النظرية الأساسية حول التشاكلات

العملية التي يتم الحفاظ عليها بواسطة${\displaystyle f}$هي عملية المجموعة. إذا${\displaystyle a,b\in {\text{im}}(f)}$إذن توجد عناصر${\displaystyle a',b'\in G}$بحيث${\displaystyle f(a')=a}$و​${\displaystyle f(b')=b}$. من أجل هؤلاء${\displaystyle a}$و​${\displaystyle b}$لدينا​${\displaystyle ab=f(a')f(b')=f(a'b')\in {\text{im}}(f)}$(منذ${\displaystyle f}$يحافظ على عملية المجموعة)، وبالتالي، تتحقق خاصية الإغلاق في${\displaystyle {\text{im}}(f)}$العنصر المطابق${\displaystyle e\in H}$وهو أيضًا في${\displaystyle {\text{im}}(f)}$لأن${\displaystyle f}$يرسم عنصر الهوية لـ${\displaystyle G}$إليه. لأن كل عنصر${\displaystyle a'}$في${\displaystyle G}$له عكس${\displaystyle (a')^{-1}}$بحيث${\displaystyle f((a')^{-1})=(f(a'))^{-1}}$(لأن${\displaystyle f}$(يحافظ على خاصية المعكوس أيضًا)، لدينا معكوس لكل عنصر${\displaystyle f(a')=a}$في​${\displaystyle {\text{im}}(f)}$لذلك ،${\displaystyle {\text{im}}(f)}$هي مجموعة فرعية من ${\displaystyle H}$⁠ .

قم بإنشاء خريطة${\displaystyle \psi :G/\ker(f)\to {\text{im}}(f)}$بواسطة​${\displaystyle \psi (a\ker(f))=f(a)}$هذه الخريطة محددة جيدًا، كما لو كانت${\displaystyle a\ker(f)=b\ker(f)}$ثم​${\displaystyle b^{-1}a\in \ker(f)}$وهكذا${\displaystyle f(b^{-1}a)=e\Rightarrow f(b^{-1})f(a)=e}$مما يعطي${\displaystyle f(a)=f(b)}$هذه الخريطة هي تماثل.${\displaystyle \psi }$هي شاملة على${\displaystyle {\text{im}}(f)}$بحسب التعريف. لإثبات التباين، إذا${\displaystyle \psi (a\ker(f))=\psi (b\ker(f))}$ثم​${\displaystyle f(a)=f(b)}$، مما يعني${\displaystyle b^{-1}a\in \ker(f)}$إذن​${\displaystyle a\ker(f)=b\ker(f)}$⁠ .

أخيراً،

${\displaystyle \psi ((a\ker(f))(b\ker(f)))=\psi (ab\ker(f))=f(ab)}$

${\displaystyle =f(a)f(b)=\psi (a\ker(f))\psi (b\ker(f)),}$

لذلك${\displaystyle \psi }$يحافظ على عملية المجموعة. وبالتالي${\displaystyle \psi }$هو تماثل بين${\displaystyle G/\ker(f)}$و​${\displaystyle {\text{im}}(f)}$وهذا يكمل البرهان.

لكل​${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$، ضع في اعتبارك المجموعات${\displaystyle \mathbb {Z} }$و${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$وتماثل المجموعة${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} _{n}}$محدد بواسطة${\displaystyle m\mapsto m{\text{ mod }}n}$(انظر الحساب النمطي ). بعد ذلك، ضع في اعتبارك نواة ⁠${\displaystyle f}$،​​${\displaystyle {\text{ker}}(f)=n\mathbb {Z} }$، وهي مجموعة فرعية طبيعية في${\displaystyle \mathbb {Z} }$يوجد تماثل شامل طبيعي${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } معرفة بواسطة ⁠${\displaystyle m\mapsto m+n\mathbb {Z} }$تنص النظرية على وجود تماثل${\displaystyle h}$بين${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$و​${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$أو بعبارة أخرى${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. يوضح الشكل أدناه المخطط التبادلي.

يترك${\displaystyle G}$أن تكون مجموعة ذات مجموعة فرعية${\displaystyle H}$. ليكن​${\displaystyle C_{G}(H)}$،​${\displaystyle N_{G}(H)}$و${\displaystyle \operatorname {Aut} (H)}$ليكن المركز ، والمعيار، ومجموعة التشاكل الذاتي لـ${\displaystyle H}$في​${\displaystyle G}$على التوالي. ثم ، الـ${\displaystyle N/C}$تنص النظرية على أن${\displaystyle N_{G}(H)/C_{G}(H)}$متماثل مع مجموعة فرعية من${\displaystyle \operatorname {Aut} (H)}$⁠ .