بلاط القاهرة الخماسي

الموسوعة الحرة

في الهندسة ، يُعرف التبليط الخماسي القاهرة بأنه تبليط للمستوى الإقليدي باستخدام خماسيات محدبة متطابقة ، ويتكون من تراكب تبليطين للمستوى باستخدام سداسيات، وقد سُمي بهذا الاسم نسبةً لاستخدامه كنمط رصف في القاهرة . ويُطلق عليه أيضًا اسم شبكة ماكماهون [ 1 ] نسبةً إلى بيرسي ألكسندر ماكماهون ، الذي وصفه في كتابه " هوايات رياضية جديدة " الصادر عام 1921. [ 2 ] وقد أطلق عليه جون هورتون كونواي اسم " الخماسي الرباعي" . [ 3 ]

يمكن لعدد لا نهائي من الأشكال الخماسية المختلفة أن تشكل هذا النمط، وهي تنتمي إلى اثنتين من عائلات الأشكال الخماسية المحدبة الخمس عشرة التي يمكن استخدامها لتبليط المستوى . وتختلف تناظرات هذه الأشكال، لكن جميعها متناظرة حول أوجهها. أحد أشكال التبليط، وهو الشكل الثنائي لتبليط المربع المقطوع ، يتميز ببلاطات ذات أصغر محيط ممكن بين جميع أشكال التبليط الخماسية. أما الشكل الآخر، الذي يتكون من تراكب شكلين سداسيين منتظمين فوق شكلين مسطحين، فهو الشكل المستخدم في القاهرة، ويتميز بأن كل ضلع فيه يقع على استقامة واحدة مع عدد لا نهائي من الأضلاع الأخرى.

في مجال العمارة، وبعيداً عن القاهرة، استُخدم بلاط القاهرة في العمارة المغولية في الهند خلال القرن الثامن عشر، وفي قاعة لايزهال الألمانية في أوائل القرن العشرين ، وفي العديد من المباني والمنشآت الحديثة. كما دُرِسَ كبنية بلورية ، ويظهر في أعمال الفنان إم سي إيشر .

الهيكل والتصنيف

إن اتحاد جميع حواف تبليط القاهرة هو نفسه اتحاد تبليطين للمستوى باستخدام سداسيات . يحيط كل سداسي من أحد التبليطين برأسين من التبليط الآخر، وينقسم بواسطة سداسيات التبليط الآخر إلى أربعة من الخماسيات في تبليط القاهرة. [ 4 ] يمكن لعدد لا نهائي من الخماسيات المختلفة أن تُشكّل تبليطات القاهرة، جميعها بنفس نمط التجاور بين البلاطات وبنفس التقسيم إلى سداسيات، ولكن بأطوال حواف وزوايا وتناظرات مختلفة. يمكن تجميع الخماسيات التي تُشكّل هذه التبليطات في مجموعتين لا نهائيتين مختلفتين، مُستمدتين من 15 مجموعة من الخماسيات المحدبة التي يمكنها تبليط المستوى ، [ 5 ] ومجموعات الخماسيات الخمس التي اكتشفها كارل راينهارت عام 1918 والتي يمكنها تبليط المستوى بشكل متساوي الأوجه (جميع البلاطات متناظرة مع بعضها البعض). [ 6 ]

إحدى هاتين المجموعتين تتكون من أشكال خماسية لها زاويتان قائمتان غير متجاورتين ، حيث يلتقي ضلعان متساويان في الطول عند كل زاوية قائمة. أي شكل خماسي يحقق هذه الشروط يُغطي المستوى بنسخ، تدور كل منها بزاوية قائمة عند الزوايا القائمة المختارة. عند أضلاع الشكل الخماسي غير المتجاورة مع إحدى هاتين الزاويتين القائمتين، تلتقي قطعتان، تدوران بزاوية 180 درجة بالنسبة لبعضهما البعض. والنتيجة هي تبليط متساوي الأوجه، مما يعني أنه يمكن تحويل أي شكل خماسي في التبليط إلى أي شكل خماسي آخر عن طريق تناظر التبليط. غالبًا ما تُصنف هذه الأشكال الخماسية وتبليطها تحت مسمى "النوع 4" في قائمة أنواع الأشكال الخماسية التي يمكن استخدامها في التبليط. [ 4 ] بالنسبة لأي نوع من أنواع تبليط القاهرة من النوع 4، يمكن أيضًا تغطية سطح مكعب باثنتي عشرة بلاطة متطابقة، مع طي بلاطة واحدة عبر كل حافة من حواف المكعب، وتلاقي ثلاث زوايا قائمة من البلاطات عند كل رأس من رؤوس المكعب، لتشكيل نفس البنية التوافقية للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم . [ 7 ] [ 8 ]

أما المجموعة الأخرى من الخماسيات التي تُشكّل تبليط القاهرة، فهي خماسيات لها زاويتان متكاملتان عند رؤوس غير متجاورة، ولكل منهما نفس طول الضلعين المتصلين بها. في تبليطها، تتبادل الرؤوس ذات الزوايا المتكاملة حول كل رأس من الدرجة الرابعة. لا تُدرج الخماسيات التي تستوفي هذه الشروط عادةً ضمن مجموعات الخماسيات الخمس عشرة التي تُستخدم في التبليط؛ بل هي جزء من مجموعة أكبر من الخماسيات (الخماسيات من النوع الثاني) التي تُبلّط المستوى بشكل متساوي الأوجه بطريقة مختلفة. [ 4 ]

تتكون بلاطات القاهرة المتناظرة ثنائياً من أشكال خماسية تنتمي إلى كل من النوعين 2 و4. [4] ويمكن اعتبار نمط رصف الطوب المتشابك حالةً متدهورةً من بلاطات القاهرة المتناظرة ثنائياً، حيث يتكون كل طوبة (أ) من خماسيات تنتمي إلى كل من النوعين 2 و4. [ 4 ] ويمكن اعتبار نمط رصف الطوب المتشابك حالةً متدهورةً من بلاطات القاهرة المتناظرة ثنائياً، حيث يتكون كل طوبة (أ) من خماسيات تنتمي إلى كل من النوعين 2 و4.1×2{\displaystyle 1\times 2}[ 9 ] المستطيل) يُفسر على أنه شكل خماسي ذو أربع زوايا قائمة وزاوية واحدة قياسها 180 درجة.

من الممكن تعيين إحداثيات نصف عددية سداسية الأبعاد للمضلعات الخماسية في التبليط، بحيث يكون عدد الخطوات بين أي مضلعين خماسيين مساويًا للمسافة L1 بين إحداثياتهما. يمكن تجميع الإحداثيات الست لكل مضلع خماسي في مجموعتين ثلاثيتين من الإحداثيات، حيث تعطي كل مجموعة إحداثيات مضلع سداسي في نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد مماثل لكل من تبليطي المضلعات السداسية المتراكبين. [ 10 ] عدد البلاطات التيأنا{\displaystyle i}خطوات على بعد أي بلاطة معينة، لـأنا=0،1،2،...{\displaystyle i=0,1,2,\dots }، يتم تحديده بواسطة تسلسل التنسيق1،5،11،16،21،27،32،37،...{\displaystyle 1,5,11,16,21,27,32,37,\dots } حيث يختلف كل حد، بعد الحدود الثلاثة الأولى، بمقدار 16 عن الحد الذي يسبقه بثلاث خطوات في التسلسل. ويمكن تعريف تسلسلات تنسيق مماثلة لرؤوس التبليط بدلاً من بلاطاته، ولكن نظرًا لوجود نوعين من الرؤوس (من الدرجة الثالثة والدرجة الرابعة)، ينتج عن ذلك تسلسلان تنسيقيان مختلفان. تسلسل الدرجة الرابعة هو نفسه المستخدم في الشبكة المربعة . [ 11 ] [ 12 ]

حالات خاصة

تبليط كاتالونيا

بلاط القاهرة كبديل لبلاط المربع القصير
هندسة الخماسيات لتبليط المربع المزدوج المقطوع

يُعدّ تبليط المربع المقطوع ، المُكوّن من مربعين وثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع حول كل رأس، تبليطًا ثنائي التناظر يُسمى تبليط القاهرة . [ 13 ] يُمكن تكوين تبليط القاهرة من تبليط المربع المقطوع بوضع رأس من تبليط القاهرة في مركز كل مربع أو مثلث من تبليط المربع المقطوع، وربط هذه الرؤوس بأضلاع عندما تأتي من مربعات متجاورة. [ 14 ] يُمكن رسم أشكاله الخماسية حول دائرة . ولها أربعة أضلاع طويلة وضلع قصير واحد بأطوال بنسبة1:3-1{\displaystyle 1:{\sqrt {3}}-1}تشكل زوايا هذه الأشكال الخماسية التسلسل 120°، 120°، 90°، 120°، 90°. [ 15 ]

يُعدّ تبليط المربع المقطوع تبليطًا أرخميدسيًا ، وباعتباره الشكل الثنائي للتبليط الأرخميدسي، يُعرف هذا الشكل من تبليط القاهرة الخماسي بالتبليط الكاتالوني أو تبليط لافيس. [ 14 ] وهو أحد نوعين من التبليط الخماسي أحادي السطوح، اللذين يُقلّلان محيط البلاطات إلى أدنى حدّ عندما تكون مساحة البلاطات وحدة واحدة. أما النوع الآخر فهو أيضًا تبليط بخماسيات محيطة ذات زاويتين قائمتين وثلاث زوايا قياسها 120 درجة، ولكن مع تجاور الزاويتين القائمتين؛ كما توجد أيضًا تبليطات لا حصر لها تتكون من دمج كلا النوعين من الخماسيات. [ 15 ]

بلاط ذو حواف متوازية

الشكل الخطي للتبليط الخماسي في القاهرة
شكل خطي من تبليط القاهرة، مع خماسيات ذات إحداثيات صحيحة، يتكون من تسطيح تبليطين سداسيين منتظمين متعامدين في اتجاهات متعامدة

أشكال خماسية ذات إحداثيات رؤوس صحيحة(±2،0){\displaystyle (\pm 2,0)}،(±3،3){\displaystyle (\pm 3,3)}، و(0،4){\displaystyle (0,4)}، بأربعة أضلاع متساوية أقصر من الضلع المتبقي بنسبة10:4{\displaystyle {\sqrt {10}}:4}، تشكل تبليطًا للقاهرة يمكن تشكيل تبليطيه السداسيين عن طريق تسطيح تبليطين متعامدين بواسطة سداسيات منتظمة في اتجاهات متعامدة، بنسبة3{\displaystyle {\sqrt {3}}}يرث هذا الشكل من تبليط القاهرة خاصية التبليط بواسطة السداسيات المنتظمة (دون تغيير بفعل التسطيح)، وهي أن كل ضلع يقع على استقامة واحدة مع عدد لا نهائي من الأضلاع الأخرى. [ 9 ] [ 16 ]

بلاطات ذات أطوال جانبية متساوية

لا يمكن للمضلع الخماسي المنتظم أن يشكل تبليطًا وفقًا لنمط القاهرة، لأنه لا يغطي السطح بالكامل دون فراغات. يوجد مضلع خماسي متساوي الأضلاع فريد من نوعه يمكنه تشكيل تبليط من النوع الرابع وفقًا لنمط القاهرة؛ إذ يمتلك خمسة أضلاع متساوية، لكن زواياه غير متساوية، وتبليطه متناظر ثنائيًا. [ 4 ] [ 13 ] ويمكن لعدد لا نهائي من المضلعات الخماسية متساوية الأضلاع الأخرى أن تشكل تبليطًا من النوع الثاني وفقًا لنمط القاهرة. [ 4 ]

التطبيقات

رُصفت عدة شوارع في القاهرة بنمط البلاط الخطي المعروف باسم بلاط القاهرة؛ [ 9 ] [ 17 ] وهذا الاستخدام هو أصل تسمية هذا البلاط. [ 18 ] [ 19 ] وحتى عام 2019، كان لا يزال بالإمكان رؤية هذا النمط كزخرفة سطحية للبلاط المربع بالقرب من جسر قصر النيل ومحطة مترو البهوس ؛ كما يمكن رؤية نسخ أخرى من هذا البلاط في أماكن أخرى من المدينة. [ 20 ] وقد ذكر بعض المؤلفين، بمن فيهم مارتن غاردنر، أن هذا النمط يُستخدم على نطاق أوسع في العمارة الإسلامية ، وعلى الرغم من أن هذا الادعاء يبدو أنه مبني على سوء فهم، إلا أن أنماطًا تُشبه بلاط القاهرة ظاهرة على ضريح اعتماد الدولة في الهند الذي يعود إلى القرن السابع عشر، كما عُثر على بلاط القاهرة نفسه على مشربية مغولية من القرن السابع عشر . [ 16 ]

يُعدّ كتابٌ عن تصميم المنسوجات يعود تاريخه إلى عام 1906 من أوائل المنشورات التي تناولت بلاط القاهرة كنمطٍ زخرفي. [ 21 ] وقدّم المخترع إتش سي مور براءة اختراع أمريكية لبلاطٍ يحمل هذا النمط في عام 1908. [ 22 ] وفي الوقت نفسه تقريبًا، ابتكرت شركة فيليروي آند بوخ مجموعةً من بلاط الأرضيات الخزفي بنمط بلاط القاهرة، استُخدمت في بهو قاعة لايزهال في هامبورغ ، ألمانيا. وقد استُخدم بلاط القاهرة كنمطٍ زخرفي في العديد من التصاميم المعمارية الحديثة؛ فعلى سبيل المثال، رُصفت شوارع وسط مدينة هورشولم ، الدنمارك، بهذا النمط، كما استُخدم في مركز زاميت الرياضي في كرواتيا، حيثُ طُليت جدرانه الخارجية وبلاط أرضياته. [ 16 ]

في علم البلورات ، دُرست هذه البنية البلورية منذ عام ١٩١١ على الأقل. [ ٢٣ ] وقد اقتُرحت كبنية لبلورات الهيدرات الطبقية ، [ ٢٤ ] وبعض مركبات البزموت والحديد ، [ ٢٥ ] والبنتاغرافين ، وهو مركب افتراضي من الكربون النقي . في بنية البنتاغرافين ، تُشكل حواف البنية البلورية المتصلة برؤوس الدرجة الرابعة روابط أحادية ، بينما تُشكل الحواف المتبقية روابط ثنائية . في شكله المهدرج ، البنتاغرافان، تكون جميع الروابط أحادية، وترتبط ذرات الكربون عند رؤوس الدرجة الثالثة في البنية برابطة رابعة مع ذرات الهيدروجين. [ ٢٦ ]

وُصِفَ نمط التبليط في القاهرة بأنه أحد "الأنماط الهندسية المفضلة" لدى إم سي إيشر . [ 7 ] وقد استخدمه كأساس لرسمه "الأصداف ونجم البحر " (1941)، وفي قسم النحل على الزهور من لوحته " التحول الثالث" (1967-1968)، وفي العديد من الرسومات الأخرى من الفترة نفسها. كما استُخدمت صورة لهذا النمط كغلاف للطبعة الأولى من كتاب إتش إس إم كوكسيتر " المضلعات المعقدة المنتظمة" (1974) . [ 4 ] [ 16 ]

مراجع

  1. ↑ أوكيف، م.؛ هايد، ب. ج. (1980)، "الشبكات المستوية في كيمياء البلورات"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، العلوم الرياضية والفيزيائية ، 295 (1417): 553-618 ، رمز Bibcode : 1980RSPTA.295..553O ، doi : 10.1098/rsta.1980.0150 ، JSTOR 36648 ، S2CID 121456259  .
  2. ↑ ماكماهون، الرائد ب.أ. (1921)، هوايات رياضية جديدة ، مطبعة الجامعة، ص 101 
  3. ↑ كونواي، جون هـ .؛ بورجيل، هايدي؛ غودمان-ستراوس، حاييم (2008)، تناظرات الأشياء ، إيه كيه بيترز، ص 288 ، رقم ISBN  978-1-56881-220-5
  4. 1 2 3 4 5 6 7 شاتشنايدر، دوريس (1978)، "تبليط المستوى بخماسيات متطابقة" ، مجلة الرياضيات ، 51 (1): 29-44 ، doi : 10.1080/0025570X.1978.11976672 ، JSTOR 2689644 ، MR 0493766 ، مؤرشف من الأصل في 16-10-2022 ، تم استرجاعه في 13-12-2020  
  5. ↑ راو، مايكل (2017)، بحث شامل عن الخماسيات المحدبة التي تبلط المستوى (ملف PDF) ، arXiv : 1708.00274
  6. ^ رينهاردت، كارل (1918)، Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (أطروحة دكتوراه) (في الألمانية)، بورنا-لايبزيغ: Druck von Robert Noske، “Vierter Typus”، ص. 78، والشكل 24، ص. 81
  7. 1 2 شاتشنايدر، دوريس ؛ ووكر، والاس (1977)، "المجسم ذو الاثني عشر وجهًا"، سلسلة كاليدوسيكلز لإيشر ، كتب بالانتين، ص 22 أعيد طبعه بواسطة دار تاشن للنشر، 2015
  8. ↑ توماس، بي جي؛ هان، إم إيه (2008)، "النمذجة بالإسقاط: تبليط المجسم ذي الاثني عشر وجهًا والأشكال الصلبة الأخرى" ، في سارهانجي، رضا؛ سيكوين، كارلو إتش (محرران)، جسور ليواردن: الرياضيات، الموسيقى، الفن، العمارة، الثقافة ، لندن: منشورات تاركوين، ص 101-108 ، ISBN  978-0-9665201-9-4
  9. 1 2 3 ماكميلان، آر إتش (ديسمبر 1979)، "الأهرامات والأرصفة: بعض الأفكار من القاهرة"، المجلة الرياضية ، 63 (426): 251-255 ، doi : 10.2307/3618038 ، JSTOR 3618038 ، S2CID 125608794  
  10. ↑ كوفاتش، جيرجيلي؛ ناجي، بينيديك؛ تورجاي، نشت دينيز (مايو 2021)، "المسافة في نمط القاهرة"، رسائل التعرف على الأنماط ، 145 : 141-146 ، Bibcode : 2021PaReL.145..141K ، doi : 10.1016/j.patrec.2021.02.002 ، S2CID 233375125 
  11. ↑ متواليات الإحداثيات لتبليط القاهرة الخماسي في الموسوعة الإلكترونية لمتواليات الأعداد الصحيحة : A219529 للخماسيات، و A296368 للرؤوس من الدرجة الثالثة، و A008574 للرؤوس من الدرجة الرابعة، تم استرجاعها في 17-06-2021
  12. ↑ غودمان-ستراوس، سي.؛ سلون، إن. جيه. إيه. (2019)، "نهج كتاب التلوين لإيجاد تسلسلات التنسيق" (ملف PDF) ، مجلة أكتا كريستالوغرافيكا، القسم أ ، 75 (1): 121-134 ، arXiv : 1803.08530 ، doi : 10.1107/s2053273318014481 ، MR 3896412 ، PMID 30575590 ، S2CID 4553572 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 17 فبراير 2022 ، تم استرجاعه بتاريخ 18 يونيو 2021   
  13. 1 2 روليت، أ.ب. (سبتمبر 1955)، "2530. تبليط خماسي الأضلاع"، ملاحظات رياضية، المجلة الرياضية ، 39 (329): 209، doi : 10.2307/3608750 ، JSTOR 3608750 ، S2CID 250439435  
  14. 1 2 ستويرر، والتر؛ دشيموشادزه، جوليا (2016)، المركبات بين الفلزية: البنى والخواص والإحصاءات ، سلسلة دراسات الاتحاد الدولي لعلم البلورات، المجلد 26، مطبعة جامعة أكسفورد، ص 42، ISBN   978-0-19-102392-7
  15. 1 2 تشونغ، بينج نجاي؛ فرنانديز، ميغيل أ. لي، ييفي؛ مارا، مايكل. مورغان, فرانك ; بلاتا، إيزامار روزا؛ شاه، نيرالي؛ فييرا، لويس سوردو؛ Wikner، Elena (2012)، “Isoperimetric pentagonal tilings”، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 59 (5): 632–640 ، أرخايف : 1111.6161 ، دوى : 10.1090 / noti838 ، السيد 2954290 
  16. 1 2 3 4 بيلي، ديفيد، "تبليط القاهرة" ، عالم ديفيد بيلي من التبليطات الشبيهة بأعمال إيشر ، مؤرشف من الأصل في 2020-12-03 ، تم استرجاعه في 2020-12-06
  17. ↑ دان، جيه إيه (ديسمبر 1971)، "التبليط باستخدام الخماسيات"، المجلة الرياضية ، 55 (394): 366-369 ، doi : 10.2307/3612359 ، JSTOR 3612359 ، S2CID 118680100  على الرغم من أن دان يكتب أن الشكل متساوي الأضلاع للتبليط قد تم استخدامه في القاهرة، إلا أن هذا يبدو خطأً.
  18. ↑ ألسينا، كلاودي؛ نيلسن، روجر ب. (2010)، براهين ساحرة: رحلة في عالم الرياضيات الأنيقة ، سلسلة دولسياني للعروض الرياضية، المجلد 42، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 164، ISBN   978-0-88385-348-1.
  19. ↑ مارتن، جورج إدوارد (1982)، هندسة التحويل: مقدمة في التناظر ، نصوص جامعية في الرياضيات ، سبرينغر، ص 119، ISBN  978-0-387-90636-2.
  20. ↑ مورغان، فرانك (2019)، "مهمتي السرية للعثور على تبليطات القاهرة"، مجلة الرياضيات ، 41 (3): 19-22 ، doi : 10.1007/s00283-019-09906-7 ، MR 3995312 ، S2CID 198468426  
  21. ↑ نيسبيت، هاري (1906)، قواعد تصميم النسيج ، لندن: سكوت، غرينوود وأبناؤه، ص 101 
  22. ↑ مور، إتش سي (20 يوليو 1909)، بلاط (براءة اختراع أمريكية رقم 928320)
  23. ^ Haag، F. (1911)، “Die regelmäßigen Planteilungen”، Zeitschrift für Kristallographie، Kristallgeometrie، Kristallphysik، Kristallchemie ، 49 : 360–369 ، HDL : 2027/uc1.b3327994انظر على وجه الخصوص الشكلين 2ب، صفحة 361، و4أ، صفحة 363.
  24. ↑ بانارو، أ.م.؛ بانارو، ج.أ. (أغسطس 2011)، "تبليط القاهرة وطوبولوجيا الهيدرات الطبقية"، نشرة الكيمياء بجامعة موسكو ، 66 (3)، المقالة 159، doi : 10.3103/S0027131411030023 ، S2CID 96002269 
  25. ↑ ريسوش، إي.؛ سيمونيه، ف.؛ كانالز، ب.؛ غوسبودينوف، م.؛ سكومرييف، ف. (ديسمبر 2009)، "الإحباط المغناطيسي في شبكة خماسية كايرو قائمة على الحديد" ، رسائل المراجعة الفيزيائية ، 103 (26) 267204، arXiv : 1001.0710 ، Bibcode : 2009PhRvL.103z7204R ، doi : 10.1103/physrevlett.103.267204 ، PMID 20366341 ، S2CID 20752605  
  26. ↑ تشانغ، شونهونغ؛ تشو، جيان؛ وانغ، تشيان؛ تشن، شياوشوانغ؛ كاوازوي، يوشيوكي؛ جينا، بورو (فبراير 2015)، "البنتاغرافين: شكل جديد من أشكال الكربون"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 112 (8): 2372-2377 ، Bibcode : 2015PNAS..112.2372Z ، doi : 10.1073/pnas.1416591112 ، PMC 4345574 ، PMID 25646451