مجموعة متعامدة غير محددة

في الرياضيات ، المجموعة المتعامدة غير المحددة ،${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$هي زمرة لي لجميع التحويلات الخطية لـ${\displaystyle n}$فضاء متجهي حقيقي ذو أبعاد معينة يحافظ على شكل ثنائي خطي غير منحل ومتماثل للتوقيع .${\displaystyle (p,q)}$، أين${\displaystyle n=p+q}$يُطلق عليها أيضًا اسم المجموعة شبه المتعامدة ^{[ 1 ]} أو المجموعة المتعامدة المعممة ^{[ 2 ]} . بُعد المجموعة هو${\displaystyle n(n-1)/2}$.

المجموعة المتعامدة الخاصة غير المحددة ،${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$يتكون من جميع العناصر ذات المحدد${\displaystyle 1}$بخلاف الحالة المحددة،${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$غير متصلة - لها مكونان - وهناك مجموعتان فرعيتان إضافيتان ذواتا فهرس محدود ، وهما المتصلة${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$و${\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(p,q)}$، والتي تتكون من عنصرين - انظر §  الطوبولوجيا للتعريف والمناقشة.

تحدد بصمة الشكل المجموعة حتى التشاكل ؛ التبادل${\displaystyle p}$مع${\displaystyle q}$يُعادل ذلك استبدال المقياس بنفيه، وبالتالي يُعطي نفس المجموعة. إذا كان أيٌّ منهما${\displaystyle p}$أو${\displaystyle q}$إذا كانت قيمة تساوي صفرًا، فإن المجموعة تكون متماثلة مع المجموعة المتعامدة العادية${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$نفترض فيما يلي أن كلا${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$إيجابي.

المجموعة${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$يُعرَّف هذا في الفضاءات المتجهة على الأعداد الحقيقية. أما في الفضاءات المركبة ، فجميع الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة غير المنحلة متطابقة حتى تغيير الإحداثيات؛ ومع ذلك، يمكن تعريف المجموعة الوحدوية غير المحددة.${\displaystyle \operatorname {U} (p,q)}$والذي يحافظ على شكل التوقيع ذي الخطوط النصفية${\displaystyle (p,q)}$.

في الأبعاد الزوجية${\displaystyle n=2p}$،${\displaystyle \operatorname {O} (p,p)}$يُعرف باسم المجموعة المتعامدة المنقسمة .

المثال الأساسي هو عمليات الضغط ، وهي المجموعة${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(1,1)}$من (المكون المحايد) للتحويلات الخطية التي تحافظ على القطع الزائد الواحدي . وبشكل ملموس، هذه هي المصفوفات${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],}$ويمكن تفسيرها على أنها دورانات زائدية، تمامًا مثل المجموعة${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$يمكن تفسيرها على أنها دورانات دائرية.

في الفيزياء ، مجموعة لورنتز${\displaystyle \operatorname {O} (1,3)}$تُعدّ ذات أهمية مركزية، إذ تُشكّل بيئةً لنظريتي الكهرومغناطيسية والنسبية الخاصة . (تستخدم بعض النصوص${\displaystyle \operatorname {O} (3,1)}$بالنسبة لمجموعة لورنتز؛ ومع ذلك،${\displaystyle \operatorname {O} (1,3)}$يُعد هذا الأمر شائعًا في نظرية الحقل الكمومي لأن الخصائص الهندسية لمعادلة ديراك أكثر طبيعية في${\displaystyle \operatorname {O} (1,3)}$.)

يمكن للمرء أن يُعرّف${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$كمجموعة من المصفوفات، تمامًا كما هو الحال بالنسبة للمجموعة المتعامدة الكلاسيكية${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$ضع في اعتبارك${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$المصفوفة القطرية${\displaystyle g}$مقدم من $${\displaystyle g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).}$$ عندئذٍ يمكننا تعريف شكل ثنائي خطي متناظر${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$وفقًا للصيغة $${\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q},}$$ أين${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$المنتج الداخلي القياسي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$.

ثم نحدد${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$أن تكون مجموعة من${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$المصفوفات التي تحافظ على هذا الشكل الثنائي الخطي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} ):[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}.}$$

وبشكل أكثر وضوحاً،${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$يتكون من مصفوفات${\displaystyle A}$بحيث ^{[ 4 ]}$${\displaystyle gA^{T}g=A^{-1},}$$ أين${\displaystyle A^{T}}$هو منقول​${\displaystyle A}$.

نحصل على مجموعة متماثلة (في الواقع، مجموعة فرعية مترافقة من${\displaystyle \operatorname {GL} (p+q)}$) عن طريق الاستبدال${\displaystyle g}$مع أي مصفوفة متناظرة مع${\displaystyle p}$القيم الذاتية الموجبة و${\displaystyle q}$القيم السالبة. يؤدي قطري هذه المصفوفة إلى الحصول على مرافق هذه المجموعة مع المجموعة القياسية${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$.

بافتراض كليهما${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$إيجابي، لا أي من المجموعتين${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$ولا${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$متصلة ، ولديها${\displaystyle 4}$و${\displaystyle 2}$المكونات على التوالي. ${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q))\cong C_{2}\times C_{2}}$هي مجموعة كلاين الرباعية ، حيث يمثل كل عامل ما إذا كان العنصر يحافظ على الاتجاهات المعنية أو يعكسها على${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$الفضاءات الجزئية ذات الأبعاد التي يكون فيها الشكل محددًا؛ لاحظ أن عكس الاتجاه على أحد هذه الفضاءات الجزئية فقط يعكس الاتجاه على الفضاء بأكمله. تحتوي المجموعة المتعامدة الخاصة على مكونات${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {SO} (p,q))=\{(1,1),(-1,-1)\}}$، كل منها إما يحافظ على كلا الاتجاهين أو يعكس كلا الاتجاهين، وفي كلتا الحالتين يحافظ على الاتجاه العام.

عنصر الهوية لـ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$ويمكن تحديدها بمجموعة العناصر في${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$التي تحافظ على كلا الاتجاهين. هذه الصيغة مرتبطة بالصيغة التالية:${\displaystyle \operatorname {O} ^{+}(1,3)}$بالنسبة لمجموعة لورنتز المتزامنة ، حيث${\displaystyle +}$يشير ذلك إلى الحفاظ على التوجه في البعد الأول (الزمني).

المجموعة${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$كما أنها ليست مضغوطة ، ولكنها تحتوي على مجموعات فرعية مضغوطة${\displaystyle \operatorname {O} (p)}$و${\displaystyle \operatorname {O} (q)}$التأثير على الفضاءات الفرعية التي يكون فيها الشكل محددًا. في الواقع،${\displaystyle \operatorname {O} (p)\times \operatorname {O} (q)}$هي مجموعة فرعية مضغوطة قصوى من${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$، بينما${\displaystyle \operatorname {S} (\operatorname {O} (p)\times \operatorname {O} (q))}$هي مجموعة فرعية مضغوطة قصوى من${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$. على نفس المنوال،${\displaystyle \operatorname {SO} (p)\times \operatorname {SO} (q)}$هي مجموعة فرعية مضغوطة قصوى من${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$وبالتالي، فإن الفضاءات مكافئة تماثليًا لحاصل ضرب الزمر المتعامدة (الخاصة)، والتي يمكن من خلالها حساب الثوابت الجبرية الطوبولوجية. (انظر: الزمرة الجزئية المدمجة القصوى ).

وعلى وجه الخصوص، المجموعة الأساسية من${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q)}$هو نتاج المجموعات الأساسية للمكونات،${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} ^{+}(p,q))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (p))\times \pi _{1}(\operatorname {SO} (q))}$ويتم الحصول عليه من خلال:

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} ^{+}(p,q))}$	${\displaystyle p=1}$	${\displaystyle p=2}$	${\displaystyle p\geq 3}$
${\displaystyle q=1}$	${\displaystyle C_{1}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle C_{2}}$
${\displaystyle q=2}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times C_{2}}$
${\displaystyle q\geq 3}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle C_{2}\times \mathbb {Z} }$	${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$

في الأبعاد الزوجية، المجموعة الوسطى${\displaystyle \operatorname {O} (n,n)}$تُعرف باسم المجموعة المتعامدة المنقسمة ، وهي ذات أهمية خاصة، إذ تظهر كمجموعة تحويلات ازدواجية T في نظرية الأوتار ، على سبيل المثال. وهي مجموعة لي المنقسمة المقابلة لجبر لي المركب .${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$(مجموعة لي للصيغة الحقيقية المنقسمة لجبر لي)؛ وبشكل أدق، فإن عنصر المحايد هو مجموعة لي المنقسمة، حيث لا يمكن إعادة بناء العناصر غير المحايدة من جبر لي. وبهذا المعنى، فهي عكس المجموعة المتعامدة المحددة.${\displaystyle \operatorname {O} (n):=\operatorname {O} (n,0)=\operatorname {O} (0,n)}$، وهو الشكل الحقيقي المضغوط لجبر لي المركب .

المجموعة${\displaystyle \operatorname {SO} (1,1)}$يمكن تحديدها مع مجموعة القطع الزائد الوحدوية ، وهي مجموعة فرعية من مجموعة الوحدات في الأعداد المركبة المنقسمة .

من حيث كونها مجموعة من نوع لي - أي بناء مجموعة جبرية من جبر لي - فإن المجموعات المتعامدة المنقسمة هي مجموعات شيڤالي ، بينما تتطلب المجموعات المتعامدة غير المنقسمة بناءً أكثر تعقيدًا بعض الشيء، وهي مجموعات شتاينبرغ .

تُستخدم المجموعات المتعامدة المنقسمة لإنشاء مجموعة متنوعة من الأعلام المعممة على الحقول المغلقة جبريًا .

• المجموعة المتعامدة
• مجموعة لورنتز
• مجموعة بوانكاريه
• الشكل الثنائي الخطي المتناظر