تاريخ حساب التفاضل والتكامل

شكّل كتاب يوهانس كيبلر "Stereometrica Doliorum"، الذي نُشر عام 1615، أساس حساب التكامل. ^{[ 23 ]} وقد طوّر كيبلر طريقة لحساب مساحة القطع الناقص عن طريق جمع أطوال العديد من أنصاف الأقطار المرسومة من إحدى بؤرتي القطع الناقص. ^{[ 24 ]}

كان من أهم أعماله رسالة مستوحاة من أساليب كبلر ^{[ 24 ]} نشرها بونافنتورا كافالييري عام 1635 حول طريقته في حساب الأجزاء غير القابلة للتجزئة . جادل كافالييري بأن الأحجام والمساحات تُحسب كمجموع أحجام ومساحات مقاطع عرضية متناهية الصغر. واكتشف صيغة كافالييري التربيعية التي تُعطي المساحة تحت المنحنيات x ⁿ ذات الدرجات الأعلى. وقد حُسبت هذه المساحة سابقًا بطريقة مماثلة للقطع المكافئ بواسطة أرخميدس في كتابه "الطريقة" ، ولكن يُعتقد أن هذه الرسالة فُقدت في القرن الثالث عشر، ولم يُعاد اكتشافها إلا في أوائل القرن العشرين، وبالتالي لم يكن كافالييري على دراية بها. لم تحظَ أعمال كافالييري بالتقدير الكافي نظرًا لأن أساليبه قد تؤدي إلى نتائج خاطئة، وكانت الكميات المتناهية الصغر التي أدخلها موضع شك في البداية.

قام توريتشيلي بتوسيع عمل كافالييري ليشمل منحنيات أخرى مثل المنحنى الدائري ، ثم عمم واليس الصيغة لتشمل القوى الكسرية والسالبة عام 1656. وفي رسالة نُشرت عام 1659، يُنسب إلى فيرما ابتكار حيلة بارعة لحساب تكامل أي دالة أسية مباشرةً. ^{[ 25 ]} كما توصل فيرما إلى تقنية لإيجاد مراكز ثقل الأشكال المستوية والمجسمة المختلفة، مما أثر على أعمال لاحقة في التكامل العددي.

في القرن السابع عشر، ناقش علماء الرياضيات الأوروبيون إسحاق بارو ، ورينيه ديكارت ، وبيير دي فيرما ، وبليز باسكال ، وجون واليس، وغيرهم، فكرة المشتقة . وعلى وجه الخصوص، في كتابيه "Methodus ad disquirendam maximam et minima" و" De tangentibus linearum curvarum" اللذين نُشرا عام 1636، قدّم فيرما مفهوم المساواة ، الذي يُمثّل المساواة حتى حد خطأ متناهي الصغر. ^{[ 26 ]} ويمكن استخدام هذه الطريقة لتحديد القيم العظمى والصغرى والمماسات لمختلف المنحنيات، وهي وثيقة الصلة بالتفاضل. ^{[ 27 ]}

كتب إسحاق نيوتن لاحقاً أن أفكاره المبكرة حول حساب التفاضل والتكامل جاءت مباشرة من "طريقة فيرما في رسم المماسات". ^{[ 28 ]}

جمعت الدراسة الرسمية للتفاضل والتكامل بين متناهيات الصغر لكافالييري وحساب الفروق المحدودة الذي طُوِّر في أوروبا في نفس الفترة تقريبًا، بالإضافة إلى متباينة فيرما. وقد تحقق هذا الجمع على يد جون واليس وإسحاق بارو وجيمس غريغوري ، حيث أثبت الأخيران أنهما من أوائل من وضعوا النظرية الأساسية الثانية للتفاضل والتكامل حوالي عام 1670. ^{[ 29 ] [ 30 ]}

استطاع جيمس غريغوري ، متأثراً بمساهمات فيرما في كل من المماس والتربيع، أن يثبت نسخة محدودة من النظرية الأساسية الثانية في حساب التفاضل والتكامل، والتي تنص على أنه يمكن حساب التكاملات باستخدام أي من الدوال الأصلية للدالة. ^{[ 31 ] [ 32 ]}

قدّم إسحاق بارو أول برهان كامل للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل . ^{[ 33 ] : ص 61 عندما يكون القوس ME ~ القوس NH عند نقطة التماس F الشكل 26 [ 34 ]}

كان أحد الشروط الأساسية لإنشاء حساب التفاضل والتكامل للدوال ذات المتغير الحقيقي هو إيجاد دالة أصلية للدالة الكسرية${\displaystyle f(x)\ =\ {\frac {1}{x}}.}$يمكن صياغة هذه المسألة على أنها تربيع القطع الزائد القائم xy = 1. في عام 1647، لاحظ غريغوار دي سان فنسان أن الدالة المطلوبة F تحقق${\displaystyle F(st)=F(s)+F(t),}$بحيث أصبحت المتتالية الهندسية ، تحت تأثير الدالة F ، متتالية حسابية . ربط أ. أ. دي ساراسا هذه الخاصية بالخوارزميات المعاصرة المسماة باللوغاريتمات ، والتي تُبسط العمليات الحسابية بتحويل الضرب إلى جمع. لذلك عُرفت F في البداية باللوغاريتم الزائدي . بعد أن استغل أويلر قيمة e = 2.71828...، وتم تحديد F على أنها الدالة العكسية للدالة الأسية ، أصبحت اللوغاريتم الطبيعي ، الذي يحقق الشرط التالي:${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}\ =\ {\frac {1}{x}}.}$

قدّم ميشيل رول أول برهان لنظرية رول عام 1691 باستخدام أساليب طوّرها عالم الرياضيات الهولندي يوهان فان وافيرن هود . ^{[ 35 ]} وصاغ برنارد بولزانو وأوغستين لويس كوشي (1789-1857) نظرية القيمة المتوسطة بصيغتها الحديثة بعد تأسيس حساب التفاضل والتكامل الحديث. وقدّم بارو وهويغنز وغيرهما إسهاماتٍ مهمة في هذا المجال.

يُنسب الفضل إلى بارو في اختراع حساب التفاضل والتكامل من قِبل بعض المؤلفين، إلا أن عالم الرياضيات السويسري فلوريان كاجوري يُشير إلى أنه على الرغم من أن بارو قد وضع مجموعة من "النظريات الهندسية التي تُوحي لنا بإنشاءات يُمكننا من خلالها إيجاد الخطوط والمساحات والأحجام التي تُحسب مقاديرها عادةً من خلال العمليات التحليلية لحساب التفاضل والتكامل"، إلا أنه لم يُنشئ "ما يُعرف باتفاق علماء الرياضيات بمصطلح حساب التفاضل والتكامل"، ويُشير كذلك إلى أن "عمليتين تُعطيان نتائج مُتكافئة ليستا بالضرورة متطابقتين". ويختتم كاجوري بالقول إن "الاختراع يعود بحق إلى نيوتن وليبنيز". ^{[ 36 ]}

لم يُصدر نيوتن أي منشور نهائي يُرسّخ حسابه التفاضلي والتكاملي ؛ بل نُقلت العديد من اكتشافاته الرياضية عبر المراسلات، أو أوراق بحثية قصيرة، أو كجزء مُضمّن في مؤلفاته النهائية الأخرى، مثل كتابي "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" و "البصريات" . بدأ نيوتن تدريبه الرياضي كوريث مُختار لإسحاق بارو في كامبريدج . لُوحظت موهبته مُبكرًا، وسرعان ما أتقن النظريات السائدة. بحلول عام 1664، قدّم نيوتن أولى إسهاماته المهمة بتطوير نظرية ذات الحدين ، التي وسّعها لتشمل الأسس الكسرية والسالبة . نجح نيوتن في توسيع نطاق تطبيق نظرية ذات الحدين بتطبيق جبر الكميات المحدودة في تحليل المتسلسلات اللانهائية . وأظهر استعدادًا للنظر إلى المتسلسلات اللانهائية ليس فقط كأدوات تقريبية، بل أيضًا كأشكال بديلة للتعبير عن حدٍّ ما. ^{[ 40 ]}

وضع نيوتن حساباته التفاضلية والتكاملية بين عامي 1664 و1666، ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]} ووصفها لاحقًا بأنها "ذروة عصره في الابتكار والرياضيات والفلسفة [الطبيعية] أكثر من أي وقت مضى". وأظهرت مخطوطة مؤرخة في 20 مايو 1665 أن نيوتن "كان قد طور الحسابات التفاضلية والتكاملية إلى الحد الذي مكّنه من حساب المماس والانحناء عند أي نقطة من منحنى متصل". ^{[ 44 ]} وخلال فترة عزله بسبب الطاعون، سُجّل أول تصور مكتوب للحساب التفاضلي والتكاملي في كتابه غير المنشور "De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas" . في هذا الكتاب، حدد نيوتن المساحة تحت المنحنى عن طريق حساب معدل التغير اللحظي أولًا، ثم استقراء المساحة الكلية. بدأ نيوتن بالتفكير في مثلث صغير جدًا مساحته دالة في x و y . ثم استنتج أن الزيادة المتناهية الصغر في الإحداثي السيني ستُنشئ صيغة جديدة حيث س = س + π (ومن المهم ملاحظة أن π هو الحرف، وليس الرقم صفر). ثم أعاد حساب المساحة باستخدام نظرية ذات الحدين، وحذف جميع الكميات التي تحتوي على الحرف π ، وأعاد صياغة تعبير جبري للمساحة. والجدير بالذكر أن نيوتن كان سيتجاهل الكميات التي تحتوي على π لأن الحدود "المضروبة به ستكون معدومة بالنسبة لبقية الكميات".

في هذه المرحلة، بدأ نيوتن يدرك الخاصية الأساسية للانعكاس. فقد ابتكر صيغة لحساب المساحة تحت المنحنى من خلال مراعاة الزيادة اللحظية عند نقطة معينة. في الواقع، تم تضمين النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل في حساباته. ورغم أن صياغته الجديدة كانت تحمل إمكانات هائلة، إلا أن نيوتن كان مدركًا تمامًا لحدودها المنطقية آنذاك. وهو يعترف بأنه "لا يمكن تجاهل الأخطاء في الرياضيات، مهما كانت ضئيلة"، وأن ما أنجزه كان "شرحًا موجزًا ​​أكثر منه برهانًا دقيقًا".

في محاولةٍ لإضفاء مزيدٍ من الدقة والصرامة على حساب التفاضل والتكامل، قام نيوتن بتأليف كتاب " طريقة التدفقات والسلاسل اللانهائية " عام 1671. في هذا الكتاب، شكّلت منهجيته التجريبية الصارمة حسابه التفاضلي والتكاملي وحدّدته. استغل نيوتن الحركة اللحظية والكميات المتناهية الصغر بشكلٍ غير رسمي، واستخدم الرياضيات كأداةٍ منهجية لشرح العالم الفيزيائي. أصبح مبدأ الاستمرارية أساس حساب نيوتن المنقّح، ولذلك أعاد تعريف حساباته من حيث الحركة المتدفقة باستمرار. بالنسبة لنيوتن، لا تُعدّ المقادير المتغيرة تجمّعاتٍ لعناصر متناهية الصغر، بل هي نتاجٌ لحقيقة الحركة التي لا جدال فيها. وكما هو الحال مع العديد من أعماله، أخّر نيوتن نشر كتابه " طريقة التدفقات والسلاسل اللانهائية" حتى عام 1736. ^{[ 45 ]}

حاول نيوتن تجنب استخدام الكميات المتناهية الصغر من خلال إجراء حسابات تعتمد على نسب التغيرات. في كتابه "ميثودوس فلوكسيونوم" ، عرّف معدل التغير الناتج بأنه " فلوكسيون" ، والذي مثّله بحرف منقط، وعرّف الكمية الناتجة بأنها " فلوينت" . على سبيل المثال، إذا${\displaystyle {x}}$و${\displaystyle {y}}$إذا كانوا يجيدون التحدث بطلاقة، فإذن${\displaystyle {\dot {x}}}$و${\displaystyle {\dot {y}}}$هي تدفقاتها الخاصة. استمر تطوير هذا الحساب المنقح للنسب، وتمّ عرضه بشكل نهائي في كتاب " De Quadratura Curvarum" عام 1676 ، حيث عرّف نيوتن المشتق الحالي بأنه النسبة النهائية للتغير، والتي عرّفها بأنها النسبة بين الزيادات المتلاشية (نسبة التدفقات) في اللحظة الراهنة. وبعبارة أخرى، فإن النسبة النهائية هي النسبة عندما تتلاشى الزيادات. ومن المهم أن نيوتن شرح وجود النسبة النهائية بالاستناد إلى الحركة: ^{[ 46 ]}

فالمقصود بالسرعة القصوى هي السرعة التي يتحرك بها الجسم، لا قبل وصوله إلى آخر نقطة له عند توقف الحركة، ولا بعد ذلك، بل في اللحظة التي يصل فيها... وينبغي فهم النسبة القصوى للكميات المتلاشية، أي نسبة الكميات ليس قبل تلاشيها، ولا بعدها، بل بالسرعة التي تتلاشى بها.

قام نيوتن بتطوير حساب التفاضل والتكامل التفاضلي في محاولة لتجنب الاستخدام غير الرسمي للكميات المتناهية الصغر في حساباته.

أشار المؤرخ أ. روبرت هول إلى التطور السريع الذي حققه نيوتن في علم التفاضل والتكامل مقارنةً بمعاصريه، قائلاً إن نيوتن "قبل عام 1690 بفترة طويلة... كان قد وصل تقريبًا إلى نفس المرحلة التي وصل إليها لايبنتز، وبرنولي، ولوسبيتال، وهيرمان، وغيرهم بجهودهم المشتركة، في أوائل القرن الثامن عشر الميلادي". ^{[ 47 ]} ويذكر هول أيضًا أنه على الرغم من أن نيوتن لم يستخدم التدفقات في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية "، إلا أنه كان قادرًا على حل المسائل باستخدام طرق مكافئة لتكامل المعادلات التفاضلية، و"في الواقع، لقد استبق في كتابه العديد من النتائج التي اعتبرها علماء التفاضل والتكامل اللاحقون إنجازاتهم الخاصة". ^{[ 48 ]}

بينما بدأ نيوتن تطوير حسابه التفاضلي والتكاملي في الفترة ما بين عامي 1665 و1666، لم تنتشر نتائجه على نطاق واسع إلا لاحقًا. وفي السنوات الفاصلة، سعى لايبنتز أيضًا إلى ابتكار حسابه التفاضلي والتكاملي. وبالمقارنة مع نيوتن الذي انخرط في الرياضيات في سن مبكرة، بدأ لايبنتز دراساته الرياضية الدقيقة بعقل ناضج. كان لايبنتز موسوعيًا ، وشملت اهتماماته وإنجازاته الفكرية الميتافيزيقا والقانون والاقتصاد والسياسة والمنطق والرياضيات . لفهم منطق لايبنتز في حساب التفاضل والتكامل، ينبغي مراعاة خلفيته، ولا سيما ميتافيزيقاه التي وصفت الكون بأنه مونادولوجيا ، وخططه لإنشاء منطق صوري دقيق، من خلاله " طريقة عامة تُختزل فيها جميع حقائق العقل إلى نوع من الحساب". ^{[ 49 ]}

في عام ١٦٧٢، التقى لايبنتز بالرياضي هويغنز الذي أقنعه بتخصيص وقت كبير لدراسة الرياضيات. وبحلول عام ١٦٧٣، كان قد وصل إلى قراءة كتاب باسكال " رسالة في جيوب ربع الدائرة" ، وخلال بحثه الذي اعتمد فيه بشكل كبير على التعلم الذاتي ، قال لايبنتز: "أضاءت لي فكرة". ومثل نيوتن، رأى لايبنتز الظل كنسبة، لكنه عرّفه ببساطة على أنه النسبة بين الإحداثيات الرأسية والإحداثيات الأفقية . وواصل هذا المنطق ليجادل بأن التكامل هو في الواقع مجموع الإحداثيات الرأسية لفترات متناهية الصغر على المحور الأفقي؛ أي مجموع عدد لا نهائي من المستطيلات. ومن هذه التعريفات، اتضحت العلاقة العكسية أو التفاضل، وسرعان ما أدرك لايبنتز إمكانية تشكيل نظام رياضي جديد كليًا. وبينما استخدم نيوتن، على مدار مسيرته المهنية، عدة مناهج بالإضافة إلى منهج يعتمد على الكميات المتناهية الصغر ، جعل لايبنتز هذا المنهج حجر الزاوية في رموزه وحسابه. ^{[ 50 ] [ 51 ]}

في مخطوطات الفترة من 25 أكتوبر إلى 11 نوفمبر 1675، دوّن لايبنتز اكتشافاته وتجاربه مع مختلف أشكال الترميز. كان على دراية تامة بالمصطلحات الترميزية المستخدمة، وبرزت خططه السابقة لتكوين رمزية منطقية دقيقة . في النهاية، رمز لايبنتز للزيادات المتناهية الصغر في إحداثيات السينات والصادات dx و dy ، ولمجموع عدد لا نهائي من المستطيلات المتناهية الصغر في الرقة بالرمز s الطويل (∫  )، والذي أصبح رمز التكامل الحالي.${\displaystyle \scriptstyle \int }$.

على الرغم من استخدام الرياضيات الحديثة لترميز لايبنتز، إلا أن أساسه المنطقي كان مختلفًا عن أساسنا الحالي. فقد تبنى لايبنتز مفهوم المتناهيات في الصغر، وكتب عنه بإسهاب حتى لا يجعل من المتناهي في الصغر لغزًا، كما فعل باسكال. ^{[ 52 ]} ووفقًا لجيل دولوز ، فإن أصفار لايبنتز "هي لا شيء، لكنها ليست لا شيء مطلقًا، بل هي لا شيء على التوالي" (نقلاً عن نص لايبنتز "تبرير حساب المتناهيات في الصغر بحساب الجبر العادي"). ^{[ 53 ]} أو بعبارة أخرى، يُعرّفها بأنها "أصغر من أي كمية معينة". بالنسبة للايبنتز، كان العالم عبارة عن مجموعة من النقاط المتناهية في الصغر، ولم يُقلقه غياب الدليل العلمي على وجودها. كانت المتناهيات في الصغر، في نظر لايبنتز، كميات مثالية من نوع مختلف عن الأعداد الملموسة. وقد ثبتت حقيقة الاستمرارية من خلال الوجود نفسه. بالنسبة لليبنيز، كان مبدأ الاستمرارية، وبالتالي صحة حسابه، مضموناً. بعد ثلاثمائة عام من عمل ليبنيز، أظهر أبراهام روبنسون أن استخدام الكميات المتناهية الصغر في حساب التفاضل والتكامل يمكن أن يُرسي أساساً متيناً. ^{[ 54 ]}

يُعدّ ظهور حساب التفاضل والتكامل لحظةً فريدةً في تاريخ الرياضيات. فهو يُعنى بدراسة الحركة والتغير، ولذا استلزم ابتكاره إنشاء نظام رياضي جديد. والجدير بالذكر أن نيوتن وليبنيز لم يبتكرا نفس حساب التفاضل والتكامل، ولم يتوصلا إلى مفهومه الحديث. فرغم انخراطهما في عملية إنشاء نظام رياضي للتعامل مع الكميات المتغيرة، إلا أن أساسهما النظري كان مختلفًا. فبالنسبة لنيوتن، كان التغير كميةً متغيرةً بمرور الزمن، بينما كان بالنسبة لليبنيز الفرق بين قيم متقاربة إلى ما لا نهاية.

تاريخيًا، دار جدل واسع حول من هو أول من "اخترع" حساب التفاضل والتكامل، نيوتن أم لايبنتز. هذا الجدل، المعروف باسم "جدل لايبنتز ونيوتن في حساب التفاضل والتكامل" ، والذي شمل لايبنتز الألماني ونيوتن الإنجليزي، أدى إلى انقسام في الأوساط الرياضية الأوروبية استمر لأكثر من قرن. كان لايبنتز أول من نشر أبحاثه؛ ومع ذلك، من الثابت أن نيوتن كان قد بدأ عمله قبل لايبنتز بسنوات، وكان قد طور بالفعل نظرية المماسات عندما أبدى لايبنتز اهتمامًا بالمسألة. ولا يُعرف مدى تأثير ذلك على لايبنتز. وُجهت الاتهامات الأولية من قبل طلاب ومؤيدي هذين العالمين العظيمين في مطلع القرن، ولكن بعد عام 1711، انخرط كلاهما شخصيًا في الجدل، متهمين بعضهما البعض بالسرقة الأدبية .

أدى الخلاف حول الأسبقية إلى فصل علماء الرياضيات الناطقين بالإنجليزية عن نظرائهم في أوروبا القارية لسنوات عديدة. ولم يُعتمد حساب التفاضل والتكامل التحليلي لليبنيز في إنجلترا إلا في عشرينيات القرن التاسع عشر، بفضل جهود الجمعية التحليلية . واليوم، يُنسب الفضل لكل من نيوتن وليبنيز في تطوير أساسيات حساب التفاضل والتكامل بشكل مستقل. إلا أن الفضل يُنسب إلى ليبنيز في تسمية هذا العلم الجديد بالاسم الذي يُعرف به اليوم: "حساب التفاضل والتكامل ". أما نيوتن فقد أطلق عليه اسم "علم التدفقات والتغيرات ".

على الرغم من أن كلا العالمين لم يقدما أسسًا منطقية مقنعة لحساباتهما، وفقًا لعالم الرياضيات كارل ب. بوير ، إلا أن نيوتن كان الأقرب إلى الصواب. كانت أفضل محاولات نيوتن في كتابه " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية "، حيث طرح فكرة "النسب الأولية والنهائية" واقترب "بشكل استثنائي من مفهوم النهاية "، على الرغم من أنه استمر في وصف المشتقة بأنها "نسبة سرعات" بدلاً من كونها عددًا حقيقيًا واحدًا - وهو ما لم يُعرَّف تعريفًا كاملاً حتى أواخر القرن التاسع عشر. ^{[ 55 ]} في المقابل، ووفقًا لبوير، فإن حساب لايبنتز، من وجهة نظر منطقية، كان أدنى بكثير من حساب نيوتن، لأنه لم يتجاوز أبدًا وجهة نظر${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$باعتباره ناتج قسمة لتغيرات أو اختلافات متناهية الصغر في y و x ." ^{[ 55 ]} ومع ذلك، من الناحية الاستدلالية، فقد كان ناجحًا، على الرغم من كونه "فشلًا" من وجهة نظر منطقية. ^{[ 55 ]}

ينعكس عمل كل من نيوتن وليبنيز في الرموز المستخدمة اليوم. وقد أدخل نيوتن هذه الرموز.${\displaystyle {\dot {f}}}$بالنسبة لمشتقة الدالة f . ^{[ 56 ]} قدم لايبنتز الرمز${\displaystyle \int }$بالنسبة للتكامل ، وكتبنا مشتقة الدالة y للمتغير x على النحو التالي:${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$وكلاهما لا يزال قيد الاستخدام.

منذ عهد لايبنتز ونيوتن، ساهم العديد من علماء الرياضيات في التطوير المستمر لعلم التفاضل والتكامل. ومن أوائل وأشمل الأعمال في كل من حساب التفاضل والتكامل وحساب المقادير المتناهية الصغر، كتابٌ كتبته ماريا غايتانا أنييسي عام ١٧٤٨. ^{[ ٥٧ ] [ ٥٨ ]}

بدأ حساب التفاضل والتكامل التغيري مع أعمال إسحاق نيوتن ، كما في مسألة المقاومة الدنيا لنيوتن ، ^{[ 59 ]} التي صاغها وحلها نيوتن عام 1685، ونشرها لاحقًا في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" عام 1687، ^{[ 60 ]} وكانت هذه المسألة أول مسألة في هذا المجال تُصاغ وتُحل بشكل صحيح، وكانت من أصعب المسائل التي تناولتها طرق حساب التفاضل والتكامل التغيري قبل القرن العشرين. ^{[ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]} تبع ذلك مسألة منحنى براكيستوكرون ليوهان برنولي (1696)، التي حلها برنولي باستخدام مبدأ أقل زمن، وليس حساب التفاضل والتكامل التغيري، بينما استخدمه نيوتن لحلها عام 1697، وبذلك كان رائدًا في هذا المجال من خلال عمله على هاتين المسألتين. ^{[ 62 ]} كانت المشكلة مشابهة لتلك التي طرحها غاليليو غاليلي عام 1638، لكنه لم يحلها صراحةً ولم يستخدم الطرق القائمة على حساب التفاضل والتكامل. ^{[ 61 ]} استحوذت هذه المشكلة على اهتمام جاكوب برنولي فورًا، لكن ليونارد أويلر كان أول من فصّل الموضوع. بدأت إسهاماته عام 1733، وأعطى كتابه " عناصر حساب التفاضل والتكامل" اسم هذا العلم. ساهم جوزيف لويس لاغرانج بشكل كبير في النظرية، ووضع أدريان ماري ليجندر (1786) طريقةً، غير مُرضية تمامًا، للتمييز بين القيم العظمى والصغرى. ومن بين المساهمين في هذا التمييز: بروناتشي (1810)، وكارل فريدريش غاوس (1829)، وسيميون دينيس بواسون (1831)، وميخائيل فاسيليفيتش أوستروغرادسكي (1834)، وكارل غوستاف جاكوب جاكوبي (1837). يُعدّ كتاب ساروس (1842) عملاً عاماً هاماً، وقد قام أوغسطين لويس كوشي (1844) بتلخيصه وتحسينه . كما كُتبت رسائل ومذكرات قيّمة أخرى من قِبل ستراوخ (1849)، وجيليت (1850)، وأوتو هيسه (1857)، وألفريد كليبش (1858)، وكارل (1885)، ولكن ربما يكون أهم عمل في القرن هو عمل كارل فايرشتراس . ويمكن القول إنّ دورته في النظرية هي الأولى التي أرست أسساً متينة ودقيقة في حساب التفاضل والتكامل.

كان أنطوان أربوغاست (1800) أول من فصل رمز العملية عن رمز الكمية في المعادلة التفاضلية. ويبدو أن فرانسوا جوزيف سيرفوا (1814) كان أول من وضع قواعد صحيحة في هذا الشأن. وطبّق تشارلز جيمس هارغريف (1848) هذه الأساليب في مذكراته عن المعادلات التفاضلية، واستخدمها جورج بول على نطاق واسع. كما استفاد هيرمان غراسمان وهيرمان هانكل استفادة كبيرة من هذه النظرية، الأول في دراسة المعادلات ، والثاني في نظريته للأعداد المركبة .

يبدو أن نيلز هنريك أبيل كان أول من تناول بشكل عام مسألة المعادلات التفاضلية التي يمكن تكاملها في صيغة محدودة باستخدام الدوال العادية، وهو بحث وسّعه ليوفيل . وقد شرع كوشي مبكراً في وضع النظرية العامة لتحديد التكاملات المحددة ، وبرز هذا الموضوع خلال القرن التاسع عشر. ومن بين المساهمات الجديرة بالذكر : تكاملات فرولاني ، وعمل ديفيد بيرنز دي هان على النظرية وجداوله المفصلة، ​​ومحاضرات ليجون ديريشليه التي جُمعت في أطروحة ماير ، والعديد من مذكرات ليجندر ، وبواسون ، وبلانا ، وراب ، وسونكه ، وشلوميلش ، وإليوت ، وليودسدورف ، وكرونيكر .

تمت دراسة التكاملات الأويلرية لأول مرة بواسطة أويلر ، ثم قام ليجندر بدراستها، حيث صنفها على أنها تكاملات أويلرية من النوع الأول والثاني، على النحو التالي:

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n-1}(1-x)^{n-1}\,dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}\,dx}$

على الرغم من أن هذه لم تكن الأشكال الدقيقة لدراسة أويلر.

إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx=(n-1)!,}$

لكن التكامل يتقارب لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة${\displaystyle n}$ويُعرّف امتدادًا تحليليًا لدالة المضروب إلى جميع أجزاء المستوى المركب باستثناء الأقطاب عند الصفر والأعداد الصحيحة السالبة. وقد خصّص له ليجاندر الرمز${\displaystyle \Gamma }$وتُسمى الآن دالة غاما . بالإضافة إلى كونها تحليلية على الأعداد الحقيقية الموجبة${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$،${\displaystyle \Gamma }$كما يتمتع بالخاصية المميزة الفريدة التي${\displaystyle \log \Gamma }$هي دالة محدبة ، مما يبرر جماليًا هذا الاستمرار التحليلي لدالة المضروب على أي استمرار تحليلي آخر. وقد أسهم ليجون ديريشليه في هذا الموضوع بنظرية مهمة (ليوفيل، 1839)، والتي قام ليوفيل وكاتالان وليسل إليس وآخرون بتطويرها. كما كتب راب (1843-1844) وباور (1859) وجودرمان (1845) عن تقييم${\displaystyle \Gamma (x)}$و${\displaystyle \log \Gamma (x)}$ظهرت طاولة ليجيندر العظيمة في عام 1816.

• كالينجر، رونالد (1999). تاريخ سياقي للرياضيات . برنتيس هول. ISBN 978-0-02-318285-3. OCLC 40479696 . 
• رييس، ميتشل (2004). "البلاغة في الرياضيات: نيوتن، لايبنتز، حساب التفاضل والتكامل، والقوة البلاغية للمتناهي في الصغر". المجلة الفصلية للخطابة . 90 (2): 159-184 . doi : 10.1080/0033563042000227427 . S2CID 145802382 .