نظريات تغيير القاعدة

إذا كان X فضاءً طوبولوجيًا هاوسدورفيًا ، فإن S فضاء هاوسدورفي متراص محليًا، و f دالة مغلقة عالميًا (أي،${\displaystyle X\times _{S}T\to T}$هي خريطة مغلقة لأي خريطة متصلة${\displaystyle T\to S}$ثم خريطة تغيير الأساس

${\displaystyle g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

هو تماثل. ^{[ 2 ]} في الواقع، لدينا: لـ${\displaystyle s\in S}$،

${\displaystyle (R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}$

وهكذا بالنسبة لـ${\displaystyle s=g(t)}$

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}$

لترميز جميع الدوال المشتقة العليا الفردية لـ${\displaystyle f_{*}}$ويمكن إعادة صياغة العبارة أعلاه، في كيان واحد، بالقول إن خريطة تغيير الأساس

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

هو شبه تماثل .

لقد تم إضعاف الافتراضات القائلة بأن المساحات المعنية هي هاوسدورف بواسطة شنورر وسورجيل (2016) .

قام لوري (2009) بتوسيع النظرية المذكورة أعلاه لتشمل علم التماثل غير التبديلي للحزم ، أي الحزم التي تأخذ قيمًا في مجموعات تبسيطية (على عكس المجموعات التبديلية ). ^{[ 3 ]}

إذا لم تكن الدالة f مغلقة، فإن دالة تغيير الأساس لا يلزم أن تكون متماثلة، كما يوضح المثال التالي (الدوال هي عمليات التضمين القياسية)  :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}$

من جهة${\displaystyle f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$دائمًا ما تكون قيمتها صفرًا، ولكن إذا${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هو نظام محلي على${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$وهو ما يتوافق مع تمثيل المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(X)}$(وهو متماثل مع Z )، إذن${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}}$يمكن حسابها كثوابت لفعل المونودرومي لـ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$على الساق${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$(لأي${\displaystyle x\neq 0}$)، والتي لا يجب أن تختفي.

للحصول على نتيجة تغيير الأساس، الدالة${\displaystyle f_{*}}$يجب استبدال (أو الدالة المشتقة منها) بالصورة المباشرة ذات الدعم المضغوط${\displaystyle Rf_{!}}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f:X\to S}$هل المقصود هو تضمين مجموعة فرعية مفتوحة، كما في المثال أعلاه؟${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$هو الامتداد بمقدار صفر، أي أن سيقانه معطاة بواسطة

${\displaystyle (Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}}$

بشكل عام، هناك خريطة${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}}$وهو شبه تماثل إذا كانت f دالة مناسبة، ولكن ليس بشكل عام. وتعمم نظرية تغيير الأساس المناسبة المذكورة أعلاه ما يلي: يوجد شبه تماثل ^{[ 4 ].}

${\displaystyle g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.}$

تنطبق نظريات تغيير القاعدة المناسبة للحزم شبه المتماسكة في الحالة التالية:${\displaystyle f:X\to S}$هو تشاكل صحيح بين المخططات النويثرية ، و${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هي حزمة متماسكة مسطحة فوق S (أي ،${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$مسطح بالكامل​${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,f(x)}}$في هذه الحالة، تنطبق العبارات التالية: ^{[ 5 ]}

• "نظرية شبه الاستمرارية":
  • لكل${\displaystyle p\geq 0}$، الوظيفة${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }$هي شبه متصلة علوية .
  • الوظيفة${\displaystyle s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})}$ثابت محليًا، حيث${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})}$يشير إلى خاصية أويلر .
• " نظرية غراورت ": إذا كانت S مختزلة ومتصلة ، فإنه لكل${\displaystyle p\geq 0}$ما يلي متكافئ
  • ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$ثابت.
  • ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$مجاني محليًا والخريطة الطبيعية

${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

هو تماثل لجميع${\displaystyle s\in S}$.

علاوة على ذلك، إذا تحققت هذه الشروط، فإن الخريطة الطبيعية

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

هو تماثل لجميع${\displaystyle s\in S}$.

• إذا كان، بالنسبة لبعض قيم p ،${\displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0}$للجميع${\displaystyle s\in S}$ثم الخريطة الطبيعية

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

هو تماثل لجميع${\displaystyle s\in S}$.

كما ساق الحزمة${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بتماثل ألياف النقطة تحت f ، ويمكن إعادة صياغة هذه العبارة بالقول إن "التماثل يتبادل مع امتداد القاعدة". ^{[ 6 ]}

تُثبت هذه العبارات باستخدام الحقيقة التالية، بالإضافة إلى الافتراضات المذكورة أعلاه.${\displaystyle S=\operatorname {Spec} A}$يوجد مجمع محدود${\displaystyle 0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0}$من وحدات A- إسقاطية مولدة بشكل محدود وتماثل طبيعي للدوال

${\displaystyle H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0}$

في فئة${\displaystyle A}$الجبر.

خريطة تغيير القاعدة

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

هو تماثل لحزمة شبه متماسكة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(على${\displaystyle X}$بشرط أن تكون الخريطة${\displaystyle g:S'\rightarrow S}$مسطحة ( إلى جانب عدد من الشروط التقنية: يجب أن يكون f تشاكلًا منفصلاً من النوع المحدود ، ويجب أن تكون المخططات المعنية نوثرية). ^{[ 7 ]}

توفر الهندسة الجبرية المشتقة وسيلة للتخلي عن فرضية التسطيح، شريطة أن يكون السحب للخلف${\displaystyle X'}$يتم استبدالها بالسحب التماثلي . في أبسط الحالات عندما تكون X و S و${\displaystyle S'}$إذا كانت متماثلة (بالترميز المذكور أعلاه)، فإن سحب التماثل العكسي يُعطى بواسطة حاصل الضرب الموتري المشتق

${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)}$

ثم، بافتراض أن المخططات (أو، بشكل أعم، المخططات المشتقة) المعنية شبه متراصة وشبه منفصلة، ​​فإن التحويل الطبيعي

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}}$

هو شبه تماثل لأي حزمة شبه متماسكة، أو بشكل أعم، لمجموعة من الحزم شبه المتماسكة. ^{[ 9 ]} إن نتيجة تغيير القاعدة المسطحة المذكورة أعلاه هي في الواقع حالة خاصة، لأنه بالنسبة لـ g مسطحة، فإن سحب التماثل (المعطى محليًا بواسطة حاصل ضرب موتر مشتق) يتوافق مع السحب العادي (المعطى محليًا بواسطة حاصل ضرب موتر غير مشتق)، ولأن السحب على طول الخرائط المسطحة g و g' مشتق تلقائيًا (أي،${\displaystyle Lg^{*}=g^{*}}$). كما تصبح الافتراضات المساعدة المتعلقة باستقلال تور أو سعة تور في نظرية تغيير الأساس السابقة غير ضرورية.

في الشكل أعلاه، تم توسيع تغيير القاعدة بواسطة Ben-Zvi و Francis & Nadler (2010) إلى الحالة التي تكون فيها X و S و S' عبارة عن أكوام (ربما مشتقة) ، بشرط أن تكون الخريطة f خريطة مثالية (والتي تشمل الحالة التي تكون فيها f خريطة شبه مضغوطة وشبه منفصلة للمخططات، ولكنها تشمل أيضًا أكوامًا أكثر عمومية، مثل مكدس التصنيف BG لمجموعة جبرية في خاصية الصفر).

ينطبق تغيير الأساس الصحيح أيضًا في سياق المشعبات المعقدة والفضاءات التحليلية المعقدة . ^{[ 10 ]} تُعد نظرية الدوال الصورية شكلاً مختلفًا من تغيير الأساس الصحيح، حيث يتم استبدال عملية السحب الخلفي بعملية إكمال .

إن مبدأ الميزان ونظرية المكعب ، وهما من الحقائق الأساسية في نظرية الأصناف الأبيلية ، هما نتيجة لتغيير الأساس المناسب. ^{[ 11 ]}

ينطبق تغيير الأساس أيضًا على وحدات D : إذا كانت X و S و X' و S' أصنافًا ملساء (لكن f و g ليس بالضرورة أن تكون مسطحة أو فعلية، إلخ)، فهناك شبه تماثل

${\displaystyle g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},}$

أين${\displaystyle -^{\dagger }}$و${\displaystyle \int }$^{[ 12 ]} تشير إلى الدوال العكسية والمباشرة للصورة لوحدات D.

على غرار الوضع الطوبولوجي المذكور أعلاه، فإن خريطة تغيير القاعدة لغمر مفتوح f ،

${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

لا يكون عادةً تماثلاً. ^{[ 15 ]} بدلاً من ذلك، يكون التمديد بواسطة الدالة الصفرية${\displaystyle f_{!}}$يحقق تماثلًا

${\displaystyle g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.}$

تشير هذه الحقيقة والتغيير الأساسي المناسب إلى تعريف دالة الصورة المباشرة ذات الدعم المضغوط للخريطة f بواسطة

${\displaystyle Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}}$

أين${\displaystyle f=p\circ j}$هي عملية تكثيف للدالة f ، أي تحليل إلى غمر مفتوح متبوعًا بتطبيق مناسب. يلزم استخدام نظرية تغيير القاعدة المناسبة لإثبات أن هذه العملية مُعرَّفة جيدًا، أي مستقلة (حتى التشاكل) عن اختيار عملية التكثيف. علاوة على ذلك، قياسًا على حالة الحزم على الفضاء الطوبولوجي، توجد صيغة لتغيير القاعدة لـ${\displaystyle g_{*}}$مقابل${\displaystyle Rf_{!}}$ينطبق هذا على الخرائط غير المناسبة f .

للخريطة الهيكلية${\displaystyle f:X\to S=\operatorname {Spec} k}$بالنسبة لمخطط على حقل k ، فإن التماثلات الفردية لـ${\displaystyle Rf_{!}({\mathcal {F}})}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})}$يُشار إليها باسم علم التماثل ذي الدعم المدمج . وهي شكل مهم من أشكال علم التماثل الإيتالي المعتاد .

تُستخدم أفكار مماثلة أيضًا لبناء نظير للدالة${\displaystyle Rf_{!}}$في نظرية ^{التماثل} A1 . ^{[ 16 ] [ 17 ]}