صورة (رياضيات)

الموسوعة الحرة
بالنسبة للدالة التي تربط الشخص بطعامه المفضل، فإن صورة غابرييلا هي التفاح. الصورة العكسية للتفاح هي المجموعة {غابرييلا، مريم}. الصورة العكسية للسمك هي المجموعة الفارغة. صورة المجموعة الجزئية {ريتشارد، مريم} هي {أرز، تفاح}. الصورة العكسية للمجموعة {أرز، تفاح} هي {غابرييلا، ريتشارد، مريم}.

في الرياضيات ، صورة الدالة​​و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}⁠ هي مجموعة جميع ⁠و(x){\displaystyle f(x)}بحيث​​x{\displaystyle x}ينتمي إلى نطاق ​​و{\displaystyle f}الصورة من تصميم​​و{\displaystyle f}من عنصر​x{\displaystyle x}من نطاق​و{\displaystyle f}هو​​و(x){\displaystyle f(x)}أي أن الناتج المقابل للمدخلx{\displaystyle x}الصورة من تصميم​و{\displaystyle f}من مجموعة جزئيةS{\displaystyle S}من نطاق​و{\displaystyle f}⁠ هي مجموعة جميع ⁠و(x){\displaystyle f(x)}بحيث​​x{\displaystyle x}موجود في​S{\displaystyle S}أي مجموعة صور عناصرS{\displaystyle S}. وبصورة مكافئة ، هي صورة لتقييد ⁠و{\displaystyle f}إلى​​S{\displaystyle S}⁠ .

يتم تعريف الصور العكسية أو الصور المعكوسة بشكل مشابه، عن طريق تبديل أدوار المجال والمجال المقابل :

الصورة العكسية لعنصر ماy{\displaystyle y}من المجال المقابل لـو{\displaystyle f}⁠ هي مجموعة جميع العناصر ⁠x{\displaystyle x}من نطاق​و{\displaystyle f}بحيث​​و(x)=y{\displaystyle f(x)=y}; يكون فارغًا إذا ⁠y{\displaystyle y}لا ينتمي إلى صورةو{\displaystyle f}. الصورة العكسية لمجموعة جزئيةتي{\displaystyle T}من المجال المقابل لـو{\displaystyle f}⁠ هي مجموعة جميع العناصر ⁠x{\displaystyle x}من نطاق​و{\displaystyle f}بحيث​​و(x)∈تي{\displaystyle f(x)\in T}. الصورة العكسية للمجال المقابل لـو{\displaystyle f}⁠ هو، بحسب تعريف الدالة، مجال ⁠و{\displaystyle f}⁠ .

يمكن تعريف الصور والصور العكسية بشكل مماثل للعلاقات الثنائية العامة . في هذا التعميم، تلعب الصور والصور الأصلية أدوارًا متناظرة: صور وصور العلاقة هي على التوالي الصور الأصلية وصور العلاقة المعاكسة .

تعريف

و{\displaystyle f}هي دالة من المجالX{\displaystyle X}إلى النطاق المشتركY{\displaystyle Y}صورة العنصرx{\displaystyle x}هو عنصرy{\displaystyle y}الصورة العكسية للعنصرy{\displaystyle y}هي المجموعة {x،x′{\displaystyle x,x'}}. الصورة الأصلية للعنصرy′{\displaystyle y'}يكون∅{\displaystyle \varnothing }.
و{\displaystyle f}هي دالة من المجالX{\displaystyle X}إلى النطاق المشتركY{\displaystyle Y}صورة جميع العناصر في المجموعة الفرعيةأ{\displaystyle A}هي مجموعة جزئيةب{\displaystyle B}الصورة الأصلية لـب{\displaystyle B}هي مجموعة جزئيةج{\displaystyle C}
و{\displaystyle f}هي دالة من المجالX{\displaystyle X}إلى النطاق المشتركY{\displaystyle Y}الشكل البيضاوي الأصفر في الداخلY{\displaystyle Y}هي صورةو{\displaystyle f}الصورة الأصلية لـY{\displaystyle Y}هو المجال بأكملهX{\displaystyle X}

تُستخدم كلمة "صورة" بثلاث طرق مترابطة. في هذه التعريفات،و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي دالة من المجموعةX{\displaystyle X}إلى المجموعةY{\displaystyle Y}.

صورة عنصر

لوx{\displaystyle x}هو عضو فيX{\displaystyle X}ثم صورةx{\displaystyle x}تحتو{\displaystyle f}، المشار إليهو(x){\displaystyle f(x)}، هي قيمةو{\displaystyle f}عند تطبيقها علىx{\displaystyle x}.و(x){\displaystyle f(x)}يُعرف أيضًا باسم ناتجو{\displaystyle f}للمناقشةx{\displaystyle x}.

منحy{\displaystyle y}، الوظيفةو{\displaystyle f}يقال إنها تأخذ القيمةy{\displaystyle y}أو خذy{\displaystyle y}كقيمة إذا وُجدت بعضx{\displaystyle x}في مجال الدالة بحيثو(x)=y{\displaystyle f(x)=y}وبالمثل، بالنظر إلى مجموعةS،{\displaystyle S,}و{\displaystyle f}يقال إن له قيمة فيS{\displaystyle S}إذا كان هناك بعضx{\displaystyle x}في مجال الدالة بحيثو(x)∈S{\displaystyle f(x)\in S}. لكن،و{\displaystyle f}يأخذ [جميع] القيم فيS{\displaystyle S}وو{\displaystyle f}تُقدّر قيمتها فيS{\displaystyle S}هذا يعني أنو(x)∈S{\displaystyle f(x)\in S}لكل نقطة​x{\displaystyle x}في مجالو{\displaystyle f}.

صورة لمجموعة فرعية

طوال الوقت، دعو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}أن تكون دالة.الصورة أدناهو{\displaystyle f}من مجموعة جزئيةأ{\displaystyle A}لX{\displaystyle X}هي مجموعة الكلو(أ){\displaystyle f(a)}لأ∈أ{\displaystyle a\in A}ويرمز إليه بـو[أ]{\displaystyle f[A]}أو عن طريقو(أ){\displaystyle f(A)}عندما لا يكون هناك خطر للالتباس. باستخدام تدوين بناء المجموعة ، يمكن كتابة هذا التعريف على النحو التالي: [ 1 ] [ 2 ]و[أ]={و(أ):أ∈أ}{\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}}

وهذا يُحفز وظيفةو[⋅]:P(X)→P(Y){\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}، أينP(S){\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}يشير إلى مجموعة القوى لمجموعةS{\displaystyle S}أي مجموعة جميع المجموعات الجزئية منS{\displaystyle S}انظر قسم  الملاحظات أدناه للمزيد.

صورة دالة

صورة الدالة هي صورة مجالها بالكامل ، والمعروف أيضًا بمدى الدالة . [ 3 ] ينبغي تجنب هذا الاستخدام الأخير لأن كلمة "مدى" تُستخدم أيضًا بشكل شائع للدلالة على المجال المقابل لـو{\displaystyle f}.

التعميم على العلاقات الثنائية

لوR{\displaystyle R}هي علاقة ثنائية عشوائية علىX×Y{\displaystyle X\times Y}ثم المجموعة{y∈Y:xRy بالنسبة للبعض x∈X}{\displaystyle \{y\in Y:xRy{\text{ لبعض }}x\in X\}}يُطلق عليه اسم الصورة، أو المدى، لـR{\displaystyle R}. وبالمثل، المجموعة{x∈X:xRy بالنسبة للبعض y∈Y}{\displaystyle \{x\in X:xRy{\text{ لبعض }}y\in Y\}}يُطلق عليه اسم مجالR{\displaystyle R}.

الصورة المعكوسة

يتركو{\displaystyle f}كن دالة منX{\displaystyle X}لY.{\displaystyle Y.}الصورة العكسية أو الصورة المعكوسة لمجموعةب⊆Y{\displaystyle B\subseteq Y}تحتو،{\displaystyle f,}يرمز إليه بـو-1[ب]،{\displaystyle f^{-1}[B],}هي مجموعة جزئية منX{\displaystyle X}محدد بواسطة و-1[ب]={x∈X:و(x)∈ب}.{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}

تتضمن الرموز الأخرىو-1(ب){\displaystyle f^{-1}(B)}وو-(ب).{\displaystyle f^{-}(B).}[ 4 ] الصورة العكسية لمجموعةأحادية، ويرمز لها بـو-1[{y}]{\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}أو عن طريقو-1(y)،{\displaystyle f^{-1}(y),}ويطلق عليه أيضًا اسم الألياف (أو الألياف)y{\displaystyle y}أو مجموعة المستويات لـy.{\displaystyle y.}مجموعة جميع الألياف فوق عناصرY{\displaystyle Y}هي عائلة من المجموعات المفهرسة بواسطةY.{\displaystyle Y.}

على سبيل المثال، بالنسبة للدالةو(x)=x2،{\displaystyle f(x)=x^{2},}الصورة المعكوسة لـ{4}{\displaystyle \{4\}}سيكون{-2،2}.{\displaystyle \{-2,2\}.}ومرة أخرى، إذا لم يكن هناك خطر للالتباس،و-1[ب]{\displaystyle f^{-1}[B]}يمكن الإشارة إليه بواسطةو-1(ب)،{\displaystyle f^{-1}(B),}وو-1{\displaystyle f^{-1}}ويمكن أيضًا اعتبارها دالة من مجموعة القوى لـY{\displaystyle Y}إلى مجموعة القوى لـX.{\displaystyle X.}الترميزو-1{\displaystyle f^{-1}}لا ينبغي الخلط بين هذا وبين ما يتعلق بالدالة العكسية ، على الرغم من أنه يتطابق مع ما هو معتاد بالنسبة للتقابلات من حيث أن الصورة العكسية لـب{\displaystyle B}تحتو{\displaystyle f}هي صورةب{\displaystyle B}تحتو-1.{\displaystyle f^{-1}.}

رموز الصورة والصورة المعكوسة

لا تميز الرموز التقليدية المستخدمة في القسم السابق الوظيفة الأصليةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}من دالة صورة المجموعاتو:P(X)→P(Y){\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}وبالمثل، لا يميزون بين الدالة العكسية (بافتراض وجودها) ودالة الصورة العكسية (التي تربط بدورها مجموعات القوى). في السياق المناسب، يُبقي هذا الترميز بسيطًا ولا يُسبب عادةً أي لبس. ولكن إذا لزم الأمر، يُمكن [ 5 ] إعطاء أسماء صريحة للصورة والصورة الأصلية كدوال بين مجموعات القوى.

تدوين السهم

  • و→:P(X)→P(Y){\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}معو→(أ)={و(أ)|أ∈أ}{\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}
  • و←:P(Y)→P(X){\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}معو←(ب)={أ∈X|و(أ)∈ب}{\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}

تدوين النجوم

  • و⋆:P(X)→P(Y){\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}بدلاً منو→{\displaystyle f^{\rightarrow }}
  • و⋆:P(Y)→P(X){\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}بدلاً منو←{\displaystyle f^{\leftarrow }}

مصطلحات أخرى

  • تدوين بديل لـو[أ]{\displaystyle f[A]}يُستخدم في المنطق الرياضي ونظرية المجموعاتو"أ.{\displaystyle f\,''A.}[ 6 ] [ 7 ]
  • تشير بعض النصوص إلى صورةو{\displaystyle f}كمدىو،{\displaystyle f,}[ 8 ] ولكن ينبغي تجنب هذا الاستخدام لأن كلمة "range" تُستخدم أيضًا بشكل شائع للدلالة علىالمجال المقابللـو.{\displaystyle f.}

أمثلة

  1. و:{1،2،3}→{أ،ب،ج،د}{\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}محدد بواسطة{1↦أ،2↦أ،3↦ج.{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}
    صورة المجموعة​{2،3}{\displaystyle \{2,3\}}تحتو{\displaystyle f}يكونو({2،3})={أ،ج}.{\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}صورة الوظيفة​و{\displaystyle f}يكون{أ،ج}.{\displaystyle \{a,c\}.}الصورة السابقة لـأ{\displaystyle a}يكونو-1({أ})={1،2}.{\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}الصورة السابقة لـ{أ،ب}{\displaystyle \{a,b\}}وهو أيضًاو-1({أ،ب})={1،2}.{\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}الصورة السابقة لـ{ب،د}{\displaystyle \{b,d\}}تحتو{\displaystyle f}هي المجموعة الفارغة{ }=∅.{\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}
  2. و:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }محدد بواسطةو(x)=x2.{\displaystyle f(x)=x^{2}.}
    صورة​​{-2،3}{\displaystyle \{-2,3\}}تحتو{\displaystyle f}يكونو({-2،3})={4،9}،{\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}وصورة​​و{\displaystyle f}يكونR+{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}(مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة والصفر). الصورة العكسية لـ{4،9}{\displaystyle \{4,9\}}تحتو{\displaystyle f}يكونو-1({4،9})={-3،-2،2،3}.{\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}الصورة الأصلية للمجموعةشمال={ن∈R:ن<0}{\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}تحتو{\displaystyle f}هي المجموعة الفارغة، لأن الأعداد السالبة ليس لها جذور تربيعية في مجموعة الأعداد الحقيقية.
  3. و:R2→R{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }محدد بواسطةو(x،y)=x2+y2.{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}
    الألياف​و-1({أ}){\displaystyle f^{-1}(\{a\})}هي دوائر متحدة المركز حول نقطة الأصل ، ونقطة الأصل نفسها، والمجموعة الفارغة (على التوالي)، اعتمادًا على ما إذا كانتأ>0، أ=0، أو  أ<0{\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ أو }}\ a<0}(على التوالي). (إذاأ≥0،{\displaystyle a\geq 0,}ثم الأليافو-1({أ}){\displaystyle f^{-1}(\{a\})}هي مجموعة الكل(x،y)∈R2{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}تحقيق المعادلةx2+y2=أ،{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}أي الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرهاأ.{\displaystyle {\sqrt {a}}.})
  4. لوم{\displaystyle M}هو متعدد الشعب وπ:تيم→م{\displaystyle \pi :TM\to M}هو الإسقاط الكنسي من حزمة المماستيم{\displaystyle TM}لم،{\displaystyle M,}ثم ألياف​π{\displaystyle \pi }هي المساحات المماسيةتيx(م) ل x∈م.{\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}هذا أيضاً مثال على حزمة ألياف .
  5. مجموعة القسمة هي صورة متماثلة .

ملكيات

أمثلة مضادة مبنية على الأعداد الحقيقيةR،{\displaystyle \mathbb {R} ,}و:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }محدد بواسطةx↦x2،{\displaystyle x\mapsto x^{2},}مما يدل على أن المساواة لا تسري بالضرورة على بعض القوانين:
صورة توضح مجموعات غير متساوية:و(أ∩ب)⊊و(أ)∩و(ب).{\displaystyle f\left(A\cap B\right)\subsetneq f(A)\cap f(B).}المجموعاتأ=[-4،2]{\displaystyle A=[-4,2]}وب=[-2،4]{\displaystyle B=[-2,4]}تظهر باللون الأزرق أسفلها مباشرةx{\displaystyle x}المحور - بينما تقاطعهاأ3=[-2،2]{\displaystyle A_{3}=[-2,2]}يظهر باللون الأخضر .
و(و-1(ب3))⊊ب3.{\displaystyle f\left(f^{-1}\left(B_{3}\right)\right)\subsetneq B_{3}.}
و-1(و(أ4))⊋أ4.{\displaystyle f^{-1}\left(f\left(A_{4}\right)\right)\supsetneq A_{4}.}

عام

لكل وظيفةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}وجميع المجموعات الفرعيةأ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}وب⊆Y،{\displaystyle B\subseteq Y,}تنطبق الخصائص التالية:

صورةالصورة الأصلية
و(X)⊆Y{\displaystyle f(X)\subseteq Y}و-1(Y)=X{\displaystyle f^{-1}(Y)=X}
و(و-1(Y))=و(X){\displaystyle f\left(f^{-1}(Y)\right)=f(X)}و-1(و(X))=X{\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}
و(و-1(ب))⊆ب{\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)\subseteq B}(يساوي إذاب⊆و(X);{\displaystyle B\subseteq f(X);}على سبيل المثال، إذاو{\displaystyle f}(شامل) [ 9 ] [ 10 ]و-1(و(أ))⊇أ{\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}(يساوي إذاو{\displaystyle f}(حقني) [ 9 ] [ 10 ]
و(و-1(ب))=ب∩و(X){\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}(و|أ)-1(ب)=أ∩و-1(ب){\displaystyle \left(f\vert _{A}\right)^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}
و(و-1(و(أ)))=و(أ){\displaystyle f\left(f^{-1}(f(A))\right)=f(A)}و-1(و(و-1(ب)))=و-1(ب){\displaystyle f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(B)\right)\right)=f^{-1}(B)}
و(أ)=∅ إذا وفقط إذا أ=∅{\displaystyle f(A)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A=\varnothing }و-1(ب)=∅ إذا وفقط إذا ب⊆Y∖و(X){\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,B\subseteq Y\setminus f(X)}
و(أ)⊇ب إذا وفقط إذا  يوجد ج⊆أ بحيث و(ج)=ب{\displaystyle f(A)\supseteq B\,{\text{ if and only if }}{\text{ there exists }}C\subseteq A{\text{ such that }}f(C)=B}و-1(ب)⊇أ إذا وفقط إذا و(أ)⊆ب{\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\,{\text{ if and only if }}\,f(A)\subseteq B}
و(أ)⊇و(X∖أ) إذا وفقط إذا و(أ)=و(X){\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\,{\text{ if and only if }}\,f(A)=f(X)}و-1(ب)⊇و-1(Y∖ب) إذا وفقط إذا و-1(ب)=X{\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\,{\text{ if and only if }}\,f^{-1}(B)=X}
و(X∖أ)⊇و(X)∖و(أ){\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}و-1(Y∖ب)=X∖و-1(ب){\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}[ 9 ]
و(أ∪و-1(ب))⊆و(أ)∪ب{\displaystyle f\left(A\cup f^{-1}(B)\right)\subseteq f(A)\cup B}[ 11 ]و-1(و(أ)∪ب)⊇أ∪و-1(ب){\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}[ 11 ]
و(أ∩و-1(ب))=و(أ)∩ب{\displaystyle f\left(A\cap f^{-1}(B)\right)=f(A)\cap B}[ 11 ]و-1(و(أ)∩ب)⊇أ∩و-1(ب){\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}[ 11 ]

أيضًا:

  • و(أ)∩ب=∅ إذا وفقط إذا أ∩و-1(ب)=∅{\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }

وظائف متعددة

للوظائفو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}وز:Y→Z{\displaystyle g:Y\to Z}مع مجموعات فرعيةأ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}وج⊆Z،{\displaystyle C\subseteq Z,}تنطبق الخصائص التالية:

  • (ز∘و)(أ)=ز(و(أ)){\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}
  • (ز∘و)-1(ج)=و-1(ز-1(ج)){\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}

مجموعات فرعية متعددة من المجال أو المجال المشترك

للوظيفةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}والمجموعات الفرعيةأ،ب⊆X{\displaystyle A,B\subseteq X}وS،تي⊆Y،{\displaystyle S,T\subseteq Y,}تنطبق الخصائص التالية:

صورةالصورة الأصلية
أ⊆ب يشير إلى و(أ)⊆و(ب){\displaystyle A\subseteq B\,{\text{ implies }}\,f(A)\subseteq f(B)}S⊆تي يشير إلى و-1(S)⊆و-1(تي){\displaystyle S\subseteq T\,{\text{ implies }}\,f^{-1}(S)\subseteq f^{-1}(T)}
و(أ∪ب)=و(أ)∪و(ب){\displaystyle f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}[ 11 ] [ 12 ]و-1(S∪تي)=و-1(S)∪و-1(تي){\displaystyle f^{-1}(S\cup T)=f^{-1}(S)\cup f^{-1}(T)}
و(أ∩ب)⊆و(أ)∩و(ب){\displaystyle f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)}[ 11 ] [ 12 ] (يساوي إذاو{\displaystyle f}(حقني [ 13 ] )و-1(S∩تي)=و-1(S)∩و-1(تي){\displaystyle f^{-1}(S\cap T)=f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T)}
و(أ∖ب)⊇و(أ)∖و(ب){\displaystyle f(A\setminus B)\supseteq f(A)\setminus f(B)}[ 11 ] (يساوي إذاو{\displaystyle f}(حقني [ 13 ] )و-1(S∖تي)=و-1(S)∖و-1(تي){\displaystyle f^{-1}(S\setminus T)=f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T)}[ 11 ]
و(أ△ب)⊇و(أ)△و(ب){\displaystyle f\left(A\triangle B\right)\supseteq f(A)\triangle f(B)}(يساوي إذاو{\displaystyle f}(حقني)و-1(S△تي)=و-1(S)△و-1(تي){\displaystyle f^{-1}\left(S\triangle T\right)=f^{-1}(S)\triangle f^{-1}(T)}

النتائج المتعلقة بالصور والصور الأصلية بالجبر ( البولياني ) للتقاطع والاتحاد تعمل لأي مجموعة من المجموعات الجزئية ، وليس فقط لأزواج المجموعات الجزئية:

  • و(⋃s∈Sأs)=⋃s∈Sو(أs){\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}
  • و(⋂s∈Sأs)⊆⋂s∈Sو(أs){\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}
  • و-1(⋃s∈Sبs)=⋃s∈Sو-1(بs){\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}
  • و-1(⋂s∈Sبs)=⋂s∈Sو-1(بs){\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}

(هنا،S{\displaystyle S}يمكن أن تكون لانهائية، بل لا نهائية بشكل لا يُحصى .

فيما يتعلق بجبر المجموعات الجزئية الموصوف أعلاه، فإن دالة الصورة العكسية هي تماثل شبكي ، بينما دالة الصورة هي تماثل شبكي شبه فقط (أي أنها لا تحافظ دائمًا على التقاطعات).

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ "5.4: الدوال الشاملة وصور/الصور العكسية للمجموعات" . نصوص الرياضيات الحرة . 2019-11-05 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-08-28 .
  2. ↑ بول ر. هالموس (1968). نظرية المجموعات الساذجة . برينستون: نوستراند.هنا: القسم 8
  3. ↑ وايسشتاين، إريك و. "صورة" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 28 أغسطس 2020 .
  4. ↑ Dolecki & Mynard 2016 ، ص 4-5.
  5. ↑ بليث 2005 ، ص 5.
  6. ↑ جان إي. روبين (1967). نظرية المجموعات للرياضيين . هولدن-داي. ص. 19. ASIN B0006BQH7S .  
  7. ↑ م. راندال هولمز: عدم تجانس العناصر الأولية في النماذج المعتادة لـ NFU ، 29 ديسمبر 2005، على: Semantic Scholar، ص. 2
  8. ↑ هوفمان، كينيث (1971). الجبر الخطي ( الطبعة الثانية). برنتيس هول. ص 388.  
  9. ١ ٢ ٣ انظر هالموس ١٩٦٠ ، ص ٣١ 
  10. ١ ٢ انظر مونكرز ٢٠٠٠ ، ص ١٩ 
  11. 1 2 3 4 5 6 7 8 انظر الصفحة 388 من كتاب لي، جون م. (2010). مقدمة في المشعبات الطوبولوجية، الطبعة الثانية.
  12. 1 2 كيلي 1985 ، ص 85 
  13. ١ ٢ انظر مونكرز ٢٠٠٠ ، ص ٢١ 

مراجع

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Fibre on PlanetMath ، المرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .