كارل جورج كريستيان فون ستودت

كان كارل جورج كريستيان فون شتاودت (24 يناير 1798 - 1 يونيو 1867) عالم رياضيات ألماني استخدم الهندسة التركيبية لتوفير أساس للحساب.

وُلد كارل في مدينة روتنبورغ الإمبراطورية الحرة، والتي تُعرف اليوم باسم روتنبورغ أوب دير تاوبر في ألمانيا. درس في مدرسة أوسباخ الثانوية عام 1814، ثم التحق بجامعة غوتنغن من عام 1818 إلى عام 1822 ، حيث تتلمذ على يد غاوس، مدير المرصد آنذاك. قدّم شتاودت جداول مدارات المريخ والكويكب بالاس . وعندما رُصد المذنب نيكوليه بونس عام 1821، قدّم عناصر مداره . هذه الإنجازات في علم الفلك أهلته لنيل درجة الدكتوراه من جامعة إرلانغن عام 1822.

بدأ ستودت حياته المهنية كمدرس في مدرسة ثانوية في فورتسبورغ حتى عام 1827 ثم في نورمبرغ حتى عام 1835. تزوج من جانيت دريشلر في عام 1832. أنجبا ابناً اسمه إدوارد وابنة اسمها ماتيلدا، لكن جانيت توفيت في عام 1848.

كان كتاب "هندسة الإسقاط" (1847) علامة فارقة في الهندسة الإسقاطية . كما كتب بوراو (1976):

كان ستودت أول من تبنى منهجاً دقيقاً تماماً. فجميع من سبقوه، دون استثناء، كانوا يتحدثون عن المسافات والأعمدة والزوايا وغيرها من الكيانات التي لا تلعب أي دور في الهندسة الإسقاطية. ^{[ 1 ]}

علاوة على ذلك، يستخدم هذا الكتاب (الصفحة 43) الشكل الرباعي الكامل "لإنشاء التوافقي الرابع المرتبط بثلاث نقاط على خط مستقيم"، وهو المرافق التوافقي الإسقاطي .

في الواقع، قام ماريو بييري بترجمة أعمال فون شتاودت عام 1889 ، قبل أن يؤلف كتابه "مبادئ هندسة المواضع المركبة في نظام منطقي-إسقاطي" (1898). وفي عام 1900، أعادت شارلوت سكوت من كلية برين ماور صياغة جزء كبير من أعمال فون شتاودت باللغة الإنجليزية لمجلة "ذا ماثيماتيكال غازيت" . ^{[ 2 ]} وعندما نشر فيلهلم بلاشكه كتابه المدرسي "الهندسة الإسقاطية" عام 1948، وُضعت صورة لكارل الشاب مقابل المقدمة .

تجاوز شتاودت الهندسة الإسقاطية الحقيقية ودخل في الفضاء الإسقاطي المعقد في مجلداته الثلاثة من Beiträge zur Geometrie der Lage التي نُشرت من عام 1856 إلى عام 1860.

في عام 1922 كتب إتش إف بيكر عن عمل فون ستودت:

كان فون شتاودت هو من سعى بوعي إلى إلغاء فكرتي المسافة والتطابق، ولولا عمل كايلي وكلاين على النظرية الإسقاطية للمسافة، لكان إدراك أهمية ذلك قد تأخر كثيرًا. وبتعميم أعمال فون شتاودت، ودمجها مع أطروحة ريمان اللاحقة، تُعتبر هذه الأعمال أساسًا لما قد تصبح عليه نظرية النسبية في الفيزياء من الناحية الهندسية. ^{[ 3 ]}

يُذكر فون شتاودت أيضاً بنظرته إلى القطوع المخروطية وعلاقة القطب بالقطبية :

توصل فون شتاودت إلى اكتشاف هام مفاده أن العلاقة التي يُنشئها القطع المخروطي بين الأقطاب والمتجهات القطبية هي في الواقع أكثر جوهرية من القطع المخروطي نفسه، ويمكن تحديدها بشكل مستقل. ويمكن استخدام هذه "القطبية" لتعريف القطع المخروطي، بطريقة متناظرة تمامًا وذاتية التناظر مباشرة: فالقطع المخروطي هو ببساطة المحل الهندسي للنقاط التي تقع على متجهاتها القطبية، أو غلاف الخطوط التي تمر عبر أقطابها. ويُشابه تناول فون شتاودت للأسطح التربيعية هذا المفهوم، ولكن في ثلاثة أبعاد. ^{[ 4 ]}

في عام 1857، وفي كتابه الثاني "Beiträge" ، قدّم فون شتاودت منهجًا للأعداد من خلال الهندسة يُعرف باسم " جبر الرميات" ( بالألمانية : Wurftheorie ). يعتمد هذا المنهج على المدى الإسقاطي وعلاقة المرافقات التوافقية الإسقاطية . ومن خلال عمليات جمع وضرب النقاط، نحصل على "جبر النقاط"، كما هو موضح في الفصل السادس من كتاب فيبلين ويونغ عن الهندسة الإسقاطية. يعتمد العرض المعتاد على النسبة التبادلية ( CA,BD ) لأربع نقاط تقع على خط مستقيم واحد. على سبيل المثال، كتب كوليدج: ^{[ 5 ]}

كيف نجمع مسافتين؟ نبدأ بنقطة بداية واحدة، ثم نجد النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين نقطتي النهاية، أي المرافق التوافقي لللانهاية بالنسبة إلى نقطتي النهاية، ثم نجد المرافق التوافقي لنقطة البداية بالنسبة إلى نقطة المنتصف هذه واللانهاية. بتعميم ذلك، إذا أردنا جمع المسافتين ( CA,BD ) و( CA,BD' )، نجد M المرافق التوافقي لـ C بالنسبة إلى D و D' ، ثم نجد S المرافق التوافقي لـ A بالنسبة إلى C و M. 

${\displaystyle (CA,BD)+(CA,BD')=(CA,BS).\ }$

وبالمثل، يمكننا إيجاد تعريف لحاصل ضرب عددين. بما أن حاصل ضرب عددين يحمل نفس النسبة إلى أحدهما كما يحملها الآخر إلى الواحد، فإن نسبة عددين هي النسبة التبادلية التي يحملانها معًا إلى اللانهاية والصفر، لذا يُعرّف فون شتاودت، في الترميز السابق، حاصل ضرب عددين كما يلي:

${\displaystyle (CA,BD)\cdot (CA,DD')=(CA,BD').}$

تتضمن هذه التعريفات سلسلة طويلة من الخطوات لإظهار أن الجبر المعرف بهذه الطريقة يطيع القوانين التبادلية والتجميعية والتوزيعية المعتادة، وأنه لا توجد قواسم للصفر.

يُقدّم فيبلين ويونغ ^{[ 6 ]} بيانًا موجزًا ​​في النظرية 10: "مجموعة النقاط على خط مستقيم، مع${\displaystyle P_{\infty }}$" بعد الإزالة، تُشكّل حقلاً فيما يتعلق بالعمليات المُعرّفة سابقاً". كما يُشير فرويدنتال ^{[ 7 ] : 199}

...حتى هيلبرت، لا يوجد مثال آخر لمثل هذا الاشتقاق المباشر للقوانين الجبرية من البديهيات الهندسية كما هو موجود في كتاب فون شتاودت Beiträge .

ويأتي تأكيد آخر على عمل فون شتاودت مع المترافقات التوافقية في شكل نظرية:

إن التناظر الوحيد بين النقاط الحقيقية على خط مستقيم والذي يحافظ على العلاقة التوافقية بين أربع نقاط هو إسقاط غير منفرد. ^{[ 8 ]}

وصف جون ستيلويل (2005) جبر الرميات بأنه "حساب إسقاطي". ^{[ 9 ]} في قسم بعنوان "الحساب الإسقاطي"، يقول

تكمن الصعوبة الحقيقية في أن بناء a + b ، على سبيل المثال، يختلف عن بناء b + a ، لذا فإنّ a + b = b + a يُعدّ "مصادفة" . وبالمثل، يُعدّ ab = ba "مصادفة" لأي قانون جبري آخر. لحسن الحظ، يمكننا إثبات أن المصادفات المطلوبة تحدث بالفعل، لأنها مُستَحثة ضمنيًا من خلال بعض المصادفات الهندسية، وتحديدًا نظريتي بابوس وديسارج.

إذا فُسِّر عمل فون شتاودت على أنه بناء للأعداد الحقيقية ، فإنه يكون غير مكتمل. إحدى الخصائص المطلوبة هي أن المتتالية المحدودة تحتوي على نقطة عنقودية . وكما لاحظ هانز فرويدنتال :

لكي يُعتبر منهج فون شتاودت أساسًا متينًا للهندسة الإسقاطية، يكفي إضافة البديهيات الطوبولوجية التي استخدمها فون شتاودت ضمنيًا. ... كيف يمكن صياغة طوبولوجيا الفضاء الإسقاطي دون الاستعانة بمقياس؟ كان فون شتاودت لا يزال بعيدًا عن طرح هذا السؤال، الذي سيصبح ملحًا بعد ربع قرن. ... لاحظ فيليكس كلاين الثغرة في منهج فون شتاودت؛ فقد كان مدركًا لضرورة صياغة طوبولوجيا الفضاء الإسقاطي بمعزل عن الفضاء الإقليدي . ... كان الإيطاليون أول من وجد حلولًا مُرضية حقًا لمشكلة الأساس الإسقاطي البحت للهندسة الإسقاطية، والتي حاول فون شتاودت حلها. ^{[ 7 ]}

كان جيوفاني فايلاتي أحد علماء الرياضيات الإيطاليين الذين درسوا خاصية الترتيب الدائري للخط الإسقاطي الحقيقي . يتطلب علم هذا الترتيب علاقة رباعية تُسمى فصل أزواج النقاط . باستخدام هذه العلاقة، يمكن تناول مفهومي المتتالية الرتيبة والنهاية في "خط" دوري. بافتراض أن لكل متتالية رتيبة نهاية، ^{[ 10 ]} يصبح الخط فضاءً كاملاً . استُلهمت هذه التطورات من استنتاجات فون شتاودت لبديهيات الحقل كمبادرة في اشتقاق خصائص${\displaystyle \mathbb {R} }$من البديهيات في الهندسة الإسقاطية.

• 1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . نورنبرغ
• 1845: دي نومريس بيرنوليانيس: تعليق على تغيير المكان في طقوس كلية الفلسفة التي تم الحصول عليها ، كارول. ز. مركز حقوق الإنسان. دي ستودت. إرلانجي: يونج.
• 1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu Academico rite obtinendi causa commentatus est ، كارول. ز. مركز حقوق الإنسان. دي ستودت. إرلانجي: يونج.

الروابط التالية تؤدي إلى سلسلة الدراسات الرياضية التاريخية لجامعة كورنيل :

• 1847: هندسة الحياة . نورنبرغ.
• 1856: Beiträge zur Geometrie der Lage، Erstes Heft . نورنبرغ.
• 1857: Beiträge zur Geometrie der Lage، Zweites Heft . نورنبرغ.
• 1860: Beiträge zur Geometrie der Lage، Drittes Heft . نورنبرغ.

• منحنى على شكل حرف W

• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "كارل جورج كريستيان فون شتاودت" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
• فيبلين، أوزوالد؛ يونغ، جوا (1938). الهندسة الإسقاطية . بوسطن: جين وشركاه ISBN 978-1-4181-8285-4.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• جون ويسلي يونغ (1930) الهندسة الإسقاطية ، الفصل 8: جبر النقاط ومقدمة الأساليب التحليلية، المحكمة المفتوحة للجمعية الرياضية الأمريكية .