تاريخ نظرية الأنواع

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

نشأت نظرية الأنواع في البداية لتجنب المفارقات في مجموعة متنوعة من المنطق الصوري وأنظمة إعادة الكتابة . وفي وقت لاحق، أصبحت نظرية الأنواع تشير إلى فئة من الأنظمة الصورية ، والتي يمكن لبعضها أن يكون بمثابة بدائل لنظرية المجموعات البسيطة كأساس لجميع الرياضيات.

لقد ارتبطت بالرياضيات الرسمية منذ كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" وحتى مساعدي البرهان في الوقت الحاضر .

1900–1927

أصل نظرية راسل للأنواع

في رسالةٍ إلى غوتلوب فريجه (1902)، أعلن برتراند راسل اكتشافه للمفارقة في كتاب فريجه " Begriffsschrift ". [ 1 ] ردّ فريجه على الفور، مُقرًّا بالمشكلة ومقترحًا حلًّا في نقاشٍ تقنيٍّ حول " المستويات ". لنقتبس من فريجه:

بالمناسبة، يبدو لي أن عبارة " المسند يُسند إلى نفسه" ليست دقيقة. فالمسند، كقاعدة عامة، دالة من المستوى الأول، وهذه الدالة تتطلب كائنًا كمعامل، ولا يمكن أن يكون لها نفسها كمعامل (موضوع). لذلك، أفضّل القول: "المفهوم يُسند إلى امتداده الخاص". [ 2 ]

يشرع في شرح كيفية عمل ذلك، لكنه يبدو أنه يتراجع عنه. ونتيجةً لما عُرف بمفارقة راسل، اضطر كلٌ من فريجه وراسل إلى تعديل أعمالهما التي كانت في المطبعة على عجل. في الملحق "ب" الذي ألحقه راسل بكتابه " مبادئ الرياضيات " (1903)، نجد نظريته "المؤقتة" عن الأنواع. وقد أرّقت هذه المسألة راسل لنحو خمس سنوات. [ 3 ]

يقدم ويلارد كواين [ 4 ] ملخصًا تاريخيًا لأصل نظرية الأنواع ونظرية الأنواع "المتفرعة": بعد التفكير في التخلي عن نظرية الأنواع (1905)، اقترح راسل بدوره ثلاث نظريات:

  1. نظرية الزجزاج،
  2. نظرية تحديد الحجم،
  3. نظرية اللا طبقات (1905-1906) ثم،
  4. إعادة تبني نظرية الأنواع (1908 وما بعدها)

يلاحظ كواين أن إدخال راسل لمفهوم "المتغير الظاهري" أدى إلى النتيجة التالية:

الفرق بين "الكل" و "أي": يتم التعبير عن "الكل" بواسطة المتغير المقيد ("الظاهري") للقياس الكمي الشامل، والذي يتراوح على نوع معين، ويتم التعبير عن "أي" بواسطة المتغير الحر ("الحقيقي") الذي يشير بشكل تخطيطي إلى أي شيء غير محدد بغض النظر عن النوع.

يرفض كواين مفهوم "المتغير المقيد" باعتباره " غير ذي جدوى بمعزل عن جانب معين من نظرية الأنواع ". [ 5 ]

نظرية الأنواع "المتفرعة" لعام 1908

يشرح كواين نظرية التفرع على النحو التالي: "سُميت بهذا الاسم لأن نوع الدالة يعتمد على أنواع وسائطها ، وعلى أنواع المتغيرات الظاهرة التي تحتويها (أو في تعبيرها)، في حال تجاوزت هذه الأنواع أنواع الوسائط". [ 5 ] ويصف ستيفن كلين في كتابه " مقدمة في ما وراء الرياضيات " الصادر عام 1952 [ 6 ] نظرية التفرع للأنواع على النحو التالي:

تُصنَّف الكائنات أو الأفراد الأساسيون (أي الأشياء المعطاة التي لا تخضع للتحليل المنطقي) ضمن نوع واحد (مثلاً النوع 0 )، وتُصنَّف خصائص الأفراد ضمن النوع 1 ، وخصائص خصائص الأفراد ضمن النوع 2 ، وهكذا؛ ولا تُقبل أي خصائص لا تندرج ضمن أحد هذه الأنواع المنطقية (على سبيل المثال، هذا يجعل خاصيتي "قابل للتنبؤ" و"غير قابل للتنبؤ" خارج نطاق المنطق). ويمكن وصف الأنواع المقبولة للكائنات الأخرى، باعتبارها علاقات وفئات، بتفصيل أكبر. ثم، لاستبعاد التعريفات غير القابلة للتنبؤ ضمن نوع معين، تُقسَّم الأنواع الأعلى من النوع 0 إلى رتب. فعلى سبيل المثال، بالنسبة للنوع 1، تنتمي الخصائص المُعرَّفة دون ذكر أي كلية إلى الرتبة 0 ، بينما تنتمي الخصائص المُعرَّفة باستخدام كلية خصائص رتبة معينة إلى الرتبة الأعلى التالية. ... لكن هذا التقسيم إلى رتب يجعل من المستحيل بناء التحليل المألوف، الذي رأيناه سابقًا، والذي يتضمن تعريفات غير قابلة للتنبؤ. ولتجنب هذه النتيجة، افترض راسل بديهية الاختزال ، التي تؤكد أنه لأي خاصية تنتمي إلى رتبة أعلى من الأدنى، توجد خاصية متطابقة (أي خاصية تمتلكها نفس الأشياء تمامًا) من الرتبة 0. إذا تم اعتبار الخصائص القابلة للتعريف فقط موجودة، فإن البديهية تعني أنه لكل تعريف غير تنبؤي ضمن نوع معين يوجد تعريف تنبؤي مكافئ (Kleene 1952:44–45).

بديهية الاختزال ومفهوم "المصفوفة"

لكن نظرًا لأن شروط النظرية المتفرعة ستثبت (على حد تعبير كواين) أنها "مرهقة"، فقد اقترح راسل في كتابه "المنطق الرياضي القائم على نظرية الأنواع " عام 1908 [ 7 ] بديهية الاختزال . وبحلول عام 1910، قام وايتهيد وراسل في كتابهما "مبادئ الرياضيات" بتوسيع هذه البديهية بإضافة مفهوم المصفوفة - وهي تحديد امتدادي كامل للدالة. ومن مصفوفتها، يمكن اشتقاق دالة من خلال عملية "التعميم"، والعكس صحيح، أي أن العمليتين قابلتان للعكس: (أ) التعميم من مصفوفة إلى دالة (باستخدام متغيرات ظاهرة)، و(ب) العملية العكسية لاختزال النوع عن طريق استبدال وسائط المتغير الظاهر بمسارات القيم. وبهذه الطريقة، يمكن تجنب عدم القدرة على التنبؤ. [ 8 ]

جداول الحقيقة

في عام ١٩٢١، وضع إميل بوست نظرية "دوال الصدق" وجداول صدقها، والتي حلت محل مفهوم المتغيرات الظاهرية مقابل المتغيرات الحقيقية. جاء في مقدمته (١٩٢١): "بينما تتطلب النظرية الكاملة [لوايتهيد وراسل (١٩١٠، ١٩١٢، ١٩١٣)] لصياغة قضاياها متغيرات حقيقية وظاهرية، تمثل كلاً من الأفراد ودوال القضايا من أنواع مختلفة، وبالتالي تستلزم نظرية الأنواع المعقدة، فإن هذه النظرية الفرعية تستخدم المتغيرات الحقيقية فقط، وهذه المتغيرات الحقيقية لا تمثل سوى نوع واحد من الكيانات، والذي اختار المؤلفان تسميته بالقضايا الأولية". [ ٩ ]

في نفس الوقت تقريبًا، طور لودفيج فيتجنشتاين أفكارًا مماثلة في عمله "تراكتاتوس لوجيكو-فيلوسوفيكوس" عام 1922 :

3.331 من هذه الملاحظة نحصل على رؤية أعمق لنظرية راسل في الأنماط. ويتضح خطأ راسل من خلال اضطراره، عند صياغة قواعده الرمزية، إلى الحديث عن معاني علاماته.

3.332 لا يمكن لأي قضية أن تقول أي شيء عن نفسها، لأن العلامة القضوية لا يمكن أن تكون مضمنة في نفسها (وهذه هي "نظرية الأنواع" بأكملها).

3.333 لا يمكن أن تكون الدالة وسيطًا لنفسها، لأن علامة الدالة تحتوي بالفعل على النموذج الأولي لوسيطها الخاص ولا يمكنها أن تحتوي على نفسها...

اقترح فيتغنشتاين طريقة جدول الحقيقة أيضًا. في كتابه من 4.3 إلى 5.101، يتبنى فيتغنشتاين ضربة شيفر غير المحدودة ككيان منطقي أساسي، ثم يسرد جميع الدوال الست عشرة لمتغيرين ( 5.101 ).

يظهر مفهوم المصفوفة كجدول حقيقة في وقت متأخر من عام 1940-1950 في أعمال تارسكي، على سبيل المثال فهارسه لعام 1946 "المصفوفة، انظر: جدول الحقيقة" [ 10 ].

شكوك راسل

خصّص راسل في كتابه " مقدمة في الفلسفة الرياضية" الصادر عام ١٩٢٠ فصلاً كاملاً لموضوع " بديهية اللانهاية والأنواع المنطقية"، حيث عبّر عن مخاوفه قائلاً: "إن نظرية الأنواع لا تنتمي قطعاً إلى الجزء المكتمل والمؤكد من موضوعنا، إذ لا يزال جزء كبير منها غير مكتمل ومبهم وغير واضح. لكن الحاجة إلى مذهب ما في الأنواع أقل شكاً من الشكل الدقيق الذي ينبغي أن يتخذه هذا المذهب، وبالارتباط ببديهية اللانهاية، يسهل بشكل خاص إدراك ضرورة وجود مثل هذا المذهب". [ ١١ ]

يتخلى راسل عن بديهية الاختزال : ففي الطبعة الثانية من كتابه "مبادئ الرياضيات " (1927)، يُقرّ بحجة فيتغنشتاين. [ 12 ] وفي بداية مقدمته، يُصرّح قائلًا: "لا شكّ في... أنه لا حاجة للتمييز بين المتغيرات الحقيقية والظاهرية...". [ 13 ] ثم يتبنى مفهوم المصفوفة بالكامل، ويُصرّح قائلًا: " لا يمكن أن تظهر الدالة في المصفوفة إلا من خلال قيمها " (لكنه يُشير في حاشية إلى أنها "تحل محل بديهية الاختزال (بشكل غير كافٍ تمامًا)" [ 14 ] ). علاوة على ذلك، يُقدّم مفهومًا جديدًا (مختصرًا ومعمّمًا) للمصفوفة، وهو " المصفوفة المنطقية ... التي لا تحتوي على ثوابت. وبالتالي، فإن p | q هي مصفوفة منطقية". [ 15 ] وهكذا، يكون راسل قد تخلى فعلياً عن بديهية الاختزال، [ 16 ] لكنه يذكر في فقراته الأخيرة أنه لا يستطيع من "قضايانا الأولية الحالية" استنباط "علاقات ديديكيندي وعلاقات منظمة تنظيماً جيداً"، ويلاحظ أنه إذا كانت هناك بديهية جديدة تحل محل بديهية الاختزال، "فإنها لا تزال قيد الاكتشاف". [ 17 ]

نظرية الأنواع البسيطة

في عشرينيات القرن العشرين، لاحظ ليون تشويستيك [ 18 ] وفرانك ب. رامزي [ 19 ] أنه إذا كان المرء على استعداد للتخلي عن مبدأ الحلقة المفرغة ، فيمكن انهيار التسلسل الهرمي لمستويات الأنواع في "النظرية المتفرعة للأنواع".

يُطلق على المنطق المقيد الناتج اسم نظرية الأنواع البسيطة [ 20 ] ، أو ربما بشكل أكثر شيوعًا، نظرية الأنواع البسيطة. [ 21 ] نُشرت صياغات تفصيلية لنظرية الأنواع البسيطة في أواخر عشرينيات وأوائل ثلاثينيات القرن العشرين على يد كل من ر. كارناب، ف. رامزي، و. ف. أو. كواين، وأ. تارسكي. وفي عام 1940، أعاد ألونسو تشيرش صياغتها كحساب لامدا ذي الأنواع البسيطة . [ 22 ] ودرسها غودل في عام 1944. ويمكن الاطلاع على مسح لهذه التطورات في كولينز (2012). [ 23 ]

من أربعينيات القرن العشرين وحتى الآن

غودل 1944

قدم كورت غودل في كتابه "المنطق الرياضي لراسل" الصادر عام 1944 التعريف التالي لـ "نظرية الأنواع البسيطة" في حاشية:

أعني بنظرية الأنواع البسيطة المذهب الذي ينص على أن موضوعات الفكر (أو، بتفسير آخر، التعبيرات الرمزية) تُقسّم إلى أنواع، وهي: الأفراد، وخصائص الأفراد، والعلاقات بين الأفراد، وخصائص هذه العلاقات، وما إلى ذلك (مع تسلسل هرمي مماثل للامتدادات)، وأن الجمل من الشكل: " أ يمتلك الخاصية φ "، " ب تربطه العلاقة R بـ ج "، وما إلى ذلك، تكون بلا معنى إذا لم تكن أ، ب، ج، R، φ من أنواع متوافقة. تُستثنى الأنواع المختلطة (مثل الفئات التي تحتوي على أفراد وفئات كعناصر) وبالتالي الأنواع المتجاوزة (مثل فئة جميع فئات الأنواع المحدودة). ويتضح من خلال تحليل أدق لهذه المفارقات أن نظرية الأنواع البسيطة كافية لتجنب المفارقات المعرفية أيضًا. (انظر رامزي 1926 وتارسكي 1935 ، ص 399). [ 24 ]

وخلص إلى أن (1) نظرية الأنواع البسيطة و(2) نظرية المجموعات البديهية، "تسمح باشتقاق الرياضيات الحديثة وفي الوقت نفسه تتجنب جميع المفارقات المعروفة" (غودل 1944: 126)؛ علاوة على ذلك، فإن نظرية الأنواع البسيطة "هي نظام كتاب المبادئ الأولى [ الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية ] في تفسير مناسب... [و]تظهر العديد من الأعراض بوضوح شديد، مع ذلك، أن المفاهيم الأولية تحتاج إلى مزيد من التوضيح" (غودل 1944: 126).

مراسلات كاري-هوارد، 1934-1969

تُعدّ معادلة كاري -هوارد تفسيراً لمفهوم البراهين كبرامج والصيغ كأنواع. بدأت هذه الفكرة عام 1934 مع هاسكل كاري، واكتملت عام 1969 مع ويليام ألفين هوارد . وقد ربطت هذه المعادلة "المكون الحسابي" للعديد من نظريات الأنواع بالاشتقاقات في المنطق.

أظهر هوارد أن حساب لامدا المكتوب يتوافق مع الاستدلال الطبيعي الحدسي (أي الاستدلال الطبيعي بدون قانون الوسط المرفوع ). وقد أدى الربط بين الأنواع والمنطق إلى العديد من الأبحاث اللاحقة لإيجاد نظريات أنواع جديدة للمنطق القائم، ومنطق جديد لنظريات الأنواع القائمة.

آلية دي بروين، 1967-2003

ابتكر نيكولاس جوفيرت دي بروين نظرية الأنواع " أوتومات" كأساس رياضي لنظام "أوتومات"، الذي كان بإمكانه التحقق من صحة البراهين. وقد تطور النظام وأضاف إليه ميزات جديدة بمرور الوقت مع تطور نظرية الأنواع.

نظرية مارتن-لوف الحدسية للأنواع، 1971-1984

توصل بير مارتن-لوف إلى نظرية نوع تتوافق مع منطق المسند من خلال إدخال أنواع تابعة ، والتي أصبحت تُعرف باسم نظرية النوع الحدسية أو نظرية نوع مارتن-لوف.

تستخدم نظرية مارتن-لوف الأنواع الاستقرائية لتمثيل هياكل البيانات غير المحدودة، مثل الأعداد الطبيعية.

أصبح عرض مارتن لوف لنظريته باستخدام قواعد الاستدلال والأحكام معيارًا لعرض النظريات المستقبلية .

حساب التفاضل والتكامل للإنشاءات لـ Coquand وHuet، 1986

ابتكر تيري كوكاند وجيرار هويه حساب الإنشاءات ، [ 25 ] وهي نظرية أنواع تابعة للدوال. ومع الأنواع الاستقرائية ، سيُطلق عليه اسم "حساب الإنشاءات الاستقرائية" وسيصبح الأساس لروك ولين .

مكعب باريندريجت لامدا، 1991

لم يكن مكعب لامدا نظرية أنواع جديدة، بل كان تصنيفًا لنظريات الأنواع الموجودة. احتوت الزوايا الثمانية للمكعب على بعض النظريات الموجودة، حيث كان حساب لامدا البسيط في الزاوية السفلى وحساب الإنشاءات في الزاوية العليا.

إثباتات الهوية ليست فريدة، 1994

قبل عام ١٩٩٤، اعتقد العديد من منظري الأنواع أن جميع الحدود من نفس نوع الهوية متطابقة، أي أن كل شيء انعكاسي. لكن مارتن هوفمان وتوماس سترايشر أثبتا أن هذا ليس شرطًا لقواعد نوع الهوية. في بحثهما بعنوان "نموذج الزمرة الجزئية يدحض تفرد براهين الهوية" [ ٢٦ ] ، بيّنا أن حدود المساواة يمكن نمذجتها كزمرة يكون فيها العنصر الصفري "انعكاسيًا"، والجمع "تعديًا"، والنفي "تناظريًا".

وقد فتح هذا مجالاً جديداً للبحث، وهو نظرية نوع التماثل ، حيث تم تطبيق نظرية الفئات على نوع الهوية.

مراجع

  1. ^ تظهر رسالة راسل (1902)، مع التعليق، في فان هيجينورت 1967: 124–125.
  2. ^ فريجه (1902) تظهر رسالة إلى راسل ، مع التعليق، في فان هيجينورت 1967: 126–128.
  3. ↑ انظر تعليق كواين قبل راسل (1908) المنطق الرياضي كما يستند إلى نظرية الأنواع في فان هيجينورت 1967:150
  4. ↑ انظر تعليق دبليو في أو كواين قبل كتاب راسل (1908) المنطق الرياضي القائم على نظرية الأنواع في فان هيجينورت 1967: 150-153
  5. 1 2 تعليق كواين قبل راسل (1908) المنطق الرياضي كما يستند إلى نظرية الأنواع في فان هيجينورت 1967:151
  6. ↑ "كلين: مقدمة في ما وراء الرياضيات" . مجلة المنطق . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-06-2024 .
  7. ↑ راسل (1908) المنطق الرياضي كما يستند إلى نظرية الأنواع في فان هيجينورت 1967: 153-182
  8. ↑ انظر على وجه الخصوص الصفحة 51 في الفصل الثاني: نظرية الأنواع المنطقية ، و*12 تسلسل الأنواع وبديهية الاختزال، الصفحات 162-167. وايتهيد وراسل (1910-1913، 1927 الطبعة الثانية) برينسيبيا ماثيماتيكا
  9. ↑ بوست (1921) مقدمة لنظرية عامة للمقترحات الأولية في فان هيجينورت 1967: 264-283
  10. ↑ تارسكي 1946، مقدمة في المنطق ومنهجية العلوم الاستنتاجية ، إعادة نشر دوفر 1995
  11. ↑ راسل 1920:135
  12. ↑ انظر "مقدمة" الطبعة الثانية، راسل 1927: xiv والملحق ج
  13. ↑ انظر "مقدمة" الطبعة الثانية، راسل 1927:i
  14. ↑ انظر "مقدمة" الطبعة الثانية، راسل 1927:xxix
  15. ↑ الخط العمودي " | " هو خط شيفر؛ انظر "مقدمة" الطبعة الثانية، راسل 1927: 31
  16. ↑ «تُبسط نظرية الأصناف في اتجاه وتُعقد في اتجاه آخر بافتراض أن الدوال لا تظهر إلا من خلال قيمها، وبالتخلي عن بديهية الاختزال»؛ انظر «مقدمة» الطبعة الثانية، راسل 1927: xxxix
  17. ↑ هذه الاقتباسات من "مقدمة" الطبعة الثانية، راسل 1927:xliv–xlv.
  18. ^ ل. تشويستيك، Antynomje logikiformalnej، Przeglad Filozoficzny 24 (1921) 164–171
  19. ↑ FP Ramsey، أسس الرياضيات، وقائع الجمعية الرياضية في لندن ، السلسلة 2 25 (1926) 338–384.
  20. ↑ غودل 1944، الصفحات 126 و136-138، الحاشية 17: "المنطق الرياضي لراسل" وارد في: كورت غودل: الأعمال الكاملة: المجلد الثاني، منشورات 1938-1974 ، مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك، رقم ISBN 978-0-19-514721-6(v.2.pbk).
  21. ↑ لا يعني هذا أن النظرية "بسيطة"، بل يعني أنها محدودة : لا يجوز خلط أنواع من رتب مختلفة: "الأنواع المختلطة (مثل الفئات التي تحتوي على أفراد وفئات كعناصر) وبالتالي تُستبعد أيضًا الأنواع المتسامية (مثل فئة جميع فئات الأنواع المنتهية)". غودل 1944، صفحة 127، الحاشية 17: "المنطق الرياضي لراسل" منشور في: كورت غودل: الأعمال الكاملة: المجلد الثاني، منشورات 1938-1974 ، مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك، رقم ISBN 978-0-19-514721-6(v.2.pbk).
  22. ↑ أ. تشيرش، صياغة النظرية البسيطة للأنواع، مجلة المنطق الرمزي 5 (1940) 56-68.
  23. ↑ ج. كولينز، تاريخ نظرية الأنواع: التطورات التي أعقبت الطبعة الثانية من كتاب "مبادئ الرياضيات". دار لامبرت للنشر الأكاديمي (2012). رقم ISBN 978-3-8473-2963-3، وخاصة الفصول من 4 إلى 6.
  24. ↑ غودل 1944: 126، الحاشية 17: "المنطق الرياضي لراسل" وارد في: كورت غودل: الأعمال الكاملة: المجلد الثاني، منشورات 1938-1974 ، مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك، رقم ISBN 978-0-19-514721-6(v.2.pbk).
  25. ^ كوكاند ، تييري. هويت، جيرارد. “حساب التفاضل والتكامل للإنشاءات” (PDF) . إنريا .
  26. ↑ هوفمان، مارتن؛ سترايشر، توماس (يوليو 1994). "نموذج الزمرة الجزئية يدحض تفرد براهين الهوية". وقائع الندوة السنوية التاسعة لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول المنطق في علوم الحاسوب . الصفحات 208-212 . doi : 10.1109/LICS.1994.316071 . ISBN  0-8186-6310-3. S2CID 19496198 . 

مصادر

  • برتراند راسل (1903)، مبادئ الرياضيات: المجلد 1 ، كامبريدج في مطبعة الجامعة، كامبريدج، المملكة المتحدة.
  • برتراند راسل (1920)، مقدمة في الفلسفة الرياضية (الطبعة الثانية)، دار نشر دوفر، نيويورك، نيويورك، رقم ISBN 0-486-27724-0(وخاصة الفصلين الثالث عشر والسابع عشر).
  • ألفريد تارسكي (1946)، مقدمة في المنطق ومنهجية العلوم الاستنتاجية ، أعيد نشره عام 1995 بواسطة دار نشر دوفر، نيويورك، نيويورك، رقم ISBN 0-486-28462-X
  • جان فان هيجينورت (1967، الطبعة الثالثة 1976)، من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، مطبعة جامعة هارفارد، كامبريدج، ماساتشوستس، رقم ISBN 0-674-32449-8(غلاف ورقي)
    • برتراند راسل (1902)، رسالة إلى فريجه مع تعليق من فان هيجينورت، الصفحات 124-125. حيث يعلن راسل عن اكتشافه "مفارقة" في عمل فريجه.
    • غوتلوب فريجه (1902)، رسالة إلى راسل مع تعليق من فان هيجينورت، الصفحات 126-128.
    • برتراند راسل (1908)، المنطق الرياضي كما يستند إلى نظرية الأنواع ، مع تعليق من ويلارد كواين ، الصفحات 150-182.
    • إميل بوست (1921)، مقدمة لنظرية عامة للمقترحات الأولية ، مع تعليق من فان هيجينورت، الصفحات 264-283.
  • ألفريد نورث وايتهيد وبرتراند راسل (1910-1913، 1927 الطبعة الثانية أعيد طبعها عام 1962)، Principia Mathematica إلى *56 ، كامبريدج في مطبعة الجامعة، لندن المملكة المتحدة، بدون رقم ISBN أو رقم فهرس بطاقة الولايات المتحدة.
  • لودفيج فيتجنشتاين (أعيد نشره عام 2009)، الأعمال الرئيسية: مختارات من الكتابات الفلسفية ، هاربر كولينز، نيويورك. ISBN 978-0-06-155024-9. فيتجنشتاين (1921 باللغة الإنجليزية)، Tractatus Logico-Philosophicus ، الصفحات 1-82.

للمزيد من القراءة

  • W. Farmer, "The seven virtues of simple type theory", Journal of Applied Logic , Vol. 6, No. 3. (سبتمبر 2008), pp.  267–286.