خط إسقاطي فوق حلقة

في الرياضيات ، يُعدّ الخط الإسقاطي فوق حلقة امتدادًا لمفهوم الخط الإسقاطي فوق حقل . إذا كانت لدينا حلقة A (حيث A = 1)، فإن الخط الإسقاطي P ⁽ A ) فوق A يتكون من نقاط مُحددة بإحداثيات إسقاطية . لنفترض أن A ^× هي مجموعة الوحدات في A ؛ ترتبط الأزواج ( a , b ) و ( c , d ) من A × A عندما يوجد عنصر u في A ^× بحيث يكون u = c و ub = d . هذه العلاقة هي علاقة تكافؤ . يُكتب نموذج فئة التكافؤ عادةً على النحو التالي: U [ a , b ] .

P ¹ ( A ) = { U [ a , b ] | aA + bA = A } ، أي أن U [ a , b ] تقع في الخط الإسقاطي إذا كان المثالي أحادي الجانب الناتج عن a و b هو كل A. 

الخط الإسقاطي P1 ⁽ A ) مزود بمجموعة من التحويلات المتجانسة . تُعبَّر هذه التحويلات المتجانسة باستخدام حلقة المصفوفات فوق A ومجموعة وحداتها V كما يلي: إذا كان c ينتمي إلى Z( A ^× )، مركز A ^× ، فإن تأثير مجموعة المصفوفات${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}c&0\\0&c\end{smallmatrix}}\right)}$إنّ تأثير P1 ⁽ A ) هو نفسه تأثير مصفوفة الوحدة. تمثل هذه المصفوفات زمرة جزئية طبيعية N من V. وتتوافق التحويلات المتجانسة لـ P1 ⁽ A ) مع عناصر زمرة القسمة V / N .

تُعتبر P1 ⁽ A ) امتدادًا للحلقة A لأنها تحتوي على نسخة من A بسبب التضمين E  : a → U [ a , 1] . ويُعبَّر عن التطبيق العكسي الضربي u → 1/ u ، الذي يقتصر عادةً على A ^× ، بواسطة تجانس على P1 ⁽ A ) :

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U[1,a]\thicksim U[a^{-1},1].}$

علاوة على ذلك، بالنسبة لـ u و v ∈ A ^× ، يمكن تمديد التطبيق a → uav إلى تجانس:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\0&v\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}=U[av,u]\thicksim U[u^{-1}av,1].}$

بما أن u قيمة اختيارية، فيمكن استبدالها بـ u ⁻¹ . تُسمى التحويلات المتجانسة على P ¹ ( A ) بالتحويلات الخطية الكسرية لأن

${\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),1].}$

تُعدّ الحلقات التي تُمثّل حقولًا من أكثر الأمثلة شيوعًا: الخط الإسقاطي فوق GF(2) له ثلاثة عناصر: U [0, 1] ، U [1, 0] ، و U [1, 1] . زمرة التماثل الخاصة به هي زمرة التبديلات على هذه العناصر الثلاثة. ^{[ 1 ] : 29}

الحلقة Z / 3Z ، أو GF(3)، تحتوي على العناصر 1 و0 و-1؛ وخطها الإسقاطي يحتوي على العناصر الأربعة U [1, 0] و U [1, 1] و U [0, 1] و U [1, -1] ، حيث أن 1 و-1 عنصران محايدان . زمرة التماثل على هذا الخط الإسقاطي تحتوي على 12 عنصرًا، ويمكن وصفها أيضًا بالمصفوفات أو بالتباديل. ^{[ 1 ] : 31} بالنسبة للحقل المنتهي GF( q )، فإن الخط الإسقاطي هو هندسة غالوا PG(1, q ) . وقد وصف جيه دبليو بي هيرشفيلد الرباعيات التوافقية في الخطوط الإسقاطية لـ q = 4، 5، 7، 8، 9. ^{[ 2 ]}

يمكن تعريف الخط الإسقاطي P1 ⁽ A ) على الحلقة A أيضًا على أنه فضاء الوحدات الإسقاطية في الوحدة A ⊕ A. وبالتالي، فإن أي عنصر من P1 ⁽ A ) هو مجموع مباشر لـ A ⊕ A. يتبع هذا النهج الأكثر تجريدًا مفهوم الهندسة الإسقاطية باعتبارها هندسة الفضاءات الجزئية لفضاء متجهي ، ويرتبط أحيانًا بنظرية الشبكة لغاريت بيركوف ^{[ 8 ]} أو كتاب الجبر الخطي والهندسة الإسقاطية لرينهولد باير . في حالة حلقة الأعداد الصحيحة النسبية Z ، يركز تعريف مجموع الوحدة لـ P1 ⁽ Z ) على U [ m , n ] ، حيث m عدد أولي نسبيًا مع n ، ويتجاهل التضمينات التي تُعد سمة أساسية لـ P1 ⁽ A ) عندما تكون A طوبولوجية. وقد أشارت مقالة عام 1981 لـ W. Benz و Hans-Youachim Samaga و Helmut Scheaffer إلى تعريف المجموع المباشر.

في مقال بعنوان "التمثيلات الإسقاطية: الخطوط الإسقاطية فوق الحلقات" ^{[ 9 ]،} _{استُخدمت} مجموعة الوحدات لحلقة المصفوفات M²(R) ومفهوما الوحدة النمطية والوحدة النمطية الثنائية لتعريف خط إسقاطي فوق حلقة. يُرمز لمجموعة الوحدات بـ GL ( 2 , R ) ، وذلك باعتماد الترميز من المجموعة الخطية العامة ، حيث يُفترض عادةً أن R حقل.

الخط الإسقاطي هو مجموعة المدارات تحت GL(2, R ) للوحدة الفرعية الدورية الحرة R (1, 0) من R × R. بتوسيع نظرية التبديل لبنز، يرتبط وجود معكوس ضربي أيمن أو أيسر لعنصر حلقة بـ P1 ⁽ R ) و GL(2, R ) . وتُحدد خاصية ديديكيند-المنتهية . والأهم من ذلك، أن تمثيل P1 ( R ) في فضاء إسقاطي فوق حلقة قسمة K يتم بواسطة وحدة ثنائية U من النوع ( K , R ) ، وهي فضاء متجهي أيسر من ^النوع K ووحدة نمطية يمنى من النوع ^R. نقاط P1 ⁽ R ) هي فضاءات فرعية من P1 ( K , U × U ) متماثلة مع مكملاتها.

يُطلق على التحويل المتجانس h الذي يأخذ ثلاثة عناصر محددة من الحلقة a و b و c إلى نقاط الخط الإسقاطي U [0, 1] و U [1, 1] و U [1, 0] اسم تحويل النسبة التبادلية . أحيانًا ^{[ 10 ] [ 11 ]} تُؤخذ النسبة التبادلية كقيمة h عند نقطة رابعة x  : ( x , a , b , c ) = h ( x ) .

لبناء h من a و b و c، استخدم التحويلات المولدة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

تُستخدم هذه الطرق مع مراعاة النقاط الثابتة : +1 و-1 ثابتتان عند الانعكاس، و U [1, 0] ثابتة عند الإزاحة، و"الدوران" باستخدام u يُبقي U [0, 1] و U [1, 0] ثابتتين. التعليمات هي وضع c أولاً، ثم نقل a إلى U [0, 1] بالإزاحة، وأخيراً استخدام الدوران لنقل b إلى U [1, 1] .

اللمة: إذا كانت A حلقة تبديلية و b − a ، c − b ، c − a كلها وحدات، فإن ( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹ وحدة.

الدليل: من الواضح${\displaystyle {\frac {b-a}{(b-c)(c-a)}}={\frac {(b-c)+(c-a)}{(b-c)(c-a)}}}$هي وحدة، حسب الحاجة.

نظرية: إذا كان ( ب - ج ) ^{- 1} + ( ج - أ ) ^{- 1} عنصرًا محايدًا، فإنه يوجد تحويل متجانس h في G( أ ) بحيث

h ( a ) = U [0, 1] ، h ( b ) = U [1, 1] ، و h ( c ) = U [1, 0] .

البرهان: النقطة p = ( b − c ) ^{− 1} + ( c − a ) ^{− 1} هي صورة النقطة b بعد أن تم وضع a عند الصفر ثم عكسها إلى U [1, 0] ، وصورة النقطة c عند U [0, 1] . بما أن p نقطة وحدة، فإن معكوسها المستخدم في الدوران سينقل p إلى U [1, 1] ، مما يؤدي إلى وضع a و b و c في مواقعها الصحيحة. تشير اللمة إلى الشروط الكافية لوجود h .

يُعرّف أحد تطبيقات النسبة التبادلية المرافق التوافقي الإسقاطي للثلاثية a ، b ، c بأنه العنصر x الذي يحقق ( x ، a ، b ، c ) = -1 . تُسمى هذه الرباعية رباعية توافقية . استُخدمت الرباعيات التوافقية على الخط الإسقاطي فوق حقل منتهٍ GF( q ) في عام 1954 لتحديد الزمر الخطية الإسقاطية PGL(2, q ) لـ q = 5، 7، و9، ولإثبات التشاكلات العرضية . ^{[ 12 ]}

يتم تبديل الخط الحقيقي في المستوى المركب مع الدوائر والخطوط الحقيقية الأخرى تحت تحويلات موبيوس ، والتي بدورها تُبدّل التضمين القانوني للخط الإسقاطي الحقيقي في الخط الإسقاطي المركب . لنفترض أن A جبر على حقل F ، وهو تعميم للحالة التي يكون فيها F حقل الأعداد الحقيقية و A حقل الأعداد المركبة. التضمين القانوني لـ P1 ⁽ F ) في P1 ⁽ A ) هو

${\displaystyle U_{F}[x,1]\mapsto U_{A}[x,1],\quad U_{F}[1,0]\mapsto U_{A}[1,0].}$

السلسلة هي صورة P1 ⁽ F ) تحت تحويل متجانس على P1 ⁽ A ) . تقع أربع نقاط على سلسلة إذا وفقط إذا كانت نسبتها التبادلية في F. استغل كارل فون شتاودت هذه الخاصية في نظريته عن "الضربات الحقيقية" [reeler Zug ] . ^{[ 13 ]}

درس أوغست فرديناند موبيوس تحويلات موبيوس بين كتابه " حساب التفاضل والتكامل الباري مركزي " (1827) وبحثه المنشور عام 1855 بعنوان "نظرية تحويلات الدوائر في التمثيل الهندسي". يُنسب الفضل أيضًا إلى كارل فيلهلم فويرباخ ويوليوس بلوكر في ابتكار استخدام الإحداثيات المتجانسة. كتب إدوارد ستادي عام 1898 وإيلي كارتان عام 1908 مقالات عن الأعداد المركبة الفائقة في الموسوعتين الألمانية والفرنسية للرياضيات على التوالي، حيث استخدما هذه العمليات الحسابية مع التحويلات الكسرية الخطية محاكاةً لتحويلات موبيوس. في عام 1902، ساهم ثيودور فالين بورقة بحثية قصيرة ولكنها موثقة جيدًا استكشف فيها بعض التحويلات الكسرية الخطية لجبر كليفورد . ^{[ 15 ]} أتاحت حلقة الأرقام المزدوجة D لجوزيف غرونوالد فرصة عرض P1 ⁽ D ) في عام 1906. ^{[ 4 ]} وواصل كورادو سيغري (1912) تطوير تلك الحلقة. ^{[ 5 ]}

كان آرثر كونواي ، أحد أوائل من تبنوا النسبية عبر تحويلات الكواترنيون الثنائية ، قد درس تحويل الكواترنيون العكسي المضاعف في دراسته للنسبية عام 1911. ^{[ 16 ]} وفي عام 1947، وصف بي جي غورملي في أيرلندا بعض عناصر هندسة الكواترنيون العكسية. ^{[ 17 ]} وفي عام 1968، نُشر كتاب إسحاق ياغلوم " الأعداد المركبة في الهندسة" باللغة الإنجليزية، مترجمًا من الروسية. استخدم فيه P1 ⁽ D ) لوصف هندسة الخطوط في المستوى الإقليدي، وP1 ⁽ M ) لوصفها في مستوى لوباتشيفسكي. وفي عام 1979، نُشر نص ياغلوم "هندسة بسيطة غير إقليدية" باللغة الإنجليزية. وفي الصفحات من 174 إلى 200، طور هندسة مينكوفسكي ووصف P1 ⁽ M ) بأنه "مستوى مينكوفسكي العكسي". نُشرت النسخة الروسية الأصلية لنص ياغلوم في عام 1969. وبين الطبعتين، نشر والتر بنز (1973) كتابه، ^{[ 7 ]} الذي تضمن الإحداثيات المتجانسة المأخوذة من M. 

• بستان إقليدس

• ميتود سانيغا (2006) الخطوط الإسقاطية فوق الحلقات المحدودة (ملف PDF) من المعهد الفلكي التابع للأكاديمية السلوفاكية للعلوم