إحداثيات الخط

في الهندسة ، تُستخدم إحداثيات الخط لتحديد موضع الخط ، تمامًا كما تُستخدم إحداثيات النقطة (أو ببساطة الإحداثيات ) لتحديد موضع النقطة . يُعد مفهوم إحداثيات الخط أساسيًا في هندسة الخط ، وهي منهجية هندسية تُعتبر فيها الخطوط عناصر أساسية غير قابلة للتجزئة، بدلًا من كونها نقاطًا.

خطوط في المستوى

توجد عدة طرق لتحديد موقع خط في المستوى. إحدى الطرق البسيطة هي استخدام الإحداثيات $(م ، ب)$ حيث معادلة الخط هي $ص = م س + ب$ . هنا $، م$ هو الميل و $ب$ هو المقطع $الصادي$ . يحدد هذا النظام إحداثيات جميع الخطوط غير الرأسية. مع ذلك، من الشائع والأبسط جبريًا استخدام الإحداثيات $(ل ، م)$ حيث معادلة الخط هي $ل س + م ص = 1 = 0.$ يحدد هذا النظام إحداثيات جميع الخطوط باستثناء تلك التي تمر بنقطة الأصل. التفسير الهندسي لـ $ل$ و $م$ هو المعكوس السالب للمقطعين السيني $والصادي$ على $التوالي$ .

يمكن حل مشكلة استبعاد الخطوط المارة بنقطة الأصل باستخدام نظام إحداثيات ثلاثي $(l, m, n)$ لتحديد الخط ذي المعادلة $lx + my + n = 0. لا يجوز أن تكون قيمتا$ $l$ و $m$ صفرًا في الوقت نفسه. في هذه المعادلة، تكون النسب بين $l$ و $m$ و $n$ فقط هي المهمة، بمعنى آخر، إذا ضُربت الإحداثيات بعدد غير صفري، فإن الخط المُمثَّل يبقى كما هو. لذا، فإن $(l, m, n)$ هو نظام إحداثيات متجانس للخط.

إذا مُثِّلت النقاط في المستوى الإسقاطي الحقيقي بإحداثيات متجانسة $(س ، ص ، ع)$ ، فإن معادلة الخط هي $ل س + م ص + ن ع = 0$ ، بشرط أن $(ل ، م ، ن) \neq (0، 0، 0)$ . وبالتحديد، يُمثِّل الإحداثي $(0، 0، 1)$ الخط $ع = 0$ ، وهو الخط عند اللانهاية في المستوى الإسقاطي . ويُمثِّل الإحداثيان $(0، 1، 0)$ و $(1، 0، 0) المحورين$ $س$ و $ص$ على التوالي.

المعادلات المماسية

كما أن المعادلة $f (x, y) = 0$ تُمثل منحنىً كمجموعة جزئية من النقاط في المستوى، فإن المعادلة $φ(l, m) = 0$ تُمثل مجموعة جزئية من الخطوط في المستوى. ويمكن، بشكل مجرد، اعتبار مجموعة الخطوط في المستوى مجموعةً من النقاط في مستوى إسقاطي، وهو المستوى الثنائي للمستوى الأصلي. وبالتالي، تُمثل المعادلة $φ(l, m) = 0$ منحنىً في المستوى الثنائي.

بالنسبة لمنحنى $f (x, y) = 0$ في المستوى، تشكل المماسات لهذا المنحنى منحنىً في الفضاء الثنائي يُسمى المنحنى الثنائي . إذا كانت معادلة المنحنى الثنائي هي $φ(l, m) = 0 ، فإنها تُسمى$ معادلة المماس للمنحنى الأصلي. تمثل المعادلة المعطاة $φ(l, m) = 0$ منحنىً في المستوى الأصلي يُحدد كغلاف للخطوط التي تحقق هذه المعادلة. وبالمثل، إذا كانت $φ(l, m, n)$ دالة متجانسة ، فإن $φ(l, m, n) = 0$ تمثل منحنىً في الفضاء الثنائي مُعطى بإحداثيات متجانسة، ويمكن تسميته معادلة المماس المتجانسة للمنحنى المُغلف.

تُعد المعادلات المماسية مفيدة في دراسة المنحنيات المعرفة على أنها أغلفة، تمامًا كما أن المعادلات الديكارتية مفيدة في دراسة المنحنيات المعرفة على أنها مواضع.

المعادلة المماسية لنقطة

تأخذ المعادلة الخطية في إحداثيات الخط الشكل $al + bm + c = 0$ ، حيث $a$ و $b$ و $c$ ثوابت. لنفترض أن $(l, m)$ خط مستقيم يحقق هذه المعادلة. إذا لم يكن $c يساوي صفرًا، فإن$ $lx + my + 1 = 0$ ، حيث $x = a / c$ و $y = b / c$ ، وبالتالي فإن كل خط مستقيم يحقق المعادلة الأصلية يمر بالنقطة $(x, y)$ . وبالعكس، فإن أي خط مستقيم يمر بالنقطة $(x, y)$ يحقق المعادلة الأصلية، لذا فإن $al + bm + c = 0$ هي معادلة مجموعة الخطوط المستقيمة المارة بالنقطة $(x, y)$ . بالنسبة لنقطة معينة $(x, y)$ ، فإن معادلة مجموعة الخطوط المستقيمة المارة بها هي $lx + my + 1 = 0$ ، ويمكن تعريفها بأنها المعادلة المماسية لتلك النقطة. وبالمثل، بالنسبة لنقطة $(x ، y ، z)$ معطاة في إحداثيات متجانسة، فإن معادلة النقطة في الإحداثيات المماسية المتجانسة هي $lx + my + nz = 0$ .

الصيغ

$يمثل$ $تقاطع$ الخطين $(l1, m1)$ و $(l2$ $,$ $m2$ $)$ حلاً $للمعادلات$ $الخطية$

${\begin{aligned}l_{1}x+m_{1}y+1&=0,\\l_{2}x+m_{2}y+1&=0.\end{aligned}}$

بحسب قاعدة كرامر ، فإن الحل هو

$x={\frac {m_{1}-m_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}},\quad y=-{\frac {l_{1}-l_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}}.$

$تكون$ الخطوط $(l1, m1)$ ، $(l2, m2)$ $،$ و $(l3, m3)$ متلاقية عندما يكون المحدد $$ $$ $$ $$

${\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&1\\l_{2}&m_{2}&1\\l_{3}&m_{3}&1\end{vmatrix}}=0.$

بالنسبة $للإحداثيات$ $المتجانسة$ $،$ $فإن$ تقاطع الخطوط $(l1 ، m1 ، n1)$ و $(l2 ، m2$ $،$ $n2$ $)$ هو حاصل الضرب $الاتجاهي$ $:$

$(m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1},\ l_{2}n_{1}-l_{1}n_{2},\ l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}).$

$تكون$ الخطوط $(l1, m1, n1)$ ، $(l2, m2, n2)$ $،$ و $(l3, m3, n3)$ متلاقية عندما يكون المحدد $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$

${\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&n_{1}\\l_{2}&m_{2}&n_{2}\\l_{3}&m_{3}&n_{3}\end{vmatrix}}=0.$

$وبالمثل$ $،$ يمكن الحصول على إحداثيات الخط الذي يحتوي على $($ $x1$ $،$ $y1 ، z1) و (x2$ ، $y2 ،$ $z2$ $)$ $عن$ $طريق$ $الضرب$ $الاتجاهي$ : $(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\ x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\ x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}).$

الخطوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد

بالنسبة لنقطتين معطيتين في $المستوى$ الإسقاطي $الحقيقي$ ، $(x1, y1, z1)$ و $(x2, y2,$ $z2$ $)$ $،$ $فإن$ $المحددات$ $الثلاثة$

$y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\ \ x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\ \ x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},\ \$

حدد الخط الإسقاطي الذي يحتوي عليهما.

وبالمثل، بالنسبة لنقطتين في $\mathbb {RP} ^{3},$ ( $x1$ $,$ $y1$ $,$ $z1$ $,$ $w1$ $)$ و $($ $x2$ $,$ $y2$ $,$ $z2$ $,$ $w2$ $)$ $،$ يتم $تحديد$ $الخط$ $الذي$ $يحتويهما$ $بواسطة$ $المحددات$ $الستة$ $.$

${\begin{aligned}&x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},&&x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1},\\&x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1},&&y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1},\\&y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},&&z_{1}w_{2}-z_{2}w_{1}.\end{aligned}}$

هذا هو الأساس لنظام إحداثيات الخطوط المتجانسة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، والذي يُسمى إحداثيات بلوكر . ستة أرقام في مجموعة من الإحداثيات لا تُمثل خطًا إلا إذا حققت معادلة إضافية. هذا النظام يُحول فضاء الخطوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد إلى الفضاء الإسقاطي . $\mathbb {RP} ^{5},$ ولكن مع الشرط الإضافي، فإن فضاء الخطوط يتوافق مع سطح كلاين الرباعي ، وهو متعدد الشعب ذو البعد أربعة.

وبشكل أكثر عمومية، يتم تحديد الخطوط في الفضاء الإسقاطي ذي الأبعاد $n$ بواسطة نظام من $n (n - 1)/2$ إحداثيات متجانسة تحقق مجموعة من $(n - 2)(n - 3)/2$ من الشروط، مما ينتج عنه متعدد الشعب ذو البعد $2 n - 2$ .

باستخدام الأعداد المركبة

بيّن إسحاق ياغلوم ^{[ 1 ]} كيف تُوفّر الأعداد الثنائية إحداثيات للخطوط الموجهة في المستوى الإقليدي ، وكيف تُشكّل الأعداد المركبة المنقسمة إحداثيات الخطوط في المستوى الزائدي . وتعتمد هذه الإحداثيات على وجود نقطة أصل وخط مرجعي عليها. عندئذٍ، تُحسب إحداثيات أي خط من نقطة تقاطعه مع الخط المرجعي. ويُستخدم في ذلك المسافة $s$ من نقطة الأصل إلى نقطة التقاطع، وزاوية الميل $θ$ بين الخطين.

$z=\tan \!{\bigl (}{\tfrac {\theta }{2}}{\bigr )}\ (1+s\epsilon )$ هو العدد المزدوج ^{[ 1 ]}^{: 81} لخط إقليدي، و
$z=\tan \!{\bigl (}{\tfrac {\theta }{2}}{\bigr )}\ (\cosh s+j\sinh s)$ هو العدد المركب المنفصل ^{[ 1 ]}^{: 118} لخط في مستوى لوباتشيفسكي.

بما أن هناك خطوطًا متوازية للغاية مع خط المرجع في مستوى لوباتشيفسكي، فإنها تحتاج إلى إحداثيات أيضًا: يوجد عمود مشترك فريد ، ولنقل أن $s$ هي المسافة من نقطة الأصل إلى هذا العمود، و $d$ هو طول القطعة المستقيمة بين المرجع والخط المعطى.

$z=\tanh \!{\bigl (}{\tfrac {d}{2}}{\bigr )}\ (\sinh s+j\cosh s)$ يشير إلى الخط المتوازي للغاية. ^{[ 1 ]}^{: 118}

تُوصَف حركات هندسة الخط بتحويلات كسرية خطية على المستويات المركبة المناسبة. ^{[ 1 ]}^{: 87، 123}

انظر أيضاً

مراجع

1 2 3 4 5 إسحاق ياغلوم (1968) الأعداد المركبة في الهندسة ، دار النشر الأكاديمية

بيكر، هنري فريدريك (1923)، مبادئ الهندسة. المجلد 3. الهندسة الفراغية. الأسطح التربيعية، والمنحنيات المكعبة في الفضاء، والأسطح المكعبة. ، مجموعة مكتبة كامبريدج، مطبعة جامعة كامبريدج ، ص 56، ISBN 978-1-108-01779-4MR 2857520 {{citation}}رقم ISBN / تاريخ عدم التوافق ( مساعدة ) . أعيد طبعه عام 2010.
جونز، ألفريد كليمنت (1912). مقدمة في الهندسة الجبرية . كلارندون. ص 390.
إيدج، دبليو إل (1931). نظرية الأسطح المسطرة . جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-68967-1.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
هلافاتي، فاتسلاف (1953). هندسة الخطوط التفاضلية . جرونينجن: ب. نوردهوف.

[Yaglom68-1] 1 2 3 4 5 إسحاق ياغلوم (1968) الأعداد المركبة في الهندسة ، دار النشر الأكاديمية

[ 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗