مساحة نابضة بالحيوية

في الرياضيات ، وتحديدًا في التحليل الوظيفي ، يُعرَّف الفضاء الطاقي ، بشكلٍ بديهي، بأنه فضاء جزئي من فضاء هيلبرت حقيقي مُعطى، مُزوَّد بضرب داخلي "طاقي" جديد . ويستمد هذا المصطلح دافعه من الفيزياء ، حيث يمكن التعبير عن طاقة النظام في العديد من المسائل الفيزيائية بدلالة الضرب الداخلي الطاقي.

بصورة رسمية، ضع في اعتبارك فضاء هيلبرت حقيقي${\displaystyle X}$مع المنتج الداخلي${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$والمعيار​${\displaystyle \|\cdot \|}$. يترك${\displaystyle Y}$ليكن فضاءً خطياً جزئياً من${\displaystyle X}$و${\displaystyle B:Y\to X}$ليكن مؤثرًا خطيًا متناظرًا رتيبًا بقوة ، أي مؤثرًا خطيًا يحقق

• ${\displaystyle (Bu|v)=(u|Bv)\,}$للجميع${\displaystyle u,v}$في${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle (Bu|u)\geq c\|u\|^{2}}$لبعض الثوابت${\displaystyle c>0}$وكل شيء${\displaystyle u}$في${\displaystyle Y.}$

يُعرَّف الناتج الداخلي للطاقة على النحو التالي :

${\displaystyle (u|v)_{E}=(Bu|v)\,}$للجميع${\displaystyle u,v}$في${\displaystyle Y}$

والمعيار النشطيكون

${\displaystyle \|u\|_{E}=(u|u)_{E}^{\frac {1}{2}}\,}$للجميع${\displaystyle u}$في${\displaystyle Y.}$

المجموعة${\displaystyle Y}$بالإضافة إلى الناتج الداخلي النشط، يشكل ذلك فضاءً ما قبل هيلبرت . الفضاء النشط${\displaystyle X_{E}}$يُعرَّف بأنه إتمام${\displaystyle Y}$في المعدل الطبيعي للطاقة.${\displaystyle X_{E}}$يمكن اعتبارها مجموعة فرعية من فضاء هيلبرت الأصلي${\displaystyle X,}$بما أن أي متتالية كوشي في المعيار الطاقي هي أيضًا متتالية كوشي في معيار${\displaystyle X}$(ينتج هذا عن خاصية الرتابة القوية لـ${\displaystyle B}$).

يتم امتداد الناتج الداخلي النشط من${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle X_{E}}$بواسطة

${\displaystyle (u|v)_{E}=\lim _{n\to \infty }(u_{n}|v_{n})_{E}}$

أين${\displaystyle (u_{n})}$و${\displaystyle (v_{n})}$هي متتابعات في Y تتقارب إلى نقاط في${\displaystyle X_{E}}$في المعدل الطبيعي للطاقة.

المشغل${\displaystyle B}$يسمح بامتداد نشط${\displaystyle B_{E}}$

${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$

محدد في${\displaystyle X_{E}}$بقيم في الفضاء الثنائي${\displaystyle X_{E}^{*}}$ذلك معطى بالصيغة

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}}$للجميع${\displaystyle u,v}$في${\displaystyle X_{E}.}$

هنا،${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _{E}}$يشير إلى قوس الازدواجية بين${\displaystyle X_{E}^{*}}$و${\displaystyle X_{E},}$لذا${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}}$يشير في الواقع ${\displaystyle (B_{E}u)(v).}$

لو${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$هي عناصر في الفضاء الفرعي الأصلي${\displaystyle Y,}$ثم

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}=(Bu|v)=\langle u|B|v\rangle }$

بحسب تعريف الناتج الداخلي للطاقة. إذا نظر المرء${\displaystyle Bu,}$وهو عنصر في${\displaystyle X,}$كعنصر في الثنائية${\displaystyle X^{*}}$عن طريق نظرية تمثيل ريز ، ثم${\displaystyle Bu}$سيكون أيضًا في البرنامج المزدوج${\displaystyle X_{E}^{*}}$(بسبب خاصية الرتابة القوية لـ${\displaystyle B}$ومن خلال هذه التعريفات، يتبين من الصيغة المذكورة أعلاه أن${\displaystyle B_{E}u=Bu.}$بعبارة أخرى، المشغل الأصلي${\displaystyle B:Y\to X}$يمكن اعتباره مشغلًا${\displaystyle B:Y\to X_{E}^{*},}$وثم${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$هو ببساطة امتداد للوظيفة${\displaystyle B}$من${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle X_{E}.}$

لنفترض سلسلة نصية مثبتة نهايتاها عند نقطتين${\displaystyle a<b}$على الخط الحقيقي (يُنظر إليه هنا كخط أفقي). ولتكن كثافة القوة الخارجية الرأسية عند كل نقطة${\displaystyle x}$${\displaystyle (a\leq x\leq b)}$على الخيط يكون${\displaystyle f(x)\mathbf {e} }$، أين ${\displaystyle \mathbf {e} }$هو متجه وحدة يشير عموديًا و${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}$يترك${\displaystyle u(x)}$ليكن انحراف الوتر عند النقطة${\displaystyle x}$تحت تأثير القوة. بافتراض أن الانحراف صغير، فإن الطاقة المرنة للوتر هي

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx}$

وطاقة الوضع الكلية للوتر هي

${\displaystyle F(u)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx-\int _{a}^{b}\!u(x)f(x)\,dx.}$

الانحراف${\displaystyle u(x)}$سيؤدي تقليل طاقة الوضع إلى تحقيق المعادلة التفاضلية

${\displaystyle -u''=f\,}$

مع الشروط الحدية

${\displaystyle u(a)=u(b)=0.\,}$

لدراسة هذه المعادلة، ضع في اعتبارك الفضاء${\displaystyle X=L^{2}(a,b),}$أي فضاء Lp لجميع الدوال القابلة للتكامل التربيعي${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$فيما يتعلق بمقياس لوبيغ . هذا الفضاء هو فضاء هيلبرت فيما يتعلق بالضرب الداخلي

${\displaystyle (u|v)=\int _{a}^{b}\!u(x)v(x)\,dx,}$

مع تحديد المعيار بواسطة

${\displaystyle \|u\|={\sqrt {(u|u)}}.}$

يترك${\displaystyle Y}$لتكن مجموعة جميع الدوال القابلة للتكامل محلياً (${\displaystyle {\text{L}}_{\text{loc}}^{1}}$) على${\displaystyle [a,b]}$التي يمكن اشتقاقها مرتين بشكل مستمر من${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$، مع الشروط الحدية${\displaystyle u(a)=u(b)=0.}$ثم${\displaystyle Y}$هو فضاء جزئي خطي من${\displaystyle X.}$

ضع في اعتبارك المشغل${\displaystyle B:Y\to X}$معطاة بالصيغة

${\displaystyle Bu=-u'',\,}$

إذن، الانحراف يحقق المعادلة${\displaystyle Bu=f.}$باستخدام التكامل بالتجزئة والشروط الحدية، يمكن للمرء أن يرى أن

${\displaystyle (Bu|v)=-\int _{a}^{b}\!u''(x)v(x)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v'(x)=(u|Bv)}$

لأي${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$في${\displaystyle Y.}$لذلك،${\displaystyle B}$هو مؤثر خطي متناظر.

${\displaystyle B}$كما أنها رتيبة للغاية، لأنه وفقًا لمتباينة فريدريش

${\displaystyle \|u\|^{2}=\int _{a}^{b}u^{2}(x)\,dx\leq C\int _{a}^{b}u'(x)^{2}\,dx=C\,(Bu|u)}$

بالنسبة للبعض${\displaystyle C>0.}$

المساحة النشطة بالنسبة للمشغل${\displaystyle B}$إذن، هذا هو فضاء سوبوليف${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b).}$نلاحظ أن الطاقة المرنة للوتر، والتي كانت الدافع وراء هذه الدراسة، هي

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx={\frac {1}{2}}(u|u)_{E},}$

لذا فهو يمثل نصف الناتج الداخلي للطاقة لـ${\displaystyle u}$مع نفسه.

لحساب الانحراف${\displaystyle u}$تقليل إجمالي طاقة الوضع${\displaystyle F(u)}$بالنسبة للسلسلة، يكتب المرء هذه المشكلة على النحو التالي

${\displaystyle (u|v)_{E}=(f|v)\,}$للجميع${\displaystyle v}$في${\displaystyle X_{E}}$.

بعد ذلك، يقوم المرء عادةً بتقريب${\displaystyle u}$من قبل البعض${\displaystyle u_{h}}$، دالة في فضاء جزئي محدود الأبعاد من فضاء الحلول الحقيقي. على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يضع${\displaystyle u_{h}}$أن تكون دالة خطية متصلة ومتقطعة في الفضاء الطاقي، مما يعطي طريقة العناصر المحدودة . التقريب${\displaystyle u_{h}}$يمكن حسابها عن طريق حل نظام من المعادلات الخطية .

اتضح أن المعيار الطاقي هو المعيار الطبيعي الذي يُقاس به الخطأ بين ${\displaystyle u}$و${\displaystyle u_{h}}$انظر إلى معضلة سيا .

• مساحة المنتج الداخلية
• نواة موجبة محددة

• زايدلر، إيبرهارد (1995). التحليل الوظيفي التطبيقي: تطبيقات في الفيزياء الرياضية . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-94442-7.

• جونسون، كلايس (1987). الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام طريقة العناصر المحدودة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-34514-6.