صيغة التربيع لكافاليري

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة
تحسب صيغة كافالييري التربيعية المساحة تحت المنحنى التكعيبي ، بالإضافة إلى قوى أعلى أخرى.

في حساب التفاضل والتكامل ، صيغة كافالييري التربيعية ، التي سميت على اسم عالم الرياضيات الإيطالي بونافنتورا كافالييري من القرن السابع عشر ، هي التكامل

∫0أxندx=1ن+1أن+1ن≥0،{\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,a^{n+1}\qquad n\geq 0,}

وتعميماتها. هذه هي الصيغة التكاملية المحددة ؛ أما الصيغة التكاملية غير المحددة فهي:

∫xندx=1ن+1xن+1+جن≠-1.{\displaystyle \int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.}

توجد صيغ إضافية ، مذكورة أدناه. وبالاقتران مع خاصية الخطية للتكامل، تسمح هذه الصيغة بحساب تكاملات جميع كثيرات الحدود.

مصطلح " التربيع " هو مصطلح تقليدي للمساحة ؛ ويُفسَّر التكامل هندسيًا على أنه المساحة تحت المنحنى y  = x^ n . ومن الحالات المهمة تقليديًا y = x^ 2 ، وهو تربيع القطع المكافئ ، المعروف منذ القدم، و y = 1/ x ، وهو تربيع القطع الزائد ، الذي قيمته لوغاريتم .     

النماذج

ن السالب

بالنسبة للقيم السالبة لـ n (القوى السالبة لـ x )، توجد نقطة تفرد عند x  =  0، وبالتالي فإن التكامل المحدد يعتمد على 1 بدلاً من 0، مما ينتج عنه:

∫1أxندx=1ن+1(أن+1-1)ن≠-1.{\displaystyle \int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.}

علاوة على ذلك، بالنسبة للقيم الكسرية السالبة (غير الصحيحة) لـ n، فإن الأس x n غير مُعرَّف جيدًا ، وبالتالي فإن التكامل غير المحدد مُعرَّف فقط لقيم x الموجبة. ومع ذلك، بالنسبة لـ n عدد صحيح سالب، فإن الأس x n مُعرَّف لجميع قيم x غير الصفرية ، والتكاملات غير المحددة والتكاملات المحددة مُعرَّفة، ويمكن حسابها باستخدام حجة التناظر، باستبدال x بـ − x، واعتبار التكامل المحدد السالب أساسًا عند − 1. 

يمكن تعريف التكامل المحدد (للقيم السالبة لـ n و x ) على الأعداد المركبة من خلال التكامل الكفافي ، ولكنه يعتمد بعد ذلك على اختيار المسار، وتحديداً رقم اللف - المشكلة الهندسية هي أن الدالة تحدد فضاء تغطية مع نقطة تفرد عند  0.

ن = -1​

وهناك أيضاً الحالة الاستثنائية n  = − 1، والتي ينتج عنها لوغاريتم بدلاً من قوة x:  

∫1أ1xدx=ln⁡أ،{\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln a,}
∫1xدx=ln⁡x+ج،x>0{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C,\qquad x>0}

(حيث تعني "ln" اللوغاريتم الطبيعي ، أي اللوغاريتم للأساس e  =  2.71828...).

غالباً ما يتم توسيع التكامل غير المحدود ليشمل القيم السالبة لـ x عبر الاختيار التقليدي:

∫1xدx=ln⁡|x|+ج،x≠0.{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C,\qquad x\neq 0.}

لاحظ استخدام القيمة المطلقة في التكامل غير المحدد؛ وذلك لتوفير صيغة موحدة للتكامل، مما يعني أن تكامل هذه الدالة الفردية هو دالة زوجية، على الرغم من أن اللوغاريتم مُعرَّف فقط للمدخلات الموجبة، وفي الواقع، يمكن اختيار قيم ثابتة مختلفة لـ C على جانبي الصفر، لأن ذلك لا يُغيِّر المشتقة. وبالتالي، تكون الصيغة الأكثر عمومية كما يلي: [ 1 ]

∫1xدx={ln⁡|x|+ج-x<0ln⁡|x|+ج+x>0{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx={\begin{cases}\ln |x|+C^{-}&x<0\\\ln |x|+C^{+}&x>0\end{cases}}}

لا يوجد مشتق أصلي عالمي لـ 1/ x على الأعداد المركبة ، وذلك لأن هذه الدالة تحدد فضاء تغطية غير تافه ؛ هذا الشكل خاص بالأعداد الحقيقية.

لاحظ أن التكامل المحدد الذي يبدأ من 1 غير مُعرَّف للقيم السالبة لـ a، لأنه يمر بنقطة شاذة، ولكن بما أن 1/ x دالة فردية ، فيمكن حساب التكامل المحدد للقوى السالبة عند -1 . إذا رغبنا في استخدام التكاملات غير المحدودة وحساب القيمة الرئيسية لكوشي ، فسنحصل على ∫-جج1xدx=0،{\displaystyle \int _{-c}^{c}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}ويمكن الاستدلال على ذلك أيضاً من خلال التناظر (لأن اللوغاريتم فردي)، لذا∫-111xدx=0،{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}لذا لا فرق إذا كان التكامل المحدد مبنيًا على 1 أو -1 . وكما هو الحال مع التكامل غير المحدد، فإن هذا خاص بالأعداد الحقيقية، ولا يمتد إلى الأعداد المركبة. 

أشكال بديلة

يمكن أيضًا كتابة التكامل مع إزاحة المؤشرات، مما يبسط النتيجة ويجعل العلاقة بالتفاضل ذي الأبعاد n والمكعب ذي الأبعاد n أكثر وضوحًا:

∫0أxن-1دx=1نأنن≥1.{\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}a^{n}\qquad n\geq 1.}
∫xن-1دx=1نxن+جن≠0.{\displaystyle \int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}+C\qquad n\neq 0.}

وبشكل عام، يمكن التعبير عن هذه الصيغ على النحو التالي:

∫(أx+ب)ندx=(أx+ب)ن+1أ(ن+1)+ج(ل ن≠-1){\displaystyle \int (ax+b)^{n}dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}
∫1أx+بدx=1أln⁡|أx+ب|+ج{\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}dx={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}
وبشكل عام:
∫1أx+بدx={1أln⁡|أx+ب|+ج-x<-ب/أ1أln⁡|أx+ب|+ج+x>-ب/أ{\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{-}&x<-b/a\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{+}&x>-b/a\end{cases}}}

دليل

البرهان الحديث هو استخدام الدالة الأصلية: يُثبت أن مشتقة xⁿ تساوي nxⁿ - 1 للأعداد الصحيحة غير السالبة. يُستنتج هذا من صيغة ذات الحدين وتعريف المشتقة ، وبالتالي، وفقًا للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، فإن الدالة الأصلية هي التكامل. تفشل هذه الطريقة في حالة∫1xدx،{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx,}باعتباره المشتق المضاد المرشح10⋅x0{\displaystyle {\frac {1}{0}}\cdot x^{0}}، وهو غير مُعرَّف بسبب القسمة على صفر . يجب تعريف دالة اللوغاريتم ، وهي الدالة الأصلية الفعلية لـ 1/ x ، ودراستها بشكل منفصل.

المشتق(xن)′=نxن-1{\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}يمكن تمثيلها هندسيًا على أنها التغير المتناهي الصغر في حجم المكعب ذي البعد n ، وهو مساحة n وجهًا، كل منها ذو بعد n − 1. إن دمج هذه الصورة - تكديس الوجوه - يمثل النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، مما يؤدي إلى تفكيك المكعب ذي البعد n إلى n أهرامات، وهو برهان هندسي لصيغة التربيع لكافالييري.  

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة، يمكن صياغة هذا البرهان هندسيًا: [ 2 ] إذا اعتبرنا الكمية x<sub> n </sub> حجم المكعب ذي البعد n ( المكعب الفائق في n بُعدًا)، فإن المشتقة هي التغير في الحجم بتغير طول الضلع - وهي x<sub> n - 1</sub> ، والتي يمكن تفسيرها على أنها مساحة n وجهًا، كل منها ذو بُعد n - 1 (مع تثبيت رأس واحد عند نقطة الأصل، وهذه هي الوجوه n التي لا تلامس الرأس)، وهو ما يتوافق مع زيادة حجم المكعب بالنمو في اتجاه هذه الوجوه - في الحالة ثلاثية الأبعاد، بإضافة 3 مربعات متناهية الصغر، واحد لكل وجه من هذه الوجوه. وعلى العكس، فإن صياغة النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل هندسيًا، بتكديس هذه المكعبات المتناهية الصغر ( n - 1)، ينتج عنها هرم (فائق)، و n من هذه الأهرامات تُشكل المكعب ذي البعد n ، والذي ينتج عنه الصيغة. علاوة على ذلك، يوجد تناظر دوري من الرتبة n للمكعب ذي الأبعاد n حول القطر، حيث يدور هذا التناظر حول الأهرامات (التي يمثل الهرم فيها نطاقًا أساسيًا ). في حالة المكعب (المكعب ثلاثي الأبعاد)، هكذا تم تحديد حجم الهرم بدقة في الأصل: يتمتع المكعب بتناظر ثلاثي، ونطاقه الأساسي هو الأهرامات، التي تقسم المكعب إلى ثلاثة أهرامات، وهو ما يتوافق مع حقيقة أن حجم الهرم يساوي ثلث القاعدة مضروبًا في الارتفاع. يوضح هذا هندسيًا التكافؤ بين تربيع القطع المكافئ وحجم الهرم، واللذين تم حسابهما كلاسيكيًا بوسائل مختلفة.    

توجد براهين بديلة، فعلى سبيل المثال، حسب فيرما المساحة باستخدام حيلة جبرية بتقسيم المجال إلى فترات معينة غير متساوية الطول؛ [ 3 ] أو يمكن إثبات ذلك من خلال ملاحظة تناظر الرسم البياني y  = xⁿ تحت التمدد غير المتجانس (بمقدار d في اتجاه x و dⁿ في اتجاه y ، مع تحويل الأبعاد n لاتجاه y إلى صيغة جبرية )، [ 4 ] أو من خلال اشتقاق الصيغة لجميع القيم الصحيحة بتوسيع النتيجة لـ n = -1 ومقارنة المعاملات. [ 5 ]   

تاريخ

قام أرخميدس بحساب مساحة القطع المكافئة في كتابه "تربيع القطع المكافئ" .

تم تقديم مناقشة مفصلة للتاريخ، مع المصادر الأصلية، في ( Laubenbacher & Pengelley 1998 ، الفصل 3، التحليل: حساب المساحات والأحجام) ؛ انظر أيضًا تاريخ التفاضل والتكامل وتاريخ التكامل .

أثبت عالم الرياضيات اليوناني القديم أرخميدس، في كتابه "تربيع القطع المكافئ" (القرن الثالث قبل الميلاد)، صحة مفهوم القطع المكافئ باستخدام طريقة الاستنفاد . والجدير بالذكر أن أرخميدس حسب المساحة داخل القطع المكافئ - ما يُسمى "القطعة المكافئة" - بدلاً من حساب المساحة تحت منحنى المعادلة y  = x² ، وهو ما يُعرف في الهندسة الديكارتية . هاتان العمليتان متكافئتان، لكنهما تعكسان اختلافًا في المنظور. كما قام اليونانيون القدماء، وغيرهم، بحساب حجم الهرم أو المخروط ، وهو ما يُعدّ مكافئًا رياضيًا. 

في القرن الحادي عشر، قام عالم الرياضيات الإسلامي ابن الهيثم (المعروف باسم ابن الهيثم في أوروبا) بحساب تكاملات التكعيبات والرباعيات (الدرجة الثالثة والرابعة) عن طريق الاستقراء الرياضي ، في كتابه في علم المناظر . [ 6 ]

قام كافالييري بحساب حالة الأعداد الصحيحة العليا (n) حتى 9، باستخدام طريقته الخاصة بالأعداد غير القابلة للقسمة ( مبدأ كافالييري ). [ 7 ] وقد فسّر هذه الأعداد على أنها تكاملات عليا، أي حساب أحجام ذات أبعاد أعلى، وإن كان ذلك بشكل غير رسمي، لأن الأجسام ذات الأبعاد الأعلى كانت لا تزال غير مألوفة آنذاك. [ 8 ] ثم قام عالم الرياضيات الإيطالي إيفانجيليستا توريتشيلي بتوسيع طريقة التربيع هذه لتشمل منحنيات أخرى مثل المنحنى الدائري ، ثم قام عالم الرياضيات الإنجليزي جون واليس بتعميم الصيغة لتشمل القوى الكسرية والسالبة ، في كتابه "الحساب اللانهائي " (1656)، والذي قام أيضًا بتوحيد مفهوم ورمز القوى النسبية - على الرغم من أن واليس فسّر بشكل خاطئ الحالة الاستثنائية n  = − 1 (تربيع القطع الزائد) - قبل أن يتم وضعها أخيرًا على أسس علمية دقيقة مع تطور حساب التكامل . 

قبل قيام واليس بصياغة القوى الكسرية والسالبة، والتي سمحت بوظائف صريحةy=xص/q،{\displaystyle y=x^{p/q},}تم التعامل مع هذه المنحنيات ضمنيًا، من خلال المعادلات.xص=كyq{\displaystyle x^{p}=ky^{q}}وxصyq=ك{\displaystyle x^{p}y^{q}=k}( حيث p و q عددان صحيحان موجبان دائمًا) ويُشار إليهما على التوالي بالقطع المكافئ الأعلى والقطع الزائد الأعلى (أو "القطع المكافئ الأعلى" و"القطع الزائد الأعلى"). قام بيير دي فيرما أيضًا بحساب هذه المساحات (باستثناء الحالة الاستثنائية -1 ) باستخدام حيلة جبرية - حيث قام بحساب تكامل القطع الزائد الأعلى عن طريق تقسيم الخط إلى فترات متساوية، ثم قام بحساب تكامل القطع المكافئ الأعلى باستخدام التقسيم إلى فترات غير متساوية ، على الأرجح عن طريق عكس التقسيمات التي استخدمها للقطع الزائد. [ 9 ] ومع ذلك، كما هو الحال في بقية أعماله، كانت تقنيات فيرما أقرب إلى الحيل المخصصة منها إلى المعالجات المنهجية، ولا يُعتبر أنه لعب دورًا مهمًا في التطور اللاحق لحساب التفاضل والتكامل.

ومن الجدير بالذكر أن كافالييري قارن فقط المساحات بالمساحات والأحجام بالأحجام - وهذه لها أبعاد دائمًا، في حين أن فكرة اعتبار المساحة مكونة من وحدات مساحة (بالنسبة لوحدة قياسية)، وبالتالي كونها بلا وحدات، يبدو أنها نشأت مع واليس؛ [ 10 ] [ 11 ] درس واليس القوى الكسرية والسالبة، وكان البديل للتعامل مع القيم المحسوبة كأعداد بلا وحدات هو تفسير الأبعاد الكسرية والسالبة.

تمت معالجة الحالة الاستثنائية لـ − 1 (القطع الزائد القياسي) بنجاح لأول مرة بواسطة جريجوار دي سان فينسينت في كتابه Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni (1647)، على الرغم من أن المعالجة الرسمية كان عليها أن تنتظر تطوير اللوغاريتم الطبيعي ، والذي أنجزه نيكولاس ميركاتور في كتابه Logarithmotechnia (1668).

مراجع

  1. ↑ " استطلاع رأي القراء: log| x | + C "، توم لينستر ، مقهى الفئات المتعددة ،19 مارس 2012
  2. ↑ ( بارث 2004 ) ، ( كارتر وشامبانيركار 2006 )
  3. ↑ انظر ريكي.
  4. ↑ ( وايلدبيرجر 2002 )
  5. ↑ ( برادلي 2003 )
  6. ↑ فيكتور ج. كاتز (1995)، "أفكار التفاضل والتكامل في الإسلام والهند"، مجلة الرياضيات 68 (3): 163-174 [165-9 و 173-4]
  7. ^ ( سترويك 1986 ، ص 215 – 216)
  8. ↑ ( لاوبنباخر وبينجلي ، 1998 ) – انظر الملخص التربوي غير الرسمي لفصل التحليل، مؤرشف بتاريخ 26 أغسطس 2018 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) للاطلاع على نسخة مختصرة.
  9. ↑ انظر مرجع ريكي للمناقشة والمزيد من المراجع.
  10. ↑ الكرة، 281
  11. ↑ بريتانيكا، 171

تاريخ

البراهين

  • وايلدبرغر، ن. ج. (2002). "برهان جديد لصيغة كافالييري التربيعية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 109 (9): 843-845 . doi : 10.2307/3072373 . JSTOR 3072373 . 
  • برادلي، ديفيد م. (مايو 2003). "ملاحظة حول صيغة كافالييري التربيعية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 110 (5): 437. arXiv : math/0505059 . Bibcode : 2005math......5059B .يظهر في النسخة المطبوعة في نهاية:
    • سوندو، جوناثان (مايو 2003). "أصفار دالة زيتا المتناوبة على الخط R(S) = 1". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 110 (5): 435-437 . arXiv : math/0209393 . doi : 10.2307/3647831 . JSTOR 3647831 . 
  • بارث، ن. ر. (2004). "حساب صيغة كافالييري التربيعية باستخدام تناظر المكعب ذي الأبعاد n". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 111 (9): 811-813 . doi : 10.2307/4145193 . JSTOR 4145193 . 
  • كارتر، ج. سكوت؛ شامبانيركار، أبهيجيت (2006). "طريقة هندسية لحساب بعض التكاملات الأولية". arXiv : math/0608722 .
  • مالك، ماجستير (1984) "ملاحظة حول تكامل كافالييري"، مجلة الرياضيات 57(3): 154-156 doi : 10.2307/2689662
  • في. فريدريك ريكي (2011) "تكامل القوى لفيرما "، في ملاحظات تاريخية لمعلمي حساب التفاضل والتكامل