تفسيرات الاحتمالات

استُخدم مصطلح " الاحتمال " بطرقٍ متنوعة منذ تطبيقه لأول مرة في الدراسة الرياضية لألعاب الحظ . هل يقيس الاحتمال الميل الحقيقي والمادي لحدوث شيء ما، أم أنه مقياس لمدى قوة اعتقاد المرء بحدوثه، أم أنه يستند إلى كلا العنصرين؟ في سبيل الإجابة عن هذه الأسئلة، يُفسر علماء الرياضيات قيم الاحتمال في نظرية الاحتمالات .

توجد فئتان رئيسيتان ^{[ 1 ] [ أ ] [ 2 ]} لتفسيرات الاحتمالات ، يمكن تسميتهما بالاحتمالات "الفيزيائية" والاحتمالات "الاستدلالية". ترتبط الاحتمالات الفيزيائية، والتي تُسمى أيضًا الاحتمالات الموضوعية أو احتمالات التكرار ، بالأنظمة الفيزيائية العشوائية مثل عجلات الروليت، ورمي النرد، والذرات المشعة. في مثل هذه الأنظمة، يميل نوع معين من الأحداث (مثل ظهور الرقم ستة على النرد ) إلى الحدوث بمعدل ثابت، أو "تكرار نسبي"، في سلسلة طويلة من التجارب. تُفسر الاحتمالات الفيزيائية هذه التكرارات الثابتة، أو يُستعان بها لتفسيرها. النوعان الرئيسيان لنظرية الاحتمال الفيزيائي هما النظريات التكرارية (مثل نظريات فين ^{[ 3 ]} ، ورايشنباخ ^{[ 4 ]} ، وفون ميزس ^{[ 5 ]} ) ونظريات الميل (مثل نظريات بوبر، وميلر، وجيري، وفيتزر). ^{[ 6 ]}

يمكن إسناد الاحتمال الاستدلالي، أو الاحتمال البايزي ، إلى أي عبارة مهما كانت، حتى في غياب أي عملية عشوائية، كوسيلة لتمثيل معقوليتها الذاتية العقلانية، أو مدى دعمها بالأدلة المتاحة. وتُعتبر الاحتمالات الاستدلالية، في معظم الآراء، درجات عقلانية من الاعتقاد، تُعرَّف من حيث الاستعداد للمقامرة باحتمالات معينة. وتشمل التفسيرات الاستدلالية الرئيسية الأربعة: التفسير الكلاسيكي (مثل تفسير لابلاس) ^{[ 7 ]} ، والتفسير الذاتي ( دي فينيتي ^{[ 8 ]} وسافاج ^{[ 9 ]} )، والتفسير المعرفي أو الاستقرائي ( رامزي [ ^{10 ]} وكوكس ^{[ 11 ] ) ،} والتفسير المنطقي ( كينز ^{[ 12 ]} وكارناب ^[ 13 ^{] )} . هناك أيضًا تفسيرات قائمة على الأدلة لمجموعات تغطية الاحتمالات، والتي غالبًا ما توصف بأنها "بينية" (اقترحها جيليز ^{[ 14 ]} وروبوتوم ^{[ 6 ]} ).

ترتبط بعض تفسيرات الاحتمال بمناهج الاستدلال الإحصائي ، بما في ذلك نظريات التقدير واختبار الفرضيات . فعلى سبيل المثال، يتبنى أتباع الأساليب الإحصائية التكرارية، مثل رونالد فيشر وجيرزي نيمان وإيغون بيرسون ، التفسير الفيزيائي . أما الإحصائيون من المدرسة البايزية المعارضة ، فيقبلون عادةً التفسير التكراري عندما يكون منطقيًا (وإن لم يكن تعريفًا)، لكن ثمة اختلافًا أقل فيما يتعلق بالاحتمالات الفيزيائية. ويعتبر البايزيون حساب الاحتمالات الاستدلالية أمرًا صحيحًا وضروريًا في الإحصاء. مع ذلك، تركز هذه المقالة على تفسيرات الاحتمال بدلًا من نظريات الاستدلال الإحصائي.

إن مصطلحات هذا الموضوع مُربكة إلى حدٍ ما، ويعود ذلك جزئيًا إلى دراسة الاحتمالات في مجالات أكاديمية متنوعة. ويُعدّ مصطلح "التكراري" مُلتبسًا بشكل خاص. فعند الفلاسفة، يُشير إلى نظرية مُحددة للاحتمال الفيزيائي، وهي نظرية تم التخلي عنها إلى حد كبير. أما عند العلماء، فإن " الاحتمال التكراري " هو مُجرد مُصطلح آخر للاحتمال الفيزيائي (أو الموضوعي). وينظر مُؤيدو الاستدلال البايزي إلى " الإحصاء التكراري " على أنه منهج للاستدلال الإحصائي قائم على تفسير التكرار للاحتمال، ويعتمد عادةً على قانون الأعداد الكبيرة ، ويتميز بما يُسمى "اختبار دلالة الفرضية الصفرية" (NHST). كما أن كلمة "موضوعي"، عند تطبيقها على الاحتمال، تعني أحيانًا ما تعنيه كلمة "فيزيائي" هنا، ولكنها تُستخدم أيضًا للإشارة إلى الاحتمالات الاستدلالية المُحددة بقيود عقلانية، مثل الاحتمالات المنطقية والمعرفية.

يُجمع على أن الإحصاء يعتمد بشكلٍ أو بآخر على الاحتمالات. لكن فيما يتعلق بتعريف الاحتمالات وكيفية ارتباطها بالإحصاء، قلّما شهدنا مثل هذا الخلاف التام وانقطاع التواصل منذ حادثة برج بابل. ولا شك أن جزءًا كبيرًا من هذا الخلاف مصطلحيٌّ فحسب، وسيزول بمجرد تحليل دقيق.

تُثير فلسفة الاحتمالات إشكالياتٍ رئيسيةً في مسائل المعرفة والتداخل غير السلس بين المفاهيم الرياضية واللغة الدارجة التي يستخدمها غير المتخصصين في الرياضيات. تُعدّ نظرية الاحتمالات مجالًا راسخًا للدراسة في الرياضيات، إذ تعود جذورها إلى مراسلاتٍ بين بليز باسكال وبيير دي فيرما في القرن السابع عشر تناولت رياضيات ألعاب الحظ ^{[ 15 ]} ، ثمّ صاغها أندريه كولموغوروف في القرن العشرين ، وجعلها بديهيةً كفرعٍ مستقلٍ من فروع الرياضيات . وبصيغتها البديهية، تحمل العبارات الرياضية المتعلقة بنظرية الاحتمالات نفس القدر من الثقة المعرفية في فلسفة الرياضيات التي تتمتع بها العبارات الرياضية الأخرى ^{[ 16 ] [ 17 ] .}

نشأ التحليل الرياضي من ملاحظات سلوك أدوات الألعاب، مثل أوراق اللعب والنرد ، المصممة خصيصًا لإدخال عناصر عشوائية ومتساوية؛ فهي، من الناحية الرياضية، موضوعات لا تتأثر بالعوامل الأخرى . وهذه ليست الطريقة الوحيدة لاستخدام العبارات الاحتمالية في اللغة البشرية العادية: فعندما يقول الناس " من المحتمل أن تمطر "، فإنهم لا يقصدون عادةً أن نتيجة هطول المطر أو عدمه هي عامل عشوائي ترجحه الاحتمالات حاليًا؛ بل يُفهم من هذه العبارات على أنها تحديد لتوقع هطول المطر بدرجة من الثقة. وبالمثل، عندما يُكتب أن "التفسير الأكثر ترجيحًا" لاسم مدينة لودلو، ماساتشوستس "هو أنها سُميت على اسم روجر لودلو "، فإن المقصود هنا ليس أن روجر لودلو مُفضل بفعل عامل عشوائي، بل أن هذا هو التفسير الأكثر منطقية للأدلة، والذي يسمح بوجود تفسيرات أخرى أقل ترجيحًا.

حاول توماس بايز تقديم منطق يمكنه التعامل مع درجات متفاوتة من الثقة؛ وعلى هذا النحو، فإن الاحتمال البايزي هو محاولة لإعادة صياغة تمثيل العبارات الاحتمالية كتعبير عن درجة الثقة التي يتم من خلالها التمسك بالمعتقدات التي تعبر عنها.

على الرغم من أن الاحتمالات كانت في البداية ذات دوافع عادية إلى حد ما، إلا أن تأثيرها واستخدامها الحديث واسع النطاق ويتراوح من الطب القائم على الأدلة ، مروراً بستة سيجما ، وصولاً إلى البرهان القابل للتحقق احتمالياً ونظرية الأوتار .

تُعرف المحاولة الأولى للدقة الرياضية في مجال الاحتمالات، والتي نادى بها بيير سيمون لابلاس ، بالتعريف الكلاسيكي . وقد طُوّر هذا التعريف من دراسات ألعاب الحظ (مثل رمي النرد )، وينص على أن الاحتمالية موزعة بالتساوي بين جميع النتائج الممكنة، شريطة أن تكون هذه النتائج متساوية الاحتمالية. ^{[ 1 ]} (3.1)

تتلخص نظرية الصدفة في اختزال جميع الأحداث من النوع نفسه إلى عدد معين من الحالات المتساوية الاحتمال، أي إلى تلك التي قد نكون غير متأكدين بنفس القدر من وجودها، وتحديد عدد الحالات المواتية للحدث المطلوب حساب احتماليته. نسبة هذا العدد إلى إجمالي الحالات الممكنة هي مقياس هذا الاحتمال، وهو بالتالي كسر بسيط بسطه عدد الحالات المواتية ومقامه عدد جميع الحالات الممكنة.

يمكن تمثيل ذلك رياضيًا على النحو التالي: إذا كانت تجربة عشوائية يمكن أن تسفر عن N نتيجة متنافية ومتساوية الاحتمال، وإذا كانت N _A من هذه النتائج تؤدي إلى وقوع الحدث A ، فإن احتمال وقوع A يُعرَّف بـ

${\displaystyle P(A)={N_{A} \over N}.}$

هناك قيدان واضحان على التعريف الكلاسيكي. ^{[ 18 ]} أولًا، ينطبق فقط على الحالات التي يكون فيها عدد النتائج الممكنة "محدودًا". لكن بعض التجارب العشوائية المهمة، مثل رمي قطعة نقدية حتى تظهر الصورة، تُنتج مجموعة لا نهائية من النتائج. ثانيًا، يتطلب هذا التعريف تحديدًا مسبقًا بأن جميع النتائج الممكنة متساوية الاحتمالية دون الوقوع في فخ الاستدلال الدائري بالاعتماد على مفهوم الاحتمال. (عند استخدام مصطلح "قد نكون غير متأكدين بالتساوي"، افترض لابلاس، بموجب ما يُسمى " مبدأ السبب غير الكافي "، أن جميع النتائج الممكنة متساوية الاحتمالية إذا لم يكن هناك سبب معروف لافتراض خلاف ذلك، أي إذا لم يكن هناك مبرر واضح لذلك. ^{[ 19 ] [ 20 ]} )

يفترض أصحاب نظرية التكرارية أن احتمال وقوع حدث ما هو تردده النسبي عبر الزمن ^{[ 1 ]} ، (3.4)، أي تردد حدوثه النسبي بعد تكرار عملية ما عددًا كبيرًا من المرات في ظل ظروف مماثلة. يُعرف هذا أيضًا بالاحتمال العشوائي. يُفترض أن الأحداث تخضع لظواهر فيزيائية عشوائية ، إما ظواهر يمكن التنبؤ بها، من حيث المبدأ، بمعلومات كافية (انظر الحتمية )؛ أو ظواهر يصعب التنبؤ بها أساسًا. من أمثلة النوع الأول رمي النرد أو تدوير عجلة الروليت ؛ ومن أمثلة النوع الثاني الاضمحلال الإشعاعي . في حالة رمي عملة معدنية متوازنة، يقول أصحاب نظرية التكرارية إن احتمال الحصول على صورة هو 1/2، ليس لوجود نتيجتين متساويتين في الاحتمال، بل لأن سلاسل متكررة من عدد كبير من المحاولات تُظهر أن التردد التجريبي يتقارب إلى الحد 1/2 عندما يؤول عدد المحاولات إلى اللانهاية.

إذا رمزنا بـ${\displaystyle \textstyle n_{a}}$عدد مرات حدوث حدث ما${\displaystyle {\mathcal {A}}}$في${\displaystyle \textstyle n}$إذا كانت التجارب${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{n_{a} \over n}=p}$نقول ذلك${\displaystyle \textstyle P({\mathcal {A}})=p}$.

للمنهج التكراري مشاكله الخاصة. فمن المستحيل بالطبع إجراء عدد لا نهائي من التكرارات لتجربة عشوائية لتحديد احتمالية وقوع حدث ما. ولكن إذا اقتصرت التكرارات على عدد محدود، فستظهر ترددات نسبية مختلفة في سلاسل التجارب المختلفة. وإذا ما استُخدمت هذه الترددات النسبية لتحديد الاحتمالية، فستختلف الاحتمالية اختلافًا طفيفًا في كل مرة تُقاس فيها. بينما ينبغي أن تكون الاحتمالية الحقيقية ثابتة في كل مرة. وإذا ما أقررنا بحقيقة أننا لا نستطيع قياس الاحتمالية إلا مع وجود هامش خطأ في القياس، فإننا سنواجه مشاكل أخرى، إذ لا يمكن التعبير عن هامش الخطأ إلا كاحتمالية، وهو المفهوم الذي نحاول تعريفه. وهذا يجعل تعريف التردد نفسه دائريًا؛ انظر على سبيل المثال: " ما هي احتمالية وقوع زلزال؟ " ^{[ 21 ]}

يُضفي أصحاب المذهب الذاتي، المعروفون أيضاً بالبيزيين أو أتباع الاحتمالية المعرفية ، طابعاً ذاتياً على مفهوم الاحتمالية، إذ يعتبرونه مقياساً لـ"درجة الاعتقاد العقلاني" لدى الفرد الذي يُقيّم حالة عدم اليقين في موقف معين. ويُطلق على الاحتمالية المعرفية أو الذاتية أحياناً اسم "التصديق "، في مقابل مصطلح " الفرصة " الذي يُستخدم للإشارة إلى احتمالية الميل.

من أمثلة الاحتمالية المعرفية تحديد احتمالية صحة القانون المقترح للفيزياء أو تحديد مدى احتمالية ارتكاب مشتبه به لجريمة، بناءً على الأدلة المقدمة.

يثير استخدام الاحتمال البايزي جدلاً فلسفياً حول ما إذا كان بإمكانه تقديم تبريرات صحيحة للاعتقاد . ويشير البايزيون إلى أعمال رامزي ^{[ 10 ]} (ص 182) ودي فينيتي [ ^{8 ]} (ص 103) كدليل على أن المعتقدات الذاتية يجب أن تتبع قوانين الاحتمال لكي تكون متسقة (عقلانية) ^{. [ 22 ]}

تشير الأدلة إلى الشك في أن الأفراد البشر يطبقون بشكل روتيني معتقدات متماسكة، ^{[ 23 ] [ 24 ]} مما يشير إلى أنهم في كثير من الأحيان لا يلتزمون بالاحتمالية البايزية.

يتضمن استخدام الاحتمال البايزي تحديد احتمال مسبق . ويمكن الحصول على هذا الاحتمال من خلال النظر فيما إذا كان الاحتمال المسبق المطلوب أكبر أو أصغر من احتمال مرجعي مرتبط بنموذج جرة أو تجربة فكرية . تكمن المشكلة في أنه بالنسبة لمشكلة معينة، يمكن تطبيق تجارب فكرية متعددة، واختيار إحداها يعتمد أحيانًا على التقدير الشخصي: فقد يُحدد أشخاص مختلفون احتمالات مسبقة مختلفة، وهو ما يُعرف بمشكلة الفئة المرجعية . وتُعد " مشكلة شروق الشمس " مثالًا على ذلك.

ينظر علماء نظرية الميل إلى الاحتمال على أنه ميل فيزيائي، أو استعداد، أو نزعة لنوع معين من المواقف الفيزيائية نحو تحقيق نتيجة معينة أو نحو تحقيق تكرار نسبي طويل الأمد لمثل هذه النتيجة. ^{[ 25 ]} يُطلق على هذا النوع من الاحتمال الموضوعي أحيانًا اسم "الصدفة".

إن الميول، أو الاحتمالات، ليست ترددات نسبية، بل هي أسباب مُفترضة للترددات النسبية الثابتة المُلاحظة. تُستخدم الميول لتفسير سبب توليد تكرار نوع معين من التجارب لأنواع نتائج مُحددة بمعدلات ثابتة، تُعرف بالميول أو الاحتمالات. لا يستطيع أصحاب المنهج التكراري اتباع هذا النهج، لأن الترددات النسبية غير موجودة لرميات العملة الفردية، وإنما فقط للمجموعات الكبيرة (انظر "الحالة الفردية ممكنة" في الجدول أعلاه). ^{[ 2 ]} في المقابل، يستطيع أصحاب منهج الميول استخدام قانون الأعداد الكبيرة لتفسير سلوك الترددات على المدى الطويل. ينص هذا القانون، وهو نتيجة بديهيات الاحتمالات، على أنه إذا (على سبيل المثال) تم رمي عملة معدنية عدة مرات، بحيث يكون احتمال ظهور الصورة متساوياً في كل رمية، وكانت النتائج مستقلة احتمالياً، فإن التردد النسبي للصورة سيكون قريباً من احتمال ظهور الصورة في كل رمية فردية. يُجيز هذا القانون أن تكون الترددات المستقرة على المدى الطويل تجليًا لاحتمالات ثابتة في حالة واحدة . وإلى جانب تفسير ظهور الترددات النسبية المستقرة، فإن فكرة الميل مدفوعة بالرغبة في فهم إسناد الاحتمالات في حالة واحدة في ميكانيكا الكم، مثل احتمال اضمحلال ذرة معينة في وقت معين.

يتمثل التحدي الرئيسي الذي يواجه نظريات الميل في تحديد معنى الميل بدقة. (ثم، بالطبع، إثبات أن الميل، وفقًا لهذا التعريف، يمتلك الخصائص المطلوبة). وللأسف، لا يقترب أي من التفسيرات المعروفة للميل حاليًا من تلبية هذا التحدي.

A propensity theory of probability was given by Charles Sanders Peirce.^{[26][27][28][29]} A later propensity theory was proposed by philosopher Karl Popper, who had only slight acquaintance with the writings of C. S. Peirce, however.^[26][27] Popper noted that the outcome of a physical experiment is produced by a certain set of "generating conditions". When we repeat an experiment, as the saying goes, we really perform another experiment with a (more or less) similar set of generating conditions. To say that a set of generating conditions has propensity p of producing the outcome E means that those exact conditions, if repeated indefinitely, would produce an outcome sequence in which E occurred with limiting relative frequency p. For Popper then, a deterministic experiment would have propensity 0 or 1 for each outcome, since those generating conditions would have same outcome on each trial. In other words, non-trivial propensities (those that differ from 0 and 1) only exist for genuinely nondeterministic experiments.

A number of other philosophers, including David Miller and Donald A. Gillies, have proposed propensity theories somewhat similar to Popper's.

Other propensity theorists (e.g. Ronald Giere^[30]) do not explicitly define propensities at all, but rather see propensity as defined by the theoretical role it plays in science. They argued, for example, that physical magnitudes such as electrical charge cannot be explicitly defined either, in terms of more basic things, but only in terms of what they do (such as attracting and repelling other electrical charges). In a similar way, propensity is whatever fills the various roles that physical probability plays in science.

What roles does physical probability play in science? What are its properties? One central property of chance is that, when known, it constrains rational belief to take the same numerical value. David Lewis called this the Principal Principle,^[1] (3.3 & 3.5) a term that philosophers have mostly adopted. For example, suppose you are certain that a particular biased coin has propensity 0.32 to land heads every time it is tossed. What is then the correct price for a gamble that pays $1 if the coin lands heads, and nothing otherwise? According to the Principal Principle, the fair price is 32 cents.

من المتعارف عليه أن مصطلح "الاحتمال" يُستخدم أحيانًا في سياقات لا علاقة له بالعشوائية الفيزيائية. لنأخذ على سبيل المثال الادعاء بأن انقراض الديناصورات ربما كان بسبب اصطدام نيزك ضخم بالأرض. وقد فُسِّرت عبارات مثل "الفرضية H صحيحة على الأرجح" على أنها تعني أن الأدلة التجريبية (المتاحة حاليًا) (E، على سبيل المثال) تدعم H بدرجة عالية. وقد سُمِّيت هذه الدرجة من دعم H بواسطة E بالاحتمال المنطقي أو المعرفي أو الاستقرائي لـ H بالنظر إلى E.

الاختلافات بين هذه التفسيرات طفيفة، وقد تبدو غير ذات أهمية. يكمن أحد أبرز نقاط الخلاف في العلاقة بين الاحتمال والاعتقاد. يُنظر إلى الاحتمالات المنطقية (كما في كتاب كينز " رسالة في الاحتمالات " ^{[ 12 ]} ) على أنها علاقات منطقية موضوعية بين القضايا (أو الجمل)، وبالتالي لا تعتمد بأي شكل من الأشكال على الاعتقاد. إنها درجات من الاستلزام (الجزئي) ، أو درجات من النتيجة المنطقية ، وليست درجات من الاعتقاد . (مع ذلك، فهي تُملي درجات الاعتقاد المناسبة، كما سيُناقش لاحقًا). من جهة أخرى، كان فرانك ب. رامزي متشككًا في وجود مثل هذه العلاقات المنطقية الموضوعية، وجادل بأن الاحتمال (الاستدلالي) هو "منطق الاعتقاد الجزئي". ^{[ 10 ]} (ص 157) بعبارة أخرى، رأى رامزي أن الاحتمالات المعرفية هي ببساطة درجات من الاعتقاد العقلاني، وليست علاقات منطقية تُقيد درجات الاعتقاد العقلاني فحسب.

ثمة نقطة خلاف أخرى تتعلق بتفرد الاحتمالية القائمة على الأدلة، نسبةً إلى حالة معرفية معينة. فقد رأى رودولف كارناب ، على سبيل المثال، أن المبادئ المنطقية تحدد دائمًا احتمالية منطقية فريدة لأي عبارة، نسبةً إلى أي مجموعة من الأدلة. في المقابل، اعتقد رامزي أنه على الرغم من أن درجات الاعتقاد تخضع لبعض القيود العقلانية (مثل بديهيات الاحتمالية، على سبيل المثال لا الحصر)، فإن هذه القيود لا تحدد عادةً قيمة فريدة. بعبارة أخرى، قد يختلف الأشخاص العقلانيون إلى حد ما في درجات اعتقادهم، حتى لو كانت لديهم جميعًا نفس المعلومات.

يُركز منظور بديل للاحتمالية على دور التنبؤ ، أي التنبؤ بالملاحظات المستقبلية بناءً على الملاحظات السابقة، وليس على معايير غير قابلة للملاحظة. وفي شكله الحديث، يتماشى هذا المنظور بشكل أساسي مع المنهج البايزي. كانت هذه الوظيفة الرئيسية للاحتمالية قبل القرن العشرين ^{[ 31 ]} ، لكنها تراجعت شعبيتها مقارنةً بالمنهج البارامتري، الذي كان يُنمذج الظواهر كنظام فيزيائي يُلاحظ مع وجود هامش خطأ، كما هو الحال في علم الميكانيكا السماوية .

لقد كان برونو دي فينيتي رائدًا في النهج التنبؤي الحديث ، والذي يقوم على فكرة التبادلية - أي أن الملاحظات المستقبلية يجب أن تتصرف مثل الملاحظات السابقة. ^{[ 31 ]} وقد لفت هذا الرأي انتباه العالم الناطق بالإنجليزية مع ترجمة كتاب دي فينيتي عام 1974 ^{[ 31 ]} ، ومنذ ذلك الحين تم الترويج له من قبل إحصائيين مثل سيمور جيسر .

يمكن تطوير رياضيات الاحتمالات على أساس بديهي تمامًا مستقل عن أي تفسير: انظر المقالات المتعلقة بنظرية الاحتمالات وبديهيات الاحتمالات للحصول على معالجة مفصلة.

• احتمالية التغطية
• التكرار (الإحصائيات)
• احتمال سلبي
• فلسفة الرياضيات
• فلسفة الإحصاء
• الاحتمالية العامة
• سعة الاحتمال (ميكانيكا الكم)
• مشكلة شروق الشمس
• نظرية المعرفة البايزية

• كوهين، ل. (1989). مدخل إلى فلسفة الاستقراء والاحتمال . أكسفورد، نيويورك: مطبعة كلارندون، مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0198750789.
• إيجل، أنتوني (2011). فلسفة الاحتمال  : قراءات معاصرة . أبينغدون، أوكسون، نيويورك: روتليدج. ISBN 978-0415483872.
• جيليز، دونالد (2000). النظريات الفلسفية للاحتمال . لندن - نيويورك: روتليدج. ISBN 978-0415182768.دراسة شاملة تغطي التفسيرات الأربعة الرئيسية الحالية: المنطقية، والذاتية، والتكرارية، والميلية. كما تقترح تفسيراً جديداً بين الذاتيين.
• هاكينج، إيان (2006). نشأة الاحتمال  : دراسة فلسفية للأفكار المبكرة حول الاحتمال والاستقراء والاستدلال الإحصائي . كامبريدج، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521685573.
• بول همفريز ، محرر (1994) باتريك سوبس : فيلسوف علمي ، مكتبة سينثيز، سبرينغر-فيرلاغ.
  • المجلد 1: الاحتمالية والسببية الاحتمالية .
  • المجلد 2: فلسفة الفيزياء، وبنية النظرية والقياس، ونظرية الفعل .
• جاكسون، فرانك، وروبرت بارجيتر (1982) "الاحتمال المادي كميل"، نوس 16 (4): 567-583.
• خرينكوف، أندريه (2009). تفسيرات الاحتمال (الطبعة الثانية  ). برلين نيويورك: والتر دي جرويتر. رقم ISBN 978-3110207484.يغطي في الغالب نماذج الاحتمالات غير الكولموغوروفية، وخاصة فيما يتعلق بالفيزياء الكمومية .
• لويس، ديفيد (1983). أوراق فلسفية . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0195036466.
• أفلاطون، يان فون (1994). نشأة الاحتمالية الحديثة  : رياضياتها، وفيزيائها، وفلسفتها من منظور تاريخي . كامبريدج، إنجلترا - نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521597357.
• روبوتوم، داريل (2015). الاحتمالات . كامبريدج: بوليتي. ISBN 978-0745652573.مقدمة سهلة الفهم لتفسير الاحتمالات. تغطي جميع التفسيرات الرئيسية، وتقترح تفسيراً جديداً على مستوى المجموعة (أو "التفسير بين الذوات"). كما تتناول المغالطات وتطبيقات التفسيرات في العلوم الاجتماعية والطبيعية.
• سكيرمز، برايان (2000). الاختيار والصدفة  : مقدمة في المنطق الاستقرائي . أستراليا، بلمونت، كاليفورنيا: وادزورث/تومسون ليرنينج. ISBN 978-0534557379.

• زالتا، إدوارد ن. (محرر). "تفسيرات الاحتمال" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . الرقم الدولي الموحد للدوريات 1095-5054 . رقم OCLC 429049174 .  
• تفسيرات الاحتمالية في مشروع أنطولوجيا الفلسفة في إنديانا
• تفسير الاحتمالات في PhilPapers