منحنى ليساجو

منحنى ليساجو / ˈlɪsəʒuː / ، المعروف أيضًا باسم شكل ليساجو أو منحنى بوديتش / ˈbaʊdɪtʃ / ، هو رسم بياني لنظام من المعادلات البارامترية .

x=A\sin(at+\delta ),\quad y=B\sin(bt),

والتي تصف تراكب تذبذبين متعامدين في اتجاهي x و y بتردد زاوي مختلف ( a و b).

قام ناثانيال بوديتش بدراسة عائلة المنحنيات الناتجة عام 1815، ثم قام جول أنطوان ليساجو (الذي سُميت باسمه) بدراستها بتفصيل أكبر عام 1857. ^[¹^]^[²^]^[³^] ويمكن اعتبار هذه الحركات نوعًا خاصًا من الحركة التوافقية المعقدة .

يتأثر شكل الشكل بنسبة $a / b .$ فعندما تكون النسبة 1، أي عندما تتطابق الترددات a=b، يكون الشكل قطعًا $ناقصًا$ ، مع وجود حالات خاصة تشمل الدوائر ( $A = B$ ، $δ = π / 2$ ) والخطوط (يجب أن يكون فرق الطور أي مضاعف لـ $π$ $/ 2$ ) . $\pi$ الراديان : $\delta =n\pi \ (n\in \mathbb {N} )$ سيؤدي تغيير طفيف في أحد الترددات إلى عدم تزامن تذبذب المحور السيني بعد دورة واحدة مع حركة المحور الصادي، وبالتالي لن يكتمل شكل القطع الناقص، وسيرسم منحنى مجاورًا له قليلًا خلال الدورة التالية، مما يُظهر ترنحًا للقطع الناقص. يكتمل الشكل إذا كانت الترددات نسبًا عددية صحيحة ، $أي$ $أن النسبة a$ $/$ $b$ $عدد$ نسبي .

شكل ليساجو بسيط آخر هو القطع المكافئ ( $b$ $/$ $a$ $=$ $2$ ، $δ$ $=$ $π$ $/$ $4$ $) . ومرة أخرى$ $، سيؤدي انزياح طفيف بمقدار تردد واحد عن النسبة 2 إلى عدم انغلاق المنحنى$ $،$ بل إلى تكوين حلقات متعددة متتابعة، ولا ينغلق إلا إذا كانت النسبة نسبية كما في السابق. وقد يتشكل نمط كثيف معقد، انظر أدناه.

غالباً ما يوحي الشكل المرئي لمثل هذه المنحنيات بعقدة ثلاثية الأبعاد ، وبالفعل فإن العديد من أنواع العقد، بما في ذلك تلك المعروفة باسم عقد ليساجو ، تظهر على المستوى كأشكال ليساجو.

بصريًا، تحدد النسبة أ/ب عدد "فصوص" الشكل. على سبيل المثال، تنتج نسبة 3/1 أو 1/3 $شكلًا$ بثلاثة $فصوص$ $رئيسية$ $($ انظر $الصورة$ ) . وبالمثل ، تنتج نسبة 5/4 شكلًا بخمسة فصوص أفقية وأربعة فصوص رأسية . تُنتج النسب النسبية أشكالًا مغلقة ( $متصلة) أو "ثابتة"، بينما تُنتج النسب غير النسبية أشكالًا تبدو وكأنها تدور. تحدد النسبة أ/ب$ نسبة العرض إلى الارتفاع للمنحنى. على سبيل المثال، تنتج نسبة 2/1 شكلًا عرضه ضعف $ارتفاعه$ . $أخيرًا$ $،$ $تحدد$ قيمة δ زاوية " الدوران " $الظاهرية$ للشكل، كما لو كان منحنى ثلاثي الأبعاد. على سبيل المثال، ينتج عن $δ$ $= 0 مركبتان$ $x$ و $y$ متطابقتان تمامًا في الطور، لذا يظهر الشكل الناتج كشكل ثلاثي الأبعاد عند النظر إليه من الأمام مباشرةً (0°). في المقابل، ينتج عن أي قيمة غير صفرية $لـ δ$ شكل يبدو وكأنه مُدار، إما دورانًا يمينًا أو يسارًا أو لأعلى ولأسفل (بحسب $النسبة$ $a$ $/$ $b$ $)$ .

أشكال ليساجو حيث $a = 1$ و $b = N$ ( حيث $N$ عدد طبيعي ) و

\delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}

هي كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول من الدرجة $N.$ يتم استغلال هذه الخاصية لإنتاج مجموعة من النقاط، تسمى نقاط بادوا ، والتي يمكن عندها أخذ عينات من دالة لحساب إما استيفاء ثنائي المتغيرات أو تربيع الدالة على المجال $[-1,1] \times [-1,1]$ .

إن العلاقة بين بعض منحنيات ليساجو ومتعددات حدود تشيبيشيف تصبح أوضح للفهم إذا تم التعبير عن منحنى ليساجو الذي يولد كل منها باستخدام دوال جيب التمام بدلاً من دوال الجيب.

x=\cos(t),\quad y=\cos(Nt)

أمثلة

$رسم متحرك يوضح تكيف$ $المنحنى مع زيادة$ النسبة $a$ $/$ $b$ من 0 إلى 1

يُظهر الرسم المتحرك تكيف المنحنى مع زيادة مستمرة $في نسبة a /$ $b$ $من$ $0$ $إلى$ 1 بخطوات قدرها 0.01 ( $δ$ $= 0$ ).

فيما يلي أمثلة على أشكال ليساجو مع عدد طبيعي فردي $a$ ، وعدد طبيعي زوجي $b$ ، و $| a - b | = 1$ .

$δ = ⁠ π / 2 ⁠$ , $أ = 1$ , $ب = 2$ (1:2)
$δ = ⁠ π / 2 ⁠$ , $أ = 3$ , $ب = 2$ (3:2)
$δ = ⁠ π / 2 ⁠$ , $أ = 3$ , $ب = 4$ (3:4)
$δ = ⁠ π / 2 ⁠$ , $أ = 5$ , $ب = 4$ (5:4)
أشكال ليساجو: علاقات ترددية وفروق طورية متنوعة. تم حساب منحنيات ليساجو ذات المظهر الجمالي الجذاب، والتي تحتوي على مجموع محدود لأول 100 و1000 و5000 تردد عدد أولي.

جيل

قبل ظهور المعدات الإلكترونية الحديثة، كان من الممكن توليد منحنيات ليساجو ميكانيكياً عن طريق جهاز الهارمونوغراف .

الصوتيات

أنتج جون تيندال منحنيات ليساجو عن طريق تثبيت مرآة صغيرة على شوكة رنانة ، وتسليط ضوء ساطع عليها. نتج عن ذلك نقطة مضيئة تتذبذب عموديًا. ثم استخدم مرآة دوارة لعكس النقطة، مما أنتج منحنى ممتدًا. استخدم هذه التقنية كجهاز راسم إشارة تناظري لمراقبة أنماط تذبذب الشوكة الرنانة وقياسها كميًا. لاحقًا، أنتج هيلمهولتز منحنى ليساجو على النحو التالي: صنع "مجهرًا تذبذبيًا" بتثبيت إحدى عدسات المجهر على شوكة رنانة، بحيث تتذبذب في اتجاه واحد. ثم ثبّت نقطة طلاء مضيئة على وتر كمان. بعد ذلك، نظر إلى النقطة من خلال المجهر بينما كان الوتر يهتز في الاتجاه الآخر، فرأى منحنى ليساجو. يُطلق على هذا اسم "حركة هيلمهولتز". ^{[ 4 ]}

التطبيق العملي

يمكن أيضًا توليد منحنيات ليساجو باستخدام راسم الإشارة (كما هو موضح). ويمكن استخدام دائرة الأخطبوط لعرض صور الموجات على راسم الإشارة. يتم تطبيق مدخلين جيبيين بإزاحة طورية على راسم الإشارة في وضع XY، ويتم عرض علاقة الطور بين الإشارتين على شكل منحنى ليساجو.

في مجال الصوت الاحترافي، تُستخدم هذه الطريقة لتحليل العلاقة الطورية بين القناتين اليمنى واليسرى لإشارة صوتية ستيريو في الوقت الفعلي. وفي وحدات مزج الصوت الأكبر والأكثر تطوراً، قد يكون جهاز راسم الإشارة مدمجاً لهذا الغرض.

على جهاز راسم الإشارة، نفترض أن $x$ هو CH1 و $y$ هو CH2، $و A$ هي سعة CH1 و $B$ هي سعة CH2، و $a$ هو تردد CH1 و $b$ هو تردد CH2، لذا $فإن$ $a$ $/$ $b$ $هي$ نسبة ترددات القناتين، و $δ$ هو إزاحة الطور لـ CH1.

يُعدّ استخدام منحنى ليساجو ذي المعاملين $a = 1$ و $b = 2$ تطبيقًا ميكانيكيًا بحتًا في آلية تشغيل مصابيح الشعاع المتذبذب من نوع " مارس لايت" ، والتي كانت شائعة الاستخدام في خطوط السكك الحديدية في منتصف القرن العشرين. وفي بعض الإصدارات، يرسم الشعاع نمطًا غير متماثل على شكل الرقم 8 على جانبه.

تطبيق على حالة a = b

في هذا الشكل، تكون ترددات وسعات الإشارتين المرسومتين متطابقة، لكن فرق الطور بينهما يخلق شكل القطع الناقص .

عندما تكون إشارة الدخل لنظام خطي ثابت مع الزمن (LTI) جيبية، تكون إشارة الخرج جيبية بنفس التردد، ولكن قد تختلف في السعة وبعض الإزاحة الطورية . باستخدام راسم إشارة قادر على رسم إشارة مقابل أخرى (بدلاً من رسم إشارة مقابل الزمن) لرسم إشارة خرج نظام LTI مقابل إشارة دخله، ينتج شكل بيضاوي يمثل شكل ليساجو في الحالة الخاصة $a = b$ .

يوضح الشكل أدناه كيفية تغير شكل ليساجو مع تغيرات الطور المختلفة في الحالة الخاصة التي تتساوى فيها سعة الخرج مع سعة الدخل. يتم تمثيل تغيرات الطور كقيم سالبة ^{[ b ]} بحيث يمكن ربطها بأطوال تأخير موجبة (أي فيزيائية) (حيث ${\textstyle {\text{طول التأخير}}=-{\frac {c}{f}}\cdot {\frac {\text{إزاحة الطور}}{360^{\circ}}}}$ ، ${\textstyle c}$ هي سرعة الضوء ، و ${\textstyle f}$ يمثل تردد الإشارة الجيبية المدخلة، وهو نفس تردد الرمزين a و b اللذين يحددان منحنيات ليساجو. تشير الأسهم إلى اتجاه دوران شكل ليساجو.

إذا كان فرق الطور 0° أو -180°، فإن منحنى ليساجو الناتج يكون خطًا مستقيمًا، وميله يُعرَّف بأنه نسبة سعة الخرج إلى سعة الدخل. ^{[ ج ]} إذا كان فرق الطور -90° أو -270° وكانت سعة الخرج مساوية لسعة الدخل، فإن منحنى ليساجو الناتج يكون دائرة كاملة.

في مجال الهندسة

يُستخدم منحنى ليساجو في الاختبارات التجريبية لتحديد ما إذا كان يمكن تصنيف جهاز ما على أنه مقاوم ذاكرة . كما يُستخدم لمقارنة إشارتين كهربائيتين مختلفتين: إشارة مرجعية معروفة وإشارة قيد الاختبار. ^[⁵^]^[⁶^]

في الثقافة الشعبية

في الأفلام السينمائية

رسوم متحركة من نوع ليساجو

كانت أشكال ليساجو تُعرض أحيانًا على أجهزة راسم الإشارة بهدف محاكاة المعدات عالية التقنية في برامج وأفلام الخيال العلمي في الستينيات والسبعينيات. ^{[ 7 ]}
تستند مقدمة فيلم "فيرتيجو" للمخرج ألفريد هيتشكوك عام 1958، من تصميم جون ويتني، إلى أشكال ليساجو. ^[⁸^]

شعارات الشركات

تُستخدم أشكال ليساجو أحيانًا في التصميم الجرافيكي كشعارات . ومن أمثلة الاستخدام غير البسيط لمنحنيات ليساجو في الشعارات (أي عندما يكون $a \neq 0$ و $b \neq 0$ و $a \neq b ):$

هيئة الإذاعة الأسترالية ( $a = 1$ , $b = 3$ , $δ = ⁠ π / 2 ⁠$ ) ^{[ 9 ]}
مختبر لينكولن في $معهد$ ماساتشوستس للتكنولوجيا ( $a = 3$ ، $b$ ⁼ $4$ ، $δ = π / 2)$ ^[¹⁰ ]
نادي الهواء الطلق Else في برلين ( $a = 3$ , $b = 2$ , $δ = ⁠ π / 2 ⁠$ )
جامعة الاتصالات الإلكترونية ، اليابان ( $a = 5$ ، $b = 6$ ، $δ = ⁠ π / 2 ⁠$ ).
يستخدم تطبيق بث الفيديو " أفلام ديزني في أي مكان " نسخة منمقة من المنحنى
$إن$ إعادة تسمية فيسبوك إلى منصات ميتا هي أيضًا منحنى ليساجو، مما يعكس شكل الحرف M الكبير ( $a = 1$ ، $b = -2$ ، $δ = π / 20)$ .
شركة Home State Brewing تستخدم كشعار لها وتدل على لحظة واحدة وكذلك مرور الوقت - Ichi-go ichi-e ^{[ 11 ]}

في الفن الحديث

رسم الفنان الدادائي ماكس إرنست أشكال ليساجو مباشرة عن طريق تأرجح دلو مثقوب من الطلاء فوق قماش. ^[¹²^]

في مجال تعليم الموسيقى

استُخدمت منحنيات ليساجو سابقًا لتمثيل الفواصل الموسيقية بيانيًا باستخدام جهاز الهارمونوغراف ^{[ 13 ]} ، وهو جهاز يتكون من بندولات تتأرجح بنسب تردد مختلفة. ولأن أنظمة الضبط المختلفة تستخدم نسب تردد مختلفة لتحديد الفواصل، يمكن مقارنتها باستخدام منحنيات ليساجو لملاحظة الاختلافات بينها ^{[ 14 ]} . لذا، تُستخدم منحنيات ليساجو في تعليم الموسيقى لتمثيل الاختلافات بين الفواصل الموسيقية وبين أنظمة الضبط بيانيًا.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ السبب في عدم كونها منحنى ليساجو دقيقًا هو أن الاحتكاك يُخمد حركة البندول
↑ على سبيل المثال، بدلاً من تمثيل إزاحة الطور بـ +90°، يتم تمثيلها بـ -270°
↑ بافتراض أن المحور الرأسي للشاشة له نفس مقياس المحور الأفقي

مراجع

↑ لورانس، جيه دي (1972). فهرس المنحنيات المستوية الخاصة . منشورات دوفر. الصفحات 178-179 و181-183، 1972. ISBN 978-0486602882.
↑ كندي، هـ.؛ روليت، أ.ب. (1989). النماذج الرياضية . دار نشر تاركوين. ص 242-244 . ISBN 978-0906212202.
↑ ويلز، د. (1991). قاموس بنغوين للهندسة الغريبة والمثيرة للاهتمام . بنغوين. ص 142. ISBN 978-0140118131.
↑ روسينغ، توماس (2007)، "تاريخ موجز لعلم الصوتيات" ، دليل سبرينغر لعلم الصوتيات ، سبرينغر، نيويورك، نيويورك، ص 9-24 ، Bibcode : 2007shac.book....9R ، doi : 10.1007/978-0-387-30425-0_2 ، ISBN 978-0-387-30425-0
↑ بالمر، كينيث؛ ريدجواي، تيم؛ الراوي، عمر؛ وآخرون . (سبتمبر 2011). "أشكال ليساجو: أداة هندسية لتحليل الأسباب الجذرية للحالات الفردية - مفهوم أولي" . مجلة التكنولوجيا خارج الجسم . 43 (3): 153-156 . doi : 10.1051/ject/201143153 . ISSN 0022-1058 . PMC 4679975. PMID 22164454 .
↑ "منحنيات ليساجو" . datagenetics.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 يوليو 2020 .
↑ "طريق طويل من أشكال ليساجو" . مجلة نيو ساينتست . ريد بزنس إنفورميشن: 77. 24 سبتمبر 1987. ISSN 0262-4079 .
↑ ماكورماك، توم (9 مايو 2013). "هل أدخل فيلم 'فيرتيجو' تقنية الرسومات الحاسوبية إلى السينما؟" . rhizome.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 ديسمبر 2020 .
↑ "أبجديات شخصيات ليساجو" . ذا هولوديك . هيئة الإذاعة الأسترالية. 1998.
↑ شعار مختبر لينكولن . مختبر لينكولن . معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . 2008. تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 أبريل 2008 .
↑ "نبذة عنا" . شركة هوم ستيت بروينغ . فلوريدا. 2024.
↑ كينغ، م. (2002). "من ماكس إرنست إلى إرنست ماخ: نظرية المعرفة في الفن والعلم" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 سبتمبر 2015 .
↑ ويتّي، إتش. إيروين (1893). الهارمونوغراف . نورويتش، يارموث، ولندن: مطابع جارولد وأولاده.
↑ سييرا، كاليفورنيا (2023). "التكرار في منحنيات ليساجو والتمثيل المرئي لأنظمة الضبط" . أسس العلوم . 30 (2): 271-279 . doi : 10.1007/s10699-023-09930-z .

روابط خارجية

منحنى ليساجو في عالم الرياضيات

عروض توضيحية تفاعلية

تطبيقات جافا ثلاثية الأبعاد تصور عملية إنشاء منحنيات ليساجو في جهاز راسم الإشارة:
- دليل تعليمي من NHMFL
- برنامج الفيزياء من تأليف Chiu-king Ng
محاكاة تفصيلية لأشكال ليساجو، رسم أشكال ليساجو باستخدام أشرطة تمرير تفاعلية في جافا سكريبت
منحنيات ليساجو: محاكاة تفاعلية للتمثيلات الرسومية للفواصل الموسيقية والأوتار المهتزة
مولد منحنى ليساجو التفاعلي – تطبيق جافا سكريبت باستخدام JSXGraph
شخصيات ليساجو المتحركة
عرض توضيحي لأشكال ليساجو باستخدام أشرطة تمرير تفاعلية من Wolfram Mathematica

[1] السبب في عدم كونها منحنى ليساجو دقيقًا هو أن الاحتكاك يُخمد حركة البندول

[6] على سبيل المثال، بدلاً من تمثيل إزاحة الطور بـ +90°، يتم تمثيلها بـ -270°

[7] بافتراض أن المحور الرأسي للشاشة له نفس مقياس المحور الأفقي

[2] لورانس، جيه دي (1972). فهرس المنحنيات المستوية الخاصة . منشورات دوفر. الصفحات 178-179 و181-183، 1972. ISBN 978-0486602882.

[3] كندي، هـ.؛ روليت، أ.ب. (1989). النماذج الرياضية . دار نشر تاركوين. ص 242-244 . ISBN 978-0906212202.

[4] ويلز، د. (1991). قاموس بنغوين للهندسة الغريبة والمثيرة للاهتمام . بنغوين. ص 142. ISBN 978-0140118131.

[5] روسينغ، توماس (2007)، "تاريخ موجز لعلم الصوتيات" ، دليل سبرينغر لعلم الصوتيات ، سبرينغر، نيويورك، نيويورك، ص 9-24 ، Bibcode : 2007shac.book....9R ، doi : 10.1007/978-0-387-30425-0_2 ، ISBN 978-0-387-30425-0

[8] بالمر، كينيث؛ ريدجواي، تيم؛ الراوي، عمر؛ وآخرون . (سبتمبر 2011). "أشكال ليساجو: أداة هندسية لتحليل الأسباب الجذرية للحالات الفردية - مفهوم أولي" . مجلة التكنولوجيا خارج الجسم . 43 (3): 153-156 . doi : 10.1051/ject/201143153 . ISSN 0022-1058 . PMC 4679975. PMID 22164454 .

[9] "منحنيات ليساجو" . datagenetics.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 يوليو 2020 .

[Information1987-10] "طريق طويل من أشكال ليساجو" . مجلة نيو ساينتست . ريد بزنس إنفورميشن: 77. 24 سبتمبر 1987. ISSN 0262-4079 .

[11] ماكورماك، توم (9 مايو 2013). "هل أدخل فيلم 'فيرتيجو' تقنية الرسومات الحاسوبية إلى السينما؟" . rhizome.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 ديسمبر 2020 .

[12] "أبجديات شخصيات ليساجو" . ذا هولوديك . هيئة الإذاعة الأسترالية. 1998.

[13] شعار مختبر لينكولن . مختبر لينكولن . معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . 2008. تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 أبريل 2008 .

[14] "نبذة عنا" . شركة هوم ستيت بروينغ . فلوريدا. 2024.

[15] كينغ، م. (2002). "من ماكس إرنست إلى إرنست ماخ: نظرية المعرفة في الفن والعلم" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 سبتمبر 2015 .

[16] ويتّي، إتش. إيروين (1893). الهارمونوغراف . نورويتش، يارموث، ولندن: مطابع جارولد وأولاده.

[17] سييرا، كاليفورنيا (2023). "التكرار في منحنيات ليساجو والتمثيل المرئي لأنظمة الضبط" . أسس العلوم . 30 (2): 271-279 . doi : 10.1007/s10699-023-09930-z .

[ أ ]

[

[

[

[ 4 ]

[ b ]

[ ج ]

[

[

[ 7 ]

[

[ 9 ]

=

[ 11 ]

[

[ 13 ]

[ 14 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗