نظرية غرين

في حساب المتجهات ، تربط نظرية غرين التكامل الخطي حول منحنى مغلق بسيط C بالتكامل الثنائي على المنطقة المستوية D (السطح في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) محصورة بالمربع C. وهي حالة خاصة ثنائية الأبعاد من نظرية ستوكس (سطح في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$في بُعد واحد، يُعادل ذلك النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل . وفي بُعدين، يُعادل ذلك نظرية التباعد .

وقد سميت على اسم عالم الفيزياء الرياضية جورج غرين .

ليكن C منحنى مغلقًا بسيطًا موجب الاتجاه ، أملسًا جزئيًا ، في مستوى ، ولتكن D المنطقة المحصورة بـ C. إذا كانت L و M دالتين لـ ( x , y ) معرفتين على منطقة مفتوحة تحتوي على D ولهما مشتقات جزئية متصلة هناك، فإن

$${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA}$$

حيث يكون مسار التكامل على طول C عكس اتجاه عقارب الساعة . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

تربط نظرية غرين في المستوى التكاملات الخطية حول منحنى مغلق بسيط بالتكاملات الثنائية على المناطق التي يحيط بها. ولها شكلان متكافئان: شكل الدوران ، الذي ينص على التكامل الخطي المماسي لحقل متجهي.${\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q)}$حول منحنى مغلق بسيط ذي اتجاه إيجابي${\displaystyle C}$يساوي التكامل المزدوج للدوران القياسي${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}}$في جميع أنحاء المنطقة${\displaystyle D}$محصورة بـ${\displaystyle C}$وصيغة التدفق ( التباعد ) ، التي تنص على أن التكامل الخطي الطبيعي لـ${\displaystyle \mathbf {F} }$حول${\displaystyle C}$يساوي التكامل المزدوج للتباعد${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$زيادة${\displaystyle D}$في التطبيقات، يُستخدم شكل الدوران لحسابات الدوران ثنائي الأبعاد والتدفق الدوراني، بينما يقيس شكل التدفق صافي التدفق الخارج عبر حدود مغلقة. كما تُنتج نظرية غرين صيغًا عملية للتكامل الحدودي لحساب مساحة ومركز منطقة مستوية.

فيما يلي برهان لنصف النظرية للمنطقة المبسطة D ، وهي منطقة من النوع الأول حيث _C1 و C3 منحنيان متصلان بخطوط رأسية (قد _تكون أطوالها صفرًا). يوجد برهان مماثل للنصف الآخر من النظرية عندما _تكون D منطقة من النوع الثاني حيث C2 _و C4 منحنيان متصلان بخطوط أفقية (قد تكون أطوالها صفرًا أيضًا). بجمع هذين الجزأين، تُثبت النظرية بالتالي لمناطق النوع الثالث (المعرفة بأنها مناطق من النوع الأول والثاني معًا). يمكن استنتاج الحالة العامة من هذه الحالة الخاصة بتقسيم D إلى مجموعة من مناطق النوع الثالث.

إذا أمكن إثبات ذلك

${\displaystyle \oint _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA}$

1

و

${\displaystyle \oint _{C}\ M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)dA}$

2

إذا كانت هذه الفرضيات صحيحة، فإن نظرية غرين تتبع مباشرة للمنطقة D. يمكننا إثبات ( 1 ) بسهولة للمناطق من النوع الأول، و( 2 ) للمناطق من النوع الثاني. ثم تتبع نظرية غرين للمناطق من النوع الثالث.

لنفترض أن المنطقة D هي منطقة من النوع الأول، وبالتالي يمكن وصفها، كما هو موضح على اليمين، بـ $${\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$$ حيث أن g1 و g2 دالتان متصلتان على الفترة [ _a , b _] . احسب التكامل الثنائي في ( 1 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{a}^{b}\left[L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x))\right]\,dx.\end{aligned}}}$

3

الآن احسب التكامل الخطي في ( ₁ ) . يمكن إعادة كتابة C كاتحاد لأربعة منحنيات : C1 _، C2 _، C3 ، C4 _.

باستخدام C1 ، استخدم المعادلات البارامترية التالية _: x = x ، y = g1 ( x ₎ ، a ≤ x ≤ b . ثم $${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.}$$

باستخدام C ₃ ، استخدم المعادلات البارامترية التالية: x = x ، y = g ₂ ( x )، a ≤ x ≤ b . ثم $${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=\int _{b}^{a}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}$$

التكامل على C3 معكوس لأنه يسير في الاتجاه السالب من b إلى a ، حيث أن _C موجهة باتجاه موجب (عكس اتجاه عقارب الساعة). على C2 وC4، تبقى قيمة x _ثابتة ، _مما يعني$${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.}$$

لذلك،

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}L\,dx&=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx\\&=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.\end{aligned}}}$

4

بدمج ( 3 ) مع ( 4 )، نحصل على ( 1 ) للمناطق من النوع الأول. وبمعالجة مماثلة باستخدام نفس نقاط النهاية، نحصل على ( 2 ) للمناطق من النوع الثاني. وبجمع الاثنين معًا، نحصل على النتيجة للمناطق من النوع الثالث.

سنقوم بإثبات ما يلي

نحتاج إلى الليمات التالية التي يمكن العثور على براهينها في: ^{[ 3 ]}

والآن أصبحنا في وضع يسمح لنا بإثبات النظرية:

برهان النظرية. ليكن${\displaystyle \varepsilon }$ليكن عددًا حقيقيًا موجبًا كيفيًا . بسبب استمرارية${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$وتماسك${\displaystyle {\overline {R}}}$، منح${\displaystyle \varepsilon >0}$، يوجد${\displaystyle 0<\delta <1}$بحيث أنه كلما اثنتين من النقاط${\displaystyle {\overline {R}}}$أقل من${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$وبصرف النظر عن ذلك، صورهم تحت${\displaystyle A,B}$أقل من${\displaystyle \varepsilon }$على انفراد. لهذا السبب${\displaystyle \delta }$لننظر في التفكيك المُعطى في اللمة السابقة. لدينا $${\displaystyle \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy.}$$

يضع${\displaystyle \varphi$ :=D_{1}B-D_{2}A} .

لكل${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$المنحنى${\displaystyle \Gamma _{i}}$هو مربع ذو اتجاه موجب، وهو ما ينطبق عليه قانون غرين. ومن ثم $${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{R_{i}}\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi .}$$

لا تتجاوز المسافة بين كل نقطة في منطقة حدودية وأخرى حدًا معينًا.${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$من${\displaystyle \Gamma }$وبالتالي، إذا${\displaystyle K}$هو اتحاد جميع المناطق الحدودية، إذن${\displaystyle K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )}$؛ لذلك${\displaystyle c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}}$، بحسب اللمة 2. لاحظ أن $${\displaystyle \int _{R}\varphi \,\,-\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\varphi =\int _{K}\varphi .}$$ وهذا ينتج عنه $${\displaystyle \left\vert \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta ){\text{ for some }}M>0.}$$

من الأفضل أن نختار${\displaystyle \delta }$بحيث يكون الطرف الأيمن من المتباينة الأخيرة هو${\displaystyle <\varepsilon .}$

تشير الملاحظة الواردة في بداية هذا البرهان إلى أن تذبذبات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$في كل منطقة حدودية يكون الحد الأقصى${\displaystyle \varepsilon }$لدينا $${\displaystyle \left\vert \sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}.}$$

بحسب اللمة 1(iii)، $${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\leq \Lambda +(4\delta )\,4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)\leq 17\Lambda +16.}$$

وبدمج هذه العناصر، نحصل في النهاية على $${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert <C\varepsilon ,}$$ بالنسبة للبعض${\displaystyle C>0}$بما أن هذا ينطبق على كل${\displaystyle \varepsilon >0}$انتهينا.

ليست فرضيات النظرية الأخيرة هي الوحيدة التي تكون فيها صيغة غرين صحيحة. وهناك مجموعة أخرى شائعة من الشروط، وهي كالتالي:

الوظائف${\displaystyle A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$لا تزال تُفترض متصلة. ومع ذلك، فإننا نشترط الآن أن تكون قابلة للتفاضل وفقًا لـ Fréchet عند كل نقطة من${\displaystyle R}$وهذا يستلزم وجود جميع المشتقات الاتجاهية، على وجه الخصوص${\displaystyle D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2}$حيث، كالعادة،${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$هو الأساس الترتيبي المتعارف عليه لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$بالإضافة إلى ذلك، نحتاج إلى الوظيفة${\displaystyle D_{1}B-D_{2}A}$أن تكون قابلة للتكامل وفقًا لريمان على${\displaystyle R}$.

وكنتيجة طبيعية لذلك، نحصل على نظرية كوشي التكاملية لمنحنيات جوردان القابلة للتصحيح:

نظرية. ليكن${\displaystyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}}$تكون منحنيات جوردان قابلة للتقويم ذات اتجاه إيجابي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$مُرضٍ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{if }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ and }}i\neq j,\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle R_{i}}$هي المنطقة الداخلية من${\displaystyle \Gamma _{i}}$. يترك $${\displaystyle D=R_{0}\setminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}).}$$

يفترض${\displaystyle p:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$و${\displaystyle q:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$هي دوال متصلة يقتصر نطاقها على${\displaystyle D}$هي قابلة للتفاضل وفقًا لـ Fréchet. إذا كانت الدالة $${\displaystyle (x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)}$$ قابل للتكامل وفقًا لريمان على${\displaystyle D}$، ثم $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}}$$

تُعتبر نظرية غرين حالة خاصة من نظرية كلفن-ستوكس ، عند تطبيقها على منطقة في${\displaystyle xy}$-طائرة.

يمكننا تحويل الحقل ثنائي الأبعاد إلى حقل ثلاثي الأبعاد بمكون z يساوي دائمًا صفرًا. اكتب F للدالة المتجهة ذات القيم z.${\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)}$ابدأ بالجانب الأيسر من نظرية غرين: $${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}$$

نظرية كلفن-ستوكس: $${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}$$

السطح${\displaystyle S}$هي مجرد المنطقة الموجودة في الطائرة${\displaystyle D}$، مع وحدة عادية${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$تم تعريفها (بحسب الاصطلاح) على أنها تحتوي على مكون z موجب من أجل مطابقة تعريفات "الاتجاه الموجب" لكلا النظريتين.

يصبح التعبير الموجود داخل التكامل $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}$$

وهكذا نحصل على الجانب الأيمن من نظرية غرين $${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

تُعد نظرية غرين أيضًا نتيجة مباشرة لنظرية ستوكس العامة باستخدام الأشكال التفاضلية والمشتقات الخارجية : $${\displaystyle \oint _{C}L\,dx+M\,dy=\oint _{\partial D}\!\omega =\int _{D}d\omega =\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge \,dx+{\frac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$$

بالنظر فقط إلى حقول المتجهات ثنائية الأبعاد، فإن نظرية غرين تعادل النسخة ثنائية الأبعاد من نظرية التباعد :

${\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}$

أين${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$هو التباعد على حقل المتجهات ثنائي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {F} }$، و${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$هو متجه الوحدة العمودي المتجه للخارج على الحدود.

لتوضيح ذلك، ضع في اعتبارك المتجه العمودي للوحدة${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$في الجانب الأيمن من المعادلة. بما أن في نظرية غرين${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)}$هو متجه مماس للمنحنى، والمنحنى C هو المنحنى الموجب الاتجاه (أي عكس اتجاه عقارب الساعة) على طول الحدود، والمتجه العمودي الخارجي هو متجه يشير بزاوية 90 درجة إلى يمين هذا المتجه؛ أحد الخيارات هو${\displaystyle (dy,-dx)}$طول هذا المتجه هو${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$لذا${\displaystyle (dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.}$

ابدأ بالجانب الأيسر من نظرية غرين: $${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.}$$ تطبيق نظرية التباعد ثنائية الأبعاد مع${\displaystyle \mathbf {F} =(M,-L)}$وبذلك نحصل على الجانب الصحيح من نظرية غرين: $${\displaystyle \oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)\,dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

يمكن استخدام نظرية غرين لحساب المساحة باستخدام التكامل الخطي. ^{[ 4 ] : ​​1087} مساحة منطقة مستوية${\displaystyle D}$يُعطى بواسطة$${\displaystyle A=\iint _{D}dA.}$$

يختار${\displaystyle L}$و${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}$المساحة معطاة بالصيغة التالية$${\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).}$$

الصيغ المحتملة لحساب مساحة${\displaystyle D}$يتضمن ^{[ 4 ] : ​​1087}$${\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\frac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).}$$

أطلق ويليام طومسون ( اللورد كلفن ) اسم هذه النظرية على جورج غرين ، الذي ذكر نتيجة مماثلة في بحث نُشر عام 1828 بعنوان " مقال عن تطبيق التحليل الرياضي على نظريات الكهرباء والمغناطيسية" ، ^{[ 5 ]} والذي كاد يُنسى حتى أعاد طومسون اكتشافه عام 1845. ^{[ 6 ]} وفي عام 1846، نشر أوغستين لويس كوشي بحثًا ذكر فيه نظرية غرين في الجملة قبل الأخيرة. ^{[ 7 ]} وقُدِّم برهان النظرية أخيرًا عام 1851 على يد برنارد ريمان في أطروحته للدكتوراه. ^{[ 8 ] [ 9 ] : 801-805}

• البلانيمتر – أداة لقياس المساحة 
• طريقة الشحنات الوهمية - طريقة تستخدم في علم الكهرباء الساكنة وتستفيد من نظرية التفرد (المشتقة من نظرية غرين).
• صيغة رباط الحذاء – حالة خاصة من نظرية غرين للمضلعات البسيطة
• نظرية بنديكسون-دولاك – نظرية في الديناميكا ثنائية الأبعاد تترتب على تطبيق نظرية غرين

• مارسدن، جيرولد إي .؛ ترومبا، أنتوني (2012). "الفصل 8: نظريات التكامل في التحليل المتجهي". حساب المتجهات (  الطبعة السادسة). نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه. ISBN 978-1-4292-1508-4.

• نظرية غرين على موقع ماث وورلد