الترتيب الدوري

التعريف العام هو كما يلي: الترتيب الدوري على مجموعة X هو علاقة C ⊂ X ³ ، مكتوبة [ a , b , c ] ، والتي تحقق البديهيات التالية: ^[nb]

1. الدورية: إذا كان [ أ ، ب ، ج ] فإن [ ب ، ج ، أ ]
2. عدم التناظر: إذا كان [ أ ، ب ، ج ] فإن ليس [ ج ، ب ، أ ]
3. خاصية التعدي: إذا كان [ أ ، ب ، ج ] و [ أ ، ج ، د ] فإن [ أ ، ب ، د ]
4. الترابط: إذا كانت a و b و c متميزة، فإن إما [ a , b , c ] أو [ c , b , a ]

تُسمى هذه البديهيات قياسًا على بديهيات عدم التناظر ، والتعدي ، والترابط في العلاقة الثنائية، والتي تُحدد مجتمعةً ترتيبًا خطيًا صارمًا . وقد نظر إدوارد هنتنغتون ( 1916 ، 1924 ) في قوائم بديهيات أخرى محتملة، بما في ذلك قائمة تهدف إلى التأكيد على التشابه بين الترتيب الدوري وعلاقة الوساطة . أما العلاقة الثلاثية التي تُحقق البديهيات الثلاث الأولى، ولكن ليس بالضرورة بديهية الشمولية، فهي ترتيب دوري جزئي . 

بالنظر إلى ترتيب خطي < على مجموعة X ، يتم تعريف الترتيب الدوري على X الناتج عن < على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

[ أ ، ​​ب ، ج ] إذا وفقط إذا كان أ < ب < ج أو ب < ج < أ أو ج < أ < ب

يُنتج ترتيبان خطيان نفس الترتيب الدوري إذا أمكن تحويل أحدهما إلى الآخر عن طريق إعادة ترتيب دوري، كما هو الحال في تقطيع مجموعة أوراق اللعب . ^{[ 3 ]} ويمكن تعريف علاقة الترتيب الدوري بأنها علاقة ثلاثية ناتجة عن ترتيب خطي صارم كما سبق. ^{[ 4 ]}

يؤدي حذف نقطة واحدة من ترتيب دوري إلى ترك ترتيب خطي. بتعبير أدق، بالنظر إلى مجموعة مرتبة دوريًا${\displaystyle (K,[\cdot ,\cdot ,\cdot ])}$كل عنصر${\displaystyle a\in K}$يُعرّف ترتيبًا خطيًا طبيعيًا${\displaystyle <_{a}}$فيما يتعلق ببقية المجموعة،${\displaystyle K\setminus \{a\}}$، وفقًا للقاعدة التالية: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle x<_{a}y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle [a,x,y]}$.

علاوة على ذلك،${\displaystyle <_{a}}$يمكن توسيعها عن طريق ضمها إلى${\displaystyle a}$كعنصر أصغر؛ الترتيب الخطي الناتج على${\displaystyle K}$يُطلق عليه اسم القطع الرئيسي ذو العنصر الأصغر${\displaystyle a}$وبالمثل، المجاور${\displaystyle a}$يؤدي كون العنصر الأكبر إلى قطع${\displaystyle <^{a}}$[ ^{6 ]​}

بافتراض عنصرين${\displaystyle a\neq b\in K}$، الفاصل الزمني المفتوح من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b}$، مكتوب${\displaystyle (a,b)}$، هي مجموعة جميع${\displaystyle x\in K}$بحيث${\displaystyle [a,x,b]}$يُعرّف نظام الفترات المفتوحة الترتيب الدوري بشكل كامل، ويمكن استخدامه كتعريف بديل لعلاقة الترتيب الدوري. ^{[ 7 ]}

فترة زمنية${\displaystyle (a,b)}$له ترتيب خطي طبيعي معطى بواسطة${\displaystyle <_{a}}$يمكن تعريف الفترات نصف المغلقة والفترات المغلقة${\displaystyle [a,b)}$،${\displaystyle (a,b]}$، و${\displaystyle [a,b]}$عن طريق التجاور${\displaystyle a}$كعنصر أدنى و/أو${\displaystyle b}$كعنصر أعظم . ^{[ 8 ]} كحالة خاصة، الفترة المفتوحة${\displaystyle (a,a)}$يُعرَّف بأنه القطع${\displaystyle K\setminus a}$.

وبشكل أعم، مجموعة جزئية مناسبة${\displaystyle S}$ل${\displaystyle K}$يُطلق عليها اسم محدبة إذا احتوت على فاصل زمني بين كل زوج من النقاط: لـ${\displaystyle a\neq b\in S}$، أيضاً${\displaystyle (a,b)}$أو${\displaystyle (b,a)}$يجب أن يكون أيضًا في${\displaystyle S}$[ ^{9 ] يتم} ترتيب المجموعة المحدبة خطيًا حسب القطع${\displaystyle <_{x}}$لأي${\displaystyle x}$غير موجود في المجموعة؛ هذا الترتيب مستقل عن اختيار${\displaystyle x}$.

بما أن للدائرة ترتيبًا باتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة، فإن أي مجموعة ذات ترتيب دوري لها وجهان . يُسمى التقابل بين عناصر المجموعة الذي يحافظ على هذا الترتيب بالتطابق المرتب . إذا بقي الوجه كما هو، يُسمى تطابقًا مباشرًا ، وإلا يُسمى تطابقًا معاكسًا . ^{[ 10 ]} يستخدم كوكسيتر علاقة فصل لوصف الترتيب الدوري، وهذه العلاقة قوية بما يكفي لتمييز وجهي الترتيب الدوري. يمكن تعريف التشاكلات الذاتية لمجموعة مرتبة دوريًا مع C² _، وهي مجموعة العناصر الثنائية للتطابقات المباشرة والمعاكسة.

يمكن تحديد الترتيب الدوري على مجموعة منتهية X عن طريق حقن دالة في دائرة الوحدة، X → S ^1. توجد العديد من الدوال الممكنة التي تُنتج نفس الترتيب الدوري، بل عدد لا نهائي منها. ولقياس هذا التكرار، نحتاج إلى كائن توافقي أكثر تعقيدًا من مجرد عدد. يؤدي فحص فضاء التكوين لجميع هذه الدوال إلى تعريف متعدد السطوح ذي ( n − 1) بُعد ، يُعرف باسم السيكلوهيدرو . طُبقت السيكلوهيدرو لأول مرة في دراسة ثوابت العقد ؛ ^{[ 11 ]} ثم طُبقت مؤخرًا في الكشف التجريبي عن الجينات المُعبر عنها دوريًا في دراسة الساعات البيولوجية . ^{[ 12 ]}

تُسمى فئة التشاكلات للدورات المنتهية القياسية بالفئة الدورية ؛ ويمكن استخدامها لبناء علم التماثل الدوري لآلان كون .

يمكن تعريف درجة دالة بين الدورات، على غرار درجة التحويل المستمر . على سبيل المثال، التحويل الطبيعي من دائرة الخمسات إلى الدائرة اللونية هو تحويل من الدرجة 7. ويمكن أيضًا تعريف رقم الدوران .

• يُطلق على القطع الذي يحتوي على كلٍّ من أصغر عنصر وأكبر عنصر اسم " قفزة" . على سبيل المثال، كل قطع لدورة منتهية Z_{_n} هو قفزة. تُسمى الدورة التي لا تحتوي على قفزات " دورة كثيفة" . ^{[ 13 ] [ 14 ]}
• يُطلق على القطع الذي لا يحتوي على أصغر عنصر ولا أكبر عنصر اسم فجوة . على سبيل المثال، تحتوي الأعداد النسبية Q على فجوة عند كل عدد غير نسبي. كما تحتوي أيضًا على فجوة عند اللانهاية، أي الترتيب المعتاد. تُسمى الدورة التي لا تحتوي على فجوات دورة كاملة . ^{[ 15 ] [ 14 ]}
• ^{يُطلق على} القطع الذي له نقطة نهاية واحدة فقط اسم القطع الرئيسي أو قطع ديديكيند . على سبيل المثال، كل قطع للدائرة S1 هو قطع رئيسي. تُسمى الدورة التي يكون فيها كل قطع رئيسيًا، أي كثيفًا وكاملًا، دورة متصلة . ^{[ 16 ] [ 14 ]}

يتم ترتيب مجموعة جميع القطوع بشكل دوري وفقًا للعلاقة التالية: [< ₁ , < ₂ , < ₃ ] إذا وفقط إذا وُجدت x , y , z بحيث: ^{[ 17 ]}

x < ₁ y < ₁ z ,

x < ₁ y < ₂ z < ₂ x ، و

x < ₁ y < ₁ z < ₃ x < ₃ y .

تُعتبر مجموعة فرعية معينة من هذه الدورة من التخفيضات بمثابة إكمال ديديكيند للدورة الأصلية.

انطلاقًا من مجموعة مرتبة دوريًا K ، يمكن تكوين ترتيب خطي بفردها على طول خط لانهائي. وهذا يجسد المفهوم البديهي لتتبع عدد مرات الدوران حول الدائرة. رسميًا، يُعرَّف الترتيب الخطي على حاصل الضرب الديكارتي Z × K ، حيث Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة ، بتحديد عنصر a واشتراط أن يكون لكل i : ^{[ 18 ]}

إذا _كان [ a , x , y ] ، فإن ai < xi < _{yi <} ai +1 _.​​

على سبيل المثال، تأتي أشهر يناير 2026 ، ومايو 2026 ، وسبتمبر 2026 ، ويناير 2027 بهذا الترتيب.

يُطلق على هذا الترتيب لـ Z × K اسم الغطاء الشامل لـ K. ^{[ملاحظة]} نوع هذا الترتيب مستقل عن اختيار a ، لكن الترميز ليس كذلك، لأن الإحداثي الصحيح "يتغير" عند a . على سبيل المثال، على الرغم من أن الترتيب الدوري لفئات النغمات متوافق مع الترتيب الأبجدي من A إلى G، إلا أنه يتم اختيار C لتكون النوتة الأولى في كل أوكتاف، لذلك في تدوين النوتة-الأوكتاف ، يتبع _{B3 النوتة C4} .

يبدأ البناء العكسي بمجموعة مرتبة خطيًا، ثم يُحوّلها إلى مجموعة مرتبة دوريًا. بفرض وجود مجموعة مرتبة خطيًا L ودالة تقابل T  : L → L تحافظ على الترتيب مع مدارات غير محدودة، فإن فضاء المدارات L / T يكون مرتبًا دوريًا وفقًا للشرط التالي: ^{[ 7 ] [ملاحظة]}

إذا كان a < b < c < T ( a ) ، فإن [ [ a ], [ b ], [ c ] ] .

على وجه الخصوص، يمكن للمرء استعادة K عن طريق تعريف T ( x _i ) = x _{i +1} على Z × K .

توجد أيضًا أغطية من الرتبة n لقيم n المحدودة؛ في هذه الحالة، تغطي مجموعة مرتبة دوريًا مجموعة أخرى مرتبة دوريًا. على سبيل المثال، ساعة الـ 24 ساعة هي غطاء مزدوج لساعة الـ 12 ساعة . في الهندسة، حزمة الأشعة المنبثقة من نقطة في المستوى الموجه هي غطاء مزدوج لحزمة الخطوط غير الموجهة التي تمر عبر النقطة نفسها. ^{[ 19 ]} يمكن تمييز هذه الأغطية برفعها إلى الغطاء الشامل. ^{[ 7 ]}

بالنظر إلى مجموعة مرتبة دوريًا ( K ، []) ومجموعة مرتبة خطيًا ( L ، <) ، فإن المنتج المعجمي (الكلي) هو ترتيب دوري على مجموعة المنتج K × L ، معرف بواسطة [( a ، x )، ( b ، y )، ( c ، z )] إذا تحقق أحد الشروط التالية: ^{[ 20 ]}

• [ أ ، ب ، ج ]
• أ = ب ≠ ج و س < ص
• ب = ج ≠ أ و ص < ع
• ج = أ ≠ ب و ع < س
• أ = ب = ج و [ س ، ص ، ع ]

يبدو الناتج المعجمي K × L على المستوى الكلي مثل K وعلى المستوى المحلي مثل L ؛ ويمكن اعتباره K نسخة من L. يُستخدم هذا التركيب أحيانًا لوصف المجموعات المرتبة دوريًا. ^{[ 21 ]}

يمكن أيضًا دمج مجموعات مرتبة خطيًا مختلفة لتكوين مجموعة مرتبة دائريًا. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا مجموعتان مرتبتان خطيًا _L1 و L2 ، _فيمكن تكوين دائرة بربطهما عند اللانهاية الموجبة والسالبة. يُعرَّف الترتيب الدائري على الاتحاد المنفصل L1 ∪ L2 ∪ _{ −∞, ∞ } بالعلاقة ∞ < _L1 < −∞ < L2 < ∞ _، حيث يكون الترتيب المُستحث على L1 معاكسًا لترتيبه الأصلي. على سبيل المثال، تُرتَّب مجموعة جميع _{خطوط الطول} ترتيبًا دائريًا بربط جميع النقاط غربًا وجميع النقاط شرقًا، بالإضافة إلى خط الزوال الرئيسي وخط الزوال 180. استخدم كولمان ومارشال وأوسياك (2011) هذا البناء عند توصيف فضاءات الترتيبات والأماكن الحقيقية لمتسلسلات لوران الرسمية المزدوجة على حقل مغلق حقيقي . ^{[ 22 ]}

الزمرة المرتبة دوريًا هي مجموعة ذات بنية زمرية وترتيب دوري، بحيث يحافظ كل من الضرب من اليسار واليمين على الترتيب الدوري. دُرست الزمر المرتبة دوريًا لأول مرة بتعمق على يد لاديسلاف ريجر عام ١٩٤٧. ^{[ ٢٧ ]} وهي تعميم للزمر الدورية : الزمرة الدورية اللانهائية Z والزمر الدورية المنتهية Z / n . وبما أن الترتيب الخطي يُولّد ترتيبًا دوريًا، فإن الزمر المرتبة دوريًا هي أيضًا تعميم للزمر المرتبة خطيًا : الأعداد النسبية Q ، والأعداد الحقيقية R ، وهكذا. بعض أهم الزمر المرتبة دوريًا لا تندرج ضمن أي من الفئتين السابقتين: زمرة الدائرة T وزمرها الفرعية، مثل زمرة النقاط النسبية .

يمكن التعبير عن كل زمرة مرتبة دوريًا كزمرة خارج قسمة L / Z ، حيث L زمرة مرتبة خطيًا و Z زمرة جزئية دورية نهائية مشتركة من L. كما يمكن التعبير عن كل زمرة مرتبة دوريًا كزمرة جزئية من حاصل ضرب T × L ، حيث L زمرة مرتبة خطيًا. إذا كانت الزمرة المرتبة دوريًا أرخميدية أو متراصة، فيمكن تضمينها في T نفسها. ^{[ 28 ]}

الترتيب الدوري الجزئي هو علاقة ثلاثية تعمم الترتيب الدوري (الكلي) بنفس الطريقة التي يعمم بها الترتيب الجزئي الترتيب الكلي . وهو دوري، وغير متناظر، ومتعدٍ، ولكنه ليس بالضرورة كليًا. صنف الترتيب هو ترتيب دوري جزئي يحقق بديهية انتشار إضافية . ^{[ 29 ]} استبدال بديهية عدم التناظر بنسخة مكملة ينتج عنه تعريف الترتيب الدوري المشترك . وبالمثل، ترتبط الترتيبات الدورية المشتركة الكلية بالترتيبات الدورية بنفس الطريقة التي ترتبط بها ≤ بـ < .

يخضع النظام الدوري لبديهية التعدي الرباعي القوية نسبيًا. ومن البنى التي تُضعف هذه البديهية نظام CC : وهو علاقة ثلاثية دورية وغير متناظرة وكلية، ولكنها عمومًا غير متعدية. بدلًا من ذلك، يجب أن يخضع نظام CC لبديهية التعدي الخماسي وبديهية داخلية جديدة ، تُقيد التكوينات الرباعية التي تُخالف التعدي الدوري. ^{[ 30 ]}

يشترط في الترتيب الدوري أن يكون متناظرًا تحت التبديل الدوري، [ أ ، ب ، ج ] ⇒ [ ب ، ج ، أ ] ، وغير متناظر تحت الانعكاس: [ أ ، ب ، ج ] ⇒ ¬[ ج ، ب ، أ ] . تُسمى العلاقة الثلاثية غير المتناظرة تحت التبديل الدوري والمتناظرة تحت الانعكاس، بالإضافة إلى صيغ مناسبة من بديهيتي التعدي والشمولية، علاقة الوساطة . تميز العلاقة الرباعية ، المسماة فصل أزواج النقاط، بين الفترتين اللتين يحددهما زوج النقاط على الدائرة. العلاقة بين الترتيب الدائري وفصل أزواج النقاط مماثلة للعلاقة بين الترتيب الخطي وعلاقة الوساطة. ^{[ 31 ]}