التقييد (رياضيات)

وظيفة
x ↦ f  ( x )
تاريخ مفهوم الوظيفة
الأنواع حسب النطاق والنطاق المشترك
س → 𝔹 𝔹 → X 𝔹 ن → س س → ℤ ℤ → س س → ℝ ℝ → س ℝ ن → س س → ℂ ℂ → س ℂ ن → س
الفئات/الخصائص
ثابت هوية خطي متعدد الحدود عاقِل جبري تحليلي سلس مستمر قابلة للقياس حقنة صفة ثنائي الاتجاه
الإنشاءات
تقييد تعبير λ معكوس
التعميمات
العلاقة ( علاقة ثنائية ) مجموعة القيم متعدد القيم جزئي ضمني فضاء أعلى مرتبة الشكلية المُستخدِم
قائمة الوظائف المحددة
ف ت هـ

في الرياضيات ، تقييد الدالة هو دالة جديدة، يتم الإشارة إليها أو الحصول عليها عن طريق اختيار مجال أصغر للدالة الأصلية. ويقال بعد ذلك أن الدالة تمتد${\displaystyle f}$${\displaystyle f\vert _{A}}$${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}},}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{A}.}$

ليكن دالة من مجموعة إلى مجموعة إذا كانت المجموعة مجموعة جزئية من فإن قيد إلى هو الدالة ^[1] المعطاة بواسطة لـ بشكل غير رسمي، قيد إلى هو نفس الدالة مثل ولكن يتم تعريفه فقط على . ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$${\displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}$${\displaystyle x\in A.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle A}$

إذا تم التفكير في الدالة كعلاقة على حاصل الضرب الديكارتي ، فيمكن تمثيل القيد الخاص بـ بواسطة رسمها البياني ، ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle E\times F,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$

حيث تمثل الأزواج أزواجًا مرتبة في الرسم البياني${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle G.}$

يقال أن الوظيفة هي${\displaystyle F}$امتداد دالة أخرىإذاكان متى في مجالفإنهيكون أيضًا في مجالو أي إذاو${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f(x)=F(x).}$${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}$

أالامتداد الخطي (على التوالي،الامتداد المستمر (أو ما شابه ذلك) لدالةهو امتداد لدالةأخرى وهو أيضًاخريطة خطية(أو على التوالي،خريطة مستمرة(أو ما شابه ذلك)). ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

1. تقييد الوظيفة غير الحقنية للمجال هو الحقن${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.}$
2. الدالة العاملية هي تقييد دالة جاما على الأعداد الصحيحة الموجبة، مع إزاحة الوسيطة بمقدار واحد:${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$

• يؤدي تقييد الدالة على نطاقها الكامل إلى إعادة الدالة الأصلية، أي،${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f|_{X}=f.}$
• إن تقييد الدالة مرتين هو نفس تقييدها مرة واحدة، أي إذا كان${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,}$${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.}$
• إن تقييد دالة الهوية على مجموعة إلى مجموعة فرعية هو مجرد خريطة إدراج من إلى ^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
• إن تقييد الدالة المستمرة هو مستمر. ^{[3] [4]}

لكي يكون للدالة معكوس، يجب أن يكون واحدًا لواحد . إذا لم تكن الدالة واحدًا لواحد، فقد يكون من الممكن تعريف معكوس جزئي لـ عن طريق تقييد المجال. على سبيل المثال، الدالة المحددة على كامل لـ ليست واحدًا لواحد لأنه لأي ومع ذلك، تصبح الدالة واحدًا لواحد إذا قيدنا المجال وفي هذه الحالة ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}$$${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$$

(إذا قمنا بدلاً من ذلك بالتقييد على المجال ، فإن العكس هو السالب للجذر التربيعي لـ ) بدلاً من ذلك، ليست هناك حاجة لتقييد المجال إذا سمحنا للعكس بأن يكون دالة متعددة القيم . ${\displaystyle (-\infty ,0],}$${\displaystyle y.}$

في الجبر العلائقي ، التحديد (يُطلق عليه أحيانًا اسم التقييد لتجنب الخلط مع استخدام SQL لـ SELECT) هو عملية أحادية مكتوبة على النحو التالي أو حيث: ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$

• ${\displaystyle a}$وهي أسماء السمات،${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \theta }$هي عملية ثنائية في المجموعة${\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}$
• ${\displaystyle v}$هي قيمة ثابتة
• ${\displaystyle R}$هي علاقة .

يقوم التحديد بتحديد كل تلك المجموعات في التي تحتوي على بين الخاصية و . ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

يقوم التحديد بتحديد كل تلك الثنائيات التي تحتوي على قيمة بين السمة والقيمة${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle v.}$

وبالتالي، يقتصر عامل الاختيار على مجموعة فرعية من قاعدة البيانات بأكملها.

إن مبرهنة اللصق هي نتيجة في الطوبولوجيا تربط بين استمرارية الدالة واستمرارية قيودها على مجموعات فرعية.

ليكن مجموعتان جزئيتان مغلقتان (أو مجموعتان جزئيتان مفتوحتان) من فضاء طوبولوجي بحيث وليكن أيضًا فضاء طوبولوجي. إذا كان متصلاً عندما يقتصر على كل من و، فإنه يكون متصلاً. ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=X\cup Y,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f}$

تسمح هذه النتيجة بأخذ دالتين مستمرتين محددتين على مجموعات فرعية مغلقة (أو مفتوحة) من الفضاء الطوبولوجي وإنشاء واحدة جديدة.

توفر الحزم طريقة لتعميم القيود على الكائنات بالإضافة إلى الوظائف.

في نظرية الحزمة ، يتم تعيين كائن في فئة لكل مجموعة مفتوحة من الفضاء الطوبولوجي ، ويتطلب أن تلبي الكائنات شروطًا معينة. الشرط الأكثر أهمية هو وجود تماثلات تقييدية بين كل زوج من الكائنات المرتبطة بمجموعات مفتوحة متداخلة؛ أي إذا كان هناك تماثل يلبي الخصائص التالية، والتي تم تصميمها لمحاكاة تقييد الدالة: ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle V\subseteq U,}$${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$

• لكل مجموعة مفتوحة من التشكل التقييدي هو التشكل المتطابق على${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$${\displaystyle F(U).}$
• إذا كان لدينا ثلاث مجموعات مفتوحة، فإن المجموعة المركبة${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}$
• (الموقع) إذا كان غطاء مفتوح لمجموعة مفتوحة وإذا كانا بحيث لكل مجموعة من الغطاء، فإن ؛ و${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle s,t\in F(U)}$${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle s=t}$
• (اللصق) إذا كان غطاء مفتوحًا لمجموعة مفتوحة وإذا تم إعطاء قسم لكل منهما بحيث يكون لكل زوج من مجموعات التغطية قيود وتوافق على التداخلات: إذن يوجد قسم بحيث يكون لكل زوج من مجموعات التغطية قيود وتوافق على التداخلات:${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}$${\displaystyle U_{i},U_{j}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}$${\displaystyle s\in F(U)}$${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}$${\displaystyle i.}$

تسمى مجموعة كل هذه الأشياء حزمة . إذا تم استيفاء الخاصيتين الأوليين فقط، فإنها تكون حزمة أولية .

بشكل عام، يمكن تعريف التقييد (أو التقييد النطاقي أو التقييد الأيسر ) لعلاقة ثنائية بين و على أنه علاقة لها مجال مشترك و رسم بياني وبالمثل، يمكن للمرء أن يحدد تقييدًا لليمين أو تقييدًا للنطاق في الواقع، يمكن للمرء أن يحدد تقييدًا للعلاقات -ary ، وكذلك للمجموعات الفرعية المفهومة كعلاقات، مثل تلك الخاصة بالناتج الديكارتي للعلاقات الثنائية. هذه الحالات لا تتناسب مع مخطط الحزم . ^{[ بحاجة لتوضيح ]}${\displaystyle A\triangleleft R}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.}$ ${\displaystyle R\triangleright B.}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E\times F}$

يمكن تعريف تقييد المجال المضاد (أو طرح المجال) لدالة أو علاقة ثنائية (مع مجال ومجال مشترك) بواسطة مجموعة على النحو التالي ؛ فهو يزيل جميع عناصر من المجال ويشار إليه أحيانًا بـ  ⩤  ^[5] وبالمثل، يتم تعريف تقييد النطاق المضاد (أو طرح النطاق ) لدالة أو علاقة ثنائية بواسطة مجموعة على النحو التالي ؛ فهو يزيل جميع عناصر من المجال المشترك ويشار إليه أحيانًا بـ  ⩥ ${\displaystyle R}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (E\setminus A)\triangleleft R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R\triangleright (F\setminus B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle B.}$

• القيد  - شرط مشكلة التحسين الذي يجب أن يفي به الحل
• انكماش التشوه  - رسم مستمر يحافظ على الموضع من الفضاء الطوبولوجي إلى الفضاء الفرعيPages displaying short descriptions of redirect targets
• الملكية المحلية  - الملكية التي تقع في أحياء صغيرة بدرجة كافية أو صغيرة بشكل تعسفي من النقاطPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• الدالة (رياضيات) § التقييد والامتداد
• العلاقة الثنائية § التقييد
• الجبر العلائقي § الاختيار (σ)