صيغة أويلر-ماكلورين

ينشأ حد الباقي لأن التكامل عادةً لا يساوي المجموع تمامًا. يمكن اشتقاق الصيغة بتطبيق التكامل بالتجزئة المتكرر على فترات متتالية [ r , r + 1] حيث r = m , m + 1, …, n − 1. تؤدي حدود التكامل هذه إلى الحدود الرئيسية للصيغة، بينما تشكل التكاملات المتبقية حد الباقي.

للمصطلح المتبقي تعبير دقيق بدلالة دوال برنولي الدورية P _k ( x ) . يمكن تعريف كثيرات حدود برنولي بشكل تكراري بواسطة B ₀ ( x ) = 1 ، وبالنسبة لـ k ≥ 1 ، $${\displaystyle B_{k}'(x)=kB_{k-1}(x),\qquad \int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx=0.}$$ تُعرَّف دوال برنولي الدورية على النحو التالي: $${\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )},}$$ حيث يشير ⌊ x ⌋ إلى أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي x ، بحيث يقع x − ⌊ x ⌋ دائمًا في الفترة [0,1) .

باستخدام هذه الصيغة، فإن حد الباقي R _p يساوي $${\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}$$

عندما تكون قيمة k أكبر من الصفر ، يمكن إثبات أنه بالنسبة لـ 0 ≤ x ≤ 1 ، $${\displaystyle {\bigl |}B_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}$$ حيث ζ دالة زيتا لريمان ؛ إحدى طرق إثبات هذه المتباينة هي الحصول على متسلسلة فورييه لكثيرات الحدود B _{_k} ( x ) . يتحقق الحد عندما يكون k زوجيًا و x يساوي صفرًا. يمكن حذف الحد ζ ( k ) عندما يكون k فرديًا، لكن البرهان في هذه الحالة أكثر تعقيدًا (انظر ليمر). ^{[ 3 ]} باستخدام هذه المتباينة، يمكن تقدير حجم حد الباقي كما يلي: $${\displaystyle \left|R_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.}$$

أعداد برنولي من B1 إلى B7 هي 1/2 ، 1/6 ، 0 ، -1/30 ، 0 ، _1/42 ، 0. وبالتالي ، فإن _{الحالات} ذات الرتبة المنخفضة لصيغة أويلر - ماكلورين هي :$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}$$

تتمثل مشكلة بازل في تحديد المجموع $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

قام أويلر بحساب هذا المجموع بدقة تصل إلى 20 منزلة عشرية باستخدام عدد قليل فقط من حدود صيغة أويلر-ماكلورين في عام 1735. وقد أقنعه هذا على الأرجح بأن المجموع يساوي π² / 6 ^، وهو ما أثبته في نفس العام. ^{[ 4 ]}

إذا كانت f دالة كثيرة الحدود وكان p كبيرًا بما يكفي، فإن حد الباقي يختفي. على سبيل المثال، إذا كانت f ( x ) = x³ ، فيمكننا اختيار p = 2 لنحصل، بعد التبسيط، على ^:$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$$

تُوفّر هذه الصيغة وسيلةً لتقريب التكامل المحدود. لنفترض أن a < b هما طرفا فترة التكامل. لنُثبّت N ، وهو عدد النقاط المستخدمة في التقريب، ولنرمز إلى حجم الخطوة المُقابل بـ h = b − a / N − 1. لنضع xᵢ = a ₊ ( i − 1) h ^، بحيث _يكون x₁ = a و _xₙ = b . عندئذٍ ^: [ ⁵ ]$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}$$

يمكن اعتبار هذا امتدادًا لقاعدة شبه المنحرف بإضافة حدود تصحيحية. تجدر الإشارة إلى أن هذا التوسع التقاربي عادةً ما يكون غير متقارب؛ إذ توجد قيمة p معينة ، تعتمد على f و h ، بحيث تتزايد الحدود التي تتجاوز الرتبة p بسرعة. لذا، يتطلب حد الباقي عمومًا عناية فائقة. ^{[ 5 ]}

تُستخدم صيغة أويلر-ماكلورين أيضًا لتحليل الأخطاء بالتفصيل في التكامل العددي . وهي تُفسر الأداء المتفوق لقاعدة شبه المنحرف على الدوال الدورية الملساء ، وتُستخدم في بعض طرق الاستقراء . يُعدّ تكامل كلينشو-كورتيس في جوهره تغييرًا للمتغيرات لصياغة أي تكامل بدلالة تكاملات الدوال الدورية، حيث تكون طريقة أويلر-ماكلورين دقيقة للغاية (في هذه الحالة تحديدًا، تأخذ صيغة أويلر-ماكلورين شكل تحويل جيب التمام المنفصل ). تُعرف هذه التقنية بتحويل التدوير.

في سياق حساب التوسعات التقاربية للمجاميع والمتسلسلات ، عادةً ما يكون الشكل الأكثر فائدة لصيغة أويلر-ماكلورين هو $${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}$$

حيث a و b عددان صحيحان. ^{[ 6 ]} غالبًا ما يظل التوسع صالحًا حتى بعد أخذ النهايات a → −∞ أو b → +∞ أو كليهما. في كثير من الحالات، يمكن حساب التكامل في الطرف الأيمن بصيغة مغلقة بدلالة الدوال الأولية ، على الرغم من عدم إمكانية حساب المجموع في الطرف الأيسر. عندئذٍ، يمكن التعبير عن جميع حدود المتسلسلة التقاربية بدلالة الدوال الأولية. على سبيل المثال، $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}$$

هنا، يساوي الطرف الأيسر ψ ⁽¹⁾ ( z ) ، أي دالة بوليغاما من الدرجة الأولى المعرفة بواسطة

${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z);}$

دالة غاما Γ ( z ) تساوي ( z - 1)! عندما يكون z عددًا صحيحًا موجبًا . ينتج عن ذلك توسيع تقاربي لـ ψ ⁽¹⁾ ( z ) . هذا التوسيع، بدوره، يُشكّل نقطة انطلاق لأحد اشتقاقات تقديرات الخطأ الدقيقة لتقريب ستيرلينغ لدالة المضروب .

نوضح الحجة الواردة في كتاب أبوستول. ^{[ 1 ]}

تم تقديم كثيرات حدود برنولي B _n ( x ) ودوال برنولي الدورية P _n ( x ) لـ n = 0، 1، 2، ... أعلاه.

أولى كثيرات حدود برنولي هي $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$$

القيم B _{_n} (1) هي أعداد برنولي B _{_n} . لاحظ أنه بالنسبة لـ n ≠ 1 لدينا $${\displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}$$ وبالنسبة لـ n = 1 ، $${\displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).}$$

تتطابق الدوال P _n مع كثيرات حدود برنولي على الفترة [0،  1] وهي دورية بدورة مقدارها 1. علاوة على ذلك، باستثناء الحالة n = 1 ، فهي متصلة أيضًا. وبالتالي، $${\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.}$$

ليكن k عددًا صحيحًا، ولنعتبر التكامل $${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}}$$

بإجراء التكامل بالتجزئة ، نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

باستخدام B ₁ (0) = − 1 / 2 و B 1 ( ₁ ) = 1 / 2 ، وبجمع ما سبق من k = 0 إلى k = n − 1 ، نحصل على$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

بإضافة ⁠ f ( n ) − f (0) / 2 ⁠ إلى كلا الطرفين وإعادة الترتيب، نحصل على $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}$$

هذه هي حالة p = 1 لصيغة الجمع. ولمواصلة الاستقراء، نطبق التكامل بالتجزئة على حد الخطأ: $${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}}$$

نتيجة التكامل بالتجزئة هي $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

بجمع القيم من k = 0 إلى k = n − 1 واستبدالها بحد الخطأ ذي الرتبة الأدنى، نحصل على حالة p = 2 من الصيغة، $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}$$

يمكن تكرار هذه العملية. وبهذه الطريقة نحصل على برهان لصيغة جمع أويلر-ماكلورين التي يمكن صياغتها بالاستقراء الرياضي ، حيث تعتمد خطوة الاستقراء على التكامل بالتجزئة وعلى متطابقات دوال برنولي الدورية.