معادلات المياه الضحلة

تُشتق معادلات المياه الضحلة من معادلات حفظ الكتلة وحفظ الزخم الخطي ( معادلات نافيير-ستوكس )، والتي تظل صحيحة حتى عند انهيار افتراضات المياه الضحلة، كما هو الحال عند عبور قفزة هيدروليكية . في حالة قاع أفقي ، مع إهمال قوى كوريوليس والاحتكاك واللزوجة ، تكون معادلات المياه الضحلة كما يلي :$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho \eta )}{\partial t}}&+{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho \eta u^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\rho \eta v^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial x}}=0.\end{aligned}}}$$

هنا، η هو الارتفاع الكلي لعمود السائل (عمق السائل اللحظي كدالة لـ x و y و t )، والمتجه ثنائي الأبعاد ( u , v ) هو سرعة التدفق الأفقي للسائل ، محسوبة كمعدل عبر العمود الرأسي. كذلك ، g هو تسارع الجاذبية الأرضية، و ρ هي كثافة السائل . المعادلة الأولى مشتقة من قانون حفظ الكتلة، والمعادلتان الأخيرتان من قانون حفظ الزخم. ^{[ 3 ]}

بتوسيع المشتقات في المعادلة أعلاه باستخدام قاعدة الضرب ، نحصل على الصيغة غير المحافظة لمعادلات المياه الضحلة. ولأن السرعات لا تخضع لمعادلة حفظ أساسية، فإن الصيغ غير المحافظة لا تنطبق عند عبور الصدمة أو القفزة الهيدروليكية . كما تتضمن المعادلة الحدود المناسبة لقوى كوريوليس والاحتكاك واللزوجة، وذلك للحصول على (عند ثبات كثافة السائل): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}(H+h)u{\Bigr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}(H+h)v{\Bigr )}=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \right)\frac{\partial v}{\partial t} + u\partial v}{\partial x + v\partial v}{\partial y + fu = -g\partial h}{\partial y - kv + ν\left(\partial^2v}{\partial x^2 + \partial^2v}{\partial y^2)\right),\end{aligned}}$$

أين

في كثير من الأحيان، تكون الحدود التربيعية في u و v ، التي تمثل تأثير الحمل الكلي ، صغيرة مقارنةً بالحدود الأخرى. يُسمى هذا التوازن الجيوستروفي ، وهو ما يُعادل القول بأن عدد روسبي صغير. بافتراض أن ارتفاع الموجة صغير جدًا مقارنةً بالارتفاع المتوسط ​​( h ≪ H )، نحصل (بدون قوى اللزوجة الجانبية): $$\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+H\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-ku,\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-kv.\end{aligned}}}$$

نظام المعادلات التفاضلية الجزئية الذي يصف التدفق غير القابل للانضغاط أحادي البعد في قناة مفتوحة ذات مقطع عرضي عشوائي - كما تم اشتقاقه وطرحه بواسطة سانت فينان في ورقته البحثية لعام 1871 (المعادلات 19 و 20) - هو: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {\partial \left(Au\right)}{\partial x}}=0}$$

1

و

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u\,{\frac {\partial u}{\partial x}}+g\,{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}=-{\frac {P}{A}}\,{\frac {\tau }{\rho }},}$$

2

حيث x هو الإحداثي المكاني على طول محور القناة، و t يرمز إلى الزمن، و A ( x , t ) هي مساحة المقطع العرضي للتدفق عند الموقع x ، و u ( x , t ) هي سرعة التدفق ، و ζ ( x , t ) هو ارتفاع السطح الحر ، و τ( x , t ) هو إجهاد القص الجداري على طول المحيط المبلل P ( x , t ) للمقطع العرضي عند x . بالإضافة إلى ذلك، ρ هي كثافة المائع (الثابتة)، و g هو تسارع الجاذبية الأرضية .

يُستنتج إغلاق نظام المعادلات القطعية ( 1 ) - ( 2 ) من هندسة المقاطع العرضية، وذلك بتوفير علاقة دالية بين مساحة المقطع العرضي A وارتفاع السطح ζ عند كل موضع x . على سبيل المثال، بالنسبة لمقطع عرضي مستطيل، بعرض قناة ثابت B وارتفاع قاع القناة z_{_b} ، تكون مساحة المقطع العرضي: A = B (ζ − z_{_b} ) = Bh . أما عمق الماء اللحظي فهو h ( x , t ) = ζ( x , t ) − z_{_b} ( x ) ، حيث z_b ( x ) هو مستوى القاع (أي ارتفاع أدنى نقطة في القاع فوق مستوى الإسناد ، انظر شكل المقطع العرضي ). بالنسبة لجدران القناة الثابتة، يمكن كتابة مساحة المقطع العرضي A في المعادلة ( 1 ) على النحو التالي:$${\displaystyle A(x,t)=\int _{0}^{h(x,t)}b(x,h')\,dh',}$$ حيث يمثل b ( x , h ) العرض الفعال لمقطع القناة عند الموقع x عندما يكون عمق السائل h – لذا فإن b ( x , h ) = B ( x ) للقنوات المستطيلة. ^{[ 7 ]}

يعتمد إجهاد القص الجداري τ على سرعة التدفق u ، ويمكن ربطهما باستخدام معادلة دارسي-ويسباخ أو صيغة مانينغ أو صيغة شيزي .

علاوة على ذلك، تمثل المعادلة ( 1 ) معادلة الاستمرارية ، التي تعبر عن حفظ حجم الماء لهذا السائل المتجانس غير القابل للانضغاط. أما المعادلة ( 2 ) فهي معادلة الزخم ، التي توضح التوازن بين القوى ومعدلات تغير الزخم.

يتم تعريف ميل القاع S ( x )، وميل الاحتكاك S _f ( x , t )، ونصف القطر الهيدروليكي R ( x , t ) على النحو التالي:$${\displaystyle S=-{\frac {\mathrm {d} z_{\mathrm {b} }}{\mathrm {d} x}},}$$$${\displaystyle S_{\mathrm {f} }={\frac {\tau }{\rho gR}}}$$ و $${\displaystyle R={\frac {A}{P}}.}$$

وبالتالي، يمكن كتابة معادلة الزخم ( 2 ) على النحو التالي: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u\,{\frac {\partial u}{\partial x}}+g\,{\frac {\partial h}{\partial x}}+g\,\left(S_{\mathrm {f} }-S\right)=0.}$$

3

يمكن أيضًا صياغة معادلة الزخم ( 3 ) في ما يُسمى بصيغة الحفظ ، من خلال بعض العمليات الجبرية على معادلات سان فينان ( 1 ) و( 3 ). بدلالة معدل التدفق Q = Au : ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {Q^{2}}{A}}+g\,I_{1}\right)+g\,A\,\left(S_{f}-S\right)-g\,I_{2}=0,}$$

4

حيث A و I1 و I2 دوال لهندسة القناة _، موصوفة بدلالة عرض القناة B (σ, x ). هنا _، σ هو الارتفاع فوق أدنى نقطة في المقطع العرضي عند الموقع x ، انظر شكل المقطع العرضي . إذن _، σ هو الارتفاع فوق مستوى قاع القناة zb ( x ) (لأدنى نقطة في المقطع العرضي). $${\displaystyle {\begin{aligned}A(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }B(\sigma ',x)\;\mathrm {d} \sigma ',\\I_{1}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,B(\sigma ^{\prime },x)\;\mathrm {d} \sigma '\qquad {\text{and}}\\I_{2}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ')\,{\frac {\partial B(\sigma ',x)}{\partial x}}\;\mathrm {d} \sigma '.\end{aligned}}}$$

أعلاه – في معادلة الزخم ( ₄ ) بصيغتها المحافظة – يتم حساب _قيم A و I1 و I2 عند σ = h ( x , t ₎ . يصف الحد gI1 القوة الهيدروستاتيكية في مقطع عرضي معين. وبالنسبة لقناة غير موشورية ، _يوضح gI2 تأثيرات تغيرات الشكل الهندسي على طول محور القناة x .

في التطبيقات، وبحسب المسألة المطروحة، يُفضّل غالبًا استخدام معادلة الزخم بصيغتها غير المحافظة ( 2 ) أو ( 3 )، أو بصيغتها المحافظة ( 4 ). فعلى سبيل المثال، في حالة وصف القفزات الهيدروليكية ، تُفضّل الصيغة المحافظة لأن تدفق الزخم يكون مستمرًا عبر القفزة.

يمكن تحليل معادلات سان فينان ( 1 ) - ( 2 ) باستخدام طريقة الخصائص . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} معدلا السرعة dx /dt على منحنيات الخصائص هما: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u\pm c,}$$مع$${\displaystyle c={\sqrt {\frac {gA}{B}}}.}$$

يحدد رقم فرود Fr = | u | / c ما إذا كان التدفق دون الحرج ( Fr < 1 ) أو فوق الحرج ( Fr > 1 ).

بالنسبة لقناة مستطيلة ومنشورية ذات عرض ثابت B ، أي مع A = B h و c = √ gh ، فإن ثوابت ريمان هي: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle r_{+}=u+2{\sqrt {gh}}}$$و$${\displaystyle r_{-}=u-2{\sqrt {gh}},}$$ إذن، المعادلات في شكلها المميز هي: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u+2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u+{\sqrt {gh}}\quad {\text{and}}\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u-2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u-{\sqrt {gh}}.\end{aligned}}}$$

تم وصف ثوابت ريمان وطريقة الخصائص لقناة موشورية ذات مقطع عرضي عشوائي بواسطة ديدينكولوفا وبيلينوفسكي (2011). ^{[ 12 ]}

تُقدّم الخصائص وثوابت ريمان معلوماتٍ مهمة حول سلوك التدفق، كما يُمكن استخدامها في عملية الحصول على الحلول (التحليلية أو العددية). ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

في حالة انعدام الاحتكاك وامتلاك القناة مقطعًا عرضيًا موشوريًا مستطيلًا، ^{[ 17 ]} فإن معادلات سان فينان لها بنية هاميلتونية . ^{[ 18 ]} الهاميلتوني H يساوي طاقة التدفق على السطح الحر. $${\displaystyle H=\rho \int \left({\frac {1}{2}}Au^{2}+{\frac {1}{2}}gB\zeta ^{2}\right)\mathrm {d} x,}$$ باعتبار B عرض القناة ثابتًا و ρ كثافة السائل ثابتة . معادلات هاميلتون هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\rho B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial u}}\right)=\rho \left(B{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=\rho \left({\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {\partial (Au)}{\partial x}}\right)=0,\\&\rho B{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial H}{\partial \zeta }}\right)=\rho B\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}\right)=0,\end{aligned}}}$$ بما أن ∂ A /∂ ζ = B ) .

يمكن اشتقاق معادلة الزخم أحادية البعد لسانت فينان من معادلات نافيير-ستوكس التي تصف حركة الموائع . ويمكن كتابة المركبة السينية لمعادلات نافيير-ستوكس - عند التعبير عنها بالإحداثيات الديكارتية في اتجاه المحور السيني - على النحو التالي:$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+f_{x},}$$

حيث u هي السرعة في الاتجاه x ، و v هي السرعة في الاتجاه y ، و w هي السرعة في الاتجاه z ، و t هو الزمن، و p هو الضغط، و ρ هي كثافة الماء، و ν هي اللزوجة الحركية، و f _x هي قوة الجسم في الاتجاه x .

1. إذا افترضنا أن الاحتكاك يؤخذ في الاعتبار كقوة جسمية، فإن${\displaystyle \nu }$يمكن افتراض أن قيمته صفر، لذا:$${\displaystyle \nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0.}$$
2. بافتراض التدفق أحادي البعد في اتجاه x، فإنه يترتب على ذلك ما يلي: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=0}$$
3. وبافتراض أن توزيع الضغط هيدروستاتيكي تقريبًا، فإنه يترتب على ذلك ما يلي: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle p=\rho gh}$$أو في شكل تفاضلي:$${\displaystyle \partial p=\rho g(\partial h).}$$وعند تطبيق هذه الافتراضات على المكون x لمعادلات نافيير-ستوكس:$${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\rho g\left(\partial h\right)}{\partial x}}=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}.}$$
4. هناك قوتان تؤثران على سائل القناة، وهما الجاذبية والاحتكاك:$${\displaystyle f_{x}=f_{x,g}+f_{x,f}}$$حيث f _x,g هي قوة الجسم الناتجة عن الجاذبية و f _x,f هي قوة الجسم الناتجة عن الاحتكاك.
5. يمكن حساب f _{x , g باستخدام الفيزياء الأساسية وعلم المثلثات:} ^{[ 28 ]}$${\displaystyle F_{g}=\sin(\theta )gM}$$حيث F _g هي قوة الجاذبية في اتجاه x ، و θ هي الزاوية، و M هي الكتلة.

   

   يمكن تبسيط صيغة sin θ باستخدام حساب المثلثات كما يلي:$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{hyp}}}.}$$بالنسبة لقيم θ الصغيرة (وهي قيمة معقولة لجميع التيارات تقريبًا)، يمكن افتراض ما يلي:$${\displaystyle \sin \theta =\tan \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{adj}}}=S}$$وبافتراض أن f _x تمثل قوة لكل وحدة كتلة، يصبح التعبير كالتالي:$${\displaystyle f_{x,g}=gS.}$$
6. بافتراض أن خط انحدار الطاقة ليس هو نفسه ميل القناة، وبالنسبة لجزء ذي ميل ثابت يوجد فقدان احتكاك ثابت، فإنه يترتب على ذلك ما يلي: ^{[ 29 ]}$${\displaystyle f_{x,f}=S_{f}g.}$$
7. تؤدي كل هذه الافتراضات مجتمعة إلى معادلة سان فينان أحادية البعد في اتجاه المحور السيني :$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0,}$$$${\displaystyle (a)\quad \ \ (b)\quad \ \ \ (c)\qquad \ \ \ (d)\quad (e)\ }$$حيث (أ) هو مصطلح التسارع المحلي، (ب) هو مصطلح التسارع الحملي، (ج) هو مصطلح تدرج الضغط، (د) هو مصطلح الاحتكاك، و (هـ) هو مصطلح الجاذبية.

شروط

يمكن اعتبار التسارع الموضعي (a) بمثابة "الحد غير المستقر"، إذ يصف تغيرًا في السرعة مع مرور الوقت. أما التسارع الحملي (b) فهو تسارع ناتج عن تغير في السرعة مع تغير الموضع، كزيادة أو نقصان سرعة سائل يدخل ممرًا ضيقًا أو فتحة، على التوالي. يشكل هذان الحدان معًا حدود القصور الذاتي في معادلة سان فينان أحادية البعد.

يصف مصطلح تدرج الضغط (ج) كيفية تغير الضغط مع الموقع، وبما أن الضغط يُفترض أنه هيدروستاتيكي، فإن هذا يمثل التغير في الارتفاع بالنسبة للموقع. أما مصطلح الاحتكاك (د) فيُعنى بفقدان الطاقة الناتج عن الاحتكاك، بينما يمثل مصطلح الجاذبية (هـ) التسارع الناتج عن ميل قاع النهر.