إشعاع الجسم الأسود

يتميز إشعاع الجسم الأسود بطيف ترددي متصل يعتمد فقط على درجة حرارة الجسم، ^{[ 9 ]} ويُعرف بطيف بلانك أو قانون بلانك . يبلغ الطيف ذروته عند تردد مميز ينتقل إلى ترددات أعلى مع ارتفاع درجة الحرارة، وفي درجة حرارة الغرفة، يقع معظم الإشعاع في منطقة الأشعة تحت الحمراء من الطيف الكهرومغناطيسي . ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} عندما تتجاوز درجة الحرارة 500 درجة مئوية تقريبًا ، تبدأ الأجسام السوداء في إصدار كميات كبيرة من الضوء المرئي. عند رؤيتها بالعين المجردة في الظلام، يظهر التوهج الخافت الأول بلون رمادي باهت (الضوء المرئي في الواقع أحمر، لكن الضوء منخفض الشدة يُفعّل فقط مستشعرات مستوى الرمادي في العين). مع ارتفاع درجة الحرارة، يصبح التوهج مرئيًا حتى في وجود بعض الضوء المحيط: أولًا بلون أحمر باهت، ثم أصفر، وفي النهاية بلون أبيض مزرق مبهر مع ارتفاع درجة الحرارة. ^{[ 13 ] [ 14 ]} عندما يبدو الجسم أبيض اللون، فإنه يُصدر جزءًا كبيرًا من طاقته على شكل إشعاع فوق بنفسجي . الشمس ، التي تبلغ درجة حرارتها الفعالة حوالي 5800 كلفن، ^{[ 15 ]} هي جسم أسود تقريبًا، ويبلغ طيف انبعاثها ذروته في الجزء المركزي الأصفر المخضر من الطيف المرئي ، ولكنها تتمتع أيضًا بقدرة كبيرة في نطاق الأشعة فوق البنفسجية.

يوفر إشعاع الجسم الأسود نظرة ثاقبة على حالة التوازن الديناميكي الحراري لإشعاع التجويف.

تُصدر معظم أنواع المادة إشعاعًا كهرومغناطيسيًا عند درجة حرارة أعلى من الصفر المطلق . يُمثل هذا الإشعاع تحولًا للطاقة الداخلية للجسم إلى طاقة كهرومغناطيسية، ولذلك يُسمى الإشعاع الحراري . وهو عملية تلقائية لتوزيع الإنتروبيا إشعاعيًا .

على النقيض، تمتص جميع المواد العادية الإشعاع الكهرومغناطيسي بدرجة ما. يُطلق على الجسم الذي يمتص جميع الإشعاعات الساقطة عليه، بجميع أطوالها الموجية ، اسم الجسم الأسود. عندما يكون الجسم الأسود عند درجة حرارة ثابتة، يكون لانبعاثه توزيع تردد مميز يعتمد على درجة الحرارة. يُطلق على هذا الانبعاث اسم إشعاع الجسم الأسود.

يُعدّ مفهوم الجسم الأسود تبسيطًا مثاليًا، إذ لا توجد أجسام سوداء مثالية في الطبيعة. ^{[ 16 ]} يتميز كلٌّ من الجرافيت والسخام بمعامل انبعاثية يزيد عن 0.95، وهما مادتان تُعتبران تقريبًا جيدًا للمادة السوداء المثالية. عمليًا، يُمكن تحديد إشعاع الجسم الأسود على أفضل وجه من خلال إشعاع التوازن في حالة الاستقرار داخل تجويف في جسم صلب، عند درجة حرارة موحدة، يكون معتمًا تمامًا وعاكسًا جزئيًا فقط. ^{[ 16 ]} يُنتج صندوق مغلق ذو جدران من الجرافيت عند درجة حرارة ثابتة، مع وجود ثقب صغير في أحد جوانبه، تقريبًا جيدًا لإشعاع الجسم الأسود المثالي المنبعث من الفتحة. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

يتميز إشعاع الجسم الأسود بتوزيع فريد ومستقر تمامًا لشدة الإشعاع، ما يسمح له بالبقاء في حالة توازن ديناميكي حراري داخل تجويف. ^{[ 16 ]} في حالة التوازن، لكل تردد، تتحدد شدة الإشعاع المنبعث والمنعكس من الجسم بالنسبة للترددات الأخرى (أي صافي كمية الإشعاع الخارج من سطحه، والذي يُسمى الإشعاع الطيفي ) بدرجة حرارة التوازن فقط، ولا تعتمد على شكل الجسم أو مادته أو بنيته. ^{[ 19 ]} بالنسبة للجسم الأسود (ممتص مثالي)، لا يوجد إشعاع منعكس، وبالتالي فإن الإشعاع الطيفي ناتج بالكامل عن الانبعاث. إضافةً إلى ذلك، يُعد الجسم الأسود باعثًا منتشرًا (انبعاثه مستقل عن الاتجاه).

يتحول إشعاع الجسم الأسود إلى توهج ضوئي مرئي إذا كانت درجة حرارة الجسم مرتفعة بدرجة كافية. ^{[ 20 ]} نقطة درابر هي درجة الحرارة التي تتوهج عندها جميع المواد الصلبة بلون أحمر خافت، حوالي 525 درجة مئوية (800 كلفن؛ 980 درجة فهرنهايت) . ^{[ 21 ]} عند   عند درجة حرارة 1000  كلفن ، تبدو فتحة صغيرة في جدار تجويف كبير معتم الجدران يتم تسخينه بشكل موحد (مثل الفرن)، عند النظر إليها من الخارج، حمراء اللون؛عند درجة حرارة 6000  كلفن ، يبدو الضوء أبيض. بغض النظر عن تصميم الفرن أو مادته، طالما أنه مصمم بحيث تمتص جدرانه معظم الضوء الداخل إليه، فإنه سيحتوي على إشعاع يُحاكي إشعاع الجسم الأسود تقريبًا. سيكون طيف الضوء الخارج، وبالتالي لونه، دالةً لدرجة حرارة التجويف فقط. يُطلق على الرسم البياني لشدة الإشعاع الطيفي مقابل التردد (أو الطول الموجي) اسم منحنى الجسم الأسود . ويمكن الحصول على منحنيات مختلفة بتغيير درجة الحرارة.

عندما يبدو الجسم أسود اللون، يكون الامتصاص واضحًا: كمية الضوء الممتصة هي كل الضوء الساقط على سطحه. عندما يكون الجسم الأسود أكبر بكثير من الطول الموجي، تتناسب طاقة الضوء الممتصة تناسبًا طرديًا مع منحنى الجسم الأسود. أما عندما يكون الجسم الأسود صغيرًا، بحيث يكون حجمه مقاربًا للطول الموجي للضوء، يتغير الامتصاص، لأن الجسم الصغير لا يمتص الضوء ذي الطول الموجي الطويل بكفاءة، ولكن مبدأ التساوي التام بين الانبعاث والامتصاص يبقى قائمًا دائمًا في حالة التوازن الديناميكي الحراري.

في المختبر، يُقارب إشعاع الجسم الأسود بالإشعاع المنبعث من ثقب صغير في تجويف كبير، يُسمى " هولراوم" ، داخل جسم معتم تمامًا وعاكس جزئيًا فقط، ويُحافظ على درجة حرارة ثابتة. تُعرف هذه التقنية أيضًا باسم " إشعاع التجويف" . أي ضوء يدخل الثقب سينعكس عن جدران التجويف عدة مرات قبل أن يخرج، وخلال هذه العملية، يكاد يكون من المؤكد امتصاصه. يحدث الامتصاص بغض النظر عن طول موجة الإشعاع الداخل (طالما كان صغيرًا مقارنةً بحجم الثقب). بالتالي، يُعد الثقب تقريبًا دقيقًا للجسم الأسود النظري، وإذا سُخّن التجويف، فسيكون طيف إشعاع الثقب (أي كمية الضوء المنبعث منه عند كل طول موجي) متصلًا، وسيعتمد فقط على درجة الحرارة وكون الجدران معتمة وماصة جزئيًا على الأقل، وليس على المادة المصنوعة منها ولا على المادة الموجودة داخل التجويف (قارن بطيف الانبعاث ).

لا يعتمد الإشعاع أو شدة الإضاءة المرصودة على الاتجاه. لذلك، يُعتبر الجسم الأسود مشعًا لامبرتيًا مثاليًا .

لا تتصرف الأجسام الحقيقية أبدًا كأجسام سوداء مثالية تمامًا، بل إن الإشعاع المنبعث عند تردد معين يمثل جزءًا ضئيلاً من الإشعاع المثالي. تحدد انبعاثية المادة مدى كفاءة الجسم الحقيقي في إشعاع الطاقة مقارنةً بالجسم الأسود. وتعتمد هذه الانبعاثية على عوامل مثل درجة الحرارة وزاوية الانبعاث والطول الموجي. مع ذلك، من الشائع في الهندسة افتراض أن الانبعاثية الطيفية وامتصاصية السطح لا تعتمدان على الطول الموجي، وبالتالي فإن الانبعاثية ثابتة. يُعرف هذا بافتراض الجسم الرمادي .

في حالة الأسطح غير السوداء، تتحدد الانحرافات عن سلوك الجسم الأسود المثالي ببنية السطح، مثل الخشونة أو الحبيبات، والتركيب الكيميائي. وعلى أساس "لكل طول موجي"، تظل الأجسام الحقيقية في حالات التوازن الديناميكي الحراري المحلي خاضعة لقانون كيرشوف : الانبعاثية تساوي الامتصاصية، وبالتالي فإن الجسم الذي لا يمتص كل الضوء الساقط عليه سيصدر إشعاعًا أقل من الجسم الأسود المثالي؛ وقد يعود الامتصاص غير الكامل إلى نفاذ جزء من الضوء الساقط عبر الجسم أو انعكاس جزء منه على سطحه.

في علم الفلك ، تُعتبر الأجرام السماوية، كالنجوم، أجسامًا سوداء في كثير من الأحيان، مع أن هذا التقريب غالبًا ما يكون غير دقيق. ويُظهر إشعاع الخلفية الكونية الميكروي طيفًا يكاد يكون مثاليًا للجسم الأسود . أما إشعاع هوكينغ فهو إشعاع الجسم الأسود المفترض المنبعث من الثقوب السوداء ، عند درجة حرارة تعتمد على كتلة الثقب وشحنته ودورانه. إذا صحّ هذا التوقع، فإن الثقوب السوداء ستتقلص وتتبخر تدريجيًا بمرور الوقت مع فقدانها للكتلة عبر انبعاث الفوتونات والجسيمات الأخرى.

يشع الجسم الأسود طاقةً عند جميع الترددات، لكن شدته تميل بسرعة إلى الصفر عند الترددات العالية (الأطوال الموجية القصيرة). على سبيل المثال، جسم أسود في درجة حرارة الغرفة (جسم أسود تبلغ درجة حرارته 300  كلفن ومساحته متر مربع واحد سيصدر فوتونًا في نطاق الضوء المرئي (390-750  نانومتر) بمعدل متوسط ​​قدره فوتون واحد كل 41 ثانية، مما يعني أنه، بالنسبة لمعظم الأغراض العملية، فإن مثل هذا الجسم الأسود لا يصدر إشعاعًا في نطاق الضوء المرئي. ^{[ 24 ]}

ساعدت دراسة قوانين الأجسام السوداء وفشل الفيزياء الكلاسيكية في وصفها في وضع أسس ميكانيكا الكم .

وفقًا للنظرية الكلاسيكية للإشعاع، إذا اعتُبر كل نمط من أنماط فورييه للإشعاع المتوازن (في تجويف فارغ ذي جدران عاكسة تمامًا) درجة حرية قادرة على تبادل الطاقة، فإنه وفقًا لنظرية التوزيع المتساوي للطاقة في الفيزياء الكلاسيكية، ستكون هناك كمية متساوية من الطاقة في كل نمط. وبما أن عدد الأنماط لا نهائي، فإن هذا يستلزم سعة حرارية لا نهائية ، بالإضافة إلى طيف غير فيزيائي (أي غير حقيقي) للإشعاع المنبعث ينمو بلا حدود مع ازدياد التردد، مما يتنبأ بقدرة انبعاث لا نهائية. تُعرف هذه المشكلة بكارثة الأشعة فوق البنفسجية . علاوة على ذلك، لا تستطيع النظرية الكلاسيكية تفسير الذروة المرصودة تجريبيًا في أطياف الانبعاث (انظر أيضًا قانون فين ).

بدلاً من ذلك، في المعالجة الكمومية لهذه المشكلة، يتم تكميم عدد أنماط الطاقة ، مما يؤدي إلى إضعاف الطيف عند الترددات العالية بما يتوافق مع الملاحظات التجريبية، وبالتالي حل هذه المشكلة المعقدة. لم تُؤخذ الأنماط التي تمتلك طاقة أكبر من الطاقة الحرارية للمادة نفسها في الاعتبار، وبسبب التكميم، تم استبعاد الأنماط التي تمتلك طاقة ضئيلة للغاية.

وبالتالي، بالنسبة للأطوال الموجية الأقصر، يوجد عدد قليل جدًا من الأنماط (ذات طاقة أكبر من${\displaystyle h\nu }$تم السماح بذلك، مما يدعم البيانات التي تفيد بأن الطاقة المنبعثة تنخفض بالنسبة للأطوال الموجية الأقل من الطول الموجي لذروة الانبعاث المرصودة.

لاحظ أن هناك عاملين مسؤولين عن شكل الرسم البياني، ويمكن اعتبارهما متضادين. أولًا، ترتبط الأطوال الموجية الأقصر بعدد أكبر من الأنماط. وهذا يفسر زيادة الإشعاع الطيفي عند الانتقال من أطول الأطوال الموجية نحو الذروة عند الأطوال الموجية الأقصر نسبيًا. ثانيًا، عند الأطوال الموجية الأقصر، يلزم طاقة أكبر للوصول إلى مستوى العتبة اللازم لشغل كل نمط: فكلما زادت الطاقة اللازمة لإثارة النمط، انخفض احتمال شغله. ومع انخفاض الطول الموجي، يصبح احتمال إثارة النمط ضئيلًا للغاية، مما يؤدي إلى شغل عدد أقل من هذه الأنماط: وهذا يفسر انخفاض الإشعاع الطيفي عند الأطوال الموجية القصيرة جدًا، على يسار الذروة. مجتمعين، يُشكلان الرسم البياني المميز. ^{[ 25 ]}

كان حساب منحنى الجسم الأسود تحديًا كبيرًا في الفيزياء النظرية خلال أواخر القرن التاسع عشر. وقد حُلّت هذه المشكلة عام ١٩٠١ على يد ماكس بلانك في الصيغة المعروفة الآن بقانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود. ^{[ ٢٦ ]} من خلال إدخال تعديلات على قانون فين للإشعاع (لا يُخلط بينه وبين قانون فين للإزاحة) بما يتوافق مع الديناميكا الحرارية والكهرومغناطيسية ، وجد تعبيرًا رياضيًا يُطابق البيانات التجريبية بشكل مُرضٍ. كان على بلانك أن يفترض أن طاقة المذبذبات في التجويف مُكمّمة، أي أنها موجودة في مضاعفات صحيحة لكمية ما. بنى أينشتاين على هذه الفكرة واقترح تكميم الإشعاع الكهرومغناطيسي نفسه عام ١٩٠٥ لتفسير التأثير الكهروضوئي . أدت هذه التطورات النظرية في النهاية إلى استبدال الكهرومغناطيسية الكلاسيكية بالديناميكا الكهربائية الكمومية . سُميت هذه الكمات بالفوتونات ، واعتُبر تجويف الجسم الأسود مُحتويًا على غاز من الفوتونات . بالإضافة إلى ذلك، فقد أدى ذلك إلى تطوير توزيعات الاحتمالات الكمومية، والتي تسمى إحصاءات فيرمي-ديراك وإحصاءات بوز-أينشتاين ، وكل منها ينطبق على فئة مختلفة من الجسيمات، وهي الفرميونات والبوزونات .

يُحدد قانون إزاحة فين الطول الموجي الذي يكون عنده الإشعاع في أقصى قوته، بينما يُحدد قانون ستيفان-بولتزمان إجمالي القدرة المنبعثة لكل وحدة مساحة . لذا، مع ارتفاع درجة الحرارة، يتغير لون التوهج من الأحمر إلى الأصفر ثم الأبيض ثم الأزرق. ومع انتقال ذروة الطول الموجي إلى الأشعة فوق البنفسجية وما بعدها، يبقى جزء من الطيف ضمن نطاق الضوء المرئي، بل ويزداد سطوعًا، فيظهر باللون الأزرق. ولن يختفي هذا الجزء أبدًا، بل إن إشعاع الضوء المرئي يزداد باطراد مع ارتفاع درجة الحرارة. ^{[ 27 ]}

ينص قانون ستيفان-بولتزمان على أن إجمالي القدرة الحرارية الإشعاعية المنبعثة من سطح جسم أسود يتناسب طرديًا مع القوة الرابعة لدرجة حرارته المطلقة . وقد صاغ جوزيف ستيفان هذا القانون عام 1879، ثم اشتقه لودفيج بولتزمان لاحقًا ^. ويُعطى القانون بالصيغة E = σT⁴، حيث E هي الحرارة الإشعاعية المنبعثة من وحدة مساحة لكل وحدة زمن (القدرة المنبعثة من وحدة مساحة)، و T هي درجة الحرارة المطلقة، و σ =5.670 367 × 10 ⁻⁸  W·m ⁻² ⋅K ⁻⁴ هو ثابت ستيفان-بولتزمان . ^{[ 28 ]}

ينص قانون بلانك على أن ^{[ 29 ]}$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}\left(e^{\frac {h\nu }{kT}}-1\right)}}\ ,}$$ أين

بالنسبة لسطح جسم أسود، فإن كثافة الإشعاع الطيفي (المعرفة لكل وحدة مساحة عمودية على اتجاه الانتشار) مستقلة عن الزاوية${\displaystyle \theta }$الانبعاث بالنسبة إلى الوضع الطبيعي. ومع ذلك، هذا يعني أنه، وفقًا لقانون جيب التمام للامبرت ،${\displaystyle B_{\nu }(T)\cos \theta }$تمثل كثافة الإشعاع لكل وحدة مساحة من السطح المُشع، حيث تزداد مساحة السطح المشاركة في توليد الإشعاع بمعامل معين.${\displaystyle 1/\cos \theta }$بالنسبة لمنطقة عمودية على اتجاه الانتشار. عند الزوايا المائلة، تصبح مساحات الزاوية المجسمة أصغر، مما يؤدي إلى انخفاض شدة الموجات الكلية.

كثافة تدفق الطاقة المنبعثة أو الإشعاع${\displaystyle B_{\nu }(T,E)}$يرتبط بكثافة تدفق الفوتونات${\displaystyle b_{\nu }(T,E)}$من خلال ^{[ 30 ]}$${\displaystyle B_{\nu }(T,E)=E\cdot b_{\nu }(T,E)}$$

المعادلة نفسها بدلالة${\displaystyle \omega }$سيكون الأمر مختلفًا: ^{[ 31 ]}$${\displaystyle B_{\omega }(T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}\left(e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1\right)}}\ .}$$

يوضح قانون إزاحة فين كيف يرتبط طيف إشعاع الجسم الأسود عند أي درجة حرارة بطيفه عند أي درجة حرارة أخرى. فإذا عرفنا شكل الطيف عند درجة حرارة معينة، يمكننا حساب شكله عند أي درجة حرارة أخرى. ويمكن التعبير عن شدة الطيف كدالة للطول الموجي أو التردد.

من نتائج قانون إزاحة فين أن الطول الموجي الذي تكون عنده شدة الإشعاع لكل وحدة طول موجي الناتج عن جسم أسود له قيمة عظمى محلية أو ذروة،${\displaystyle \lambda _{\mathsf {peak}}}$، هي دالة لدرجة الحرارة فقط: $${\displaystyle \lambda _{\mathsf {peak}}={\frac {b}{T}}\ ,}$$ حيث الثابت${\displaystyle b}$، والمعروف باسم ثابت إزاحة فين ، يساوي ^{[ 32 ]}$${\displaystyle b={\frac {hc}{k\left[5+W_{0}(-5e^{-5})\right]}}\approx 2.897771955\times 10^{-3}\ {\mathsf {mK}},}$$ و${\displaystyle W_{0}}$هي دالة لامبرت W. عند درجة حرارة الغرفة النموذجية 293  كلفن (20  درجة مئوية)، تكون أقصى شدة عند9.9  ميكرومتر  .

وقد ذُكر قانون بلانك أعلاه كدالة للتردد. ويُعطى الحد الأقصى للشدة لهذا القانون بالمعادلة ^{[ 33 ].}$${\displaystyle \nu _{\text{peak}}=T\times 5.879...\times 10^{10}\mathrm {Hz} /\mathrm {K} ~.}$$ في الصيغة غير المعتمدة على الوحدات، تحدث القيمة القصوى عندما${\displaystyle e^{x}\left(1-{\tfrac {1}{3}}x\right)=1}$، أين${\displaystyle x={\tfrac {h\nu }{kT}}}$الحل العددي التقريبي هو${\displaystyle x\approx 2.82}$عند درجة حرارة الغرفة النموذجية البالغة 293 كلفن (20  درجة مئوية)، تكون أقصى شدة لـ${\displaystyle \nu =}$17 تيراهيرتز .

من خلال التكامل${\displaystyle B_{\nu }(T)\cos(\theta )}$على مدى التردد، الإشعاع ( السطوع )${\displaystyle L}$( الوحدات: [القوة] / ([المساحة] × [الزاوية المجسمة]) ) هي $${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }B_{\nu }(T)\cos(\theta )\ \mathrm {d} \nu ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}T^{4}}{15c^{2}h^{3}}}{\frac {\cos(\theta )}{\pi }}=\sigma T^{4}{\frac {\cos(\theta )}{\pi }}}$$ باستخدام${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\ \mathrm {d} x={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$مع${\displaystyle x\equiv {\frac {h\nu }{kT}}}$ومع${\displaystyle \sigma \equiv {\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670373\times 10^{-8}\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}} }$حيث أن ثابت ستيفان-بولتزمان .

على هامش الموضوع، من مسافة بعيدة${\displaystyle {\hat {d}}}$الشدة${\displaystyle \mathrm {d} I}$لكل منطقة${\displaystyle \mathrm {d} A}$يُعد التعبير المفيد عن السطح المشع $${\displaystyle \mathrm {d} I=\sigma T^{4}{\frac {\cos \theta }{\pi {\hat {d}}^{2}}}\ \mathrm {d} A}$$ عندما يكون سطح الاستقبال عموديًا على الإشعاع.

من خلال التكامل اللاحق${\displaystyle L}$فوق الزاوية المجسمة$أوميغا$لجميع الزوايا السمتية (من 0 إلى${\displaystyle 2\pi }$) والزاوية القطبية${\displaystyle \theta }$من 0 إلى${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi ,}$نصل إلى قانون ستيفان-بولتزمان : القوة${\displaystyle j^{\star }}$إن الإشعاع المنبعث لكل وحدة مساحة من سطح الجسم الأسود يتناسب طردياً مع القوة الرابعة لدرجة حرارته المطلقة: $${\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4},}$$ لقد استخدمنا $${\displaystyle \int \cos \theta \ \mathrm {d} \Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta d\theta \ \mathrm {d} \phi =\pi ~.}$$

يُشع جزء كبير من طاقة الإنسان على شكل ضوء الأشعة تحت الحمراء ذي الموجة الطويلة . بعض المواد شفافة في نطاق الأشعة تحت الحمراء، لكنها معتمة للضوء المرئي، كما هو الحال مع الكيس البلاستيكي في صورة الكاميرا الحرارية (أسفل). بينما مواد أخرى شفافة للضوء المرئي، لكنها معتمة أو عاكسة في نطاق الأشعة تحت الحمراء، وهو ما يتضح من قتامة نظارة الرجل.

يشع جسم الإنسان طاقة على شكل ضوء تحت أحمر . صافي الطاقة المشعة هو الفرق بين الطاقة المنبعثة والطاقة الممتصة. $${\displaystyle P_{\text{net}}=P_{\text{emit}}-P_{\text{absorb}}.}$$ بتطبيق قانون ستيفان-بولتزمان، $${\displaystyle P_{\text{net}}=A\sigma \varepsilon \left(T^{4}-T_{0}^{4}\right),}$$ حيث A و T هما مساحة سطح الجسم ودرجة حرارته،${\displaystyle \sigma }$هو ثابت ستيفان-بولتزمان (انظر أعلاه)،${\displaystyle \varepsilon }$هي الانبعاثية ، و T ₀ هي درجة الحرارة المحيطة.

تبلغ المساحة السطحية الإجمالية لشخص بالغ حواليتبلغ مساحة السطح 2  متر ^مربع ، ومعامل انبعاث الأشعة تحت الحمراء المتوسطة والبعيدة للجلد ومعظم الملابس قريب من الواحد، كما هو الحال بالنسبة لمعظم الأسطح غير المعدنية. ^{[ 34 ] [ 35 ]} تبلغ درجة حرارة الجلد حوالي 33  درجة مئوية، ^{[ 36 ]} لكن الملابس تخفض درجة حرارة السطح إلى حوالي 28  درجة مئوية عندما تكون درجة الحرارة المحيطة 20  درجة مئوية. ^{[ 37 ]} وبالتالي، فإن صافي فقدان الحرارة الإشعاعي يبلغ حوالي $${\displaystyle P_{\text{net}}=P_{\text{emit}}-P_{\text{absorb}}=\mathrm {100~W} .}$$ تبلغ الطاقة الإجمالية المُشعّة في يوم واحد حوالي 8 ميغا جول ، أو 2000 سعرة حرارية ( سعرات حرارية غذائية ). يبلغ معدل الأيض الأساسي لرجل يبلغ من العمر 40 عامًا حوالي 35 سعرة حرارية/(م² ^· ساعة)، ^{[ 38 ]} وهو ما يعادل 1700 سعرة حرارية في اليوم، بافتراض نفس المساحة البالغة 2 م² ^. مع ذلك، فإن متوسط ​​معدل الأيض لدى البالغين الخاملين يزيد بنسبة تتراوح بين 50% و70% عن معدلهم الأساسي. ^{[ 39 ]}

توجد آليات أخرى مهمة لفقدان الحرارة، بما في ذلك الحمل الحراري والتبخر . يُعتبر التوصيل الحراري ضئيلاً، إذ أن عدد نوسلت أكبر بكثير من الواحد. ولا يُلجأ إلى التبخر عن طريق التعرق إلا إذا كان الإشعاع والحمل الحراري غير كافيين للحفاظ على درجة حرارة ثابتة (لكن التبخر من الرئتين يحدث على أي حال). وتُعد معدلات الحمل الحراري الحر مماثلة، وإن كانت أقل قليلاً، من معدلات الإشعاع. ^{[ 40 ]} وبالتالي، يُمثل الإشعاع حوالي ثلثي فقدان الطاقة الحرارية في الهواء البارد الساكن. ونظرًا للطبيعة التقريبية للعديد من الافتراضات، لا يُمكن اعتبار هذا إلا تقديرًا تقريبيًا. وتُقلل حركة الهواء المحيط، التي تُسبب الحمل الحراري القسري، أو التبخر من الأهمية النسبية للإشعاع كآلية لفقدان الحرارة.

يؤدي تطبيق قانون فين على انبعاثات جسم الإنسان إلى ذروة طول موجي قدرها $${\displaystyle \lambda _{\text{peak}}=\mathrm {\frac {2.898\times 10^{-3}~K\cdot m}{305~K}} =\mathrm {9.50~\mu m} .}$$ ولهذا السبب، فإن أجهزة التصوير الحراري للبشر تكون أكثر حساسية في نطاق 7-14 ميكرومتر.

يمكن استخدام قانون الجسم الأسود لتقدير درجة حرارة كوكب يدور حول شمسه.

تعتمد درجة حرارة الكوكب على عدة عوامل:

• الإشعاع الساقط من نجمه
• الإشعاع المنبعث من الكوكب (على سبيل المثال، توهج الأرض بالأشعة تحت الحمراء )
• تأثير البياض الذي يتسبب في انعكاس جزء من الضوء بواسطة الكوكب
• تأثير الاحتباس الحراري للكواكب ذات الغلاف الجوي
• الطاقة المتولدة داخلياً بواسطة الكوكب نفسه بسبب التحلل الإشعاعي ، والتسخين المدّي ، والانكماش الأديباتي الناتج عن التبريد .

لا يأخذ التحليل في الاعتبار سوى حرارة الشمس لكوكب في النظام الشمسي .

ينص قانون ستيفان -بولتزمان على إجمالي الطاقة (الطاقة/ثانية) التي تبعثها الشمس:

$${\displaystyle P_{\rm {S\ emt}}=4\pi R_{\rm {S}}^{2}\sigma T_{\rm {S}}^{4}}$$

1

أين

تُصدر الشمس هذه الطاقة بالتساوي في جميع الاتجاهات. ولهذا السبب، لا يصل إلى الكوكب إلا جزء ضئيل منها. الطاقة الشمسية التي تصل إلى الكوكب (في أعلى الغلاف الجوي) هي:

$${\displaystyle P_{\rm {SE}}=P_{\rm {S\ emt}}\left({\frac {\pi R_{\rm {E}}^{2}}{4\pi D^{2}}}\right)}$$

2

أين

بسبب درجة حرارتها العالية، تُصدر الشمس كمية كبيرة من الإشعاع في نطاق الأشعة فوق البنفسجية والمرئية. وفي هذا النطاق الترددي، يعكس الكوكب جزءًا صغيرًا من الإشعاع.${\displaystyle \alpha }$من هذه الطاقة حيث${\displaystyle \alpha }$يمثل معامل الانعكاس أو البياض للكوكب في نطاق الأشعة فوق البنفسجية والمرئية. بعبارة أخرى، يمتص الكوكب جزءًا من الأشعة.${\displaystyle 1-\alpha }$يمتص الكوكب جزءًا من ضوء الشمس، ويعكس الباقي. إذن، الطاقة التي يمتصها الكوكب وغلافه الجوي هي:

$${\displaystyle P_{\rm {abs}}=(1-\alpha )\,P_{\rm {SE}}}$$

3

على الرغم من أن الكوكب لا يمتص إلا كمنطقة دائرية${\displaystyle \pi R^{2}}$ينبعث منها الضوء في جميع الاتجاهات؛ مساحة سطحها الكروي هي${\displaystyle 4\pi R^{2}}$إذا كان الكوكب جسماً أسود مثالياً، فإنه سيصدر إشعاعاً وفقاً لقانون ستيفان-بولتزمان .

$${\displaystyle P_{\rm {emt\,bb}}=4\pi R_{\rm {E}}^{2}\sigma T_{\rm {E}}^{4}}$$

4

أين${\displaystyle T_{\rm {E}}}$هي درجة حرارة الكوكب. تُحسب هذه الدرجة في حالة اعتبار الكوكب جسمًا أسودًا عن طريق ضبط${\displaystyle P_{\rm {abs}}=P_{\rm {emt\,bb}}}$تُعرف هذه القيمة بدرجة الحرارة الفعّالة . من المرجح أن تختلف درجة الحرارة الفعلية للكوكب، اعتمادًا على خصائص سطحه وغلافه الجوي. وبإهمال الغلاف الجوي وتأثير الاحتباس الحراري، فإن الكوكب، نظرًا لانخفاض درجة حرارته مقارنةً بالشمس، يُصدر إشعاعًا في الغالب في نطاق الأشعة تحت الحمراء من الطيف. في هذا النطاق الترددي، يُصدر الكوكب...${\displaystyle {\overline {\epsilon }}}$من الإشعاع الذي ينبعث من الجسم الأسود حيث${\displaystyle {\overline {\epsilon }}}$تمثل متوسط ​​الانبعاثية في نطاق الأشعة تحت الحمراء. وبالتالي، فإن الطاقة المنبعثة من الكوكب هي:

$${\displaystyle P_{\rm {emt}}={\overline {\epsilon }}\,P_{\rm {emt\,bb}}}$$

5

بالنسبة لجسم في حالة توازن تبادل إشعاعي مع محيطه، فإن معدل انبعاث الطاقة الإشعاعية يساوي معدل امتصاصها: ^{[ 41 ] [ 42 ]}

$${\displaystyle P_{\rm {abs}}=P_{\rm {emt}}}$$

6

باستبدال تعبيرات الطاقة الشمسية وطاقة الكوكب في المعادلات من 1 إلى 6 وتبسيطها، نحصل على درجة الحرارة المقدرة للكوكب، مع تجاهل تأثير الاحتباس الحراري، T _P :

$${\displaystyle T_{P}=T_{S}{\sqrt {\frac {R_{S}{\sqrt {\frac {1-\alpha }{\overline {\varepsilon }}}}}{2D}}}}$$

7

بمعنى آخر، بالنظر إلى الافتراضات التي تم وضعها، فإن درجة حرارة الكوكب تعتمد فقط على درجة حرارة سطح الشمس، ونصف قطر الشمس، والمسافة بين الكوكب والشمس، والبياض، وانبعاث الأشعة تحت الحمراء للكوكب.

لاحظ أن الكرة الرمادية (ذات الطيف المسطح) حيث${\displaystyle (1-\alpha )={\overline {\varepsilon }}}$تصل درجة حرارتها إلى نفس درجة حرارة الجسم الأسود بغض النظر عن درجة لونه، سواء كان داكنًا أو فاتحًا.

يُعدّ إشعاع الخلفية الكونية الميكروي المرصود اليوم أنقى إشعاع جسم أسود رُصد في الطبيعة، حيث تبلغ درجة حرارته حوالي 2.7  كلفن. ^{[ 52 ]} وهو بمثابة "لقطة" للإشعاع عند لحظة انفصال المادة عن الإشعاع في الكون المبكر. قبل ذلك، كانت معظم المادة في الكون على شكل بلازما متأينة في حالة توازن حراري، وإن لم يكن توازنًا ديناميكيًا حراريًا كاملًا، مع الإشعاع.

عند درجات حرارة عالية جدًا (أعلى من 10 ^{^10}  كلفن؛ وهي درجات حرارة كانت موجودة في بدايات الكون)، حيث تفصل الحركة الحرارية البروتونات والنيوترونات على الرغم من القوى النووية القوية، تظهر أزواج الإلكترون-بوزيترون وتختفي تلقائيًا وتكون في حالة توازن حراري مع الإشعاع الكهرومغناطيسي. تشكل هذه الجسيمات جزءًا من طيف الجسم الأسود، بالإضافة إلى الإشعاع الكهرومغناطيسي. ^{[ 53 ]}

تتميز مصابيح التنجستن المتوهجة بطيف جسم أسود متصل بدرجة حرارة لونية تبلغ حوالي 2700 كلفن (2430 درجة مئوية؛ 4400 درجة فهرنهايت) ، كما أنها تُصدر طاقة كبيرة في نطاق الأشعة تحت الحمراء. أما مصابيح الفلورسنت ومصابيح LED الحديثة ، الأكثر كفاءة، فلا تمتلك طيف انبعاث جسم أسود متصل، بل تُصدر الضوء مباشرةً، أو باستخدام تركيبات من الفوسفور تُصدر أطيافًا ضيقة متعددة.   

في عام ١٨٥٨، وصف بلفور ستيوارت تجاربه على القدرات الإشعاعية الحرارية، الانبعاثية والامتصاصية، لألواح مصقولة من مواد مختلفة، مقارنةً بقدرات أسطح السخام، عند نفس درجة الحرارة. ^{[ ٥٨ ]} اختار ستيوارت أسطح السخام كمرجع له نظرًا لنتائج تجريبية سابقة، لا سيما نتائج بيير بريفو وجون ليزلي . كتب: "السخام، الذي يمتص جميع الأشعة الساقطة عليه، وبالتالي يمتلك أكبر قدرة امتصاص ممكنة، سيمتلك أيضًا أكبر قدرة إشعاعية ممكنة." (السخام هو السخام الناتج عن حرق الزيت أو مواد عضوية قابلة للاحتراق). افترضت عبارة ستيوارت مبدأً عامًا: وهو وجود جسم أو سطح يتمتع بأكبر قدرة امتصاص وإشعاعية ممكنة لكل طول موجي ودرجة حرارة توازن.

انصبّ اهتمام ستيوارت على الإشعاع الحراري الانتقائي، الذي درسه باستخدام ألواح تشعّ وتمتصّ أطوالًا موجية مختلفة بشكل انتقائي. ناقش التجارب من منظور الأشعة التي يمكن أن تنعكس وتنكسر، والتي تخضع لمبدأ التبادلية لستوكس-هيلمهولتز . لم يأخذ بحثه في الاعتبار اعتماد خصائص الأشعة على الطول الموجي، ولم يستخدم أدوات مثل الموشورات أو محززات الحيود. كان عمله كميًا ضمن هذه القيود. أجرى قياساته في بيئة ذات درجة حرارة الغرفة، وبسرعة ليتمكن من التقاط الأجسام في حالة قريبة من التوازن الحراري الذي تم تحضيرها فيه.

في عام 1859، أبلغ غوستاف روبرت كيرشوف عن تطابق أطوال موجات خطوط الامتصاص والانبعاث الطيفية للضوء المرئي. ومن الأمور المهمة في الفيزياء الحرارية، أنه لاحظ أيضاً ظهور خطوط ساطعة أو داكنة تبعاً لفرق درجة الحرارة بين الباعث والممتص. ^{[ 59 ]}

ثم انتقل كيرشوف إلى دراسة بعض الأجسام التي تنبعث منها وتمتص الإشعاع الحراري، في حاوية أو تجويف معتم، في حالة توازن عند درجة حرارة T.

يُستخدم هنا ترميز مختلف عن ترميز كيرشوف. هنا، تُشير القدرة الإشعاعية E ( T , i ) إلى كمية ذات أبعاد، وهي إجمالي الإشعاع المنبعث من جسم مُشار إليه بالفهرس i عند درجة الحرارة T. أما نسبة الامتصاص الكلية a ( T , i ) لهذا الجسم فهي كمية لا بُعدية، وهي نسبة الإشعاع الممتص إلى الإشعاع الساقط في التجويف عند درجة الحرارة T. (على عكس تعريف بلفور ستيوارت، لم يُشر تعريف كيرشوف لنسبة الامتصاص إلى سطح أسود كمصدر للإشعاع الساقط). وبالتالي، فإن نسبة القدرة الإشعاعية إلى الامتصاصية E ( T , i ) / a ( T , i ) هي كمية ذات أبعاد، بأبعاد القدرة الإشعاعية، لأن a ( T , i ) كمية لا بُعدية. كما يُرمز هنا إلى القدرة الإشعاعية للجسم عند طول موجي مُحدد عند درجة الحرارة T بالرمز E ( λ , T , i ) ، وإلى نسبة الامتصاص عند طول موجي مُحدد بالرمز a ( λ , T , i ) . مرة أخرى، فإن النسبة E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) بين قدرة الانبعاث والامتصاصية هي كمية ذات أبعاد، بأبعاد قدرة الانبعاث.

في تقرير ثانٍ صدر عام ١٨٥٩، أعلن كيرشوف عن مبدأ أو قانون عام جديد، وقدّم له برهانًا نظريًا ورياضيًا، مع أنه لم يُقدّم قياسات كمية لقدرات الإشعاع. ^{[ ٦٠ ]} ولا يزال بعض الكتّاب يعتبرون برهانه النظري غير صحيح. ^{[ ٦١ ] [ ٦٢ ]} إلا أن مبدأه ظلّ قائمًا: وهو أنه بالنسبة لأشعة الحرارة ذات الطول الموجي نفسه، والمتوازنة عند درجة حرارة معينة، فإن نسبة قدرة الإشعاع إلى الامتصاص، بحسب الطول الموجي، لها قيمة واحدة مشتركة لجميع الأجسام التي تُشعّ وتمتصّ عند ذلك الطول الموجي. وينص القانون، بالرموز، على أن النسبة E ( λ , T , i )/ a ( λ , T , i ) بحسب الطول الموجي لها قيمة واحدة مشتركة لجميع الأجسام. ولم يُذكر في هذا التقرير أي شيء عن الأجسام السوداء.

في عام 1860، ودون علمه بقياسات ستيوارت لخصائص إشعاعية محددة، أشار كيرشوف إلى أنه من الثابت تجريبياً منذ زمن طويل أن نسبة الإشعاع الكلي E ( T , i )/ a ( T , i ) ذات الأبعاد، والمُنبعثة والممتصة من جسم في حالة اتزان حراري، لها قيمة واحدة مشتركة بين جميع الأجسام. ^{[ 63 ]} ومرة ​​أخرى، ودون قياسات لقدرات الإشعاع أو بيانات تجريبية جديدة أخرى، قدم كيرشوف برهاناً نظرياً جديداً لمبدأه الجديد حول عالمية قيمة النسبة الخاصة بطول الموجة E ( λ , T , i )/ a ( λ , T , i ) عند الاتزان الحراري. وقد اعتبر بعض الباحثين، ولا يزالون يعتبرون، برهانه النظري الجديد غير صالح. ^{[ 61 ] [ 62 ]}

لكن الأهم من ذلك، أنها اعتمدت على فرضية نظرية جديدة لـ"الأجسام السوداء تمامًا"، وهو ما يفسر الحديث عن قانون كيرشوف. أظهرت هذه الأجسام السوداء امتصاصًا كاملًا في سطحها الخارجي الرقيق للغاية. وهي تُطابق أجسام بلفور ستيوارت المرجعية، ذات الإشعاع الداخلي، والمغطاة بسخام المصابيح. لم تكن هذه الأجسام السوداء تمامًا هي الأجسام الأكثر واقعية التي درسها بلانك لاحقًا. كانت أجسام بلانك السوداء تُشع وتمتص فقط بواسطة المادة الموجودة في داخلها؛ أما أسطحها البينية مع الأوساط المجاورة فكانت مجرد أسطح رياضية، لا تستطيع الامتصاص ولا الانبعاث، بل الانعكاس والنفاذ مع الانكسار فقط. ^{[ 64 ]}

تناول برهان كيرشوف جسمًا غير مثالي عشوائيًا يُرمز له بـ i، بالإضافة إلى أجسام سوداء مثالية مختلفة يُرمز لها بـ BB . واشترط البرهان أن تُحفظ الأجسام في تجويف في حالة توازن حراري عند درجة حرارة T. وكان الهدف من برهانه إثبات أن النسبة E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) مستقلة عن طبيعة الجسم غير المثالي i ، بغض النظر عن مدى شفافيته أو انعكاسيته.

برهنته أولًا على أنه عند الطول الموجي λ ودرجة الحرارة T ، وفي حالة التوازن الحراري، فإن جميع الأجسام السوداء المثالية ذات الحجم والشكل نفسهما لها قيمة واحدة مشتركة لقدرة الانبعاث E ( λ , T , BB) ، بوحدة القدرة. وأشار برهانه إلى أن معامل الامتصاص a ( λ , T , BB) عديم الأبعاد، والمُحدد بطول موجي معين، للجسم الأسود المثالي يساوي 1 تمامًا بحكم التعريف. وبالتالي، بالنسبة للجسم الأسود المثالي، فإن نسبة قدرة الانبعاث إلى معامل الامتصاص E ( λ , T , BB) / a ( λ , T , BB) المُحددة بطول موجي معين ، هي نفسها E ( λ , T , BB) ، بوحدة القدرة. درس كيرشوف التوازن الحراري مع أي جسم غير مثالي، ومع جسم أسود مثالي من الحجم والشكل نفسهما، موضوع في تجويفه في حالة توازن عند درجة الحرارة T. جادل بأن تدفقات الإشعاع الحراري يجب أن تكون متساوية في كل حالة. وبناءً على ذلك، جادل بأنه عند التوازن الحراري، تكون النسبة E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) مساويةً لـ E ( λ , T , BB) ، والتي يمكن الآن الإشارة إليها _بـ Bλ ( λ , T ) . Bλ ₍ λ , T ) دالة متصلة، تعتمد فقط على λ عند درجة حرارة ثابتة T ، ودالة متزايدة لـ T عند طول موجي ثابت λ . وهي تتلاشى عند درجات الحرارة المنخفضة للأطوال الموجية المرئية، وهذا لا يعتمد على طبيعة i للجسم غير المثالي (تم تجاهل العوامل الهندسية، التي أخذها كيرشوف في الاعتبار بالتفصيل، في ما سبق).

وبالتالي، يمكن صياغة قانون كيرشوف للإشعاع الحراري على النحو التالي: لأي مادة، تشع وتمتص في حالة توازن ديناميكي حراري عند أي درجة حرارة معينة T ، ولكل طول موجي λ ، فإن نسبة القدرة الإشعاعية إلى الامتصاصية لها قيمة عالمية واحدة، وهي خاصية مميزة للجسم الأسود المثالي، وهي القدرة الإشعاعية التي نرمز لها هنا بـ Bλ (λ, T) . ( في تدويننا _Bλ ( λ , T ) ، كان تدوين كيرشوف الأصلي هو ^e ) . ^{[ 63 ] [ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] [ 68 ]} _[ ^{69 ]}

أعلن كيرشوف أن تحديد الدالة Bλ ( λ , T ) يُمثل مشكلة بالغة الأهمية، مع إدراكه لوجود صعوبات تجريبية لا بد من التغلب عليها. وافترض أنها، كغيرها من الدوال التي لا تعتمد على خصائص الأجسام الفردية، ستكون دالة بسيطة. وقد أطلق المؤرخون أحيانًا على هذه الدالة _اسم "دالة كيرشوف (الانبعاثية، الشاملة)"، [70] [71] [72] [73]، على الرغم من أن شكلها الرياضي الدقيق لم يُعرف إلا بعد أربعين عامًا، حين اكتشفها بلانك عام 1900. وقد عمل العديد من الفيزيائيين على البرهان النظري لمبدأ كيرشوف الشامل _{وناقشوه} خلال الفترة نفسها ، وفي وقت ^{لاحق . [ 62 ] وصرح كيرشوف لاحقًا عام 1860 بأن برهانه} النظري ^{كان أفضل من} برهان بلفور ستيوارت، وكان كذلك في بعض الجوانب. ^{[ 61 ]} لم تذكر ورقة كيرشوف البحثية لعام 1860 القانون الثاني للديناميكا الحرارية، وبالطبع لم تذكر مفهوم الإنتروبيا الذي لم يكن قد ترسخ آنذاك. وفي عرض أكثر تفصيلاً في كتاب نُشر عام 1862، أشار كيرشوف إلى صلة قانونه بمبدأ كارنو ، الذي يُعدّ شكلاً من أشكال القانون الثاني. ^{[ 74 ]}

وفقًا لهيلج كراغ، "تدين نظرية الكم بأصلها لدراسة الإشعاع الحراري، وخاصة إشعاع "الجسم الأسود" الذي حدده روبرت كيرشوف لأول مرة في 1859-1860." ^{[ 75 ]}