مجموعة أبيلية

📅 آخر تحديث: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 115 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف المجموعة الأبيلية ، [ملاحظة 1] وتُسمى أيضًا المجموعة التبديلية ، بأنها مجموعة لا يعتمد فيها ناتج تطبيق عملية المجموعة على عنصرين من عناصرها على ترتيب كتابتهما. أي أن عملية المجموعة تبديلية. وباعتبار الجمع عمليةً، تُشكل الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية مجموعات أبيلية، ويمكن اعتبار مفهوم المجموعة الأبيلية تعميمًا لهذه الأمثلة. سُميت المجموعات الأبيلية نسبةً إلى عالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل . [ 1 ]

يُعدّ مفهوم الزمرة الأبيلية أساسًا للعديد من البنى الجبرية الأساسية ، مثل الحقول والحلقات والفضاءات المتجهة والجبر . وتتميز نظرية الزمر الأبيلية عمومًا ببساطتها مقارنةً بنظرية نظيراتها غير الأبيلية ، كما أن الزمر الأبيلية المنتهية مفهومة جيدًا ومصنفة تصنيفًا كاملًا .

تعريف

المجموعة الأبيلية هي مجموعةأ{\displaystyle A}، بالإضافة إلى عملية･ ، التي تجمع بين أي عنصرينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}لأ{\displaystyle A}لتشكيل عنصر آخر منأ،{\displaystyle A,}يُشار إليهأ⋅ب{\displaystyle a\cdot b}الرمز ･ هو رمز عام يُستخدم كبديل لعملية محددة. لكي تُعتبر المجموعة والعملية زمرة تبديلية،(أ،⋅){\displaystyle (A,\cdot )}، يجب أن تستوفي أربعة متطلبات تُعرف باسم بديهيات المجموعة الأبيلية :

الترابط
للجميعأ{\displaystyle a}،ب{\displaystyle b}، وج{\displaystyle c}فيأ{\displaystyle A}المعادلة(أ⋅ب)⋅ج=أ⋅(ب⋅ج){\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}يحجز.
عنصر الهوية
يوجد عنصرهـ{\displaystyle e}فيأ{\displaystyle A}، بحيث يكون ذلك لجميع العناصرأ{\displaystyle a}فيأ{\displaystyle A}المعادلةهـ⋅أ=أ⋅هـ=أ{\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}يحجز.
العنصر العكسي
لكلأ{\displaystyle a}فيأ{\displaystyle A}يوجد عنصرب{\displaystyle b}فيأ{\displaystyle A}بحيثأ⋅ب=ب⋅أ=هـ{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}، أينهـ{\displaystyle e}هو عنصر الهوية.
التبادلية
للجميعأ{\displaystyle a}،ب{\displaystyle b}فيأ{\displaystyle A}،أ⋅ب=ب⋅أ{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}.

ويضيف بعض المؤلفين كمتطلبات بعض الخصائص التي تنتمي إلى تعريف العملية: أن العملية معرفة لأي زوج مرتب من عناصر A ، وأن النتيجة معرفة جيدًا ، وأن النتيجة تنتمي إلى A.

تُسمى المجموعة التي لا تكون عملية المجموعة فيها تبديلية بالمجموعة غير التبديلية أو المجموعة غير التبديلية . [ 2 ]

حقائق

الترميز

هناك اصطلاحان رئيسيان لتدوين المجموعات الأبيلية - الجمعي والضربي.

مؤتمرعمليةهويةالصلاحياتمعكوس
إضافةx+y{\displaystyle x+y}0نx{\displaystyle nx}-x{\displaystyle -x}
الضربx⋅y{\displaystyle x\cdot y}أوxy{\displaystyle xy}1xن{\displaystyle x^{n}}x-1{\displaystyle x^{-1}}

عمومًا، يُستخدم الترميز الضربي للمجموعات، بينما يُستخدم الترميز الجمعي للوحدات والحلقات . كما يُستخدم الترميز الجمعي للتأكيد على أن مجموعة معينة تبديلية، عند النظر في المجموعات التبديلية وغير التبديلية، مع بعض الاستثناءات البارزة كالحلقات شبه المرتبة والمجموعات المرتبة جزئيًا ، حيث تُكتب العملية بشكل جمعي حتى وإن كانت غير تبديلية. [ 3 ] [ 4 ]

جدول الضرب

للتحقق من أن الزمرة المنتهية تبديلية، يمكن إنشاء جدول (مصفوفة) - يُعرف بجدول كايلي - بطريقة مشابهة لجدول الضرب . [ 5 ] إذا كانت الزمرة تبديليةجي={ز1=هـ،ز2،...،زن}{\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}في إطار العملية⋅{\displaystyle \cdot }، ال(أنا،ج){\displaystyle (i,j)}يحتوي المدخل رقم - في هذا الجدول على المنتجزأنا⋅زج{\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}.

تكون المجموعة تبديلية إذا وفقط إذا كان هذا الجدول متناظرًا حول القطر الرئيسي، مما يعني أنه لكلأنا،ج=1،...،ن{\displaystyle i,j=1,...,n}، ال(أنا،ج){\displaystyle (i,j)}قيمة المدخل في الجدول تساوي(ج،أنا){\displaystyle (j,i)}الدخول. في الواقع، تعبر هذه المساواة عن ذلك.زأنا⋅زج=زج⋅زأنا.{\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}.}

أمثلة

  • المجموعة التي تتكون من عنصر المحايد فقط هي مجموعة تبديلية.
  • بالنسبة للأعداد الصحيحة وعملية الجمع+{\displaystyle +}، المشار إليه(Z،+){\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}تجمع عملية الجمع (+) أي عددين صحيحين لتكوين عدد صحيح ثالث، والجمع عملية تجميعية، والصفر هو العنصر المحايد الجمعي ، وكل عدد صحيحن{\displaystyle n}له معكوس جمعي ،-ن{\displaystyle -n}وتكون عملية الجمع تبديلية لأنن+م=م+ن{\displaystyle n+m=m+n}لأي عددين صحيحينم{\displaystyle m}ون{\displaystyle n}.
  • كل مجموعة حلقيةجي{\displaystyle G}أبيلية، لأنه إذاx{\displaystyle x}،y{\displaystyle y}فيجي{\displaystyle G}، ثمxy=أمأن=أم+ن=أنأم=yx{\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}وبالتالي فإن الأعداد الصحيحة ،Z{\displaystyle \mathbb {Z} }تشكل الأعداد الصحيحة زمرة تبديلية تحت عملية الجمع، كما تفعل الأعداد الصحيحة بترددها المتوسط.ن{\displaystyle n}،Z/نZ{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }.
  • كل حلقة هي زمرة تبديلية بالنسبة لعملية الجمع. في الحلقة التبديلية، تُشكّل العناصر القابلة للعكس، أو العناصر الوحدوية ، زمرة تبديلية ضربية . على وجه الخصوص، تُشكّل الأعداد الحقيقية زمرة تبديلية تحت عملية الجمع، وتُشكّل الأعداد الحقيقية غير الصفرية زمرة تبديلية تحت عملية الضرب.
  • كل زمرة جزئية من زمرة أبيلية هي زمرة طبيعية ، لذا فإن كل زمرة جزئية تُنتج زمرة خارج قسمة . الزمر الجزئية، وزمر خارج القسمة، والمجاميع المباشرة للزمر الأبيلية هي زمر أبيلية. الزمر الأبيلية البسيطة المنتهية هي بالضبط الزمر الدورية ذات الرتبة الأولية . [ 6 ]
  • مفاهيم المجموعة الأبيلية وZ{\displaystyle \mathbb {Z} }- وحدة متفق عليها. وبشكل أكثر تحديدًا، كلZ{\displaystyle \mathbb {Z} }-module هي زمرة تبديلية مع عملية الجمع، وكل زمرة تبديلية هي وحدة نمطية على حلقة الأعداد الصحيحةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }بطريقة فريدة.

بشكل عام، لا تُشكّل المصفوفات ، حتى المصفوفات القابلة للعكس، زمرة تبديلية تحت عملية الضرب لأن ضرب المصفوفات ليس تبديليًا في الغالب. ومع ذلك، فإن بعض زمر المصفوفات تُشكّل زمرًا تبديلية تحت عملية ضرب المصفوفات - ومن الأمثلة على ذلك زمرة المصفوفات2×2{\displaystyle 2\times 2}مصفوفات الدوران .

ملاحظات تاريخية

أطلق كاميل جوردان اسم الزمر الأبيلية على عالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل ، الذي اكتشف أن خاصية التبديل في زمرة كثير الحدود تعني أنه يمكن حساب جذور كثير الحدود باستخدام الجذور . [ 7 ] [ 8 ]

ملكيات

لون{\displaystyle n}هو عدد طبيعي وx{\displaystyle x}هو عنصر من عناصر مجموعة أبيليةجي{\displaystyle G}مكتوبة بشكل تراكمي، ثمنx{\displaystyle nx}يمكن تعريفها على النحو التالي:x+x+⋯+x{\displaystyle x+x+\cdots +x}(ن{\displaystyle n}(المجموعات) و(-ن)x=-(نx){\displaystyle (-n)x=-(nx)}وبهذه الطريقة،جي{\displaystyle G}يصبح وحدة فوق الحلقةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }من الأعداد الصحيحة. في الواقع، الوحدات النمطية علىZ{\displaystyle \mathbb {Z} }يمكن تحديدها مع المجموعات الأبيلية. [ 9 ]

نظريات حول الزمر الأبيلية (أي الوحدات النمطية على مجال المثالي الرئيسي)Z{\displaystyle \mathbb {Z} }يمكن تعميم هذه النظرية غالبًا لتشمل نظريات حول الوحدات النمطية على أي مجال مثالي رئيسي. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك تصنيف الزمر الأبيلية المولدة نهائيًا، وهو تخصيص لنظرية البنية للوحدات النمطية المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي . في حالة الزمر الأبيلية المولدة نهائيًا، تضمن هذه النظرية أن الزمرة الأبيلية تنقسم إلى مجموع مباشر لزمرة التواء وزمرة أبيلية حرة . ويمكن كتابة الأولى كمجموع مباشر لعدد محدود من الزمر على الصورة التالية:Z/صكZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }لص{\displaystyle p}أولي، والأخير هو مجموع مباشر لعدد محدود من نسخZ{\displaystyle \mathbb {Z} }.

لوو،ز:جي→ح{\displaystyle f,g:G\to H}إذا كان لدينا تشاكلان بين مجموعتين أبيليتيتين، فإن مجموعهماو+ز{\displaystyle f+g}، كما هو محدد بواسطة(و+ز)(x)=و(x)+ز(x){\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}، هو أيضاً تشاكل. (هذا غير صحيح إذاح{\displaystyle H}(هي مجموعة غير تبديلية.) المجموعةهوم(جي،ح){\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}من جميع التشاكلات الجماعية منجي{\displaystyle G}لح{\displaystyle H}وبالتالي فهي مجموعة أبيلية بحد ذاتها.

يشبه بُعد الفضاءات المتجهة إلى حد ما بُعد الزمر الأبيلية ، فلكل زمرة رتبة . تُعرَّف الرتبة بأنها أكبر عدد من العناصر المستقلة خطيًا (على مجموعة الأعداد الصحيحة) في الزمرة. [ 10 ] الزمر الأبيلية المنتهية وزمر الالتواء لها رتبة صفر، وكل زمرة أبيلية رتبتها صفر هي زمرة التواء. الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية لها رتبة واحد، وكذلك كل زمرة جزئية جمعية غير صفرية من الأعداد النسبية. من ناحية أخرى، فإن الزمرة الضربية للأعداد النسبية غير الصفرية لها رتبة لانهائية، لأنها زمرة أبيلية حرة أساسها مجموعة الأعداد الأولية (وهذا ناتج عن النظرية الأساسية للحساب ).

المركز​Z(جي){\displaystyle Z(G)}من مجموعةجي{\displaystyle G}هي مجموعة العناصر التي تتبادل مع كل عنصر من عناصرجي{\displaystyle G}مجموعةجي{\displaystyle G}تكون المجموعة تبديلية إذا وفقط إذا كانت تساوي مركزهاZ(جي){\displaystyle Z(G)}مركز المجموعةجي{\displaystyle G}هي دائماً مجموعة فرعية أبيلية مميزة منجي{\displaystyle G}إذا كانت مجموعة القسمةجي/Z(جي){\displaystyle G/Z(G)}إذا كانت المجموعة التي مركزها دورية،جي{\displaystyle G}هو أبيلي. [ 11 ]

الزمر الأبيلية المنتهية

المجموعات الدورية للأعداد الصحيحة بترددن{\displaystyle n}،Z/نZ{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }كانت هذه من أوائل الأمثلة على الزمر. اتضح أن أي زمرة أبيلية منتهية متماثلة مع مجموع مباشر لزمر دورية منتهية من رتبة أسية أولية، وهذه الرتب محددة بشكل فريد، لتشكل نظامًا كاملاً من الثوابت. يمكن وصف زمرة التشاكل الذاتي لزمرة أبيلية منتهية مباشرةً بدلالة هذه الثوابت. طُورت هذه النظرية لأول مرة في ورقة بحثية عام 1879 لجورج فروبينيوس ولودفيج ستيكلبرجر ، ثم جرى تبسيطها وتعميمها لاحقًا لتشمل الوحدات المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي، لتشكل فصلًا مهمًا في الجبر الخطي .

أي زمرة رتبتها عدد أولي تكون متماثلة مع زمرة دورية، وبالتالي فهي زمرة تبديلية. أي زمرة رتبتها مربع عدد أولي تكون أيضًا زمرة تبديلية. [ 12 ] في الواقع، لكل عدد أوليص{\displaystyle p}يوجد (حتى التشاكل) مجموعتان فقط من الرتبةص2{\displaystyle p^{2}}، أيZص2{\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}}وZص×Zص{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}.

تصنيف

تنص النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المنتهية على أن كل مجموعة أبيلية منتهيةجي{\displaystyle G}يمكن التعبير عنها كمجموع مباشر للمجموعات الجزئية الدورية ذات الرتبة الأسية الأولية ؛ وتُعرف أيضًا بنظرية الأساس للمجموعات الأبيلية المنتهية . علاوة على ذلك، تُعد مجموعات التشاكل الذاتي للمجموعات الدورية أمثلة على المجموعات الأبيلية. [ 13 ] يُعمم هذا بواسطة النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المولدة نهائيًا ، حيث تُمثل المجموعات المنتهية الحالة الخاصة عندما تكون رتبة G صفرًا ؛ وهذا بدوره يسمح بالعديد من التعميمات الأخرى.

تم إثبات هذا التصنيف بواسطة ليوبولد كرونكر في عام 1870، على الرغم من أنه لم يتم ذكره بمصطلحات نظرية المجموعة الحديثة إلا في وقت لاحق، وسبقه تصنيف مماثل للأشكال التربيعية بواسطة كارل فريدريش جاوس في عام 1801؛ انظر التاريخ لمزيد من التفاصيل.

المجموعة الحلقيةZمن{\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}من النظاممن{\displaystyle mn}متماثل مع المجموع المباشر لـZم{\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}وZن{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}إذا وفقط إذام{\displaystyle m}ون{\displaystyle n}تكون أعدادًا أولية فيما بينها . ويترتب على ذلك أن أي زمرة أبيلية منتهيةجي{\displaystyle G}متماثل مع مجموع مباشر من الشكل

⨁أنا=1u Zكأنا{\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}}

بإحدى الطريقتين المتعارف عليهما التاليتين:

  • الأرقامك1،ك2،...،كu{\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}}هي قوى أعداد أولية (ليست بالضرورة مختلفة)،
  • أوك1{\displaystyle k_{1}}يقسمك2{\displaystyle k_{2}}، الذي يقسمك3{\displaystyle k_{3}}وهكذا حتىكu{\displaystyle k_{u}}.

على سبيل المثال،Z15{\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}يمكن التعبير عنها كمجموع مباشر لمجموعتين فرعيتين دوريتين من الرتبة 3 و 5:Z15≅{0،5،10}⊕{0،3،6،9،12}{\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}. وينطبق الشيء نفسه على أي مجموعة أبيلية من الرتبة 15، مما يؤدي إلى استنتاج ملحوظ مفاده أن جميع المجموعات الأبيلية من الرتبة 15 متماثلة .

كمثال آخر، كل زمرة أبيلية من الرتبة 8 متماثلة مع إماZ8{\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}(الأعداد الصحيحة من 0 إلى 7 في عملية الجمع بتردد 8)،Z4⊕Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}(الأعداد الفردية من 1 إلى 15 في عملية الضرب بتردد 16)، أوZ2⊕Z2⊕Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}.

انظر أيضًا قائمة المجموعات الصغيرة للمجموعات الأبيلية المنتهية من الرتبة 30 أو أقل.

التماثلات الذاتية

يمكن تطبيق النظرية الأساسية لحساب (وأحيانًا تحديد) التشاكلات الذاتية لمجموعة أبيلية منتهية معينةجي{\displaystyle G}وللقيام بذلك، يستخدم المرء حقيقة أنه إذاجي{\displaystyle G}ينقسم كمجموع مباشرح⊕ك{\displaystyle H\oplus K}من المجموعات الفرعية ذات الرتبة الأولية فيما بينها، إذن

مؤلف⁡(ح⊕ك)≅مؤلف⁡(ح)⊕مؤلف⁡(ك).{\displaystyle \operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K).}

وبناءً على ذلك، تُظهر النظرية الأساسية أنه لحساب مجموعة التشاكل الذاتي لـجي{\displaystyle G}يكفي حساب مجموعات التشاكل الذاتي لـ Sylowص{\displaystyle p}- المجموعات الفرعية بشكل منفصل (أي جميع المجاميع المباشرة للمجموعات الفرعية الدورية، كل منها من رتبة قوة لـص{\displaystyle p}). حدد عددًا أوليًاص{\displaystyle p}ولنفترض أن الأسسهـأنا{\displaystyle e_{i}}من العوامل الدورية لـ Sylowص{\displaystyle p}يتم ترتيب المجموعات الفرعية بترتيب تصاعدي:

هـ1≤هـ2≤⋯≤هـن{\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}

بالنسبة للبعضن>0{\displaystyle n>0}يجب إيجاد التشاكلات الذاتية لـ

Zصهـ1⊕⋯⊕Zصهـن.{\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{p^{e_{n}}}.}

إحدى الحالات الخاصة هي عندمان=1{\displaystyle n=1}بحيث لا يوجد سوى عامل قوة أولي دوري واحد في سيلوص{\displaystyle p}-مجموعة فرعيةP{\displaystyle P}في هذه الحالة، يمكن استخدام نظرية التشاكلات الذاتية لمجموعة دورية منتهية. وهناك حالة خاصة أخرى عندمان{\displaystyle n}هو أمر اعتباطي ولكنهـأنا=1{\displaystyle e_{i}=1}ل1≤أنا≤ن{\displaystyle 1\leq i\leq n}هنا، يتم النظر فيP{\displaystyle P}أن يكون على شكل

Zص⊕⋯⊕Zص،{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{p},}

لذا يمكن اعتبار عناصر هذه المجموعة الفرعية بمثابة فضاء متجهي ذي بُعدن{\displaystyle n}على الحقل المنتهي لـص{\displaystyle p}عناصرFص{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}وبالتالي، فإن التشاكلات الذاتية لهذه المجموعة الفرعية تُعطى بواسطة التحويلات الخطية القابلة للعكس، لذلك

مؤلف⁡(P)≅جيل(ن،Fص)،{\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbb {F} _{p}),}

أينجيل{\displaystyle \mathrm {GL} }هي المجموعة الخطية العامة المناسبة . ومن السهل إثبات أن لها رتبة

|مؤلف⁡(P)|=(صن-1)⋯(صن-صن-1).{\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).}

في الحالة الأكثر عمومية، حيثهـأنا{\displaystyle e_{i}}ون{\displaystyle n}إذا كانت العناصر اختيارية، فإن تحديد مجموعة التشاكل الذاتي يصبح أكثر صعوبة. ومع ذلك، من المعروف أنه إذا تم تعريف

دك=الأعلى{ر|هـر=هـك}{\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}

و

جك=مين{ر|هـر=هـك}{\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}

ثم يمتلك المرء على وجه الخصوصك≤دك{\displaystyle k\leq d_{k}}،جك≤ك{\displaystyle c_{k}\leq k}، و

|مؤلف⁡(P)|=∏ك=1ن(صدك-صك-1)∏ج=1ن(صهـج)ن-دج∏أنا=1ن(صهـأنا-1)ن-جأنا+1.{\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}

يمكن للمرء أن يتحقق من أن هذا يؤدي إلى الطلبات في الأمثلة السابقة كحالات خاصة (انظر هيلار وريا).

المجموعات الأبيلية المولدة نهائياً

تكون المجموعة الأبيلية A مولدة بشكل نهائي إذا كانت تحتوي على مجموعة نهائية من العناصر (تسمى المولدات ).جي={x1،...،xن}{\displaystyle G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}بحيث يكون كل عنصر من عناصر المجموعة عبارة عن تركيبة خطية بمعاملات صحيحة لعناصر G.

ليكن L زمرة أبيلية حرة ذات أساسب={ب1،...،بن}.{\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.} يوجد تماثل فريد بين المجموعاتص:ل→أ،{\displaystyle p\colon L\to A,}بحيث

ص(بأنا)=xأنال أنا=1،...،ن.{\displaystyle p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}

هذا التشاكل شامل ، ونواته مولدة توليدًا منتهيًا (لأن الأعداد الصحيحة تُشكّل حلقة نوثرية ). لنفترض المصفوفة M ذات المدخلات الصحيحة، بحيث تكون مدخلات عمودها j هي معاملات المولد j للنواة. عندئذٍ، تكون المجموعة الأبيلية متماثلة مع النواة المشتركة للتطبيق الخطي المعرّف بواسطة M. والعكس صحيح، فكل مصفوفة من الأعداد الصحيحة تُعرّف مجموعة أبيلية مولدة توليدًا منتهيًا.

يستنتج من ذلك أن دراسة الزمر الأبيلية المولدة نهائيًا تُكافئ تمامًا دراسة المصفوفات الصحيحة. على وجه الخصوص، يُكافئ تغيير المجموعة المولدة للمصفوفة A ضرب المصفوفة M من اليسار بمصفوفة أحادية المعامل (أي مصفوفة صحيحة قابلة للعكس، ومعكوسها أيضًا مصفوفة صحيحة). كما يُكافئ تغيير المجموعة المولدة لنواة المصفوفة M ضربها من اليمين بمصفوفة أحادية المعامل.

الشكل الطبيعي لسميث للمصفوفة M هو مصفوفة

S=يومV،{\displaystyle S=UMV,}

حيث U و V أحاديتان، و S مصفوفة بحيث تكون جميع عناصرها غير القطرية صفرًا، والعناصر القطرية غير الصفريةد1،1،...،دك،ك{\displaystyle d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}}هما الأولان، ودج،ج{\displaystyle d_{j,j}}⁠ هو قاسم لـ ⁠دأنا،أنا{\displaystyle d_{i,i}}لـ i > j . يثبت وجود وشكل الصيغة الطبيعية لسميث أن المجموعة الأبيلية المولدة نهائيًاA هي المجموع المباشر

Zر⊕Z/د1،1Z⊕⋯⊕Z/دك،كZ،{\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,}

حيث يمثل r عدد الصفوف الصفرية في أسفل المجموعة S (وهو أيضاً رتبة المجموعة). هذه هي النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المولدة نهائياً .

إن وجود خوارزميات للصيغة الطبيعية لسميث يُظهر أن النظرية الأساسية للمجموعات الأبيلية المولدة نهائياً ليست مجرد نظرية وجود مجردة، بل توفر طريقة لحساب تعبير المجموعات الأبيلية المولدة نهائياً كمجاميع مباشرة. [ 14 ]

الزمر الأبيلية اللانهائية

أبسط زمرة أبيلية لانهائية هي الزمرة الدورية اللانهائيةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }أي زمرة أبيلية مولدة نهائياًأ{\displaystyle A}متماثل مع المجموع المباشر لـر{\displaystyle r}نسخ منZ{\displaystyle \mathbb {Z} }ومجموعة أبيلية منتهية، والتي بدورها قابلة للتحليل إلى مجموع مباشر لعدد منتهٍ من المجموعات الدورية ذات رتب قوى أولية . على الرغم من أن التحليل ليس فريدًا، فإن العددر{\displaystyle r}، والتي تسمى رتبةأ{\displaystyle A}ويتم تحديد القوى الأولية التي تعطي رتب الحدود الدورية المحدودة بشكل فريد.

في المقابل، لا يزال تصنيف الزمر الأبيلية العامة المولدة بلا حدود بعيدًا عن الاكتمال. الزمر القابلة للقسمة ، أي الزمر الأبيليةأ{\displaystyle A}حيث المعادلةنx=أ{\displaystyle nx=a}يُقر بوجود حلx∈أ{\displaystyle x\in A}لأي عدد طبيعين{\displaystyle n}وعنصرأ{\displaystyle a}لأ{\displaystyle A}تُشكّل هذه المجموعة فئةً مهمةً من الزمر الأبيلية اللانهائية التي يمكن توصيفها بشكل كامل. كل زمرة قابلة للقسمة متماثلة مع مجموع مباشر، مع عناصر مجموع متماثلة معسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }ومجموعات بروفرسؤالص/Zص{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}بالنسبة للأعداد الأولية المختلفةص{\displaystyle p}ويتم تحديد عدد عناصر مجموعة الحدود من كل نوع بشكل فريد. [ 15 ] علاوة على ذلك، إذا كانت المجموعة قابلة للقسمةأ{\displaystyle A}هي مجموعة فرعية من مجموعة أبيليةجي{\displaystyle G}ثمأ{\displaystyle A}يقبل مكملاً مباشراً: مجموعة فرعيةج{\displaystyle C}لجي{\displaystyle G}بحيثجي=أ⊕ج{\displaystyle G=A\oplus C}وبالتالي، فإن الزمر القابلة للقسمة هي وحدات أحادية في فئة الزمر الأبيلية ، وبالعكس، فإن كل زمرة أبيلية أحادية قابلة للقسمة ( معيار باير ). وتُسمى الزمرة الأبيلية التي لا تحتوي على زمر جزئية قابلة للقسمة غير صفرية زمرة مختزلة .

هناك فئتان خاصتان مهمتان من الزمر الأبيلية اللانهائية ذات خصائص متناقضة تمامًا، وهما زمر الالتواء والزمر الخالية من الالتواء ، والتي تُعد الزمر مثالًا عليها.سؤال/Z{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }(دوري) وسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }(خالي من الالتواء).

مجموعات الالتواء

تُسمى المجموعة الأبيلية دورية أو ملتوية إذا كان لكل عنصر فيها رتبة منتهية . والمجموع المباشر للمجموعات الدورية المنتهية هو مجموعة دورية. مع أن العكس ليس صحيحًا بشكل عام، إلا أن هناك بعض الحالات الخاصة المعروفة. تنص مبرهنتا بروفر الأولى والثانية على أنه إذاأ{\displaystyle A}هي مجموعة دورية، ولها إما أس محدود ، أينأ=0{\displaystyle nA=0}لبعض الأعداد الطبيعيةن{\displaystyle n}، أو قابل للعد وص{\displaystyle p}-ارتفاعات عناصرأ{\displaystyle A}محدودة لكلص{\displaystyle p}، ثمأ{\displaystyle A}متماثل مع مجموع مباشر لمجموعات دورية منتهية. [ 16 ] عدد عناصر مجموعة المجموعات المباشرة المتماثلة معZ/صمZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }في مثل هذا التفكيك، يكون ثابتًا لـأ{\displaystyle A}[ 17 ] أُدرجت هذه النظريات لاحقًا في معيار كوليكوف . وفي اتجاه مختلف، وجد هيلموت أولم امتدادًا لنظرية بروفر الثانية إلى الأعداد الأبيلية القابلة للعد .ص{\displaystyle p}- المجموعات ذات العناصر ذات الارتفاع اللانهائي: يتم تصنيف هذه المجموعات بشكل كامل عن طريق ثوابت أولم الخاصة بها . [ 18 ]

مجموعات خالية من الالتواء ومختلطة

تُسمى المجموعة الأبيلية خالية من الالتواء إذا كان لكل عنصر غير صفري رتبة لانهائية. وقد دُرست عدة فئات من المجموعات الأبيلية الخالية من الالتواء على نطاق واسع.

تُسمى المجموعة الأبيلية التي ليست دورية ولا خالية من الالتواء مجموعة مختلطة .أ{\displaystyle A}هي مجموعة أبيلية وتي(أ){\displaystyle T(A)}إذا كانت مجموعة الالتواء الخاصة بها ، فإن مجموعة العوامل أ/تي(أ){\displaystyle A/T(A)}هي خالية من الالتواء. ومع ذلك، بشكل عام، فإن المجموعة الفرعية للالتواء ليست مجموعًا مباشرًا لـأ{\displaystyle A}، لذا أ{\displaystyle A}ليس متماثلاً معتي(أ)⊕أ/تي(أ){\displaystyle T(A)\oplus A/T(A)}وبالتالي، فإن نظرية المجموعات المختلطة تتضمن أكثر من مجرد الجمع بين نتائج المجموعات الدورية والمجموعات الخالية من الالتواء. المجموعة الجمعيةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }مجموعة الأعداد الصحيحة خالية من الالتواءZ{\displaystyle \mathbb {Z} }-وحدة. [ 20 ]

الثوابت والتصنيف

أحد الثوابت الأساسية لمجموعة أبيلية لانهائيةأ{\displaystyle A}رتبتها : عدد عناصر المجموعة الفرعية المستقلة خطيًا القصوى منأ{\displaystyle A}الزمر الأبيلية من الرتبة 0 هي بالضبط الزمر الدورية، بينما الزمر الأبيلية الخالية من الالتواء من الرتبة 1 هي بالضرورة زمر فرعية منسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }ويمكن وصفها بالكامل. وبشكل أعم، هي زمرة أبيلية خالية من الالتواء ذات رتبة منتهيةر{\displaystyle r}هي مجموعة فرعية منسؤالر{\displaystyle \mathbb {Q} _{r}}من ناحية أخرى، فإن مجموعةص{\displaystyle p}الأعداد الصحيحة -adicZص{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}هي زمرة أبيلية خالية من الالتواء من اللانهايةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }-الترتيب والمجموعاتZصن{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}مع مختلفن{\displaystyle n}غير متماثلة، لذا فإن هذا الثابت لا يلتقط بشكل كامل خصائص بعض المجموعات المألوفة.

جميع نظريات التصنيف الخاصة بالمجموعات الأبيلية المولدة نهائيًا، والقابلة للقسمة، والدورية القابلة للعد، والخالية من الالتواء من الرتبة 1، والموضحة أعلاه، قد تم التوصل إليها قبل عام 1950، وهي تُشكل أساسًا لتصنيف المجموعات الأبيلية اللانهائية الأكثر عمومية. ومن الأدوات التقنية المهمة المستخدمة في تصنيف المجموعات الأبيلية اللانهائية المجموعات الفرعية النقية والأساسية . وقد شكّل إدخال ثوابت مختلفة للمجموعات الأبيلية الخالية من الالتواء أحد مسارات التقدم الإضافي. للاطلاع على أحدث النتائج، يُرجى مراجعة كتب إيرفينغ كابلانسكي ، ولازلو فوكس ، وفيليب غريفيث ، وديفيد أرنولد ، بالإضافة إلى وقائع مؤتمرات نظرية المجموعات الأبيلية المنشورة في سلسلة محاضرات في الرياضيات .

مجموعات الحلقات المضافة

الزمرة الجمعية لحلقة ما هي زمرة تبديلية، ولكن ليست كل الزمر التبديلية زمرًا جمعية لحلقات (مع عملية ضرب غير تافهة). من المواضيع المهمة في هذا المجال من الدراسة ما يلي:

العلاقة بالمواضيع الرياضية الأخرى

تمتلك العديد من المجموعات الأبيلية الكبيرة بنية طبيعية ، مما يحولها إلى مجموعات طوبولوجية .

تشكل مجموعة جميع الزمر الأبيلية، بالإضافة إلى التشاكلات بينها، الفئةأب{\displaystyle {\textbf {Ab}}}، النموذج الأولي للفئة الأبيلية .

أثبتت واندا شميلو ( 1955 ) أن نظرية الرتبة الأولى للمجموعات الأبيلية، على عكس نظيرتها غير الأبيلية، قابلة للتقرير. أما معظم البنى الجبرية الأخرى غير الجبر البولياني فهي غير قابلة للتقرير . 

لا تزال هناك العديد من مجالات البحث الحالية:

  • من بين المجموعات الأبيلية الخالية من الالتواء ذات الرتبة المحدودة، فإن الحالة المولدة بشكل محدود وحالة الرتبة 1 فقط هما المفهومان جيدًا.
  • توجد العديد من المشاكل التي لم يتم حلها في نظرية المجموعات الأبيلية الخالية من الالتواء ذات الرتبة اللانهائية.
  • في حين أن مجموعات الالتواء الأبيلية القابلة للعد مفهومة جيدًا من خلال العروض التقديمية البسيطة وثوابت أولم، فإن حالة المجموعات المختلطة القابلة للعد أقل نضجًا بكثير.
  • من المعروف أن العديد من التوسعات الطفيفة لنظرية الدرجة الأولى للمجموعات الأبيلية غير قابلة للتقرير.
  • لا تزال المجموعات الأبيلية المنتهية موضوعًا للبحث في نظرية المجموعات الحاسوبية .

علاوة على ذلك، تقود الزمر الأبيلية ذات الرتبة اللانهائية، بشكلٍ مفاجئ، إلى تساؤلات عميقة حول نظرية المجموعات التي يُفترض عادةً أنها أساس الرياضيات. لنأخذ على سبيل المثال مسألة وايتهيد : هل جميع زمر وايتهيد ذات الرتبة اللانهائية هي أيضًا زمر أبيلية حرة ؟ في سبعينيات القرن الماضي، أثبت ساهارون شيلاه أن مسألة وايتهيد هي:

انظر أيضاً

ملحوظات

^ من بين الصفاتالرياضيةالمشتقة منالاسم الصحيحلعالمالرياضيات، فإن كلمة "abelian" نادرة لأنها عادة ما تُكتب بحرفa، بدلاً من حرفA. [ 21 ]

مراجع

  1. ↑ جاكوبسون (2009) ، ص 41 .
  2. ↑ راميك، ج.، طريقة المقارنات الزوجية: النظرية والتطبيقات في صنع القرار ( تشام : سبرينغر نيتشر سويسرا ، 2020)، ص. 11 .
  3. ^ Auslander، M. ، & Buchsbaum، D. ، المجموعات والخواتم والوحدات ( Mineola، NY : Dover Publications ، 1974)، pp. 28–29 .
  4. ↑ ستانوجكوفسكي، م.، التشاكلات الذاتية المكثفة للمجموعات المنتهية ( بروفيدنس، رود آيلاند : الجمعية الرياضية الأمريكية ، 2021) ص 9-14 .
  5. ↑ Isaev, AP, & Rubakov, VA , نظرية المجموعات والتناظرات: المجموعات المنتهية، مجموعات لي، وجبر لي ( سنغافورة : وورلد ساينتيفيك ، 2018)، ص. 10 .
  6. ↑ روز 2012، ص 32 .
  7. ↑ Cox, DA , Galois Theory ( Hoboken, NJ : John Wiley & Sons , 2004), pp. 144–145 .
  8. ↑ كيبنر، ج.، وهـ. جانانثان، رياضيات البيانات الضخمة ( كامبريدج، ماساتشوستس : مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، 2018)، ص 157-158 .
  9. ↑ Eklof, Paul C., & Göbel, Rüdiger, eds., Abelian Groups and Modules: International Conference in Dublin, August 10–14, 1998 ( Basel : Springer Basel AG , 1999), pp. 94–97 .
  10. ↑ ديكسون، إم آر، كورداتشينكو، إل إيه، وسوبوتين، آي واي، المجموعات الخطية: التركيز على الأبعاد اللانهائية ( ميلتون بارك ، أبينغدون أون تيمز وأكسفوردشاير: تايلور وفرانسيس ، 2020)، ص 49-50 .
  11. ↑ روز 2012، ص 48 .
  12. ↑ روز 2012، ص 79 .
  13. ↑ Kurzweil, H. , & Stellmacher, B. , The Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag , 2004), pp. 43–54 .
  14. ↑ فينكلستين، ل.، وكانتور، دبليو إم، محرران، المجموعات والحساب II: ورشة عمل حول المجموعات والحساب، 7-10 يونيو 1995 ( بروفيدنس : AMS ، 1997)، ص 26-27 .
  15. ↑ على سبيل المثال،سؤال/Z≅∑صسؤالص/Zص{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}.
  16. ↑ لا يمكن إزالة فرضية العد في نظرية بروفر الثانية: مجموعة الالتواء الفرعية للضرب المباشر للمجموعات الدوريةZ/صمZ{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }لجميع المكونات الطبيعيةم{\displaystyle m}لا يمثل مجموعًا مباشرًا للمجموعات الحلقية.
  17. ↑ الإيمان، CC ، الخواتم والأشياء ومجموعة رائعة من الجبر الترابطي في القرن العشرين (بروفيدنس: AMS، 2004)، ص. 6 .
  18. ↑ Gao, S., Invariant Descriptive Set Theory ( Boca Raton, FL : CRC Press , 2008), p. 317 .
  19. ↑ Albrecht, U. , "Products of Slender Abelian Groups", in Göbel, R. , & Walker, E., eds., Abelian Group Theory: Proceedings of the Third Conference Ared on Abelian Group Theory at Oberwolfach, August 11-17, 1985 (New York: Gordon & Breach , 1987), pp. 259–274 .
  20. ↑ لال، ر.، الجبر 2: الجبر الخطي، نظرية غالوا، نظرية التمثيل، امتدادات المجموعة ومضاعف شور (برلين، هايدلبرغ: سبرينغر، 2017)، ص. 206 .
  21. ↑ "جائزة أبيل: جائزة نوبل للرياضيين" . مؤرشف من الأصل في 31 ديسمبر 2012. تم الاطلاع عليه في 3 يوليو 2016 .

مراجع