سلسلة هان

التقييم${\displaystyle v(f)}$من سلسلة هان غير الصفرية

${\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}$

يُعرَّف بأنه الأصغر${\displaystyle e\in \Gamma }$بحيث${\displaystyle c_{e}\neq 0}$(بمعنى آخر، أصغر عنصر من عناصر دعم${\displaystyle f}$): هذا يجعل${\displaystyle K[[T^{\Gamma }]]}$إلى حقل قيم كروي كامل مع مجموعة قيم${\displaystyle \Gamma }$ومجال البقايا${\displaystyle K}$(تبرير المصطلحات لاحقاً ). في الواقع، إذا${\displaystyle K}$إذا كانت خاصية صفر، فإن${\displaystyle (K[[T^{\Gamma }]],v)}$حتى التشاكل (غير الفريد) يكون الحقل الوحيد ذو القيم الكاملة كرويًا مع حقل البقايا${\displaystyle K}$ومجموعة القيم${\displaystyle \Gamma }$[ ^{3 ]} التقييم^​${\displaystyle v}$يُعرّف بنية طوبولوجية على${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$. لو${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathbb {R} }$، ثم${\displaystyle v}$يتوافق مع القيمة المطلقة فائقة القياس${\displaystyle |f|=\exp(-v(f))}$، فيما يتعلق بذلك${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$هو فضاء متري كامل . ومع ذلك، على عكس حالة متسلسلات لوران أو بويزو الرسمية، فإن المجاميع الرسمية المستخدمة في تعريف عناصر الحقل لا تتقارب: في حالة${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots }$على سبيل المثال، تميل القيم المطلقة للحدود إلى 1 (لأن تقييماتها تميل إلى 0)، لذلك فإن السلسلة ليست متقاربة (تعرف هذه السلاسل أحيانًا باسم "شبه متقاربة" ^{[ 4 ]} ).

لو${\displaystyle K}$هي مجموعة مغلقة جبريًا (ولكن ليس بالضرورة أن تكون ذات خاصية صفرية) و${\displaystyle \Gamma }$إذا كان قابلاً للقسمة ، فإن${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$هي مغلقة جبريًا. ^{[ 5 ]} وبالتالي، فإن الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle K((T))}$موجود في${\displaystyle {\overline {K}}[[T^{\mathbb {Q} }]]}$، أين${\displaystyle {\overline {K}}}$هو الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle K}$(متى${\displaystyle K}$إذا كانت ذات خاصية صفرية، فهي بالضبط حقل متسلسلات بويزو : في الواقع، من الممكن تقديم وصف مشابه إلى حد ما للإغلاق الجبري لـ${\displaystyle K((T))}$في الخاصية الإيجابية كمجموعة فرعية من${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$[ ^{6 ]​}

لو${\displaystyle K}$إذا كان حقلاً مرتباً${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$يتم ترتيبها بالكامل عن طريق جعلها غير محددة${\displaystyle T}$متناهي الصغر (أكبر من 0 ولكن أصغر من أي عنصر موجب من${\displaystyle K}$أو، بشكل مكافئ، باستخدام الترتيب المعجمي لمعاملات السلسلة. إذا${\displaystyle K}$مغلق فعلياً و${\displaystyle \Gamma }$إذا كان قابلاً للقسمة${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$^{[ 7 ]} يمكن استخدام هذه الحقيقة لتحليل (أو حتى بناء) حقل الأعداد السريالية (وهو متماثل، كحقل مرتب، مع حقل متسلسلات هان ذات المعاملات الحقيقية ومجموعة القيم للأعداد السريالية نفسها [ ^{8 ] )} .

إذا كان κ عددًا أصليًا منتظمًا لانهائيًا ، فيمكن للمرء أن ينظر في المجموعة الجزئية من${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$تتكون من سلاسل مجموعة الدعم الخاصة بها${\displaystyle \{e\in \Gamma :c_{e}\neq 0\}}$عدد عناصره (بشكل دقيق) أقل من κ : اتضح أن هذا حقل أيضًا، وله نفس خصائص الانغلاق الجبري تقريبًا مثل الحقل الكامل${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$على سبيل المثال، تكون المجموعة مغلقة جبريًا أو مغلقة حقيقيًا عندما${\displaystyle K}$هذا صحيح و${\displaystyle \Gamma }$قابل للقسمة. ^{[ 9 ]}

يمكن تعريف مفهوم العائلات القابلة للجمع في${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$. لو${\displaystyle I}$هي مجموعة و${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$هي عائلة من سلسلة هان${\displaystyle f_{i}\in K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ثم نقول ذلك${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$تكون قابلة للجمع إذا كانت المجموعة${\displaystyle \bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {supp} f_{i}\subset \Gamma }$مرتبة بشكل جيد، وكل مجموعة${\displaystyle \{i\in I\mid e\in \operatorname {supp} f_{i}\}}$ل${\displaystyle e\in \Gamma }$محدود.

يمكننا بعد ذلك تعريف المجموع${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}f_{i}}$كما هو الحال في سلسلة هان

${\displaystyle \sum _{i\in I}f_{i}:=\sum \limits _{e\in \Gamma }\left(\sum _{i\in I}f_{i}(e)\right)T^{e}.}$

لو${\displaystyle (f_{i})_{i\in I},(g_{i})_{i\in I}}$إذا كانت قابلة للجمع، فإن العائلات كذلك${\displaystyle (f_{i}+g_{i})_{i\in I},(f_{i}g_{j})_{(i,j)\in I\times I}}$ولدينا ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \sum _{i\in I}f_{i}+g_{i}=\sum _{i\in I}f_{i}+\sum _{i\in I}g_{i}}$

و

${\displaystyle \sum _{(i,j)\in I\times I}f_{i}g_{j}=\left(\sum _{i\in I}f_{i}\right)\left(\sum _{i\in I}g_{i}\right).}$

لا يتوافق مفهوم العائلة القابلة للجمع مع مفهوم التقارب في طوبولوجيا التقييم على${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$على سبيل المثال، في${\displaystyle \mathbb {Q} \left[\left[T^{\mathbb {Q} }\right]\right]}$العائلة${\displaystyle (T^{\frac {n}{n+1}}+T^{n+1})_{n\in \mathbb {N} }}$يمكن جمعها ولكن المتتالية${\displaystyle {\big (}\sum \limits _{k\leq n}T^{\frac {k}{k+1}}+T^{k+1}{\big )}_{n\in \mathbb {N} }}$لا تتقارب.

يترك${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ودع${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$يرمز إلى حلقة الدوال الحقيقية التي تكون تحليلية على جوار${\displaystyle a}$.

لو${\displaystyle K}$يتضمن${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم يمكننا تقييم كل عنصر${\displaystyle f}$ل${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$في كل عنصر من عناصر${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$من الشكل${\displaystyle a+\varepsilon }$، حيث يتم تقييم${\displaystyle \varepsilon }$إيجابي تمامًا. في الواقع، العائلة${\displaystyle {\bigg (}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}{\bigg )}_{\!n\in \mathbb {N} }}$قابلة للجمع دائمًا، ^{[ 11 ]} لذلك يمكننا تعريف${\displaystyle f(a+\varepsilon ):=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}}$وهذا يُعرّف تشاكلًا حلقيًا${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}\longrightarrow K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$.