المشكلة الخامسة لهيلبرت

المسألة الخامسة لهيلبرت هي المسألة الرياضية الخامسة من قائمة المسائل التي نشرها عالم الرياضيات ديفيد هيلبرت في عام 1900 ، وتتعلق بتوصيف مجموعات لي .

تصف نظرية زمر لي التناظر المستمر في الرياضيات؛ وقد ازدادت أهميتها في هذا المجال وفي الفيزياء النظرية (مثل نظرية الكواركات ) باطراد خلال القرن العشرين. وبصورة عامة، تُعدّ نظرية زمر لي أرضية مشتركة بين نظرية الزمر ونظرية المشعبات الطوبولوجية . وكان السؤال الذي طرحه هيلبرت سؤالاً دقيقاً لتوضيح ذلك: هل ثمة فرق إذا ما اقتصر الأمر على المشعبات الملساء ؟

كانت الإجابة المتوقعة بالنفي ( فالمجموعات الكلاسيكية ، وهي أهم الأمثلة في نظرية مجموعات لي، عبارة عن فضاءات متعددة الشعب ملساء). وقد تأكد ذلك في أوائل خمسينيات القرن العشرين. ولأن مفهوم "الفضاء متعدد الشعب" الدقيق لم يكن متاحًا لهيلبرت، فإن هناك مجالًا لبعض النقاش حول صياغة المسألة بلغة الرياضيات المعاصرة.

يمكن صياغة المشكلة الحديثة (بأبسط تفسير لها) على النحو التالي: ^{[ 1 ]}

ويمكن صياغة هذه المشكلة بشكل مكافئ وأقرب إلى صياغة هيلبرت، من حيث قوانين التركيب، على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

تم حل المشكلة بهذه الصيغة بواسطة مونتغمري-زيبين وجليسون.

يؤدي تفسير أقوى (ينظر إلى G على أنها مجموعة تحويلية وليست مجموعة مجردة) إلى حدسية هيلبرت-سميث حول تأثيرات المجموعات على المشعبات، والتي لا تزال مفتوحة في عموميتها الكاملة. وهي معروفة كلاسيكيًا بالنسبة للتأثيرات على المشعبات ثنائية الأبعاد، وقد تم حلها مؤخرًا لثلاثة أبعاد بواسطة جون باردون . ^{[ 3 ]}

كانت أولى النتائج المهمة هي تلك التي توصل إليها جون فون نيومان عام 1933، ^{[ 4 ]} حيث قدم إجابة إيجابية للمجموعات المتراصة . وتم حل مسألة المجموعة الأبيلية المتراصة محليًا عام 1934 على يد ليف بونترياغين . أما الحل النهائي، على الأقل وفقًا لتفسير ما قصده هيلبرت المذكور أعلاه، فقد جاء مع أعمال أندرو غليسون ، ودين مونتغمري ، وليو زيبين في خمسينيات القرن العشرين.

في عام 1953، حصل هيديهيكو يامابي على نتائج إضافية حول المجموعات الطوبولوجية التي قد لا تكون متعددة الشعب: ^{[ أ ]}

ويترتب على ذلك أن كل مجموعة مضغوطة محليًا تحتوي على مجموعة فرعية مفتوحة تمثل حدًا إسقاطيًا لمجموعات لي، وفقًا لنظرية فان دانتزيج (تسمى هذه العبارة الأخيرة نظرية جليسون-يامابي في تاو (2014 ، النظرية 1.1.17) ).

من الشروط المهمة في هذه النظرية عدم وجود زمر فرعية صغيرة . يُقال إن الزمرة الطوبولوجية G ، أو جزء من زمرة مثل F المذكورة أعلاه، لا تحتوي على زمر فرعية صغيرة إذا وُجدت جوار N للعنصر e لا يحتوي على أي زمرة فرعية أكبر من { e } . على سبيل المثال، تحقق زمرة الدائرة هذا الشرط، بينما لا تحققه زمرة الأعداد الصحيحة p -adic Zp كزمرة جمعية _، لأن N ستحتوي على الزمر الفرعية: p ^∈ Zp _، لجميع الأعداد الصحيحة الكبيرة k . هذا يعطي فكرة عن مدى صعوبة المسألة. في حالة حدسية هيلبرت-سميث، يتعلق الأمر باختزال معروف إلى ما إذا كان بإمكان Zp أن تؤثر بأمانة على مشعب مغلق . وقد وصف جليسون ومونتغمري وزيبين زمر لي، من بين _الزمر المدمجة محليًا ، بأنها تلك التي لا تحتوي على زمر فرعية صغيرة.

وقد تناول الباحثون أيضاً مسألة هيلبرت الخامسة دون افتراض الأبعاد المحدودة . وكان هذا موضوع أطروحة الدكتوراه لبير إنفلو ؛ وقد نوقش عمله في كتاب بنياميني وليندنشتراوس (2000 ، الفصل 17) .

• مجموعة منفصلة تمامًا