r من الرتبة 8 وقلب f من الرتبة 2، وبالتأكيد فإن أي عنصر من D ₈ هو ناتج عن r s و f s.

مع ذلك، لدينا، على سبيل المثال، rfr = f ⁻¹ ، و r ⁷ = r ⁻¹ ، وما إلى ذلك، لذا فإن هذه المنتجات ليست فريدة في D _8. ويمكن التعبير عن كل تكافؤ من هذه المنتجات على أنه مساواة مع الهوية، مثل:

rfrf = 1 ,

r ⁸ = 1 ، أو

f ^{‍ 2} = 1 .

بصورة غير رسمية، يمكننا اعتبار هذه المنتجات على الجانب الأيسر عناصر من المجموعة الحرة F = ⟨ r , f  ⟩ ، ولنفرض أن R = ⟨ rfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2} ⟩ . أي، نفرض أن R هي المجموعة الجزئية المولدة بواسطة السلاسل rfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2} ، والتي يكافئ كل منها أيضًا 1 عند اعتبارها منتجات في D ₈ .

إذا اعتبرنا N الزمرة الجزئية من F المولدة بواسطة جميع المرافقات x⁻¹Rx لـ R ، فإنه يترتب على ذلك، بحسب التعريف، أن كل عنصر من _{N هو حاصل ضرب منتهٍ x⁻¹r⁻¹x⁻¹} ^... x⁻¹r⁻¹x⁻¹ ^لعناصر هذه المرافقات _. ويترتب على ذلك _{أن كل} عنصر من N ، عند _{اعتباره} حاصل ضرب في D⁸ _، سيُقيّم أيضًا إلى 1؛ وبالتالي فإن N زمرة جزئية طبيعية من _F. ^إذن ، D⁸ _{متماثلة} مع زمرة القسمة F / N . نقول حينها إن D⁸ _لها تمثيل

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle .}$

هنا، مجموعة المولدات هي S = { r , f  } ، ومجموعة العلاقات هي R = { r ^∈ = 1, f ^∈ = 1, ( rf ) ^∈ = 1 } . غالبًا ما نرى اختصار R ، مما يُعطي العرض

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1\rangle .}$

يُحذف في صيغة أقصر علامتا المساواة والتطابق، ليُذكر فقط مجموعة العلاقات، وهي { r ⁸ , f ² , ( rf ) ² } . ويُعطي هذا العرض

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle .}$

العروض الثلاثة جميعها متكافئة.

على الرغم من أن الرمز ⟨ S | R ⟩ المستخدم في هذه المقالة للعرض التقديمي هو الأكثر شيوعًا الآن، إلا أن الكتّاب السابقين استخدموا صيغًا مختلفة لنفس الشكل. تتضمن هذه الرموز ما يلي:

• ⟨ S | R ⟩
• ( S | R )
• { S ; R }
• ⟨ S ; R ⟩

ليكن S مجموعة، ولتكن F_{_S} الزمرة الحرة على S. ولتكن R مجموعة كلمات على S ، لذا فإن R تعطي بشكل طبيعي مجموعة جزئية من${\displaystyle F_{S}}$. لتشكيل مجموعة مع تقديم عرض تقديمي${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$خذ ناتج قسمة${\displaystyle F_{S}}$بواسطة أصغر زمرة جزئية طبيعية تحتوي على كل عنصر من عناصر R. (تسمى هذه الزمرة الجزئية بالإغلاق الطبيعي N لـ R في${\displaystyle F_{S}}$.) المجموعة${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ثم يتم تعريفها على أنها مجموعة القسمة

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.}$

تُسمى عناصر المجموعة S مولدات${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$وتُسمى عناصر R بالعلاقات . ويُقال إن المجموعة G لها العرض${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$إذا كانت G متماثلة مع${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$[ ^{1 ]​}

من الممارسات الشائعة كتابة العلاقات على النحو التالي:${\displaystyle x=y}$حيث x و y كلمتان في المجموعة S. وهذا يعني أن${\displaystyle y^{-1}x\in R}$وهذا يعني بديهيًا أن صورتي x و y يجب أن تكونا متساويتين في مجموعة القسمة. وبالتالي، على سبيل المثال، ^rn في قائمة العلاقات مكافئ لـ${\displaystyle r^{n}=1}$[ ^{1 ]​}

بالنسبة لمجموعة منتهية G ، من الممكن بناء تمثيل لـ G من جدول ضرب المجموعات ، كما يلي. لنفترض أن S هي عناصر المجموعة${\displaystyle g_{i}}$من G و R لتكون جميع الكلمات من الشكل${\displaystyle g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}}$، أين${\displaystyle g_{i}g_{j}=g_{k}}$هو أحد عناصر جدول الضرب.

يُقال إن العرض مُوَلَّدٌ نهائيًا إذا كانت المجموعة S نهائية، ومرتبطٌ نهائيًا إذا كانت المجموعة R نهائية. إذا كانت كلتا المجموعتين نهائيتين، يُقال إنه عرض نهائي . المجموعة مُوَلَّدة نهائيًا (أو مرتبطة نهائيًا على التوالي ).تُسمى المجموعة ذات العرض المحدود (أو ذات العرض المحدود المرتبط ) إذا كان لها عرض مُوَلَّد بشكل محدود (أو على التوالي، عرض محدود مرتبط بشكل محدود). وتُسمى المجموعة التي لها عرض محدود بعلاقة واحدةمجموعة ذات.

إذا كانت المجموعة S مُفهرسة بمجموعة I تتألف من جميع الأعداد الطبيعية N أو مجموعة جزئية منتهية منها، فمن السهل إنشاء ترميز أحادي بسيط (أو ترقيم غودل ) f  : F _S → N من المجموعة الحرة على S إلى الأعداد الطبيعية، بحيث يمكننا إيجاد خوارزميات، بمعلومية f ( w )، لحساب w ، والعكس صحيح. يمكننا حينها تسمية مجموعة جزئية U من F _S بـ "تكرارية" (أو "قابلة للتعداد التكراري ") إذا كانت f ( U ) تكرارية (أو "قابلة للتعداد التكراري"). إذا كانت S مُفهرسة كما سبق وكانت R قابلة للتعداد التكراري، فإن العرض يكون تكراريًا والمجموعة المقابلة تُعرض تكراريًا . قد يبدو هذا الاستخدام غريبًا، لكن من الممكن إثبات أنه إذا كانت لمجموعة ما عرض مع R قابلة للتعداد التكراري، فإن لها عرضًا آخر مع R تكراريًا.

كل زمرة ذات عرض منتهٍ تُعرض بشكل استقرائي، ولكن توجد زمر ذات عرض استقرائي لا يمكن عرضها بشكل منتهٍ. مع ذلك، تنص نظرية غراهام هيغمان على أن الزمرة المولدة منتهية لها عرض استقرائي إذا وفقط إذا أمكن تضمينها في زمرة ذات عرض منتهٍ. ^{[ 2 ]} من هذا نستنتج أنه لا يوجد (حتى التشاكل) سوى عدد قابل للعد من الزمر المولدة منتهية ذات العرض الاستقرائي. وقد أثبت برنارد نيومان أن هناك عددًا غير قابل للعد من الزمر غير المتشاكلة ذات المولدين. لذلك، توجد زمر مولدة منتهية لا يمكن عرضها بشكل استقرائي.

قدّم عالم الرياضيات الأيرلندي ويليام روان هاميلتون، عام 1856، أحد أقدم العروض للمجموعات باستخدام المولدات والعلاقات، وذلك في حسابه العشري الوجوه - وهو عرض للمجموعة العشرية الوجوه . ^{[ 3 ]} وقدّم والتر فون ديك ، تلميذ فيليكس كلاين ، أول دراسة منهجية في أوائل ثمانينيات القرن التاسع عشر، واضعًا بذلك أسس نظرية المجموعات التوافقية . ^{[ 4 ]}

يُبيّن الجدول التالي بعض الأمثلة على العروض التقديمية للمجموعات الدراسية الشائعة. تجدر الإشارة إلى أنه في كل حالة، توجد العديد من العروض التقديمية الأخرى الممكنة. العرض التقديمي المذكور ليس بالضرورة الأكثر فعالية.

مجموعة	عرض تقديمي	تعليقات
المجموعة المجانية على S	${\displaystyle \langle S\mid \varnothing \rangle }$	تُعتبر المجموعة الحرة "حرة" بمعنى أنها لا تخضع لأي علاقات.
${\displaystyle \pi _{1}(S_{g})}$، المجموعة السطحية من الجنس القابل للتوجيه${\displaystyle g\geq 0}$	${\displaystyle \left\langle a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g}|[a_{1},b_{1}][a_{2},b_{2}]\ldots [a_{g},b_{g}]\right\rangle }$	يرمز القوس إلى المبدل:${\displaystyle [a,b]=aba^{-1}b^{-1}}$
C n ، المجموعة الحلقية من الرتبة n	${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle }$
D n ، المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 2 n	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle }$	هنا يمثل r الدوران و f الانعكاس
D ∞ ، المجموعة ثنائية السطوح اللانهائية	${\displaystyle \langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle }$
Dic n ، المجموعة ثنائية الحلقات من الرتبة 4 n	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{2n},r^{n}=f^{2},frf^{-1}=r^{-1}\rangle }$	تُعتبر مجموعة الكواترنيون Q 8 حالة خاصة عندما n = 2
Z × Z	${\displaystyle \langle x,y\mid xy=yx\rangle }$
Z / m Z × Z / n Z	${\displaystyle \langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle }$
المجموعة الأبيلية الحرة على S	${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$حيث R هي مجموعة جميع مبدلات عناصر S
S n ، المجموعة المتناظرة على n رمز	المولدات:${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$العلاقات: ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}$، ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1}$، ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}$ يمكن تحويل المجموعة الأخيرة من العلاقات إلى ${\displaystyle {(\sigma _{i}\sigma _{i+1}})^{3}=1\ }$ استخدام${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}$.	هنا ، σ i هو التبديل الذي يبدل العنصر i بالعنصر i + 1. والناتج σ i σ i + 1 هو دورة ثلاثية على المجموعة { i , i + 1, i + 2}.
B n ، مجموعات الجدائل	المولدات:${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ العلاقات: ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1}$، ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\ }$	لاحظ التشابه مع المجموعة المتناظرة؛ الفرق الوحيد هو إزالة العلاقة${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}$.
V 4 ≅ D 2 ، مجموعة كلاين 4	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{2},(st)^{2}\rangle }$
T ≅ A 4 ، المجموعة رباعية الأوجه	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle }$
O ≅ S 4 ، المجموعة ثمانية السطوح	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle }$
I ≅ A 5 ، المجموعة العشرين السطوح	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle }$
س 8 ، مجموعة الكواتيرنيون	${\displaystyle \langle i,j\mid i^{4},jij=i,iji=j\rangle \,}$	للحصول على عرض بديل، انظر إلى القاموس n أعلاه مع n = 2 .
SL(2, Z )	${\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle }$	من الناحية الطوبولوجية، يمكن تصور a و b على أنهما التواءات ديهن على الطارة
GL(2, Z )	${\displaystyle \langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle }$	Z /2 Z غير تافهة - امتداد المجموعة لـ SL(2, Z )
PSL(2, Z )، المجموعة النمطية	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle }$	PSL(2, Z ) هو الناتج الحر للمجموعتين الحلقيتين Z /2 Z و Z /3 Z
مجموعة هايزنبرغ	${\displaystyle \langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\rangle }$
BS( m , n )، مجموعات باومسلاج-سوليتار	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{n}=ba^{m}b^{-1}\rangle }$
مجموعة من الثديين	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{3},(ab)^{13},[a,b]^{5},[a,bab]^{4},((ab)^{4}ab^{-1})^{6}\rangle }$	[ a , b ] هو المبدل

من الأمثلة على الزمرة المولدة نهائيًا والتي لا تُعرض نهائيًا هو حاصل ضرب الإكليل${\displaystyle \mathbf {Z} \wr \mathbf {Z} }$من مجموعة الأعداد الصحيحة مع نفسها.

نظرية. لكل مجموعة عرض تقديمي.

لتوضيح ذلك، إذا كان لدينا زمرة G ، فلننظر إلى الزمرة الحرة F_{_G} على G. وبحسب الخاصية العامة للزمر الحرة، يوجد تشاكل زمر وحيد φ  : F_{_G} → G يكون تقييده على G هو دالة التطابق. ولتكن K نواة هذا التشاكل. إذن K زمرة طبيعية في F_{_G} ، وبالتالي فهي تساوي إغلاقها الطبيعي، لذا ⟨G | K⟩ = F_{_G} / K. وبما أن دالة التطابق شاملة، فإن φ شاملة أيضًا، لذا بحسب نظرية التشاكل الأولى ، ⟨G | K⟩ ≅ im( φ ) = G. قد يكون هذا العرض غير فعال للغاية إذا كانت كل من G و K أكبر بكثير من اللازم.

نتيجة لذلك. كل مجموعة منتهية لها تمثيل منتهٍ.

يمكن للمرء أن يأخذ عناصر المجموعة كمولدات وجدول كايلي للعلاقات.

لنفترض أن G لها عرض ⟨ S | R ⟩ وأن H لها عرض ⟨ T | Q ⟩ حيث S و T منفصلتان. إذن

• المنتج المجاني G ∗ H له عرض تقديمي ⟨ S , T | R , Q ⟩ ؛
• يُعرَّف حاصل الضرب المباشر G × H بالشكل ⟨ S , T | R , Q , [ S , T ]⟩ ، حيث تعني [ S , T ] أن كل عنصر من S يتبادل مع كل عنصر من T (انظر المُبدِّل )؛ و
• يُعرَّف الناتج شبه المباشر G ⋊ _φ H على النحو التالي: ⟨ S , T | R , Q , { t s t ⁻¹ φ _t ( s ) ⁻¹ | s in S , t in T }⟩ . ^{[ 7 ]}

نقص العرض المحدود ⟨S | R⟩ هو ببساطة | S | − | R | ، ونقص المجموعة G ذات العروض المحدودة، ويرمز له بـ def(G ) ، هو أكبر قيمة للنقص على جميع عروض G. نقص المجموعة المحدودة غير موجب. يمكن توليد مضاعف شور للمجموعة المحدودة G بواسطة −def( G ) من المولدات، وتكون G فعالة إذا كان هذا العدد مطلوبًا. ^{[ 8 ]}

يُحدد تمثيل المجموعة شكلاً هندسياً، وفقاً لنظرية المجموعات الهندسية : لدينا مخطط كايلي ، الذي يمتلك مقياساً يُسمى المقياس اللفظي . وهناك أيضاً ترتيبان ناتجان، هما الترتيب الضعيف وترتيب بروهات ، ومخططات هاس المقابلة لهما . ومن الأمثلة المهمة على ذلك مجموعات كوكسيتر .

علاوة على ذلك، فإن بعض خصائص هذا الرسم البياني ( الهندسة الخشنة ) هي خصائص جوهرية، أي أنها مستقلة عن اختيار المولدات.

• تحول نيلسن
• عرض وحدة دراسية
• عرض أحادي
• تدوين بناء المجموعات
• تحول تيتز

• كوكسيتر، إتش إس إم ؛ موسر، دبليو أو جيه (1980). المولدات والعلاقات للمجموعات المنفصلة . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-09212-9.- يحتوي هذا المرجع المفيد على جداول لعرض جميع المجموعات الصغيرة المنتهية، ومجموعات الانعكاس، وما إلى ذلك.
• جونسون، د. ل. (1997). عروض المجموعات (  الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-58542-2.- طريقة شراير، طريقة نيلسن، العروض الحرة، المجموعات الفرعية وامتدادات HNN، نظرية غولود-شافاريفيتش ، إلخ.
• سيمز، تشارلز سي. (1994). الحساب باستخدام المجموعات المعروضة بشكل محدود (  الطبعة الأولى). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-13507-8.- الخوارزميات الأساسية من علوم الحاسوب النظرية، ونظرية الأعداد الحسابية، والجبر التبادلي الحسابي، وما إلى ذلك.

• دي كورنولييه، إيف . "العرض الجماعي" . عالم الرياضيات .
• المجموعات الصغيرة وعروضها التقديمية على موقع GroupNames