توزيع القيم المتطرفة المعمم

الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعد توزيع القيمة القصوى المعمم ( GEV ) [ 2 ] عائلة من التوزيعات الاحتمالية المستمرة ، طُوِّرت ضمن نظرية القيمة القصوى لدمج عائلات غامبل وفريشيه وويبول ، والمعروفة أيضًا بتوزيعات القيمة القصوى من النوع الأول والثاني والثالث. وبحسب نظرية القيمة القصوى، فإن توزيع GEV هو التوزيع الحدي الوحيد الممكن للقيم القصوى المُعَيَّرة بشكل صحيح لسلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع. [ 3 ] تجدر الإشارة إلى أن وجود توزيع حدي يستلزم شروط انتظام على ذيل التوزيع. مع ذلك، يُستخدم توزيع GEV غالبًا كتقريب لنمذجة القيم القصوى لسلاسل طويلة (محدودة) من المتغيرات العشوائية.

في بعض مجالات التطبيق، يُعرف توزيع القيمة القصوى المعمم بتوزيع فيشر-تيبت ، نسبةً إلى آر. إيه. فيشر وإل . إتش. تيبت اللذين اكتشفا ثلاثة أشكال مختلفة موضحة أدناه. مع ذلك، يُقتصر استخدام هذا الاسم أحيانًا على الحالة الخاصة لتوزيع غامبل . يعود أصل الشكل الوظيفي المشترك للتوزيعات الثلاثة إلى جينكينسون (1955) على الأقل ، [ 4 ] مع أنه يُزعم [ 3 ] أنه ربما يكون فون ميزس (1936) قد قدمه أيضًا . [ 5 ]

مواصفة

باستخدام المتغير المعياري s≡x-μσ ،{\displaystyle \ s\equiv {\tfrac {x-\mu }{\sigma }}\ ,}أين μ ،{\displaystyle \ \mu \ ,}يمثل معامل الموقع ويمكن أن يكون أي عدد حقيقي ، و σ>0 ،{\displaystyle \ \sigma >0\ ,}يمثل معامل المقياس؛ وتكون دالة التوزيع التراكمي لتوزيع GEV هي

F(s؛ξ)={خبرة⁡(-هـ-s)ل ξ=0 ،خبرة⁡(-(1+ξs)-1/ξ)ل ξ≠0   و   ξs>-1 ،0ل ξ>0   و   s≤-1ξ ،1ل ξ<0   و   s≥1|ξ| ،{\displaystyle F(s;\xi )={\begin{cases}\exp(-\mathrm {e} ^{-s})\quad &{\text{لـ }}\quad \xi =0\ ,\\\exp {\bigl (}\!-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\bigr )}&{\text{لـ }}\quad \xi \neq 0~~{\text{ و }}~~\xi s>-1\ ,\\0&{\text{لـ }}\quad \xi >0~~{\text{ و }}~~s\leq -{\tfrac {1}{\xi }}\ ,\\1&{\text{لـ }}\quad \xi <0~~{\text{ و }}~~s\geq {\tfrac {1}{|\xi |}}\ ,\end{cases}}}

أين ξ ،{\displaystyle \ \xi \ ,}يمكن أن يكون معامل الشكل أي عدد حقيقي. وبالتالي، بالنسبة لـ ξ>0 ،{\displaystyle \ \xi >0\ ,}هذا التعبير صالح لـ s>-1ξ ،{\displaystyle \ s>-{\tfrac {1}{\xi }}\ ,}بينما لـ ξ<0 ،{\displaystyle \ \xi <0\ ,}وهو صالح لـ s<-1ξ .{\displaystyle \ s<-{\tfrac {1}{\xi }}~.}في الحالة الأولى، -1ξ {\displaystyle \ -{\tfrac {1}{\xi }}\ }هي النقطة السالبة، الطرف الأدنى، حيث F {\displaystyle \ F\ }تساوي صفرًا ؛ في الحالة الثانية، -1ξ {\displaystyle \ -{\tfrac {1}{\xi }}\ }هي نقطة النهاية العليا الإيجابية، حيثF{\displaystyle F}هو 1. لـ ξ=0 ،{\displaystyle \ \xi =0\ ,}التعبير الثاني غير مُعرَّف رسميًا ويتم استبداله بالتعبير الأول، وهو نتيجة أخذ نهاية التعبير الثاني، كما يلي: ξ→0 {\displaystyle \ \xi \to 0\ }وفي هذه الحالة s {\displaystyle \ s\ }يمكن أن يكون أي عدد حقيقي.

في الحالة الخاصة لـ x=μ ،{\displaystyle \ x=\mu \ ,}لدينا s=0 ،{\displaystyle \ s=0\ ,}إذن F(0؛ξ)=هـ-1≈0.368 {\displaystyle \ F(0;\xi )=\mathrm {e} ^{-1}\approx 0.368\ }بغض النظر عن قيم ξ {\displaystyle \ \xi \ }و σ .{\displaystyle \ \sigma ~.}

دالة كثافة الاحتمال للتوزيع المعياري هي

و(s؛ξ)={هـ-sخبرة⁡(-هـ-s)ل ξ=0 ،(1+ξs)-(1+1/ξ)خبرة⁡(-(1+ξs)-1/ξ)ل ξ≠0   و   ξs>-1 ،0خلاف ذلك؛{\displaystyle f(s;\xi )={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-s}\exp(-\mathrm {e} ^{-s})&{\text{for }}\quad \xi =0\ ,\\(1+\xi s)^{-(1+1/\xi )}\exp {\bigl (}\!-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\bigr )}&{\text{for }}\quad \xi \neq 0~~{\text{ and }}~~\xi s>-1\ ,\\0&{\text{otherwise;}}\end{cases}}}

صالحة مرة أخرى لـ s>-1ξ {\displaystyle \ s>-{\tfrac {1}{\xi }}\ }في هذه الحالة ξ>0 {\displaystyle \ \xi >0\ }و لـ s<-1ξ {\displaystyle \ s<-{\tfrac {1}{\xi }}\ }في هذه الحالة ξ<0 .{\displaystyle \ \xi <0~.}تكون الكثافة صفراً خارج النطاق ذي الصلة. في هذه الحالة ξ=0 ،{\displaystyle \ \xi =0\ ,}الكثافة موجبة على كامل خط الأعداد الحقيقية.

بما أن دالة التوزيع التراكمي قابلة للعكس، فإن دالة الكمية لتوزيع GEV لها تعبير صريح، وهو

سؤال(ص؛μ،σ،ξ)={μ-σ ln⁡(-ln⁡ص)  ل   ξ=0   و   ص∈(0،1) ،μ+σξ( (-ln⁡ص)-ξ-1 )  ل   ξ>0   و   ص∈[0،1) ،   أو لـ   ξ<0   و   ص∈(0،1]؛{\displaystyle Q(p;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}\mu -\sigma \ \ln(-\ln p)~~&{\text{for }}~~\xi =0~~{\text{ and }}~~p\in (0,1)\ ,\\\mu +{\dfrac {\sigma }{\xi }}{\Big (}\ (-\ln p)^{-\xi }-1\ {\Big )}~~&{\text{for }}~~\xi >0~~{\text{ and }}~~p\in [0,1)\ ,~~{\text{ or for }}~~\xi <0~~{\text{ and }}~~p\in (0,1];\end{cases}}}

وبالتالي دالة كثافة الكمية q=دسؤالدص {\displaystyle \ q={\tfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} p}}\ }يكون

q(ص؛σ،ξ)=σ(-ln⁡ص)ξ+1صل ص∈(0،1) ،{\displaystyle q(p;\sigma ,\xi )={\frac {\sigma }{(-\ln p)^{\xi +1}\,p}}\qquad {\text{for }}p\in (0,1)\ ,}

صالح لـ σ>0 {\displaystyle \ \sigma >0\ }ولأي شخص حقيقي ξ .{\displaystyle \ \xi ~.}

مثال على دوال كثافة الاحتمال لتوزيعات عائلة GEV.[ 6 ]

إحصائيات موجزة

استخدامزك≡Γ(1-كξ){\displaystyle g_{k}\equiv \Gamma (1-k\xi )}ل ك∈{1،2،3،4} ،{\displaystyle ~k\in \{1,2,3,4\}\ ,}أينΓ(⋅){\displaystyle \Gamma (\cdot )}إذا كانت دالة جاما ، فإن بعض الإحصائيات البسيطة للتوزيع معطاة كما يلي:

هـ⁡(X)=μ+(ز1-1)σξ{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (X)=\mu +(g_{1}-1)\,{\frac {\sigma }{\xi }}\quad }لξ<1 ،{\displaystyle \xi <1\ ,}
متغير⁡(X)=(ز2-ز12)σ2ξ2 ،{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=(g_{2}-g_{1}^{2})\,{\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}}\ ,}
وضع⁡(X)=μ+((1+ξ)-ξ-1)σξ .{\displaystyle \operatorname {Mode} (X)=\mu +{\bigl (}(1+\xi )^{-\xi }-1{\bigr )}\,{\frac {\sigma }{\xi }}~.}

الانحراف هو​

 الانحراف⁡(X)={ز3-3ز2ز1+2ز13(ز2-ز12)3/2⋅علامة⁡(ξ)ξ≠0 ،126ζ(3)π3≈1.14ξ=0 .{\displaystyle \ \operatorname {skewness} (X)={\begin{cases}{\dfrac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}\cdot \operatorname {sgn}(\xi )&\xi \neq 0\ ,\\{\dfrac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14&\xi =0~.\end{cases}}}

التفرطح الزائد هو:

 كuرتosأناs هـxجهـss⁡(X)=ز4-4ز3ز1+6ز2ز12-3ز14(ز2-ز12)2-3 .{\displaystyle \ \operatorname {kurtosis\ excess} (X)={\frac {g_{4}-4g_{3}g_{1}+6g_{2}g_{1}^{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}-3~.}

معامل الشكل ξ {\displaystyle \ \xi \ }يتحكم في سلوك ذيل التوزيع. وتُحدد العائلات الفرعية بثلاث حالات: ξ=0 ،{\displaystyle \ \xi =0\ ,} ξ>0 ،{\displaystyle \ \xi >0\ ,}و ξ<0 ؛{\displaystyle \ \xi <0\ ;} تتوافق هذه على التوالي مع عائلات Gumbel و Fréchet و Weibull ، والتي يتم عرض دوال التوزيع التراكمي الخاصة بها أدناه.

  • توزيع القيم المتطرفة من النوع  الأول أو توزيع غامبل ، الحالة ξ=0 ،{\displaystyle ~\xi =0\ ,\quad }للجميعx∈( -∞ ، +∞ ) :{\displaystyle \quad x\in {\Bigl (}\ -\infty \ ,\ +\infty \ {\Bigr )}\ :}
F( x؛ μ، σ، 0 )=خبرة⁡(-خبرة⁡(- x-μ σ)) .{\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ 0\ )=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {\ x-\mu \ }{\sigma }}\right)\right)~.}
  • النوع  الثاني أو توزيع القيمة المتطرفة فريشيه ، حالة ξ>0 ،{\displaystyle ~\xi >0\ ,\quad }للجميعx∈( μ-σ ξ  ، +∞ ) :{\displaystyle \quad x\in \left(\ \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\ ,\ +\infty \ \right)\ :}
يتركα≡ 1 ξ>0{\displaystyle \quad \alpha \equiv {\tfrac {\ 1\ }{\xi }}>0\quad }وy≡1+ξσ(x-μ) ؛{\displaystyle \quad y\equiv 1+{\tfrac {\xi }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}
F( x؛ μ، σ، ξ )={0y≤0 oر هـquأناv. x≤μ-σ ξ خبرة⁡(-1 yα )y>0 oر هـquأناv. x>μ-σ ξ  .{\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}0&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\leq \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\\\exp \left(-{\frac {1}{~y^{\alpha }\ }}\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x>\mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}~.\end{cases}}}
  • توزيع القيم المتطرفة من النوع  الثالث أو توزيع ويبول المعكوس ، الحالة ξ<0 ،{\displaystyle ~\xi <0\ ,\quad }للجميعx∈(-∞ ، μ+σ | ξ |  ) :{\displaystyle \quad x\in \left(-\infty \ ,\ \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\ \right)\ :}
يتركα≡-1 ξ >0{\displaystyle \quad \alpha \equiv -{\tfrac {1}{\ \xi \ }}>0\quad }وy≡1- | ξ | σ(x-μ) ؛{\displaystyle \quad y\equiv 1-{\tfrac {\ |\ \xi \ |\ }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}
F( x؛ μ، σ، ξ )={خبرة⁡(-yα)y>0 oر هـquأناv. x<μ+σ | ξ | 1y≤0 oر هـquأناv. x≥μ+σ | ξ |  .{\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}\exp \left(-y^{\alpha }\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x<\mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\\1&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\geq \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}~.\end{cases}}}

تتناول الأقسام الفرعية أدناه خصائص هذه التوزيعات.

تعديل القيم الدنيا بدلاً من القيم القصوى

تتعلق النظرية هنا بالقيم القصوى للبيانات، والتوزيع الذي تتم مناقشته هو توزيع القيم القصوى للقيم القصوى. ويمكن الحصول على توزيع عام للقيم القصوى للقيم الدنيا للبيانات، على سبيل المثال عن طريق الاستبدال. -x{\displaystyle \ -x\;}لx{\displaystyle \;x\;}في دالة التوزيع، وطرح التوزيع التراكمي من واحد: أي استبدال F(x) {\displaystyle \ F(x)\ }مع 1-F(-x) {\displaystyle \ 1-F(-x)\ }ويؤدي ذلك إلى ظهور مجموعة أخرى من التوزيعات .

اتفاقية بديلة لتوزيع ويبول

يظهر توزيع ويبول العادي في تطبيقات الموثوقية، ويتم الحصول عليه من التوزيع هنا باستخدام المتغير ت=μ-x ،{\displaystyle \ t=\mu -x\ ,}وهذا يُعطي دعمًا إيجابيًا بحتًا، على عكس استخدامه في صياغة نظرية القيم المتطرفة هنا. ويعود ذلك إلى استخدام توزيع ويبول العادي في الحالات التي تتعامل مع القيم الدنيا للبيانات بدلًا من القيم القصوى. يحتوي التوزيع هنا على مُعامل إضافي مقارنةً بالشكل المعتاد لتوزيع ويبول، بالإضافة إلى أنه معكوس بحيث يكون للتوزيع حد أعلى بدلًا من حد أدنى. ومن المهم الإشارة إلى أنه في تطبيقات توزيع القيم المتطرفة المعمم (GEV)، يكون الحد الأعلى غير معروف، وبالتالي يجب تقديره، بينما عند تطبيق توزيع ويبول العادي في تطبيقات الموثوقية، يكون الحد الأدنى معروفًا عادةً بأنه يساوي صفرًا.

نطاقات التوزيعات

لاحظ الاختلافات في نطاقات الاهتمام لتوزيعات القيم المتطرفة الثلاثة: توزيع غامبل غير محدود، وتوزيع فريشيه له حد أدنى، بينما توزيع ويبول المعكوس له حد أعلى. وبشكل أدق، تصف نظرية القيم المتطرفة أحادية المتغير أيًّا من هذه التوزيعات الثلاثة هو القانون النهائي وفقًا للقانون الأولي X، وبالتحديد اعتمادًا على ذيل التوزيع الأصلي.

توزيع المتغيرات اللوغاريتمية

يمكن ربط النوع  الأول بالنوعين  الثاني والثالث بالطريقة التالية: إذا كانت دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي ما X {\displaystyle \ X\ }وهو من النوع  الثاني، مع الأعداد الموجبة كدليل، أي F( x؛ 0، σ، α ) ،{\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ \alpha \ )\ ,}ثم دالة التوزيع التراكمي لـln⁡X{\displaystyle \ln X}وهو من النوع الأول، أي F( x؛ ln⁡σ، 1 α ، 0 ) .{\displaystyle \ F(\ x;\ \ln \sigma ,\ {\tfrac {1}{\ \alpha \ }},\ 0\ )~.}وبالمثل، إذا كانت دالة التوزيع التراكمي لـ X {\displaystyle \ X\ }وهو من النوع  الثالث، مع الأعداد السالبة كدعم، أي F( x؛ 0، σ، -α ) ،{\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ -\alpha \ )\ ,}ثم دالة التوزيع التراكمي لـ ln⁡(-X) {\displaystyle \ \ln(-X)\ }وهو من النوع  الأول، أي F( x؛ -ln⁡σ،  1 α، 0 ) .{\displaystyle \ F(\ x;\ -\ln \sigma ,\ {\tfrac {\ 1\ }{\alpha }},\ 0\ )~.}

يمكن صياغة نماذج اللوجيت متعددة الحدود ، وأنواع أخرى من الانحدار اللوجستي ، كنماذج متغيرات كامنة ذات متغيرات خطأ موزعة وفقًا لتوزيعات غامبل (توزيعات القيمة القصوى المعممة من النوع الأول). تُعد هذه الصياغة شائعة في نظرية نماذج الاختيار المنفصل ، والتي تشمل نماذج اللوجيت ، ونماذج البروبيت ، وامتداداتها المختلفة، وهي مستمدة من حقيقة أن الفرق بين متغيرين موزعين وفقًا لتوزيع القيمة القصوى المعممة من النوع الأول يتبع توزيعًا لوجستيًا ، حيث دالة اللوجيت هي دالة الكمية . وبالتالي، يؤدي توزيع القيمة القصوى المعممة من النوع الأول الدور نفسه في نماذج اللوجيت هذه كما يؤديه التوزيع الطبيعي في نماذج البروبيت المقابلة.

ملكيات

تُحقق دالة التوزيع التراكمي لتوزيع القيمة القصوى المعمم معادلة فرضية الاستقرار . يُعد توزيع القيمة القصوى المعمم حالة خاصة من التوزيع المستقر الأقصى، وهو تحويل للتوزيع المستقر الأدنى.

التطبيقات

  • يُستخدم توزيع القيمة المعممة الإجمالية (GEV) على نطاق واسع في معالجة "مخاطر الذيل" في مجالات تتراوح من التأمين إلى التمويل. وفي الحالة الأخيرة، يُعتبر وسيلة لتقييم مختلف المخاطر المالية عبر مقاييس مثل القيمة المعرضة للخطر . [ 7 ] [ 8 ]
توزيع احتمالية GEV المُطابق لأقصى هطول أمطار شهري ليوم واحد في أكتوبر، سورينام
  • ومع ذلك، فقد وُجد أن معلمات الشكل الناتجة تقع في النطاق الذي يؤدي إلى متوسطات وتباينات غير محددة، مما يؤكد حقيقة أن تحليل البيانات الموثوق به غالباً ما يكون مستحيلاً. [ 9 ]
  • في علم المياه، يُطبَّق توزيع القيمة القصوى المعممة (GEV) على الظواهر المناخية المتطرفة، مثل أعلى معدل هطول أمطار سنوي ليوم واحد وتصريفات الأنهار. [ 10 ] يوضح الشكل الأزرق مثالًا على تطبيق توزيع GEV على أعلى معدل هطول أمطار سنوي ليوم واحد، مع عرض نطاق الثقة بنسبة 90% بناءً على التوزيع ذي الحدين . تُمثَّل بيانات هطول الأمطار برسم المواقع كجزء من تحليل التكرار التراكمي .

تنبؤ

  • غالباً ما يكون من المهم التنبؤ باحتمالات البيانات خارج العينة بافتراض أن كلاً من بيانات التدريب والبيانات خارج العينة تتبع توزيع GEV.
  • تتجاهل التنبؤات بالاحتمالات الناتجة عن استبدال تقديرات الاحتمال الأقصى لمعاملات التوزيع التراكمي ذي القيمة القصوى المعممة (GEV) في دالة التوزيع التراكمي عدم اليقين في هذه المعاملات. ونتيجة لذلك، لا تكون الاحتمالات دقيقة ، ولا تعكس ترددات الأحداث خارج العينة، وعلى وجه الخصوص، تقلل من تقدير احتمالات أحداث الذيل خارج العينة. [ 11 ]
  • أظهرت التنبؤات المُولَّدة باستخدام المنهج البايزي الموضوعي لمعايرة التنبؤ المسبق أنها تُقلل بشكل كبير من هذا التقليل، وإن لم تُزِله تمامًا. [ 11 ] تُطبَّق معايرة التنبؤ المسبق في حزمة برامج R المسماة fitdistcp. [ 12 ]

مثال على المتغيرات ذات التوزيع الطبيعي

يترك { Xأنا | 1≤أنا≤ن } {\displaystyle \ \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ }لنفترض أن المتغيرات العشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع، موزعة توزيعًا طبيعيًا ، بمتوسط ​​0 وتباين 1. تنص نظرية فيشر -تيبت-غنيدينكو [ 13 ] على أن الأعلى{ Xأنا | 1≤أنا≤ن }∼جيهـV(μن،σن،0) ،{\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\sim GEV(\mu _{n},\sigma _{n},0)\ ,} أين

μن=Φ-1(1- 1 ن)σن=Φ-1(1-1 ن هـ )-Φ-1(1- 1 ن) .{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)\\\sigma _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ n\ \mathrm {e} \ }}\right)-\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)~.\end{aligned}}}

وهذا يسمح لنا بتقدير متوسط، على سبيل المثال الأعلى{ Xأنا | 1≤أنا≤ن } {\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\ } من متوسط ​​توزيع GEV:

هـ⁡{ الأعلى{ Xأنا | 1≤أنا≤ن } }≈μن+γهـ σن=(1-γهـ) Φ-1(1- 1 ن)+γهـ Φ-1(1-1 هـ ن )=سجل⁡(ن2 2π سجل⁡(ن22π) )  ⋅ (1+γ سجل⁡ن +o(1 سجل⁡ن )) ،{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \max \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ \right\}&\approx \mu _{n}+\gamma _{\mathsf {E}}\ \sigma _{n}\\&=(1-\gamma _{\mathsf {E}})\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)+\gamma _{\mathsf {E}}\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ e\ n\ }}\right)\\&={\sqrt {\log \left({\frac {n^{2}}{\ 2\pi \ \log \left({\frac {n^{2}}{2\pi }}\right)\ }}\right)~}}\ \cdot \ \left(1+{\frac {\gamma }{\ \log n\ }}+{\mathcal {o}}\left({\frac {1}{\ \log n\ }}\right)\right)\ ,\end{aligned}}}

أين γهـ {\displaystyle \ \gamma _{\mathsf {E}}\ }هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

  1. لو X∼جي إي في(μ،σ،ξ) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,\xi )\ }ثم مX+ب∼جي إي في(مμ+ب، |م|σ، ξ) {\displaystyle \ mX+b\sim {\textrm {GEV}}(m\mu +b,\ |m|\sigma ,\ \xi )\ }
  2. لو X∼غامبل(μ، σ) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu ,\ \sigma )\ }( توزيع غامبل ) ثم X∼جي إي في(μ،σ،0) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }
  3. لو X∼ويبول(σ،μ) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }( توزيع ويبول ) إذن μ(1-σسجل⁡Xσ)∼جي إي في(μ،σ،0) {\displaystyle \ \mu \left(1-\sigma \log {\tfrac {X}{\sigma }}\right)\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }
  4. لو X∼جي إي في(μ،σ،0) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }ثم σخبرة⁡(-X-μμσ)∼ويبول(σ،μ) {\displaystyle \ \sigma \exp(-{\tfrac {X-\mu }{\mu \sigma }})\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }( توزيع ويبول )
  5. لو X∼النمو الأسي(1) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ }( التوزيع الأسي ) إذن μ-σسجل⁡X∼جي إي في(μ،σ،0) {\displaystyle \ \mu -\sigma \log X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }
  6. لو X∼جيuمبهـل(αX،β) {\displaystyle \ X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )\ }و Y∼جيuمبهـل(αY،β) {\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )\ }ثم X-Y∼لoزأناsتأناج(αX-αY،β) {\displaystyle \ X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\ }(انظر التوزيع اللوجستي ).
  7. لو X {\displaystyle \ X\ }و Y∼جيuمبهـل(α،β) {\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )\ }ثم X+Y≁لoزأناsتأناج(2α،β) {\displaystyle \ X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ }(المجموع ليس توزيعًا لوجستيًا).
لاحظ أن هـ⁡{ X+Y }=2α+2βγ≠2α=هـ⁡{ الخدمات اللوجستية⁡(2α،β) } .{\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } \{\ X+Y\ \}=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \operatorname {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ \right\}~.}

البراهين

4. ليكن X∼ويبول(σ،μ) ،{\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ ,}ثم التوزيع التراكمي لـ ز(x)=μ(1-σسجل⁡Xσ) {\displaystyle \ g(x)=\mu \left(1-\sigma \log {\frac {X}{\sigma }}\right)\ }يكون:

P⁡{ μ(1-σسجل⁡ X σ)<x }=P⁡{ سجل⁡Xσ>1-x/μσ } Sأنانجهـ تحهـ لoزأرأناتحم أناs ألwأys أنانجرهـأsأنانز: =P⁡{ X>σخبرة⁡[1-x/μσ] }=خبرة⁡(-(σخبرة⁡[1-x/μσ]⋅1σ)μ)=خبرة⁡(-(خبرة⁡[1μ-x/μσ])μ)=خبرة⁡(-خبرة⁡[μ-xσ])=خبرة⁡(-خبرة⁡[-s])،s=x-μσ ،{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu \left(1-\sigma \log {\frac {\ X\ }{\sigma }}\right)<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log {\frac {X}{\sigma }}>{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\sigma \exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\ \right\}\\&=\exp \left(-\left({\cancel {\sigma }}\exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\cdot {\cancel {\frac {1}{\sigma }}}\right)^{\mu }\right)\\&=\exp \left(-\left(\exp \left[{\frac {{\cancelto {\mu }{1}}-x/{\cancel {\mu }}}{\sigma }}\right]\right)^{\cancel {\mu }}\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[{\frac {\mu -x}{\sigma }}\right]\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[-s\right]\right),\quad s={\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ,\end{aligned}}}
وهي دالة التوزيع التراكمي لـ∼جي إي في(μ،σ،0) .{\displaystyle \sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)~.}

5. ليكن X∼النمو الأسي(1) ،{\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ ,}ثم التوزيع التراكمي لـ ز(X)=μ-σسجل⁡X {\displaystyle \ g(X)=\mu -\sigma \log X\ }يكون:

P⁡{ μ-σسجل⁡X<x }=P⁡{ سجل⁡X>μ-xσ } Sأنانجهـ تحهـ لoزأرأناتحم أناs ألwأys أنانجرهـأsأنانز: =P⁡{ X>خبرة⁡( μ-x σ) }=خبرة⁡[-خبرة⁡( μ-x σ)]=خبرة⁡[-خبرة⁡(-s)] ، wحهـرهـ s≡x-μσ ؛{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu -\sigma \log X<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log X>{\frac {\mu -x}{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\ \right\}\\&=\exp \left[-\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\right]\\&=\exp \left[-\exp(-s)\right]\ ,\quad ~{\mathsf {where}}~\quad s\equiv {\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ;\end{aligned}}}
وهو التوزيع التراكمي لـ جي إي في⁡(μ،σ،0) .{\displaystyle \ \operatorname {GEV} (\mu ,\sigma ,0)~.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 موراليدهاران، ج.؛ غيديس سواريس، س.؛ لوكاس، كلوديا (2011). "الدوال المميزة ودوال توليد العزوم لتوزيع القيمة القصوى المعمم (GEV)". في رايت، ليندا ل. (محرر). ارتفاع مستوى سطح البحر، والهندسة الساحلية، والخطوط الساحلية، والمد والجزر . دار نوفا للعلوم. الفصل 14، الصفحات 269-276. ISBN   978-1-61728-655-1.
  2. ↑ وايسشتاين، إريك و. "توزيع القيم المتطرفة" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2021-08-06 .
  3. 1 2 هان، لورينز؛ فيريرا، آنا (2007). نظرية القيمة القصوى: مقدمة . سبرينغر.
  4. ↑ جينكينسون، آرثر ف. (1955). "التوزيع التكراري للقيم السنوية القصوى (أو الدنيا) للعناصر المناخية". المجلة الفصلية للجمعية الملكية للأرصاد الجوية . 81 (348): 158-171 . Bibcode : 1955QJRMS..81..158J . doi : 10.1002/qj.49708134804 .
  5. ^ فون ميزس، ر. (1936). "لا توزيع دي لا زائد غراندي دي ن فاليور". القس الرياضيات. اتحاد إنتربالكانيك . 1 : 141 - 160.
  6. ↑ نورتون، ماثيو؛ خوخلوف، فالنتين؛ أورياسيف، ستان (2019). "حساب CVaR وbPOE لتوزيعات احتمالية شائعة مع تطبيق على تحسين المحفظة وتقدير الكثافة" (ملف PDF) . حوليات بحوث العمليات . 299 ( 1-2 ). سبرينغر: 1281-1315 . arXiv : 1811.11301 . doi : 10.1007/s10479-019-03373-1 . S2CID 254231768. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 31 مارس 2023. تم الاسترجاع بتاريخ 27 فبراير 2023 . 
  7. ↑ موسكاديلي، ماركو (30 يوليو 2004). نمذجة المخاطر التشغيلية: تجربة تحليل البيانات التي جمعتها لجنة بازل (ملف PDF) (مقالة غير خاضعة لمراجعة الأقران). doi : 10.2139/ssrn.557214 . SSRN 557214. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 22 سبتمبر 2015. تم الاطلاع عليه في 17 يونيو 2015 – عبر أرشيف دورة المخاطر التشغيلية لـ ND Girald (unalmed.edu.co). 
  8. ↑ غيغان، د.؛ حساني، ب.ك. (2014). "عودة رياضية لإدارة المخاطر: نمذجة متطرفة لآراء الخبراء". مجلة فرونتيرز في التمويل والاقتصاد . 11 (1): 25-45 . SSRN 2558747 . 
  9. ^ آس ، كيرستي (23 يناير 2008). " [ لم يتم ذكر عنوان ] " . citeseerx.ist.psu.edu (محاضرة). تروندهايم، NO: جامعة Norges teknisk-naturvitenskapelige . سيتيسيركس 10.1.1.523.6456 . مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 17 أبريل 2023 . تم الاسترجاع في 4 ديسمبر 2019 . 
  10. ↑ ليو، شين؛ وانغ، يو (سبتمبر 2022). "تحديد احتمالية حدوث الانهيارات الأرضية الناجمة عن الأمطار سنويًا عند منحدر محدد" . الحوسبة والجيوتقنية . 149 104877. Bibcode : 2022CGeot.14904877L . doi : 10.1016/j.compgeo.2022.104877 . hdl : 2031/1583ef0b-d776-4922-8036-42c1a0448ff5 . S2CID 250232752 . 
  11. 1 2 جويسون، ستيفن؛ سويتينغ، تريفور؛ جويسون، لين (2025-02-20). "الحد من تحيز الموثوقية في تقييمات مخاطر الطقس المتطرف باستخدام معايرة المعلومات المسبقة" . التقدم في علم المناخ الإحصائي والأرصاد الجوية وعلم المحيطات . 11 (1): 1-22 . Bibcode : 2025ASCMO..11....1J . doi : 10.5194/ascmo-11-1-2025 . ISSN 2364-3579 . 
  12. ↑ جويسون، ستيفن (23-04-2025). fitdistcp: ملاءمة التوزيع مع معايرة التوزيعات المسبقة للتوزيعات الشائعة الاستخدام (تقرير). شبكة أرشيف R الشاملة. doi : 10.32614/cran.package.fitdistcp .
  13. ↑ ديفيد، هربرت أ.؛ ناجاراجا، هايكادي ن. (2004). إحصاءات الطلبات . جون وايلي وأولاده. ص 299. 

للمزيد من القراءة

  • ليدبيتر، إم آر؛ ليندغرين، جي؛ روتزن، إتش (1983). القيم المتطرفة والخصائص ذات الصلة للمتتاليات والعمليات العشوائية . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-90731-9.
  • ريسنيك، إس آي (1987). القيم المتطرفة، والتغير المنتظم، وعمليات النقطة . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-96481-9.