دالة ذات قيم صحيحة

في الرياضيات ، الدالة ذات القيم الصحيحة هي دالة تكون قيمها أعدادًا صحيحة . بعبارة أخرى، هي دالة تُسند عددًا صحيحًا لكل عنصر من عناصر مجالها .

تُعدّ دالتا الأرضية والسقف مثالين على الدوال ذات القيم الصحيحة لمتغير حقيقي ، ولكن في فضاءات الأعداد الحقيقية ، وعمومًا في الفضاءات الطوبولوجية (غير المنفصلة) ، لا تُعدّ الدوال ذات القيم الصحيحة مفيدةً بشكلٍ خاص. فأي دالة من هذا النوع في فضاء متصل إما أن تكون غير متصلة أو ثابتة . من ناحية أخرى، في الفضاءات المنفصلة وغيرها من الفضاءات المنفصلة تمامًا، تُعادل أهمية الدوال ذات القيم الحقيقية تقريبًا أهمية الدوال ذات القيم الحقيقية في الفضاءات غير المنفصلة.

أي دالة ذات قيم عددية طبيعية أو غير سالبة هي حالة جزئية من دالة ذات قيم عددية صحيحة.

أمثلة

تشمل الدوال ذات القيم الصحيحة المعرفة على مجال جميع الأعداد الحقيقية دوال الأرضية والسقف، ودالة ديريشليه ، ودالة الإشارة ، ودالة هيفسايد المتدرجة (باستثناء ربما عند 0).

تشمل الدوال ذات القيم الصحيحة المعرفة على مجال الأعداد الحقيقية غير السالبة دالة الجذر التربيعي للأعداد الصحيحة ودالة عد الأعداد الأولية .

على أي مجموعة $X$ ، تُشكّل الدوال ذات القيم الصحيحة حلقةً تحتوي على عمليات الجمع والضرب النقطية ، ^{[ 1 ]} وكذلك جبرًا على حلقة الأعداد الصحيحة $Z.$ وبما أن الأخيرة حلقة مرتبة ، فإن الدوال تُشكّل حلقة مرتبة جزئيًا .

f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x).

تُعد الدوال ذات القيم الصحيحة شائعة في نظرية المخططات . ولها استخدامات مماثلة في نظرية الزمر الهندسية ، حيث تمثل دالة الطول مفهوم المعيار ، ويمثل مقياس الكلمات مفهوم المقياس .

في المنطق الرياضي ، تمثل مفاهيم مثل الدوال التكرارية الأولية والدوال التكرارية من النوع μ دوالًا ذات قيم صحيحة لعدة متغيرات طبيعية، أو بعبارة أخرى، دوال على $N n$ . ترقيم غودل ، المعرف على صيغ جيدة التكوين لبعض اللغات الرسمية ، هو دالة ذات قيم طبيعية.

تعتمد نظرية الحوسبة بشكل أساسي على الأعداد الطبيعية والدوال الطبيعية (أو الصحيحة) عليها.

في برمجة الحاسوب ، تقوم العديد من الدوال بإرجاع قيم من النوع الصحيح نظرًا لبساطة التنفيذ.

↑ دوميت، ديفيد س.؛ فوت، ريتشارد م. (يوليو 2003). الجبر المجرد ( الطبعة الثالثة). جون وايلي وأولاده، ص 225. ISBN 978-0-471-43334-7.