تدوين لايبنتز

في حساب التفاضل والتكامل ، يستخدم ترميز لايبنتز، الذي سمي تكريماً للفيلسوف والرياضي الألماني غوتفريد فيلهلم لايبنتز من القرن السابع عشر ، الرمزين dx و dy لتمثيل الزيادات المتناهية الصغر (أو المتناهية في الصغر ) لـ x و y ، على التوالي، تماماً كما يمثل Δx و Δy الزيادات المحدودة لـ x و y ، على التوالي. ^{[ 1 ]}

لنفترض أن y دالة لمتغير x ، أو y = f ( x ) . في هذه الحالة، فإن مشتقة y بالنسبة إلى x ، والتي أصبحت تُعرف لاحقًا باسم النهاية، هي

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}$

كان، وفقًا لليبنيز، ناتج قسمة زيادة متناهية الصغر في y على زيادة متناهية الصغر في x ، أو

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x),}$

حيث يمثل الطرف الأيمن ترميز جوزيف لويس لاغرانج لمشتقة الدالة f عند x . وتُسمى الزيادات المتناهية الصغر بالتفاضلات . ويرتبط بهذا التكامل الذي تُجمع فيه الزيادات المتناهية الصغر (على سبيل المثال، لحساب الأطوال والمساحات والأحجام كمجموع أجزاء صغيرة)، والذي قدم لايبنتز له أيضًا ترميزًا وثيق الصلة يتضمن نفس التفاضلات، وهو ترميز أثبتت كفاءته أهميته الحاسمة في تطور الرياضيات الأوروبية القارية.

استُبدل مفهوم لايبنتز عن المتناهيات في الصغر، الذي طالما اعتُبر غير دقيق بما يكفي لاستخدامه كأساس للتفاضل والتكامل، بمفاهيم دقيقة طوّرها فايرشتراس وآخرون في القرن التاسع عشر. ونتيجةً لذلك، أُعيد تفسير رمز لايبنتز للقسمة ليمثل نهاية التعريف الحديث. مع ذلك، في كثير من الحالات، بدا الرمز وكأنه يعمل كما لو كان قسمة حقيقية، وحافظت فائدته على شعبيته حتى في ظل وجود العديد من الرموز المنافسة. طُوّرت عدة صيغ رياضية مختلفة في القرن العشرين تُضفي معنى دقيقًا على مفاهيم المتناهيات في الصغر والإزاحات المتناهية في الصغر، بما في ذلك التحليل غير القياسي ، والفضاء المماسي ، ورمز O ، وغيرها.

يمكن دمج مشتقات وتكاملات حساب التفاضل والتكامل في النظرية الحديثة للأشكال التفاضلية ، حيث تكون المشتقة في جوهرها نسبة بين تفاضلين، ويتصرف التكامل بالمثل وفقًا لترميز لايبنتز. مع ذلك، يتطلب هذا تعريف المشتقة والتكامل أولًا بوسائل أخرى، وبالتالي فهو يعكس اتساق ترميز لايبنتز وفعاليته الحسابية بدلًا من منحه أساسًا جديدًا.

طُرح منهج نيوتن-لايبنيتز في حساب التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر. وبينما عمل نيوتن على التدفقات والتدفقات المتساوية، بنى لايبنيتز منهجه على تعميمات المجاميع والفروق. ^{[ 2 ]} وقد عدّل لايبنيتز رمز التكامل.${\displaystyle \textstyle \int }$من الحرف الأول الممدود "s" من الكلمة اللاتينية " umma" ("sum") كما كانت تُكتب آنذاك. وباعتباره الفروق عملية عكسية للجمع، ^{[ 3 ]} استخدم الرمز "d" ، وهو الحرف الأول من الكلمة اللاتينية " differentia" ، للدلالة على هذه العملية العكسية. ^{[ 2 ]} كان لايبنتز دقيقًا جدًا في استخدام الرموز، إذ أمضى سنوات في التجربة والتعديل والرفض والتواصل مع علماء رياضيات آخرين بشأنها. ^{[ 4 ]} تراوحت الرموز التي استخدمها لتفاضل y تباعًا من ω و l و y / d حتى استقر أخيرًا على dy . ^{[ 5 ]} ظهرت علامة التكامل الخاصة به علنًا لأول مرة في مقال " De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum " ("حول هندسة وتحليل خفيين للأجزاء غير القابلة للتجزئة واللانهائية")، المنشور في مجلة Acta Eruditorum في يونيو 1686، ^{[ 6 ] [ 7 ]} ولكنه كان يستخدمها في مخطوطات خاصة منذ عام 1675 على الأقل. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} استخدم لايبنتز الرمز dx لأول مرة في مقال " Nova Methodus pro Maximis et Minimis " المنشور أيضًا في مجلة Acta Eruditorum عام 1684. ^{[ 11 ]} في حين أن الرمز ⁠ dx / dy ⁠ يظهر في مخطوطات خاصة من عام 1675، ^{[ 12 ] [ 13 ]} فإنه لا يظهر بهذا الشكل في أي من الأعمال المنشورة المذكورة أعلاه. ومع ذلك، استخدم لايبنتز أشكالاً مثل dy ad dx و dy : dx في المطبوعات. ^{[ 11 ]} 

في نهاية القرن التاسع عشر، توقف أتباع فايرشتراس عن أخذ رموز لايبنتز للمشتقات والتكاملات حرفيًا. أي أن علماء الرياضيات شعروا أن مفهوم المتناهيات في الصغر يتضمن تناقضات منطقية في تطوره. وقد وجد عدد من علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر (فايرشتراس وغيره) طرقًا منطقية دقيقة لمعالجة المشتقات والتكاملات دون استخدام المتناهيات في الصغر باستخدام النهايات كما هو موضح أعلاه، بينما استغل كوشي كلًا من المتناهيات في الصغر والنهايات (انظر دروس التحليل ). ومع ذلك، لا تزال رموز لايبنتز شائعة الاستخدام. على الرغم من أنه ليس من الضروري أخذ هذه الرموز حرفيًا، إلا أنها عادةً ما تكون أبسط من البدائل عند استخدام تقنية فصل المتغيرات في حل المعادلات التفاضلية. في التطبيقات الفيزيائية، يمكن للمرء، على سبيل المثال، اعتبار f ( x ) مقاسة بالأمتار في الثانية، وdx بالثواني ، بحيث تكون f ( x ) dx بالمتر ، وكذلك قيمة تكاملها المحدد. وبهذه الطريقة، تتناغم رموز لايبنتز مع التحليل البُعدي .

لنفترض أن المتغير التابع y يمثل دالة f لمتغير مستقل x ، أي

${\displaystyle y=f(x).}$

عندئذٍ ، يمكن كتابة مشتقة الدالة f ، وفقًا لترميز لايبنتز للتفاضل ، على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,{\text{ أو }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ أو }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.}$

يُعدّ تعبير لايبنتز، الذي يُكتب أحيانًا dy / dx ، أحد الرموز العديدة المستخدمة للمشتقات والدوال المشتقة. ومن البدائل الشائعة رمز لاغرانج.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).}$

ثمة بديل آخر وهو ترميز نيوتن ، الذي يُستخدم غالبًا للمشتقات بالنسبة للزمن (مثل السرعة )، والذي يتطلب وضع نقطة فوق المتغير التابع (في هذه الحالة، x ):

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.}$

يُعدّ ترميز لاغرانج " الأولي " مفيدًا بشكل خاص في مناقشة الدوال المشتقة، ويتميز بكونه طريقة طبيعية للدلالة على قيمة الدالة المشتقة عند قيمة محددة. مع ذلك، يتمتع ترميز لايبنتز بمزايا أخرى حافظت على شعبيته عبر السنين.

في تفسيرها الحديث، لا ينبغي قراءة التعبير ⁠ dy / dx ⁠ على أنه قسمة كميتين dx و dy (كما تصوره لايبنتز)؛ بل ينبغي النظر إلى التعبير بأكمله على أنه رمز واحد يمثل اختصارًا لـ

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

(لاحظ الفرق بين Δ و d ، حيث يشير Δ إلى فرق محدود).

يمكن أيضًا اعتبار هذا التعبير تطبيقًا للمؤثر التفاضلي d / dx ( رمز واحد أيضًا) على y ، باعتباره دالةً لـ x . يُكتب هذا المؤثر D في تدوين أويلر . لم يستخدم لايبنتز هذا الشكل، لكن استخدامه للرمز d يتوافق إلى حد كبير مع هذا المفهوم الحديث.

على الرغم من أن الترميز لا يتضمن عادةً أي قسمة (انظر التحليل غير القياسي )، إلا أن الترميز الشبيه بالقسمة مفيد، إذ في كثير من الحالات، يتصرف عامل الاشتقاق كقسمة، مما يُسهّل الحصول على بعض نتائج المشتقات وتذكرها. ^{[ 14 ]} ويعود استمرار هذا الترميز إلى كونه يُلامس جوهر التطبيقات الهندسية والميكانيكية للتفاضل والتكامل. ^{[ 15 ]}

قدم لايبنتز رمز التكامل للتكامل ^{[ 19 ]} (أو "التفاضل العكسي") المستخدم بشكل شائع اليوم:${\displaystyle \displaystyle \int }$

تم تقديم هذا الترميز في عام 1675 في كتاباته الخاصة؛ ^{[ 20 ] [ 21 ]} وقد ظهر لأول مرة علنًا في مقال " De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum " (حول الهندسة الخفية وتحليل غير القابل للتجزئة واللانهائيات)، الذي نُشر في Acta Eruditorum في يونيو 1686. ^{[ 22 ] [ 23 ]} استند الرمز إلى الحرف ſ ( s الطويل ) وتم اختياره لأن لايبنتز اعتقد أن التكامل هو مجموع لانهائي من الحدود المتناهية الصغر .

أحد أسباب استمرار استخدام رموز لايبنتز في حساب التفاضل والتكامل لفترة طويلة هو أنها تُسهّل استذكار الصيغ المناسبة المستخدمة في التفاضل والتكامل. على سبيل المثال، قاعدة السلسلة - لنفترض أن الدالة g قابلة للتفاضل عند x وأن y = f ( u ) قابلة للتفاضل عند u = g ( x ) . عندئذٍ، تكون الدالة المركبة y = f ( g ( x )) قابلة للتفاضل عند x ، ويمكن التعبير عن مشتقتها باستخدام رموز لايبنتز كما يلي: ^{[ 24 ]}

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

يمكن تعميم ذلك للتعامل مع تركيبات عدة دوال محددة بشكل مناسب ومرتبطة ببعضها البعض، u1، u2 _، ... _، un ، _ويمكن التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.}$

كذلك، يمكن التعبير عن صيغة التكامل بالتعويض بواسطة ^{[ 25 ]}

${\displaystyle \int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,}$

حيث يُنظر إلى x على أنه دالة لمتغير جديد u ويتم التعبير عن الدالة y على اليسار بدلالة x بينما يتم التعبير عنها على اليمين بدلالة u .

إذا كانت y = f ( x ) حيث f دالة قابلة للتفاضل وقابلة للعكس ، فإن مشتقة الدالة العكسية، إن وجدت، يمكن إعطاؤها بواسطة ^{[ 26 ].}

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},}$

حيث تمت إضافة الأقواس للتأكيد على حقيقة أن المشتقة ليست كسرًا.

مع ذلك، عند حل المعادلات التفاضلية، يسهل اعتبار dy و dx قابلين للفصل. أحد أبسط أنواع المعادلات التفاضلية هو ^{[ 27 ]}

${\displaystyle M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,}$

حيث M و N دالتان متصلتان. يمكن حل هذه المعادلة (ضمنياً) من خلال فحص المعادلة في صورتها التفاضلية .

${\displaystyle M(x)dx+N(y)dy=0}$

والتكامل للحصول على

${\displaystyle \int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.}$

إن إعادة كتابة المعادلة التفاضلية، عندما يكون ذلك ممكناً، في هذا الشكل وتطبيق الحجة المذكورة أعلاه يُعرف باسم تقنية فصل المتغيرات لحل مثل هذه المعادلات.

في كل من هذه الحالات، يبدو أن رمز لايبنتز للمشتقة يعمل مثل الكسر، على الرغم من أنه في تفسيره الحديث، ليس كذلك.

في ستينيات القرن العشرين، وبالاستناد إلى أعمال سابقة لإدوين هيويت وجيرزي لوس ، طوّر أبراهام روبنسون تفسيرات رياضية لمتناهيات الصغر عند لايبنتز، مقبولة وفقًا لمعايير الدقة العلمية المعاصرة، كما طوّر تحليلًا غير تقليدي قائمًا على هذه الأفكار. ولا يستخدم أساليب روبنسون إلا قلة من علماء الرياضيات. وقد ألّف جيروم كيسلر كتابًا تمهيديًا في حساب التفاضل والتكامل، بعنوان " حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: مدخل إلى متناهيات الصغر" ، استنادًا إلى منهج روبنسون.

من وجهة نظر نظرية المقادير المتناهية الصغر الحديثة، فإن Δ x هي زيادة متناهية الصغر في x ، و Δ y هي الزيادة المقابلة في y ، والمشتقة هي الجزء القياسي من النسبة المتناهية الصغر:

${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}}$.

ثم يقوم المرء بضبط${\displaystyle dx=\Delta x}$،${\displaystyle dy=f'(x)dx}$وبالتالي، بحسب التعريف،${\displaystyle f'(x)}$هي نسبة dy إلى dx .

وبالمثل، على الرغم من أن معظم علماء الرياضيات ينظرون الآن إلى التكامل

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

كحد أقصى

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,}$

حيث Δx هي فترة تحتوي على xᵢ _، اعتبرها لايبنتز مجموعًا (يرمز له بعلامة التكامل بالجمع) لعدد لا نهائي من الكميات المتناهية الصغر f ( x ) dx  . من منظور التحليل غير القياسي، من الصحيح اعتبار التكامل الجزء القياسي من هذا المجموع اللانهائي .

إن المقايضة اللازمة لاكتساب دقة هذه المفاهيم هي أنه يجب توسيع مجموعة الأعداد الحقيقية لتشمل مجموعة الأعداد الفائقة الحقيقية .

جرّب لايبنتز العديد من الرموز المختلفة في مجالات متنوعة من الرياضيات. وكان يعتقد أن الرمز الجيد أساسي في مسيرة الرياضيات. وفي رسالة إلى لوبيتال عام 1693 يقول: ^{[ 28 ]}

أحد أسرار التحليل يكمن في الخاصية، أي في فن الاستخدام الماهر للعلامات المتاحة، وستلاحظ يا سيدي من خلال الإطار الصغير [حول المحددات] أن فييتا وديكارت لم يعرفا كل الأسرار.

قام بتطوير معاييره للترميز الجيد بمرور الوقت، وأدرك قيمة "اعتماد رموز يمكن وضعها في سطر واحد مثل الطباعة العادية، دون الحاجة إلى توسيع المسافات بين الأسطر لإفساح المجال للرموز ذات الأجزاء الممتدة". ^{[ 29 ]} على سبيل المثال، في أعماله المبكرة، استخدم بكثرة خط الربط (vinculum) للإشارة إلى تجميع الرموز، لكنه قدم لاحقًا فكرة استخدام أزواج من الأقواس لهذا الغرض، مما أرضى مصممي الطباعة الذين لم يعودوا مضطرين لتوسيع المسافات بين الأسطر في الصفحة، وجعل الصفحات تبدو أكثر جاذبية. ^{[ 30 ]}

لا تزال العديد من الرموز الجديدة التي يزيد عددها عن 200 رمزًا والتي قدمها لايبنتز مستخدمة حتى اليوم. ^{[ 31 ]} فإلى جانب التفاضلات dx و dy وعلامة التكامل (∫) المذكورة سابقًا، قدم أيضًا النقطتين الرأسيتين (:) للقسمة، والنقطة الوسطى (⋅) للضرب، والرموز الهندسية للتشابه (~) والتطابق (≅)، واستخدام علامة المساواة (=) لريكورد للنسب (بدلاً من رمز :: لأوتريد )، ورمز اللاحقتين للمحددات. ^{[ 28 ]}

• جدل حساب التفاضل والتكامل لليبنيز-نيوتن
• رموز التفاضل

• بريجز، ويليام؛ كوكران، لايل (2010)، حساب التفاضل والتكامل / الدوال المتسامية المبكرة / متغير واحد ، أديسون-ويسلي، ISBN 978-0-321-66414-3
• كاجوري، فلوريان (1993) [1928]، تاريخ الرموز الرياضية ، نيويورك: دوفر، ISBN 0-486-67766-4
• كاتز، فيكتور ج. (1993)، تاريخ الرياضيات / مقدمة (الطبعة الثانية  )، أديسون ويسلي لونجمان، رقم ISBN 978-0-321-01618-8
• مازور، جوزيف (2014)، رموز التنوير / تاريخ موجز للرموز الرياضية وقدراتها الخفية ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-17337-5
• سوكوفسكي، إيرل دبليو. (1983)، حساب التفاضل والتكامل مع الهندسة التحليلية (  طبعة بديلة)، بريندل، ويبر وشميدت، ISBN 0-87150-341-7