اتجاه المنحنى

في الرياضيات ، يُشير اتجاه المنحنى (بما في ذلك المنحنيات المضلعة ) إلى اختيار أحد الاتجاهين الممكنين للتحرك عليه، أي للأمام أو للخلف. على سبيل المثال، في الإحداثيات الديكارتية على المستوى الإقليدي ، يكون المحور السيني مُوجهًا تقليديًا نحو اليمين، والمحور الصادي مُوجهًا للأعلى. عند كل نقطة على طول المنحنى، يوجد اتجاهان مماسان ممكنان، أحدهما متوازي والآخر متعاكس .

في حالة المنحنى المغلق البسيط المستوي (أي المنحنى في المستوى الذي تكون نقطة بدايته هي نفسها نقطة نهايته، وليس له أي تقاطعات أخرى مع نفسه)، يُقال إن اتجاه المنحنى موجب أو عكس عقارب الساعة ، إذا كان الجزء الداخلي من المنحنى دائمًا إلى اليسار (وبالتالي، الجزء الخارجي إلى اليمين) عند السير عليه. أما إذا تم تبديل اليسار واليمين، فإن اتجاه المنحنى سالب أو مع عقارب الساعة . يعتمد هذا التعريف على حقيقة أن كل منحنى مغلق بسيط له جزء داخلي محدد جيدًا، وهو ما يتبع من نظرية منحنى جوردان . على سبيل المثال، الحلقة الداخلية لطريق دائري في بلد تسير فيه السيارات على الجانب الأيمن من الطريق هي منحنى سالب الاتجاه ( مع عقارب الساعة ). في علم المثلثات ، تُعتبر دائرة الوحدة تقليديًا موجهة عكس عقارب الساعة .

يرتبط اتجاه المنحنى بتحديد معلمات نقاطه بواسطة متغير حقيقي. قد يكون للمنحنى معلمات متكافئة عندما تكون هناك دالة رتيبة متزايدة باستمرار تربط معلمات أحد المنحنيين بمعلمات المنحنى الآخر. أما عندما تكون هناك دالة رتيبة متناقصة باستمرار تربط المعلمات، فإن التمثيلات البارامترية تكون متعاكسة ، وينعكس اتجاه المنحنى. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

إن مفهوم توجيه المنحنى هو مجرد حالة خاصة من مفهوم توجيه متعدد الشعب ، أي أنه بالإضافة إلى توجيه المنحنى، يمكن للمرء أيضًا أن يتحدث عن توجيه السطح ، والسطح الفائق ، وما إلى ذلك.

في بُعدين، إذا كانت لدينا مجموعة مرتبة من ثلاثة رؤوس متصلة أو أكثر (كما في لعبة توصيل النقاط ) تُشكّل مضلعًا بسيطًا ، فإن اتجاه المضلع الناتج يرتبط ارتباطًا مباشرًا بإشارة الزاوية عند أي رأس من رؤوس الغلاف المحدب للمضلع، على سبيل المثال، الزاوية ABC في الصورة. في الحسابات، تُحدد إشارة الزاوية الأصغر المتكونة من زوج من المتجهات عادةً بإشارة حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين. ويمكن حساب هذا الأخير كإشارة لمحدد مصفوفة اتجاههما. في الحالة الخاصة عندما يُعرَّف المتجهان بقطعتين مستقيمتين لهما نقطة نهاية مشتركة، مثل الضلعين BA وBC للزاوية ABC في مثالنا، يمكن تعريف مصفوفة الاتجاه كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {O} ={\begin{bmatrix}1&x_{A}&y_{A}\\1&x_{B}&y_{B}\\1&x_{C}&y_{C}\end{bmatrix}}.}$

يمكن الحصول على صيغة لمحددها، على سبيل المثال، باستخدام طريقة توسيع المرافقات :

${\displaystyle {\begin{محاذاة}\det(O)&=1{\begin{vmatrix}x_{B}&y_{B}\\x_{C}&y_{C}\end{vmatrix}}-1{\begin{ vmatrix}x_{A}&y_{A}\\x_{C}&y_{C}\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}\\x_{B}&y_{B}\e nd{vmatrix}}\\[4pt]&=x_{B}y_{C}-y_{B}x_{C}-x_{A}y_{C}+y_{A}x_{C}+x_{A}y_{B}-y_{A}x_{B}\\[4pt]&=(x_{B}y_{C}+x_{A}y_{B}+y_{A}x_{C})-(y_{A}x_{B}+y_{B}x_{C}+x_{A}y_{C}).\end{aligned}}}$

إذا كانت قيمة المحدد سالبة، فإن المضلع يكون متجهًا باتجاه عقارب الساعة. أما إذا كانت قيمة المحدد موجبة، فإن المضلع يكون متجهًا عكس اتجاه عقارب الساعة. وتكون قيمة المحدد غير صفرية إذا لم تكن النقاط أ، ب، ج تقع على استقامة واحدة . في المثال السابق، مع ترتيب النقاط أ، ب، ج، وهكذا، تكون قيمة المحدد سالبة، وبالتالي يكون اتجاه المضلع مع عقارب الساعة.

بمجرد معرفة اتجاه المضلع المُشكَّل من مجموعة مرتبة من الرؤوس، يُمكن تحديد تقعر منطقة محلية من المضلع باستخدام مصفوفة اتجاه ثانية. تتكون هذه المصفوفة من ثلاثة رؤوس متتالية يتم فحصها لتحديد التقعر. على سبيل المثال، في المضلع الموضح أعلاه، إذا أردنا معرفة ما إذا كان تسلسل النقاط FGH مقعرًا أو محدبًا أو على استقامة واحدة (مستويًا)، فإننا نُنشئ المصفوفة

${\displaystyle \mathbf {O} ={\begin{bmatrix}1&x_{F}&y_{F}\\1&x_{G}&y_{G}\\1&x_{H}&y_{H}\end{bmatrix}}.}$

إذا كان محدد هذه المصفوفة يساوي صفرًا، فإن المتتالية تكون خطية - أي ليست مقعرة ولا محدبة. إذا كان لمحددها نفس إشارة محدد مصفوفة التوجيه للمضلع بأكمله، فإن المتتالية تكون محدبة. أما إذا اختلفت الإشارات، فإن المتتالية تكون مقعرة. في هذا المثال، المضلع موجه باتجاه سالب، لكن محدد النقاط FGH موجب، وبالتالي فإن المتتالية FGH مقعرة.

يوضح الجدول التالي قواعد تحديد ما إذا كانت سلسلة من النقاط محدبة أو مقعرة أو مسطحة:

• الهيكل المحدب
• الهندسة التفاضلية للمنحنيات
• قطعة خطية موجهة
• قابلية التوجيه
• دائرة موجهة
• خط موجه
• طول القوس الموقّع

• http://www.math.hmc.edu/faculty/gu/curves_and_surfaces/curves/_topology.html مؤرشف بتاريخ 23-12-2004 في أرشيف الإنترنت (الصفحة غير موجودة بتاريخ 27-07-2023)
• توجيه المنحنى في عالم الرياضيات