العجز المتوقع

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 136 صور
الموسوعة الحرة

يُعدّ العجز المتوقع ( ES ) مقياسًا للمخاطر ، وهو مفهوم يُستخدم في مجال قياس المخاطر المالية لتقييم مخاطر السوق أو مخاطر الائتمان لمحفظة استثمارية. ويُعرّف "العجز المتوقع عند مستوى q%" بأنه العائد المتوقع على المحفظة في أسوأ الظروف.q%{\displaystyle q\%}من الحالات. يُعد ES بديلاً عن القيمة المعرضة للخطر وهو أكثر حساسية لشكل ذيل توزيع الخسارة.

يُطلق على العجز المتوقع أيضًا اسم القيمة المشروطة المعرضة للخطر ( CVaR )، والقيمة المتوسطة المعرضة للخطر ( AVaR )، والقيمة المعرضة للخطر في الذيل ( TVaR )، والتوقع المشروط في الذيل ( CTE )، والخسارة المتوقعة في الذيل ( ETL )، والكمية الفائقة . [ 1 ] [ 2 ] غالبًا ما تُستخدم هذه المصطلحات بشكل متبادل، على الرغم من وجود تعريفات متعددة في الأدبيات. تتطابق هذه التعريفات في كثير من الحالات، ولكنها قد تختلف لأنواع معينة من توزيعات الخسائر. [ 3 ]

خلفية

تُستخدم مقاييس المخاطر في كلٍّ من التمويل الرياضي وعلم الإكتوارية ، وغالبًا ما تُعبَّر مقاييس القيمة المعرضة للخطر والعجز المتوقع باستخدام اصطلاحات إشارة وذيول مختلفة في هذين المجالين. ويتناول النقاش التالي وجهة نظر التمويل الرياضي.

في التمويل الرياضي، تظهر مقاييس المخاطر عند النظر في توزيع الربح/الخسارة، أي العائد، لمحفظة مالية، يتم نمذجتها كمتغير عشوائيX{\displaystyle X}يمكن أن تأخذ هذه القيم قيمًا موجبة أو سالبة، ويتوافق خطر الجانب السلبي مع الكميات ذاتα{\displaystyle \alpha }قريب من الصفر. عتبة المخاطرةα∈[0،1]{\displaystyle \alpha \in [0,1]}يتم اختياره، وVaRα⁡(X){\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}يُعرَّف بأنه القيمة المطلقة لـα{\displaystyle \alpha }كميةX{\displaystyle X}(مع تجاهل بعض التفاصيل الفنية). هذا هو أيضاً1-α{\displaystyle 1-\alpha }كمية-X{\displaystyle -X}العجز المتوقع عند المستوىα{\displaystyle \alpha }ثم يُعرَّف بأنه متوسط ​​قيمةVaRγ⁡(X){\displaystyle \operatorname {VaR} _{\gamma }(X)}لγ{\displaystyle \gamma }في الفترة[0،α]{\displaystyle [0,\alpha ]}أي أنه متوسط ​​قيمة المخاطر (VaR) على جميع المستويات الأدنىα{\displaystyle \alpha }.

يُعتبر العجز المتوقع غالبًا أفضل من القيمة المعرضة للخطر (VaR) لأنه يأخذ في الاعتبار شدة الفشل، وليس فقط احتمالية حدوثه. علاوة على ذلك، فهو مقياس طيفي متماسك لمخاطر المحفظة المالية، على عكس القيمة المعرضة للخطر. وهو عبارة عن مجموعة من الخصائص الرياضية، إحداها تضمن ألا يؤدي تنويع المحفظة أبدًا إلى زيادة مستوى المخاطر. عند النظر إلى القيمة الناتجة عن مقياس المخاطر على أنها متطلبات احتياطي رأس المال، يكون العجز المتوقع عند مستوىα{\displaystyle \alpha }دائماً ما يكون أكثر تحفظاً من القيمة المعرضة للخطر عند نفس المستوى، أي أن القيمة المتوقعة دائماً ما تكون على الأقل بنفس حجم القيمة المعرضة للخطر عند نفس المستوى.

التعريف الرسمي

لوX{\displaystyle X}هو متغير عشوائي قابل للتكامل يمثل عائد محفظة استثمارية في وقت مستقبلي ما و0<α≤1{\displaystyle 0<\alpha \leq 1}ثم النقص المتوقع فيX{\displaystyle X}على مستوىα{\displaystyle \alpha }يكون

ESα⁡(X)=1α∫0αVaRγ⁡(X)دγ{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma }

أينVaRγ{\displaystyle \operatorname {VaR} _{\gamma }}القيمة المعرضة للخطر .

تظهر تعريفات أخرى في المراجع تحت مسميات ES وTVaR وAVaR وCTE وCVaR. ويُعدّ التعبير المذكور أعلاه، باعتباره تكاملاً لقيم VaR، متسقًا ومحددًا جيدًا في الحالة العامة. وتتفق التعريفات الأخرى عادةً في ظل افتراضات مشتركة، مثل استمرارية توزيع الخسارة، ولكنها قد تختلف بالنسبة للتوزيعات التي تحتوي على عناصر.

التعريف أعلاه يعادل

ESα⁡(X)=-1α(هـ⁡[X 1{X≤xα}]+xα(α-P[X≤xα])){\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\left(\operatorname {E} [X\ 1_{\{X\leq x_{\alpha }\}}]+x_{\alpha }(\alpha -P[X\leq x_{\alpha }])\right)}

أينxα=معلومات{x∈R:P(X≤x)≥α}=-VaRα⁡(X){\displaystyle x_{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :P(X\leq x)\geq \alpha \}=-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}هو الأدنىα{\displaystyle \alpha }- الكمية و1أ(x)={1لو x∈أ0آخر{\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{else}}\end{cases}}}هي دالة المؤشر . [ 3 ]

يُعرّف بعض المؤلفين النقص المتوقع، أو التوقع الشرطي للذيل، أو الكميات ذات الصلة بشكل مباشر على أنها توقع شرطي يتجاوز الكمية ذات الصلة، [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

ESα⁡(X)=-هـ[X|X<xα]{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-E[X|X<x_{\alpha }]}

تتفق هذه الصيغة مع التعريف العام أعلاه عندما يكون التوزيع مستمرًا عندxα{\displaystyle x_{\alpha }}لكن قد تختلف هذه الصيغة بالنسبة للتوزيعات التي تحتوي على ذرات عند المئين. في الواقع، يتلاشى الحد الثاني في الصيغة التي تسبق هذا الحد مباشرةً بالنسبة للمتغيرات العشوائية ذات دوال التوزيع المستمرة، ومن ثمّ تستنتج صيغة التوقع الشرطي هذه.

ينشأ بعض التباين في التعريفات من اختلاف الاصطلاحات المستخدمة بين، على سبيل المثال، الرياضيات المالية وعلم الإكتوارية، حيث يمكن ترجمة المصطلحات المكتوبة وفقًا لمجموعة من الاصطلاحات إلى سياق ذي اصطلاحات مختلفة. لكن ثمة تناقضًا آخر، إذ تُستخدم في بعض الحالات تعريفات مختلفة جوهريًا للمصطلح نفسه. فعلى سبيل المثال، يُعرّف سويتينغ القيمة المعرضة للخطر (TVaR) بأنها التوقع الشرطي النهائي، بينما يُعرّف العجز المتوقع بأنه النسخة المُقاسة.αTVaRα⁡(X){\displaystyle \alpha \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)}[ 8 ]​

توجد في الأدبيات عدة صيغ مترابطة، وإن كانت تختلف اختلافًا طفيفًا، لمفهوم القيمة المعرضة للخطر (TVaR). ومن الشائع في الأدبيات تعريف TVaR ومتوسط ​​القيمة المعرضة للخطر على أنهما نفس المقياس. [ 9 ] وبموجب بعض الصيغ، يكون مكافئًا للعجز المتوقع فقط عندما تكون دالة التوزيع الأساسية متصلة عندVaRα⁡(X){\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}، القيمة المعرضة للخطر من المستوىα{\displaystyle \alpha }.

التمثيل الثنائي هو

ESα⁡(X)=معلوماتسؤال∈سؤالαهـسؤال[X]{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\inf _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }}E^{Q}[X]}

أينسؤالα{\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }}هي مجموعة مقاييس الاحتمال التي تكون متصلة اتصالاً مطلقاً بالمقياس الفيزيائيP{\displaystyle P}بحيثدسؤالدP≤α-1{\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha ^{-1}}شبه مؤكد . [ 10 ] لاحظ أندسؤالدP{\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}هو مشتق رادون-نيكوديم منسؤال{\displaystyle Q}بالنسبة إلىP{\displaystyle P}.

يمكن تعميم العجز المتوقع على فئة عامة من مقاييس المخاطر المتماسكةلص{\displaystyle L^{p}}الفضاءات ( فضاء Lp ) مع توصيف ثنائي مقابل في الفضاء المقابللq{\displaystyle L^{q}}الفضاء المزدوج . يمكن توسيع المجال ليشمل قلوب أورليتش الأكثر عمومية. [ 11 ]

إذا كان التوزيع الأساسي لـX{\displaystyle X}إذا كان التوزيع مستمرًا، فإن العجز المتوقع يعادل التوقع الشرطي للذيل المحدد بواسطةثلاثي كلورو الإيثيلينα⁡(X)=هـ[-X|X≤-VaRα⁡(X)]{\displaystyle \operatorname {TCE} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]}[ 12 ]​

بشكل غير رسمي وغير دقيق، فإن هذه المعادلة تعني "في حالة الخسائر الشديدة التي تحدث بنسبة ألفا بالمائة فقط من الوقت، ما هو متوسط ​​خسارتنا؟".

يمكن أيضًا كتابة العجز المتوقع كمقياس لمخاطر التشوه معطى بواسطة دالة التشوه

ز(x)={x1-αلو 0≤x<1-α،1لو 1-α≤x≤1.{\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha ,\\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1.\end{cases}}\quad }[ 13 ] [ 14 ]

أمثلة

مثال 1. إذا كنا نعتقد أن متوسط ​​خسارتنا في أسوأ 5٪ من النتائج المحتملة لمحفظتنا هو 1000 يورو، فيمكننا القول إن العجز المتوقع لدينا هو 1000 يورو لذيل الـ 5٪.

مثال 2. لنفترض محفظة استثمارية ستكون لها القيم المحتملة التالية في نهاية الفترة:

احتمالية وقوع الحدثالقيمة النهائية للمحفظة
10%0
30%80
40%100
20%150

لنفترض الآن أننا دفعنا 100 في بداية الفترة لهذه المحفظة. عندئذٍ يكون الربح في كل حالة هو ( القيمة النهائية - 100) أو:

احتمالية وقوع الحدثربح
10%-100
30%-20
40%0
20%50

لنحسب من هذا الجدول العجز المتوقعESq{\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}بالنسبة لبعض قيمq{\displaystyle q}:

q{\displaystyle q}السقوط المتوقعESq{\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}
5%100
10%100
20%60
30%46. ​​6
40%40
50%32
60%26. 6
80%20
90%12. 2
100%6

لمعرفة كيفية حساب هذه القيم، انظر إلى حسابES0.05{\displaystyle \operatorname {ES} _{0.05}}، وهو التوقع في أسوأ 5% من الحالات. تنتمي هذه الحالات إلى (أو هي جزء من) الصف 1 في جدول الأرباح، حيث يبلغ الربح -100 (خسارة إجمالية قدرها 100 وحدة مستثمرة). الربح المتوقع لهذه الحالات هو -100.

والآن، لننظر في حسابES0.20{\displaystyle \operatorname {ES} _{0.20}}، القيمة المتوقعة في أسوأ 20 حالة من أصل 100 حالة. هذه الحالات هي كالتالي: 10 حالات من الصف الأول، و10 حالات من الصف الثاني (لاحظ أن 10 + 10 يساوي العدد المطلوب وهو 20 حالة). بالنسبة للصف الأول، هناك ربح قدره -100، بينما بالنسبة للصف الثاني، هناك ربح قدره -20. باستخدام صيغة القيمة المتوقعة، نحصل على

10100(-100)+10100(-20)20100=-60.{\displaystyle {\frac {{\frac {10}{100}}(-100)+{\frac {10}{100}}(-20)}{\frac {20}{100}}}=-60.}

وبالمثل بالنسبة لأي قيمة لـq{\displaystyle q}نختار أكبر عدد ممكن من الصفوف بدءًا من الأعلى، وذلك لإعطاء احتمال تراكمي لـq{\displaystyle q}ثم يتم حساب القيمة المتوقعة لتلك الحالات. بشكل عام، قد لا يتم استخدام الصف الأخير المحدد بالكامل (على سبيل المثال في حساب-ES0.20{\displaystyle -\operatorname {ES} _{0.20}}استخدمنا 10 حالات فقط من أصل 30 حالة لكل 100 حالة مقدمة في الصف 2).

كمثال أخير، احسب-ES1{\displaystyle -\operatorname {ES} _{1}}هذا هو المتوقع في جميع الحالات، أو

0.1(-100)+0.3(-20)+0.4⋅0+0.2⋅50=-6.{\displaystyle 0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50=-6.\,}

يتم عرض قيمة المخاطرة (VaR) أدناه للمقارنة.

q{\displaystyle q}VaRq{\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}
0%≤q<10%{\displaystyle 0\%\leq q<10\%}100
10%≤q<40%{\displaystyle 10\%\leq q<40\%}20
40%≤q<80%{\displaystyle 40\%\leq q<80\%}0
80%≤q≤100%{\displaystyle 80\%\leq q\leq 100\%}-50

ملكيات

النقص المتوقعESq{\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}يزداد معq{\displaystyle q}يتناقص.

النقص المتوقع عند النسبة المئوية 100ES1{\displaystyle \operatorname {ES} _{1}}يساوي القيمة المتوقعة للمحفظة الاستثمارية بالقيمة السالبة.

بالنسبة لمحفظة معينة، فإن العجز المتوقعESq{\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}أكبر من أو يساوي القيمة المعرضة للخطرVaRq{\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}في نفس الوقتq{\displaystyle q}مستوى.

تحسين العجز المتوقع

من المعروف أن العجز المتوقع، بصيغته القياسية، يؤدي عمومًا إلى مشكلة تحسين غير محدبة . ومع ذلك، من الممكن تحويل المشكلة إلى برنامج خطي وإيجاد الحل الأمثل الشامل. [ 15 ] هذه الخاصية تجعل العجز المتوقع حجر الزاوية في بدائل تحسين المحفظة الاستثمارية باستخدام متوسط ​​التباين ، والتي تأخذ في الحسبان العزوم العليا (مثل الالتواء والتفرطح ) لتوزيع العائد.

لنفترض أننا نريد تقليل العجز المتوقع لمحفظة استثمارية. يتمثل الإسهام الرئيسي لروكافيلر وأورياسيف في بحثهما المنشور عام 2000 في تقديم الدالة المساعدة.Fα(w،γ){\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}بالنسبة للعجز المتوقع:Fα(w،γ)=γ+11-α∫ℓ(w،x)≥γ[ℓ(w،x)-γ]+ص(x)دx{\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {1-\alpha }}\int _{\ell (w,x)\geq \gamma }\left[\ell (w,x)-\gamma \right]_{+}p(x)\,dx}أينγ=VaRα⁡(X){\displaystyle \gamma =\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}وℓ(w،x){\displaystyle \ell (w,x)}هي دالة خسارة لمجموعة من أوزان المحفظةw∈Rص{\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{p}}يُطبق ذلك على العوائد. وقد أثبت روكافيلر/أورياسيف ذلك.Fα(w،γ){\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}محدب بالنسبة إلىγ{\displaystyle \gamma }وهو ما يعادل العجز المتوقع عند أدنى نقطة. لحساب العجز المتوقع عدديًا لمجموعة من عوائد المحفظة، من الضروري توليدج{\displaystyle J}محاكاة مكونات المحفظة الاستثمارية؛ ويتم ذلك غالبًا باستخدام دوال الاقتران . وباستخدام هذه المحاكاة، يمكن تقريب الدالة المساعدة كما يلي:F~α(w،γ)=γ+1(1-α)ج∑ج=1ج[ℓ(w،xج)-γ]+{\displaystyle {\widetilde {F}}_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}[\ell (w,x_{j})-\gamma ]_{+}}وهذا يعادل الصيغة التالية:مينγ،z،wγ+1(1-α)ج∑ج=1جzج،شارع zج≥ℓ(w،xج)-γ،zج≥0{\displaystyle \min _{\gamma ,z,w}\;\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}z_{j},\quad {\text{s.t. }}z_{j}\geq \ell (w,x_{j})-\gamma ,\;z_{j}\geq 0}وأخيرًا، اختيار دالة خسارة خطيةℓ(w،xج)=-wتيxج{\displaystyle \ell (w,x_{j})=-w^{T}x_{j}}يحوّل هذا الأسلوب مسألة التحسين إلى برنامج خطي. وباستخدام الأساليب القياسية، يصبح من السهل إيجاد المحفظة التي تقلل من العجز المتوقع.

صيغ التوزيعات الاحتمالية المستمرة

توجد صيغ مغلقة لحساب العجز المتوقع عند انخفاض عائد محفظة استثماريةX{\displaystyle X}أو خسارة مماثلةل=-X{\displaystyle L=-X}يتبع توزيعًا مستمرًا محددًا. في الحالة الأولى، يتوافق النقص المتوقع مع العدد المعاكس للتوقع الشرطي للذيل الأيسر أدناه.-VaRα⁡(X){\displaystyle -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}:

ESα⁡(X)=هـ[-X|X≤-VaRα⁡(X)]=-1α∫0αVaRγ⁡(X)دγ=-1α∫-∞-VaRα⁡(X)xو(x)دx.{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}xf(x)\,dx.}

القيم النموذجية لـα{\textstyle \alpha }وفي هذه الحالة، تكون النسبتان 5% و1%.

في التطبيقات الهندسية أو الاكتوارية، من الشائع أكثر مراعاة توزيع الخسائرل=-X{\displaystyle L=-X}، يتوافق النقص المتوقع في هذه الحالة مع التوقع الشرطي للذيل الأيمن المذكور أعلاهVaRα⁡(ل){\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}والقيم النموذجية لـα{\displaystyle \alpha }95% و99%:

ESα⁡(ل)=هـ⁡[ل|ل≥VaRα⁡(ل)]=11-α∫α1VaRγ⁡(ل)دγ=11-α∫VaRα⁡(ل)+∞yو(y)دy.{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\operatorname {E} [L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)\,d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}^{+\infty }yf(y)\,dy.}

بما أن بعض الصيغ أدناه قد تم اشتقاقها لحالة الذيل الأيسر وبعضها لحالة الذيل الأيمن، فإن عمليات التوفيق التالية يمكن أن تكون مفيدة:

ESα⁡(X)=-1αهـ⁡[X]+1-ααESα⁡(ل) و ESα⁡(ل)=11-αهـ⁡[ل]+α1-αESα⁡(X).{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\operatorname {E} [X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L){\text{ and }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {E} [L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(X).}

التوزيع الطبيعي

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع التوزيع الطبيعي (الغاوسي) مع دالة كثافة الاحتمالو(x)=12πσهـ-(x-μ)22σ2{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}إذن، يكون العجز المتوقع مساوياً لـESα⁡(X)=-μ+σφ(Φ-1(α))α{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}، أينφ(x)=12πهـ-x22{\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}هو ملف PDF القياسي العادي،Φ(x){\displaystyle \Phi (x)}هي دالة التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي، لذاΦ-1(α){\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}هو الكمية المعيارية الطبيعية. [ 16 ]

في حالة خسارة محفظة استثماريةل{\displaystyle L}إذا كان يتبع التوزيع الطبيعي، فإن العجز المتوقع يساويESα⁡(ل)=μ+σφ(Φ-1(α))1-α{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}[ 17 ]​

توزيع t المعمم للطالب

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع توزيع t للطالب المعمم مع دالة كثافة الاحتمالو(x)=Γ(ν+12)Γ(ν2)πνσ(1+1ν(x-μσ)2)-ν+12{\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}إذن، يكون العجز المتوقع مساوياً لـESα⁡(X)=-μ+σν+(تي-1(α))2ν-1τ(تي-1(α))α{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}، أينτ(x)=Γ(ν+12)Γ(ν2)πν(1+x2ν)-ν+12{\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}دالة كثافة الاحتمال لتوزيع t القياسي،تي(x){\displaystyle \mathrm {T} (x)}هي دالة التوزيع التراكمي القياسية لتوزيع t، لذاتي-1(α){\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}هو الكمية القياسية لتوزيع t. [ 16 ]

في حالة خسارة محفظة استثماريةل{\displaystyle L}إذا كان يتبع توزيع t المعمم للطالب، فإن العجز المتوقع يساويESα⁡(ل)=μ+σν+(تي-1(α))2ν-1τ(تي-1(α))1-α{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}[ 17 ]​

توزيع لابلاس

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع توزيع لابلاس مع دالة كثافة الاحتمال

و(x)=12بهـ-|x-μ|/ب{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-|x-\mu |/b}}

و cdf

F(x)={1-12هـ-(x-μ)/بلو x≥μ،12هـ(x-μ)/بلو x<μ.{\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu )/b}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu )/b}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}

إذن، يكون العجز المتوقع مساوياً لـESα⁡(X)=-μ+ب(1-ln⁡2α){\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )}لα≤0.5{\displaystyle \alpha \leq 0.5}[ 16 ]​

في حالة خسارة محفظة استثماريةل{\displaystyle L}إذا اتبع توزيع لابلاس، فإن العجز المتوقع يساوي [ 17 ]

ESα⁡(ل)={μ+بα1-α(1-ln⁡2α)لو α<0.5،μ+ب[1-ln⁡(2(1-α))]لو α≥0.5.{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}}

التوزيع اللوجستي

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع التوزيع اللوجستي مع دالة كثافة الاحتمالو(x)=1sهـ-x-μs(1+هـ-x-μs)-2{\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}و cdfF(x)=(1+هـ-x-μs)-1{\displaystyle F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}}إذن، يكون العجز المتوقع مساوياً لـESα⁡(X)=-μ+sln⁡(1-α)1-1αα{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}}[ 16 ]​

في حالة خسارة محفظة استثماريةل{\displaystyle L}إذا اتبعت التوزيع اللوجستي ، فإن العجز المتوقع يساويESα⁡(ل)=μ+s-αln⁡α-(1-α)ln⁡(1-α)1-α{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}}[ 17 ]​

التوزيع الأسي

في حالة خسارة محفظة استثماريةل{\displaystyle L}يتبع التوزيع الأسي بدالة كثافة الاحتمالو(x)={λهـ-λxلو x≥0،0لو x<0.{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}و cdfF(x)={1-هـ-λxلو x≥0،0لو x<0.{\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}إذن، يكون العجز المتوقع مساوياً لـESα⁡(ل)=-ln⁡(1-α)+1λ{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}}[ 17 ]​

توزيع باريتو

في حالة خسارة محفظة استثماريةل{\displaystyle L}يتبع توزيع باريتو مع دالة pdfو(x)={أxمأxأ+1لو x≥xم،0لو x<xم.{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}و cdfF(x)={1-(xم/x)ألو x≥xم،0لو x<xم.{\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}إذن، يكون العجز المتوقع مساوياً لـESα⁡(ل)=xمأ(1-α)1/أ(أ-1){\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}}[ 17 ]​

توزيع باريتو المعمم (GPD)

في حالة خسارة محفظة استثماريةل{\displaystyle L}يتبع برنامج التنمية العالمية بصيغة PDF

و(x)=1s(1+ξ(x-μ)s)(-1ξ-1){\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}

و cdf

F(x)={1-(1+ξ(x-μ)s)-1/ξلو ξ≠0،1-خبرة⁡(-x-μs)لو ξ=0.{\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}

إذن، يكون العجز المتوقع مساوياً لـ

ESα⁡(ل)={μ+s[(1-α)-ξ1-ξ+(1-α)-ξ-1ξ]لو ξ≠0،μ+s[1-ln⁡(1-α)]لو ξ=0،{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s\left[1-\ln(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0,\end{cases}}}

وقيمة المخاطر تساوي [ 17 ]

VaRα⁡(ل)={μ+s(1-α)-ξ-1ξلو ξ≠0،μ-sln⁡(1-α)لو ξ=0.{\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}

توزيع ويبول

في حالة خسارة محفظة استثماريةل{\displaystyle L}يتبع توزيع ويبول بصيغة دالة كثافة الاحتمال (pdf).و(x)={كλ(xλ)ك-1هـ-(x/λ)كلو x≥0،0لو x<0.{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}و cdfF(x)={1-هـ-(x/λ)كلو x≥0،0لو x<0.{\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}إذن، يكون العجز المتوقع مساوياً لـESα⁡(ل)=λ1-αΓ(1+1ك،-ln⁡(1-α)){\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right)}، أينΓ(s،x){\displaystyle \Gamma (s,x)}هي دالة غاما غير الكاملة العليا . [ 17 ]

توزيع القيم المتطرفة المعمم (GEV)

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع GEV مع ملف PDFو(x)={1σ(1+ξx-μσ)-1ξ-1خبرة⁡[-(1+ξx-μσ)-1/ξ]لو ξ≠0،1σهـ-x-μσهـ-هـ-x-μσلو ξ=0.{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}و cdfF(x)={خبرة⁡(-(1+ξx-μσ)-1/ξ)لو ξ≠0،خبرة⁡(-هـ-x-μσ)لو ξ=0.{\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}إذن، يكون العجز المتوقع مساوياً لـESα⁡(X)={-μ-σαξ[Γ(1-ξ،-ln⁡α)-α]لو ξ≠0،-μ-σα[لي(α)-αln⁡(-ln⁡α)]لو ξ=0.{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}وقيمة المخاطر تساويVaRα⁡(X)={-μ-σξ[(-ln⁡α)-ξ-1]لو ξ≠0،-μ+σln⁡(-ln⁡α)لو ξ=0.{\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}، أينΓ(s،x){\displaystyle \Gamma (s,x)}هي دالة غاما غير الكاملة العليا ،لأنا(x)=∫دxln⁡x{\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}هي دالة التكامل اللوغاريتمي . [ 18 ]

في حالة خسارة محفظة استثماريةل{\displaystyle L}إذا اتبعت دالة القيمة الإجمالية المعممة (GEV) ، فإن العجز المتوقع يساويESα⁡(X)={μ+σ(1-α)ξ[γ(1-ξ،-ln⁡α)-(1-α)]لو ξ≠0،μ+σ1-α[y-لي(α)+αln⁡(-ln⁡α)]لو ξ=0.{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\bigl [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\bigl [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}، أينγ(s،x){\displaystyle \gamma (s,x)}هي دالة غاما غير الكاملة الدنيا ،y{\displaystyle y}هو ثابت أويلر-ماسكيروني . [ 17 ]

توزيع القاطع الزائدي المعمم (GHS)

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع توزيع GHS بصيغة PDFو(x)=12σسيش⁡(π2x-μσ){\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}و cdfF(x)=2πدالة الظل العكسي⁡[خبرة⁡(π2x-μσ)]{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]}إذن، يكون العجز المتوقع مساوياً لـESα⁡(X)=-μ-2σπln⁡(لون برونزي⁡πα2)-2σπ2αأنا[لي2⁡(-أنالون برونزي⁡πα2)-لي2⁡(أنالون برونزي⁡πα2)]{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[\operatorname {Li} _{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right]}، أينلي2{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}هو اللوغاريتم الثنائي وأنا=-1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}هي الوحدة التخيلية . [ 18 ]

توزيع جونسون إس يو

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع توزيع جونسون SU مع دالة التوزيع التراكميF(x)=Φ[γ+دلتاسينه-1⁡(x-ξλ)]{\displaystyle F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]}إذن، يكون العجز المتوقع مساوياً لـESα⁡(X)=-ξ-λ2α[خبرة⁡(1-2γدلتا2دلتا2)Φ(Φ-1(α)-1دلتا)-خبرة⁡(1+2γدلتا2دلتا2)Φ(Φ-1(α)+1دلتا)]{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right]}، أينΦ{\displaystyle \Phi }هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي. [ 19 ]

توزيع بور من النوع الثاني عشر

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع توزيع بور من النوع الثاني عشر دالة كثافة الاحتمالو(x)=جكβ(x-γβ)ج-1[1+(x-γβ)ج]-ك-1{\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}و cdfF(x)=1-[1+(x-γβ)ج]-ك{\displaystyle F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k}}، والعجز المتوقع يساويESα⁡(X)=-γ-βα((1-α)-1/ك-1)1/ج[α-1+2F1(1ج،ك؛1+1ج؛1-(1-α)-1/ك)]{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right]}، أين2F1{\displaystyle _{2}F_{1}}هي الدالة فوق الهندسية . أو بدلاً من ذلك،ESα⁡(X)=-γ-βαجكج+1((1-α)-1/ك-1)1+1ج2F1(1+1ج،ك+1؛2+1ج؛1-(1-α)-1/ك){\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)}[ 18 ]​

توزيع داغوم

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع توزيع داغوم بصيغة PDFو(x)=جكβ(x-γβ)جك-1[1+(x-γβ)ج]-ك-1{\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}و cdfF(x)=[1+(x-γβ)-ج]-ك{\displaystyle F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k}}، والعجز المتوقع يساويESα⁡(X)=-γ-βαجكجك+1(α-1/ك-1)-ك-1ج2F1(ك+1،ك+1ج؛ك+1+1ج؛-1α-1/ك-1){\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right)}، أين2F1{\displaystyle _{2}F_{1}}هي الدالة الهندسية الفائقة . [ 18 ]

التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، أي المتغير العشوائيln⁡(1+X){\displaystyle \ln(1+X)}يتبع التوزيع الطبيعي بمعامل كثافة احتماليةو(x)=12πσهـ-(x-μ)22σ2{\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}إذن، فإن العجز المتوقع يساويESα⁡(X)=1-خبرة⁡(μ+σ22)Φ(Φ-1(α)-σ)α{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma \right)}{\alpha }}}، أينΦ(x){\displaystyle \Phi (x)}هي دالة التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي، لذاΦ-1(α){\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}هو الكمية المعيارية الطبيعية. [ 20 ]

التوزيع اللوجستي

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي ، أي المتغير العشوائيln⁡(1+X){\displaystyle \ln(1+X)}يتبع التوزيع اللوجستي مع دالة كثافة الاحتمالو(x)=1sهـ-x-μs(1+هـ-x-μs)-2{\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}إذن، فإن العجز المتوقع يساويESα⁡(X)=1-هـμαأناα(1+s،1-s)πsالخطيئة⁡πs{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}}، أينأناα{\displaystyle I_{\alpha }}هي دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة ،أناα(أ،ب)=بα(أ،ب)ب(أ،ب){\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}.

بما أن دالة بيتا غير الكاملة معرفة فقط للوسائط الموجبة، ففي حالة أكثر عمومية، يمكن التعبير عن النقص المتوقع باستخدام الدالة الهندسية الفائقة :ESα⁡(X)=1-هـμαss+12F1(s،s+1؛s+2؛α){\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha )}[ 20 ]​

في حالة خسارة محفظة استثماريةل{\displaystyle L}يتبع التوزيع اللوجستي اللوغاريتمي مع دالة كثافة الاحتمالو(x)=بأ(x/أ)ب-1(1+(x/أ)ب)2{\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}و cdfF(x)=11+(x/أ)-ب{\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}إذن، فإن العجز المتوقع يساويESα⁡(ل)=أ1-α[πبcsc⁡(πب)-بα(1ب+1،1-1ب)]{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right]}، أينبα{\displaystyle B_{\alpha }}هي دالة بيتا غير المكتملة . [ 17 ]

توزيع لوغاريتمي لابلاس

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع توزيع لوغاريتم لابلاس ، أي المتغير العشوائيln⁡(1+X){\displaystyle \ln(1+X)}يتبع توزيع لابلاس دالة الكثافة الاحتماليةو(x)=12بهـ-|x-μ|ب{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}إذن، فإن العجز المتوقع يساوي

ESα⁡(X)={1-هـμ(2α)بب+1لو α≤0.5،1-هـμ2-بα(ب-1)[(1-α)(1-ب)-1]لو α>0.5.{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}[ 20 ]

توزيع القاطع الزائدي المعمم اللوغاريتمي (log-GHS)

إذا كان عائد المحفظة الاستثماريةX{\displaystyle X}يتبع توزيع لوغاريتمي-جي إتش إس، أي المتغير العشوائيln⁡(1+X){\displaystyle \ln(1+X)}يتبع توزيع GHS بصيغة PDFو(x)=12σسيش⁡(π2x-μσ){\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}إذن، فإن العجز المتوقع يساوي

ESα⁡(X)=1-1α(σ+π/2)(لون برونزي⁡πα2خبرة⁡πμ2σ)2σ/πلون برونزي⁡πα22F1(1،12+σπ؛32+σπ؛-لون برونزي⁡(πα2)2)،{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),}

أين2F1{\displaystyle _{2}F_{1}}هي الدالة الهندسية الفائقة . [ 20 ]

النقص المتوقع الديناميكي

يُعرَّف الشكل المشروط للعجز المتوقع في الوقت t بواسطة

ESαت⁡(X)=هـssرشفةسؤال∈سؤالαت⁡هـسؤال[-X|Fت]{\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}

أينسؤالαت={سؤال=P|Fت:دسؤالدP≤αت-1 مثل}{\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q=P\,\vert _{{\mathcal {F}}_{t}}:{\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha _{t}^{-1}{\text{ a.s.}}\right\}}[ 21 ] [ 22 ]​

هذا ليس مقياسًا للمخاطر متسقًا زمنيًا . أما النسخة المتسقة زمنيًا فتُعطى بواسطة

ραت(X)=هـssرشفةسؤال∈سؤال~αت⁡هـسؤال[-X|Fت]{\displaystyle \rho _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}

بحيث [ 23 ]

سؤال~αت={سؤال≪P:هـ⁡[دسؤالدP|Fτ+1]≤αت-1هـ⁡[دسؤالدP|Fτ]∀τ≥ت مثل}.{\displaystyle {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q\ll P:\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau +1}\right]\leq \alpha _{t}^{-1}\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau }\right]\;\forall \tau \geq t{\text{ a.s.}}\right\}.}

انظر أيضاً

يمكن الاطلاع على طرق التقدير الإحصائي لقيمة المخاطر (VaR) والخسارة المتوقعة (ES) في دراسة إمبريشتس وآخرون [ 24 ] ودراسة نوفاك [ 25 ] . عند التنبؤ بقيمة المخاطر (VaR) والخسارة المتوقعة (ES)، أو عند تحسين المحافظ الاستثمارية لتقليل مخاطر الذيل، من المهم مراعاة التبعية غير المتماثلة وعدم التوزيع الطبيعي في توزيع عوائد الأسهم، مثل الانحدار الذاتي، والتقلب غير المتماثل، والالتواء، والتفرطح [ 26 ] .

مراجع

  1. ↑ أسيربي، كارلو؛ تاش، ديرك (2002). "العجز المتوقع: بديل طبيعي متماسك للقيمة المعرضة للخطر" (ملف PDF) . ملاحظات اقتصادية . 31 (2): 379-388 . arXiv : cond-mat/0105191 . doi : 10.1111/1468-0300.00091 . S2CID 10772757. تاريخ الاسترجاع: 25 أبريل 2012 . 
  2. ↑ روكافيلر، ر. تيريل؛ أورياسيف، ستانيسلاف (2000). "تحسين القيمة المشروطة المعرضة للخطر" (ملف PDF) . مجلة المخاطر . 2 (3): 21-42 . doi : 10.21314/JOR.2000.038 . S2CID 854622 . 
  3. 1 2 أسيربي، كارلو؛ تاش، ديرك (2002). "حول تماسك العجز المتوقع". مجلة المصارف والتمويل . 26 (7): 1487-1503 . arXiv : cond-mat/0104295 . doi : 10.1016/S0378-4266(02)00283-2 .
  4. ↑ أرتزنر، فيليب؛ ديلباين، فريدي؛ إيبر، جان مارك؛ هيث، ديفيد (1999). "مقاييس متماسكة للمخاطر" (ملف PDF) . التمويل الرياضي . 9 (3): 203-228 . doi : 10.1111/1467-9965.00068 . S2CID 6770585. تاريخ الاسترجاع: 3 فبراير 2011 . 
  5. ↑ لاندسمان، زينوفي؛ فالديز، إميليانو (فبراير 2004). "التوقعات الشرطية للذيل لنماذج التشتت الأسي" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه في 3 فبراير 2011 .{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
  6. ↑ لاندسمان، زينوفي؛ ماكوف، أودي؛ شوشي، تومر (يوليو 2013). " التوقعات الشرطية للذيل لتوزيعات الانحراف الإهليلجي المعممة" . doi : 10.2139/ssrn.2298265 . S2CID 117342853. SSRN 2298265 .  {{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
  7. ↑ فالديز، إميليانو (مايو 2004). "التوقع الشرطي المتكرر للذيل لعملية الخسارة اللوغاريتمية الإهليلجية" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه في 3 فبراير 2010 .{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
  8. ↑ سويتينغ، بول (2011). "15.4 مقاييس المخاطر". إدارة مخاطر المؤسسات المالية . سلسلة دولية في العلوم الاكتوارية. مطبعة جامعة كامبريدج . ص 397-401 . ISBN  978-0-521-11164-5. إل سي سي إن 2011025050 . 
  9. ↑ بارجيس؛ كوسيت، مارسو (2009). "تخصيص رأس المال القائم على القيمة المعرضة للخطر باستخدام دوال الاقتران". التأمين: الرياضيات والاقتصاد . 45 (3): 348-361 . CiteSeerX 10.1.1.366.9837 . doi : 10.1016/j.insmatheco.2009.08.002 . 
  10. ↑ فولمر، هـ.؛ شيد، أ. (2008). "مقاييس المخاطر المحدبة والمتماسكة" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه في 4 أكتوبر 2011 .{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
  11. ↑ باتريك تشيريديتو؛ تيانهوي لي (2008). "التوصيف المزدوج لخصائص مقاييس المخاطر على قلوب أورليتش". الرياضيات والاقتصاد المالي . 2 : 2-29 . doi : 10.1007/s11579-008-0013-7 . S2CID 121880657 . 
  12. ↑ "متوسط ​​القيمة المعرضة للخطر" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 19 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 فبراير 2011 .
  13. ↑ جوليا ل. ويرش؛ ماري ر. هاردي. "مقاييس مخاطر التشوه: التماسك والهيمنة العشوائية" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 5 يوليو 2016. تم الاطلاع عليه في 10 مارس 2012 .
  14. ↑ بالباس، أ.؛ جاريدو، ج.؛ مايورال، س. (2008). "خصائص مقاييس مخاطر التشوه" (ملف PDF) . المنهجية والحوسبة في الاحتمالات التطبيقية . 11 (3): 385. doi : 10.1007/s11009-008-9089-z . hdl : 10016/14071 . S2CID 53327887 . 
  15. ↑ روكافيلر، ر. تيريل؛ أورياسيف، ستانيسلاف (2000). "تحسين القيمة المشروطة المعرضة للخطر" (ملف PDF) . مجلة المخاطر . 2 (3): 21-42 . doi : 10.21314/JOR.2000.038 . S2CID 854622 . 
  16. 1 2 3 4 خوخلوف، فالنتين (2016). “القيمة المشروطة المعرضة للخطر للتوزيعات الإهليلجية”. Evropský časopis الاقتصاد والإدارة . 2 (6): 70-79 .
  17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 نورتون، ماثيو؛ خوخلوف، فالنتين؛ أورياسيف، ستان (27-11-2018). "حساب CVaR وbPOE لتوزيعات الاحتمال الشائعة مع تطبيق على تحسين المحفظة وتقدير الكثافة". arXiv : 1811.11301 [ q-fin.RM ].
  18. 1 2 3 4 خوخلوف، فالنتين (21-06-2018). "القيمة المشروطة المعرضة للخطر للتوزيعات غير الشائعة" . doi : 10.2139/ssrn.3200629 . S2CID 219371851. SSRN 3200629 .  {{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
  19. ^ ستوتشي ، باتريسيا (2011/05/31). "تقدير قيمة CVaR على أساس اللحظة: الصيغ شبه المغلقة" . دوى : 10.2139/ssrn.1855986 . S2CID 124145569 . اس اس ار ان 1855986 .  {{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
  20. 1 2 3 4 خوخلوف، فالنتين (2018-06-17). "القيمة المشروطة المعرضة للخطر لتوزيعات اللوغاريتمات". SSRN 3197929 . 
  21. ^ ديتلفسن، كاي؛ سكاندولو، جياكومو (2005). "تدابير المخاطر المحدبة المشروطة والديناميكية" (PDF) . ستوش المالية . 9 (4): 539-561 . سيتيسيركس 10.1.1.453.4944 . دوى : 10.1007/s00780-005-0159-6 . S2CID 10579202 . تم الاسترجاع 11 أكتوبر، 2011 .  
  22. ↑ أتشايو، بياتريس؛ بينر، إيرينا (2011). "مقاييس المخاطر المحدبة الديناميكية" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 2 سبتمبر 2011. تم الاطلاع عليه في 11 أكتوبر 2011 .{{cite journal}}يتطلب الاستشهاد بالمجلة ( مساعدة )|journal=
  23. ↑ شيريديتو، باتريك؛ كوبر، مايكل (مايو 2010). "تكوين مقاييس مخاطر نقدية ديناميكية متسقة زمنيًا في الزمن المتقطع" (ملف PDF) . المجلة الدولية للتمويل النظري والتطبيقي . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 19 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه في 4 فبراير 2011 .
  24. ↑ Embrechts P., Kluppelberg C. and Mikosch T., Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer (1997).
  25. ↑ نوفاك، إس واي، أساليب القيمة القصوى مع تطبيقات في التمويل. تشابمان آند هول/سي آر سي برس (2011). رقم ISBN 978-1-4398-3574-6.
  26. ↑ لو، آر كي واي؛ ألكوك، جيه؛ فاف، آر؛ بريلسفورد، تي. (2013). "الاقترانات الكروية الكلاسيكية في سياق إدارة المحافظ الحديثة: هل هي مجدية؟" (ملف PDF) . مجلة المصارف والتمويل . 37 (8): 3085-3099 . doi : 10.1016/j.jbankfin.2013.02.036 . S2CID 154138333 .