قانون غرين

علاوة على ذلك، من تحليل غرين، فإن الطول الموجي${\displaystyle \lambda }$يتقلص طول الموجة أثناء دخولها المياه الضحلة، مع ^{[ 4 ] [ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {\lambda }{\sqrt {g\,h}}}={\text{constant}}}$

على طول شعاع الموجة . لا تتغير فترة التذبذب (وبالتالي التردد أيضًا) للأمواج الضحلة، وفقًا لنظرية غرين الخطية.

نقطة البداية هي معادلات سان فينان الخطية أحادية البعد لقناة مفتوحة ذات مقطع عرضي مستطيل (جدران جانبية رأسية). تصف هذه المعادلات تطور الموجة مع ارتفاع السطح الحر.${\displaystyle \eta (x,t)}$وسرعة التدفق الأفقي${\displaystyle u(x,t),}$مع${\displaystyle x}$الإحداثي الأفقي على طول محور القناة و${\displaystyle t}$الوقت:

${\displaystyle {\begin{aligned}&b\,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial (b\,h\,u)}{\partial x}}=0,\\&{\frac {\partial u}{\partial t}}+g\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=0,\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle g}$هي جاذبية الأرض (باعتبارها ثابتة)،${\displaystyle h}$هو متوسط ​​عمق الماء،${\displaystyle b}$عرض القناة و${\displaystyle \partial /\partial t}$و${\displaystyle \partial /\partial x}$تشير إلى المشتقات الجزئية بالنسبة للمكان والزمان. التغير البطيء للعرض${\displaystyle b}$والعمق${\displaystyle h}$مع المسافة${\displaystyle x}$يتم أخذ المحور الطولي للقناة في الاعتبار من خلال الإشارة إليهما بـ${\displaystyle b(\mu x)}$و${\displaystyle h(\mu x),}$أين${\displaystyle \mu }$هو مُعامل صغير:${\displaystyle \mu \ll 1.}$يمكن دمج المعادلتين السابقتين في معادلة موجية واحدة لارتفاع سطح الأرض:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}-{\frac {g}{b}}\,{\frac {\partial }{\partial x}}\left(b\,h\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)=0,}$ وبسرعة تتبع من ${\displaystyle u=-g\int {\frac {\partial \eta }{\partial x}}\;\mathrm {d} t.}$

1

في طريقة ليوفيل-جرين، يتمثل النهج في تحويل معادلة الموجة المذكورة أعلاه ذات المعاملات غير المتجانسة إلى معادلة متجانسة (مع إهمال بعض البواقي الصغيرة من حيث${\displaystyle \mu }$).

الخطوة التالية هي تطبيق تحويل إحداثيات ، مع إدخال وقت الانتقال (أو طور الموجة ).${\displaystyle \tau }$مقدم من

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {g\,h}},}$ لذا ${\displaystyle \tau =\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {g\,h(\mu s)}}}\;\mathrm {d} s}$

و${\displaystyle x}$ترتبط هذه الأمور من خلال سرعة الضوء${\displaystyle c={\sqrt {gh}}.}$تقديم المتغير البطيء${\displaystyle X=\mu x}$وتشير إلى مشتقات${\displaystyle b(X)}$و${\displaystyle h(X)}$بالنسبة إلى${\displaystyle X}$مع علامة أولية، على سبيل المثال${\displaystyle b'=\mathrm {d} b/\mathrm {d} X,}$ال${\displaystyle x}$تصبح المشتقات في معادلة الموجة، المعادلة  ( 1 )، كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \tau }}\right)^{-1}\,{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\sqrt {g\,h}}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}\qquad {\text{and}}\\&{\frac {\partial }{\partial x}}\left(b\,h\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)=b\,h\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}+\mu \left(b'\,h+b\,h'\right)\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}={\frac {b}{g}}\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial \tau ^{2}}}+\mu \,{\frac {b'\,h+{\tfrac {1}{2}}\,b\,h'}{\sqrt {gh}}}\,{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}.\end{aligned}}}$

الآن تتحول معادلة الموجة ( 1 ) إلى:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial \tau ^{2}}}-\mu \,{\sqrt {g\,h}}\,\left({\frac {b'}{b}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {h'}{h}}\right)\,{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}=0.}$

2

تتمثل الخطوة التالية في تحويل المعادلة بحيث لا يتبقى سوى الانحرافات عن التجانس في الرتبة الثانية من التقريب ، أي ما يتناسب مع${\displaystyle \mu ^{2}.}$

معادلة الموجة المتجانسة (أي المعادلة  ( 2 )) عندما${\displaystyle \mu }$(تساوي صفرًا) لها حلول${\displaystyle \eta =F(t\pm \tau )}$بالنسبة للأمواج المتحركة ذات الشكل الدائم التي تنتشر إما في الاتجاه السالب أو الموجب${\displaystyle x}$في الاتجاه الموجب. بالنسبة للحالة غير المتجانسة، مع الأخذ في الاعتبار الموجات المنتشرة في الاتجاه الموجب${\displaystyle x}$في الاتجاه المعاكس، يقترح غرين حلاً تقريبياً:

${\displaystyle \eta (\tau ,t)=\Theta (X)\,F(t-\tau ).}$

3

ثم

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}&=\Theta \,{\frac {\mathrm {d} ^{2}F}{\mathrm {d} \tau ^{2}}},\\{\frac {\partial \eta }{\partial \tau }}&=\Theta \,{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}+\mu \,{\sqrt {g\,h}}\,\Theta '\,F\qquad {\text{and}}\\{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial \tau ^{2}}}&=\Theta \,{\frac {\mathrm {d} ^{2}F}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\,\mu \,{\sqrt {g\,h}}\,\Theta '\,{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}+\mu ^{2}\,g\,h\,\Theta ''\,F.\end{aligned}}}$

يصبح الآن الطرف الأيسر من المعادلة  ( 2 ) كما يلي:

${\displaystyle \mu \,{\sqrt {g\,h}}\,\left(2\,{\frac {\Theta '}{\Theta }}+{\frac {b'}{b}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {h'}{h}}\right)\,\Theta \,{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}+\mu ^{2}\,g\,h\,\left({\frac {\Theta ''}{\Theta '}}+{\frac {b'}{b}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {h'}{h}}\right)\,\Theta '\,F.}$

إذن، الحل المقترح في المعادلة  ( 3 ) يحقق المعادلة  ( 2 )، وبالتالي يحقق المعادلة  ( 1 ) أيضًا، باستثناء الحدين المذكورين أعلاه المتناسبين مع${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \mu ^{2}}$، مع${\displaystyle \mu \ll 1.}$يمكن أن يكون الخطأ في الحل من رتبة${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mu ^{2})}$متاح

${\displaystyle 2\,{\frac {\Theta '}{\Theta }}+{\frac {b'}{b}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {h'}{h}}=0.}$

هذا هو الحل:

${\displaystyle \Theta (X)=\alpha \,b^{-{\tfrac {1}{2}}}\,h^{-{\tfrac {1}{4}}}.}$

باستخدام المعادلة  ( 3 ) والتحويل من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle \tau }$، الحل التقريبي لارتفاع السطح${\displaystyle \eta (x,t)}$يكون

${\displaystyle \eta (x,t)=b^{-{\tfrac {1}{2}}}(x)\;h^{-{\tfrac {1}{4}}}(x)\;F\left(t-\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {g\,h(s)}}}\;\mathrm {d} s\right)+{\mathcal {O}}(\mu ^{2}),}$

4

حيث الثابت${\displaystyle \alpha }$تم ضبطها على واحد، دون فقدان للعمومية . موجات تنتقل في الاتجاه السالب${\displaystyle x}$-الاتجاه له علامة السالب في وسيط الدالة${\displaystyle F}$معكوسة إلى علامة زائد. وبما أن النظرية خطية، يمكن جمع الحلول بسبب مبدأ التراكب .

موجات متغيرة جيبية الشكل مع الزمن، ذات دورة زمنية.${\displaystyle T,}$يتم أخذها في الاعتبار. أي

${\displaystyle \eta (x,t)=a(x)\,\sin(\omega \,t-\phi (x))={\tfrac {1}{2}}\,H(x)\,\sin(\omega \,t-\phi (x)),}$

أين${\displaystyle a}$هي السعة ،${\displaystyle H=2a}$هو ارتفاع الموجة ،${\displaystyle \omega =2\pi /T}$التردد الزاوي و${\displaystyle \phi (x)}$هي طور الموجة . وبالتالي، كذلك${\displaystyle F}$يجب أن تكون المعادلة  ( 4 ) عبارة عن موجة جيبية، على سبيل المثال${\displaystyle F=\beta \sin(\omega t-\phi (x))}$مع${\displaystyle \beta }$ثابت.

تطبيق هذه الأشكال من${\displaystyle \eta }$و${\displaystyle F}$في المعادلة  ( 4 ) نحصل على:

${\displaystyle H\,b^{\tfrac {1}{2}}\,h^{\tfrac {1}{4}}=\beta ,}$

وهو ما يُعرف بقانون غرين .

سرعة التدفق الأفقي في${\displaystyle x}$يُستنتج الاتجاه مباشرةً من استبدال الحل بارتفاع السطح.${\displaystyle \eta (x,t)}$من المعادلة  ( 4 ) إلى التعبير عن${\displaystyle u(x,t)}$في المعادلة  ( 1 ): ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=g^{\tfrac {1}{2}}\;b^{-{\tfrac {1}{2}}}(x)\;h^{-{\tfrac {3}{4}}}(x)\;F\left(t-\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {g\,h(s)}}}\;\mathrm {d} s\right)\\&+\mu \,{\tfrac {1}{2}}\,g\,b^{-{\tfrac {1}{2}}}(x)\;h^{-{\tfrac {1}{4}}}(x)\;{\frac {(b\,{\sqrt {h}})'}{b\,{\sqrt {h}}}}\,\Phi (x,t)+{\frac {Q}{b(x)\,h(x)}}+{\mathcal {O}}\left(\mu ^{2}\right),\\&\qquad {\text{with}}\qquad \Phi (x,t)=\int _{t_{0}}^{t}F\left(\sigma -\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\sqrt {g\,h(s)}}}\;\mathrm {d} s\right)\;\mathrm {d} \sigma \end{aligned}}}$

و${\displaystyle Q}$تصريف ثابت إضافي .

لاحظ أنه – عندما يكون العرض${\displaystyle b}$والعمق${\displaystyle h}$ليست ثوابت – المصطلح المتناسب مع${\displaystyle \Phi (x,t)}$يشير إلى${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mu )}$فرق طور (صغير) بين الارتفاع${\displaystyle \eta }$والسرعة${\displaystyle u}$.

بالنسبة للموجات الجيبية ذات سعة السرعة${\displaystyle V,}$تتقلص سرعات التدفق إلى الرتبة الرئيسية كما في ^{[ 8 ]}

${\displaystyle V\,b^{\tfrac {1}{2}}\,h^{\tfrac {3}{4}}={\text{constant}}.}$

كان من الممكن توقع ذلك نظرًا لأن السرير أفقي${\textstyle V={\sqrt {g\,h}}\,(a/h)={\sqrt {g/h}}\,a}$مع${\displaystyle a}$سعة الموجة.