برنامج هيلبرت

في الرياضيات ، كان برنامج هيلبرت ، الذي صاغه عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت في أوائل عشرينيات القرن العشرين، ^{[ 1 ]} حلاً مقترحاً للأزمة التأسيسية للرياضيات ، عندما تبين أن المحاولات المبكرة لتوضيح أسسها تعاني من مفارقات وتناقضات. كحل، اقترح هيلبرت تأسيس جميع النظريات القائمة على مجموعة محدودة وكاملة من البديهيات ، وتقديم برهان على اتساق هذه البديهيات . واقترح هيلبرت أن اتساق الأنظمة الأكثر تعقيداً، مثل التحليل الحقيقي ، يمكن إثباته بدلالة أنظمة أبسط. وفي نهاية المطاف، يمكن اختزال اتساق الرياضيات برمتها إلى الحساب الأساسي .

أظهرت نظريات عدم الاكتمال لغودل ، المنشورة عام ١٩٣١، أن برنامج هيلبرت غير قابل للتحقيق في مجالات رئيسية من الرياضيات. في نظريته الأولى، بيّن غودل أن أي نظام متسق ذي مجموعة بديهيات قابلة للحساب، وقادر على التعبير عن العمليات الحسابية، لا يمكن أن يكون كاملاً: فمن الممكن بناء عبارة يمكن إثبات صحتها، لكن لا يمكن استنتاجها من القواعد الشكلية للنظام. وفي نظريته الثانية، بيّن أن مثل هذا النظام لا يستطيع إثبات اتساقه، وبالتالي لا يمكن استخدامه لإثبات اتساق أي شيء أقوى منه بيقين. وقد دحض هذا افتراض هيلبرت بأن النظام المحدود يمكن استخدامه لإثبات اتساقه، وبالتالي لا يمكنه إثبات أي شيء آخر.

كان الهدف الرئيسي لبرنامج هيلبرت هو توفير أسس متينة لجميع فروع الرياضيات. وعلى وجه الخصوص، ينبغي أن يشمل ذلك ما يلي:

• صياغة لجميع الرياضيات؛ بمعنى آخر، يجب كتابة جميع العبارات الرياضية بلغة رسمية دقيقة ، ومعالجتها وفقًا لقواعد محددة جيدًا.
• الاكتمال : برهان على أنه يمكن إثبات جميع العبارات الرياضية الصحيحة في الصيغة الرياضية.
• الاتساق: برهان على استحالة وجود تناقض في الشكلية الرياضية. يُفضّل أن يعتمد برهان الاتساق هذا على الاستدلال "المحدود" فقط فيما يتعلق بالكائنات الرياضية المحدودة.
• الحفظ: برهان على أنه يمكن إثبات أي نتيجة حول "الأشياء الحقيقية" التي تم الحصول عليها باستخدام الاستدلال حول "الأشياء المثالية" (مثل المجموعات غير القابلة للعد ) دون استخدام الأشياء المثالية.
• قابلية الحسم : يجب أن تكون هناك خوارزمية لتحديد صحة أو خطأ أي عبارة رياضية.

أثبت كورت غودل أن معظم أهداف برنامج هيلبرت مستحيلة التحقيق، على الأقل إذا فُسِّرت بأبسط صورة. تُبين نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل أن أي نظرية متسقة وقوية بما يكفي لترميز جمع وضرب الأعداد الصحيحة لا يمكنها إثبات اتساقها. وهذا يُمثل تحديًا لبرنامج هيلبرت.

• لا يمكن صياغة جميع العبارات الرياضية الصحيحة ضمن نظام رسمي، إذ أن أي محاولة لصياغة مثل هذه الصياغة ستُغفل بعض العبارات الرياضية الصحيحة. ولا يوجد امتداد كامل ومتسق حتى لحسابات بيانو قائم على مجموعة من البديهيات القابلة للحساب .
• إن نظرية مثل حساب بيانو لا تستطيع حتى إثبات اتساقها الخاص، لذا فإن مجموعة فرعية "محدودة" منها لا يمكنها بالتأكيد إثبات اتساق نظريات أكثر قوة مثل نظرية المجموعات.
• لا توجد خوارزمية لتحديد صحة (أو إمكانية إثبات) العبارات في أي امتداد متسق لحسابات بيانو. وبالمعنى الدقيق، ظهر هذا الحل السلبي لمسألة القرار بعد بضع سنوات من نظرية غودل، لأن مفهوم الخوارزمية لم يكن قد تم تحديده بدقة في ذلك الوقت.

يمكن اعتبار العديد من مسارات البحث الحالية في المنطق الرياضي ، مثل نظرية البرهان والرياضيات العكسية ، امتدادًا طبيعيًا لبرنامج هيلبرت الأصلي. ويمكن إنقاذ جزء كبير منه بتغيير أهدافه قليلاً (زاك 2005)، ومع التعديلات التالية، تم إنجاز بعضه بنجاح:

• على الرغم من استحالة صياغة جميع فروع الرياضيات بشكل رسمي، إلا أنه من الممكن صياغة معظم فروع الرياضيات التي يستخدمها أي شخص. وعلى وجه الخصوص، تُقدّم نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، بالاقتران مع منطق الرتبة الأولى ، صياغةً مرضية ومقبولة عمومًا لجميع فروع الرياضيات الحالية تقريبًا.
• على الرغم من أنه لا يمكن إثبات اكتمال الأنظمة التي يمكنها التعبير على الأقل عن حساب بيانو (أو، بشكل أعم، التي تمتلك مجموعة بديهيات قابلة للحساب)، فإنه من الممكن إثبات أشكال من الاكتمال للعديد من الأنظمة الأخرى المهمة. ومن الأمثلة على نظرية غير تافهة تم إثبات اكتمالها نظرية الحقول المغلقة جبريًا ذات خاصية معينة .
• يصعب الإجابة على سؤال ما إذا كانت هناك براهين اتساقية نهائية للنظريات القوية، ويرجع ذلك أساسًا إلى عدم وجود تعريف متفق عليه عمومًا لمصطلح "البرهان النهائي". يبدو أن معظم علماء الرياضيات في نظرية البرهان يعتبرون الرياضيات النهائية مضمنة في حساب بيانو، وفي هذه الحالة لا يمكن تقديم براهين نهائية لنظريات قوية بشكل معقول. من ناحية أخرى، اقترح غودل نفسه إمكانية تقديم براهين اتساقية نهائية باستخدام طرق نهائية لا يمكن صياغتها رسميًا في حساب بيانو، لذا يبدو أنه كان لديه وجهة نظر أكثر مرونة بشأن الطرق النهائية المسموح بها. بعد بضع سنوات، قدم جنتزن برهانًا اتساقيًا لحساب بيانو. الجزء الوحيد من هذا البرهان الذي لم يكن نهائيًا بشكل واضح هو استقراء معين إلى ما بعد النهاية حتى العدد الترتيبي ε₀ _. إذا تم قبول هذا الاستقراء إلى ما بعد النهاية كطريقة نهائية، فيمكن حينها التأكيد على وجود برهان نهائي لاتساق حساب بيانو. قدّم غايسي تاكيوتي وآخرون براهين على اتساق مجموعات فرعية أكثر قوة من الحساب من الرتبة الثانية ، ويمكننا مجدداً مناقشة مدى نهائية أو بنائية هذه البراهين. (النظريات التي ثبت اتساقها بهذه الطرق قوية للغاية، وتشمل معظم الرياضيات "العادية").
• على الرغم من عدم وجود خوارزمية لتحديد صحة العبارات في حساب بيانو، إلا أن هناك العديد من النظريات المهمة وغير البديهية التي وُجدت لها خوارزميات مماثلة. على سبيل المثال، وجد تارسكي خوارزمية قادرة على تحديد صحة أي عبارة في الهندسة التحليلية (وبشكل أدق، أثبت أن نظرية الحقول المغلقة الحقيقية قابلة للتقرير). وبالنظر إلى بديهية كانتور-ديديكيند ، يمكن اعتبار هذه الخوارزمية بمثابة خوارزمية لتحديد صحة أي عبارة في الهندسة الإقليدية . وهذا أمر بالغ الأهمية، إذ قلّما يعتبر أحد الهندسة الإقليدية نظرية بديهية.

• أسس الرياضيات
• الأزمة التأسيسية للرياضيات

• ج.جنتزن، 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit derrainen Zahlentheorie. الرياضيات أنالين 112: 493-565. تمت ترجمته على أنه "اتساق الحساب"، في الأوراق المجمعة لجيرهارد جينتزن ، إم إي زابو (محرر)، 1969.
• د. هيلبرت. «أسس نظرية الأعداد الأولية». حوليات الرياضيات 104: 485-494. ترجمها و. إيوالد بعنوان «أسس نظرية الأعداد الأولية»، الصفحات  266-273 في مانكوسو (محرر، 1998) من براور إلى هيلبرت: النقاش حول أسس الرياضيات في عشرينيات القرن العشرين ، مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك.
• إس جي سيمبسون ، 1988. تحقيقات جزئية لبرنامج هيلبرت (ملف PDF) . مجلة المنطق الرمزي 53: 349-363.
• R. Zach ، 2006. برنامج هيلبرت آنذاك والآن. فلسفة المنطق 5:411-447، arXiv:math/0508572 [math.LO].

• ريتشارد زاك. "برنامج هيلبرت" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . الرقم الدولي الموحد للدوريات 1095-5054 . رقم OCLC 429049174 .