احتمالية التكرار

الاحتمال التكراري، أو التكرارية، هو تفسير للاحتمال ؛ إذ يُعرّف احتمال حدث ما ( الاحتمال طويل الأجل ) بأنه نهاية تكراره النسبي في عدد لا نهائي من المحاولات . ^{[ 2 ]} يمكن إيجاد الاحتمالات (من حيث المبدأ) من خلال عملية موضوعية قابلة للتكرار، كما في أخذ عينات متكررة من نفس المجتمع ، وبالتالي فهي خالية من الذاتية في الوضع الأمثل. ومع ذلك، فقد أُثيرت تساؤلات حول استمرار استخدام الأساليب التكرارية في الاستدلال العلمي. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

كان الدافع وراء تطوير المنهج التكراري هو المشكلات والمفارقات التي اتسمت بها وجهة النظر السائدة سابقًا، وهي التفسير الكلاسيكي . في التفسير الكلاسيكي، عُرِّف الاحتمال بمبدأ اللامبالاة ، استنادًا إلى التناظر الطبيعي للمسألة؛ فعلى سبيل المثال، تنشأ احتمالات ألعاب النرد من التناظر الطبيعي ذي الستة أوجه للمكعب. إلا أن هذا التفسير الكلاسيكي يواجه صعوبة في تفسير الاحتمال في الأنظمة التي تفتقر إلى التناظر الطبيعي.

في التفسير التكراري، لا تُناقش الاحتمالات إلا عند التعامل مع تجارب عشوائية محددة بدقة. تُسمى مجموعة جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية بفضاء العينة. يُعرَّف الحدث بأنه مجموعة فرعية محددة من فضاء العينة قيد الدراسة. بالنسبة لأي حدث معين، لا يوجد إلا احتمالان: إما أن يقع أو لا يقع. يُعد التكرار النسبي لوقوع حدث ما، والذي يُلاحظ في عدد من تكرارات التجربة، مقياسًا لاحتمالية وقوع ذلك الحدث. هذا هو المفهوم الأساسي للاحتمال في التفسير التكراري.

يدّعي المنهج التكراري أنه مع ازدياد عدد المحاولات، يقلّ التغير في التكرار النسبي. وبالتالي، يمكن اعتبار الاحتمال القيمة الحدية للتكرارات النسبية المقابلة.

التفسير التكراري هو منهج فلسفي لتعريف الاحتمالات واستخدامها؛ وهو أحد هذه المناهج. ولا يدّعي هذا التفسير استيعاب جميع دلالات مفهوم "الاحتمال" في اللغة الدارجة للغات الطبيعية.

كتفسير، لا يتعارض هذا مع البديهيات الرياضية لنظرية الاحتمالات؛ بل يُقدّم إرشادات حول كيفية تطبيق نظرية الاحتمالات الرياضية على مواقف واقعية. كما يُقدّم توجيهات واضحة في بناء وتصميم التجارب العملية، خاصةً عند مقارنته بالتفسير البايزي . وقد أثارت جدوى هذه الإرشادات، أو احتمالية سوء تفسيرها، جدلاً واسعاً. ويتجلى هذا بشكل خاص عندما يُفترض خطأً أن التفسير التكراري للاحتمال هو الأساس الوحيد الممكن للاستدلال التكراري . فعلى سبيل المثال، تُرفق قائمة بالتفسيرات الخاطئة لمعنى قيم p بالمقال الخاص بها ؛ وتُفصّل الخلافات في المقال الخاص باختبار الفرضيات الإحصائية . وتُبيّن مفارقة جيفريز-ليندلي كيف يمكن لتفسيرات مختلفة، عند تطبيقها على نفس مجموعة البيانات، أن تؤدي إلى استنتاجات مختلفة حول "الدلالة الإحصائية" للنتيجة.

كما يشير فيلر : ^{[ أ ]}

لا مجال في نظامنا للتكهنات بشأن احتمالية شروق الشمس غدًا . قبل الخوض في هذا الأمر، ينبغي أن نتفق على نموذج (مثالي) يفترض أنه يسير على غرار "من بين عدد لا نهائي من العوالم، يتم اختيار عالم واحد عشوائيًا  ...". لا يتطلب بناء مثل هذا النموذج الكثير من الخيال، ولكنه يبدو غير مثير للاهتمام ولا معنى له. ^{[ 6 ]}

ربما يكون أرسطو قد تنبأ بوجهة النظر التكرارية في كتابه "الخطابة ^{" [} 7 ^{] عندما} كتب:

المحتمل هو ما يحدث في أغلب الأحيان - أرسطو، البلاغة ^{[ 8 ]}

ميّز بواسون (1837) بوضوح بين الاحتمالات الموضوعية والذاتية. ^{[ 9 ]} بعد ذلك بوقت قصير، ظهرت سلسلة من المنشورات المتزامنة تقريبًا لكل من ميل ، وإيليس (1843) ^{[ 10 ]} وإيليس (1854)، ^{[ 11 ]} وكورنو (1843)، ^{[ 12 ]} وفريز، والتي قدمت وجهة النظر التكرارية. وقدّم فين (1866، 1876، 1888) ^{[ 1 ]} شرحًا وافيًا بعد عقدين من الزمن. وتعززت هذه المنشورات بمنشورات بول وبرتراند . وبحلول نهاية القرن التاسع عشر، ترسّخ  التفسير التكراري، وربما أصبح مهيمنًا في العلوم. ^{[ 9 ]} وقد وضع الجيل التالي أدوات الإحصاء الاستدلالي الكلاسيكي (اختبار الدلالة، واختبار الفرضيات، وفترات الثقة)، وكلها تستند إلى الاحتمال التكراري.

بدلاً من ذلك، ^{[ 13 ]} فهم برنولي ^{[ ب ]} مفهوم الاحتمال التكراري ونشر برهانًا حاسمًا ( القانون الضعيف للأعداد الكبيرة ) بعد وفاته (برنولي، 1713). ^{[ 14 ]} يُنسب إليه أيضًا بعض التقدير للاحتمال الذاتي (قبل نظرية بايز وبدونها ). ^{[ 15 ] [ ج ] [ 16 ]} استخدم غاوس ولابلاس الاحتمال التكراري (وغيره) في اشتقاقات طريقة المربعات الصغرى بعد قرن من الزمان، أي قبل جيل من بواسون. [ ^{13 ] نظر} لابلاس في احتمالات الشهادات، وجداول الوفيات، وأحكام المحاكم، وما إلى ذلك، وهي احتمالات غير محتملة للاحتمال الكلاسيكي. من هذا المنظور، تمثلت مساهمة بواسون في نقده اللاذع للتفسير البديل "المعكوس" (الذاتي، البايزي) للاحتمال. أما أي نقد من غاوس أو لابلاس فكان خافتًا وضمنيًا. (مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن اشتقاقاتهم اللاحقة للمربعات الصغرى لم تستخدم الاحتمال العكسي.)

من أبرز المساهمين في الإحصاء "الكلاسيكي" في أوائل القرن العشرين: فيشر ، ونيومان ، وبيرسون . أسهم فيشر في معظم فروع الإحصاء، وجعل اختبار الدلالة الإحصائية جوهر العلوم التجريبية، على الرغم من انتقاده لمفهوم "أخذ العينات المتكررة من نفس المجتمع" في الإحصاء التكراري ؛ ^{[ 17 ]} صاغ نيومان فترات الثقة، وساهم بشكل كبير في نظرية أخذ العينات؛ وتعاون نيومان وبيرسون في وضع اختبار الفرضيات. وقد حرص جميعهم على الموضوعية، لذا كان أفضل تفسير للاحتمالات متاحًا لهم هو التفسير التكراري.

كان الجميع متشككين في "الاحتمال العكسي" (البديل المتاح) مع اختيار الاحتمالات المسبقة باستخدام مبدأ اللامبالاة. قال فيشر: "...  نظرية الاحتمال العكسي مبنية على خطأ، [مشيرًا إلى نظرية بايز] ويجب رفضها رفضًا قاطعًا." ^{[ 18 ]} بينما كان نيمان من أتباع التكرارية البحتة، ^{[ 19 ] [ د ]} كانت آراء فيشر حول الاحتمال فريدة من نوعها: فقد كان لكل من فيشر ونيمان نظرة دقيقة للاحتمال. وقدّم فون ميزس مزيجًا من الدعم الرياضي والفلسفي للتكرارية في تلك الحقبة. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

بحسب قاموس أكسفورد الإنجليزي ، استخدم إم جي كيندال مصطلح "التكراري" لأول مرة عام 1949، للتمييز بينه وبين البايزيين ، الذين أطلق عليهم اسم "غير التكراريين" . ^{[ 22 ] [ 23 ]} لاحظ كيندال

3. ... يمكننا بشكل عام التمييز بين موقفين رئيسيين. أحدهما يعتبر الاحتمال "درجة من الاعتقاد العقلاني"، أو فكرة مشابهة... أما الثاني فيعرف الاحتمال من حيث تكرار وقوع الأحداث، أو بالنسب النسبية في "المجموعات السكانية" أو "الجماعات"؛ ^{[ 23 ] (ص 101)}

...

12. قد يُظن أن الاختلافات بين التكراريين وغير التكراريين (إن جاز التعبير) تعود في معظمها إلى اختلاف المجالات التي يدّعون تغطيتها. ^{[ 23 ] (ص 104)}

...

أؤكد أن هذا ليس صحيحاً ... يكمن الفرق الجوهري بين التكراريين وغير التكراريين، في رأيي، في أن الأولين، سعياً منهم لتجنب أي شيء له صلة بالرأي، يحاولون تعريف الاحتمالية بدلالة الخصائص الموضوعية لمجموعة سكانية، حقيقية كانت أم افتراضية، بينما لا يفعل الآخرون ذلك. [التشديد في الأصل]

استُخدم مصطلح "نظرية التكرار في الاحتمالات" قبل جيل كعنوان فصل في كتاب كينز (1921). ^{[ 7 ]}

التسلسل التاريخي:

1. تم تقديم مفاهيم الاحتمالات واستنباط الكثير من الرياضيات المتعلقة بالاحتمالات (قبل  القرن العشرين).
2. تم تطوير أساليب الاستدلال الإحصائي الكلاسيكية
3. تم ترسيخ الأسس الرياضية للاحتمالات وتم إدخال المصطلحات الحالية (كل ذلك في القرن العشرين).

لم تستخدم المصادر التاريخية الأساسية في الاحتمالات والإحصاء المصطلحات الحالية للاحتمالات الكلاسيكية والذاتية ( البيزية ) والتكرارية .

نظرية الاحتمالات فرع من فروع الرياضيات. ورغم أن جذورها تمتد لقرون مضت، إلا أنها بلغت نضجها مع بديهيات أندريه كولموغوروف عام 1933. وتركز هذه النظرية على العمليات الصحيحة على قيم الاحتمالات بدلاً من التركيز على التعيين الأولي للقيم؛ فالرياضيات فيها مستقلة إلى حد كبير عن أي تفسير للاحتمالات.

تُدرس تطبيقات الاحتمالات وتفسيراتها في الفلسفة والعلوم والإحصاء. ويهتم الجميع باستخلاص المعرفة من الملاحظات - أي الاستدلال الاستقرائي . وتوجد تفسيرات متنافسة متعددة؛ ^{[ 24 ]} وكلها تعاني من مشاكل. يُعالج التفسير التكراري صعوبات التفسير الكلاسيكي، مثل أي مشكلة لا يُعرف فيها التناظر الطبيعي للنتائج. ولكنه لا يُعالج قضايا أخرى، مثل كتاب الاحتمالات الهولندي .

• يُحدد الاحتمال الكلاسيكي الاحتمالات بناءً على تناظر مثالي فيزيائي (النرد، العملات المعدنية، أوراق اللعب). ويُعاني هذا التعريف الكلاسيكي من خطر الوقوع في حلقة مفرغة: إذ تُحدد الاحتمالات بافتراض تساويها. ^{[ 25 ]} وفي غياب التناظر، تكون فائدة هذا التعريف محدودة.

• يُراعي الاحتمال الذاتي (البيزي) (وهو مجموعة من التفسيرات المتنافسة) درجات الاعتقاد: فجميع تفسيرات الاحتمال "الذاتي" العملية مقيدة بالعقلانية لدرجة تجنّب معظم الذاتية. وتُعدّ الذاتية الحقيقية منافية لبعض تعريفات العلم التي تسعى إلى نتائج مستقلة عن المُلاحِظ والمُحلِّل. وتتبنى تطبيقات أخرى للبيزية في العلم (مثل البيزية المنطقية) الذاتية المتأصلة في العديد من الدراسات والأشياء العلمية، وتستخدم الاستدلال البايزي لوضع حدود وسياق لتأثير الذاتيات على جميع التحليلات. ^{[ 26 ]} وامتدت الجذور التاريخية لهذا المفهوم إلى تطبيقات غير رقمية كالأدلة القانونية.

• ينظر احتمال الميل إلى الاحتمال على أنه ظاهرة سببية وليس ظاهرة وصفية أو ذاتية بحتة. ^{[ 24 ]}