التناظر المطابق

التناظر المطابق هو خاصية من خواص الزمكان تضمن ثبات الزوايا حتى مع تغير المسافات. فإذا مددنا الزمكان أو ضغطناه أو شوّهناه بأي شكل من الأشكال، تبقى العلاقات الزاوية المحلية بين الخطوط أو المنحنيات كما هي. هذه الفكرة توسع مفهوم مجموعة بوانكاريه المألوفة - التي تشمل الدوران والانتقال والتمدد - لتشمل المجموعة المطابقة الأكثر شمولاً.

يشمل التناظر المطابق تحويلات وتمددات مطابقة خاصة . في ثلاثة أبعاد مكانية بالإضافة إلى بُعد زمني واحد، يمتلك التناظر المطابق 15 درجة حرية : عشرة لمجموعة بوانكاريه، وأربعة لتحويلات مطابقة خاصة، وواحدة للتمدد.

كان هاري بيتمان وإبينزر كانينغهام أول من درس التناظر المطابق لمعادلات ماكسويل . وقد أطلقوا على التعبير العام للتناظر المطابق اسم تحويل الموجة الكروية . ^{[ 1 ]}

جبر لي للمجموعة المطابقة له التمثيل التالي : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_ {\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\جزئي ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\جزئي _{\mu }-2x_{\mu}x_{\nu }\جزئي ^{\nu })\,,\end{محاذاة}}}$

أين${\displaystyle M_{\mu \nu }}$مولدات لورنتز ،​${\displaystyle P_{\mu }}$يُنشئ الترجمات ،${\displaystyle D}$يُنشئ تحويلات قياس (تُعرف أيضًا باسم التمددات أو التمديدات) و${\displaystyle K_{\mu }}$يُنتج التحويلات المطابقة الخاصة .

علاقات التبادل هي كما يلي: ^{[ 2 ]}

$// })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{محاذاة}}}$

تختفي المبدلات الأخرى. هنا${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$هو موتر مينكوفسكي المتري .

بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle D}$هو كمية قياسية و${\displaystyle K_{\mu }}$هو متجه متغاير تحت تحويلات لورنتز .

يتم إعطاء التحويلات المطابقة الخاصة بواسطة ^{[ 3 ]}

${\displaystyle x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}}$

أين${\displaystyle a^{\mu }}$هو مُعامل يصف التحويل. ويمكن كتابة هذا التحويل المطابق الخاص أيضًا على النحو التالي:${\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }}$، أين

${\displaystyle {\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },}$

مما يدل على أنها تتكون من قلب، متبوعًا بإزاحة، متبوعًا بقلب ثانٍ.

في الزمكان ثنائي الأبعاد ، تكون تحويلات المجموعة المطابقة هي التحويلات المطابقة . وهناك عدد لا نهائي منها.

في أكثر من بعدين، تقوم التحويلات المطابقة الإقليدية بتحويل الدوائر إلى دوائر، والكرات الفائقة إلى كرات فائقة مع اعتبار الخط المستقيم دائرة متدهورة والمستوى الفائق دائرة فائقة متدهورة.

في أكثر من بعدين لورنتزيين ، تقوم التحويلات المطابقة بتحويل الأشعة الصفرية إلى أشعة صفرية والمخاريط الضوئية إلى مخاريط ضوئية، مع كون المستوى الفائق الصفري مخروطًا ضوئيًا متدهورًا.

وجد الفيزيائيون أن العديد من نماذج الشبكة تصبح ثابتة توافقياً في الحد الحرج. ومع ذلك، لم تظهر البراهين الرياضية لهذه النتائج إلا بعد فترة طويلة، وفي بعض الحالات فقط.

في عام 2010، مُنح عالم الرياضيات ستانيسلاف سميرنوف ميدالية فيلدز "لإثباته الثبات المطابق للترشيح ونموذج إيزينغ المستوي في الفيزياء الإحصائية". ^{[ 6 ]}

في عام 2020، أثبت عالم الرياضيات هوغو دومينيل-كوبين وزملاؤه وجود خاصية الثبات الدوراني عند الحدود الفاصلة بين الأطوار في العديد من الأنظمة الفيزيائية. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• نظرية كولمان-ماندولا
• نظرية المجال المطابق
• مجموعة مطابقة
• معادلة القتل المطابق
• خريطة مطابقة
• Renormalization group
• Scale invariance
• Superconformal algebra

• Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pierre; Sénéchal, David (1997). Conformal Field Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94785-3.