نظام خطي ثابت زمنيا

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( أبريل 2009 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في تحليل النظام ، من بين مجالات الدراسة الأخرى، النظام الخطي الثابت زمنيًا ( LTI ) هو نظام ينتج إشارة خرج من أي إشارة إدخال تخضع لقيود الخطية والثبات الزمني ؛ يتم تعريف هذه المصطلحات بإيجاز في النظرة العامة أدناه. تنطبق هذه الخصائص (بالضبط أو تقريبًا) على العديد من الأنظمة الفيزيائية المهمة، وفي هذه الحالة يمكن إيجاد استجابة النظام y ( t ) لإدخال عشوائي x ( t ) مباشرةً باستخدام الالتفاف : y ( t ) = ( x ∗ h )( t ) حيث يُطلق على h ( t ) استجابة النبضة للنظام ويمثل ∗ الالتفاف (لا ينبغي الخلط بينه وبين الضرب). علاوة على ذلك، توجد طرق منهجية لحل أي نظام من هذا القبيل (تحديد h ( t ) )، في حين أن الأنظمة التي لا تلبي كلتا الخاصيتين يكون حلها تحليليًا أكثر صعوبة (أو مستحيلًا). من الأمثلة الجيدة على نظام LTI أي دائرة كهربائية تتكون من المقاومات والمكثفات والمحثات والمضخمات الخطية . ^[2]

تُستخدم نظرية النظام الخطي الثابت للزمن أيضًا في معالجة الصور ، حيث تحتوي الأنظمة على أبعاد مكانية بدلاً من البعد الزمني أو بالإضافة إليه. يمكن الإشارة إلى هذه الأنظمة باسم الثبات الخطي للترجمة لإعطاء المصطلحات نطاقًا أعم. في حالة الأنظمة العامة ذات الزمن المنفصل (أي العينات )، فإن الثبات الخطي للتحويل هو المصطلح المقابل. نظرية نظام LTI هي مجال من مجالات الرياضيات التطبيقية التي لها تطبيقات مباشرة في تحليل وتصميم الدوائر الكهربائية ، ومعالجة الإشارات وتصميم المرشح ، ونظرية التحكم ، والهندسة الميكانيكية ، ومعالجة الصور ، وتصميم أدوات القياس من أنواع عديدة، وطيف الرنين النووي المغناطيسي ^{[ بحاجة لمصدر ]} ، والعديد من المجالات التقنية الأخرى حيث تظهر أنظمة المعادلات التفاضلية العادية .

الخصائص المميزة لأي نظام LTI هي الخطية وثبات الوقت .

• الخطية تعني أن العلاقة بين المدخلات والمخرجات ، حيث يُنظر إليهما كدالتين، هي تعيين خطي: ​​إذا كان ثابتًا، فإن خرج النظام إلى هو ؛ إذا كان مدخلًا آخر مع خرج النظام ، فإن خرج النظام إلى هو ، وهذا ينطبق على جميع خيارات ، ، . غالبًا ما يُشار إلى الشرط الأخير باسم مبدأ التراكب .${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle أ}$${\displaystyle ax(t)}$${\displaystyle ay(t)}$${\displaystyle x'(t)}$${\displaystyle y'(t)}$${\displaystyle x(t)+x'(t)}$${\displaystyle y(t)+y'(t)}$${\displaystyle أ}$ ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x'(t)}$
• تعني ثباتية الزمن أنه سواء طبقنا إدخالاً على النظام الآن أو بعد T ثانية من الآن، فإن الناتج سيكون متطابقًا باستثناء تأخير زمني قدره T ثانية. أي إذا كان الناتج بسبب الإدخال هو ، فإن الناتج بسبب الإدخال هو . وبالتالي، فإن النظام ثابت زمنيًا لأن الناتج لا يعتمد على الوقت المحدد الذي يتم فيه تطبيق الإدخال.${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(tT)}$${\displaystyle y(tT)}$

النتيجة الأساسية في نظرية نظام LTI هي أنه يمكن وصف أي نظام LTI بالكامل بوظيفة واحدة تسمى استجابة النظام للنبضة . إن مخرجات النظام هي ببساطة التفاف المدخلات للنظام مع استجابة النظام للنبضة . وهذا ما يسمى بنظام زمني مستمر . وبالمثل، يتم تعريف النظام الخطي الثابت زمنيًا المنفصل (أو بشكل عام "المتغير في التحول") بأنه نظام يعمل في وقت منفصل : حيث y و x و h عبارة عن تسلسلات والالتفاف، في الوقت المنفصل، يستخدم مجموعًا منفصلًا بدلاً من التكامل. ${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle y_{i}=x_{i}*h_{i}}$

يمكن أيضًا وصف أنظمة LTI في مجال التردد بواسطة دالة نقل النظام ، وهي تحويل لابلاس لاستجابة النظام للنبضة (أو تحويل Z في حالة أنظمة الوقت المنفصل). ونتيجة لخصائص هذه التحويلات، فإن خرج النظام في مجال التردد هو حاصل ضرب دالة النقل وتحويل المدخلات. بعبارة أخرى، فإن الالتفاف في مجال الوقت يعادل الضرب في مجال التردد.

بالنسبة لجميع أنظمة LTI، فإن الدوال الذاتية ، والدوال الأساسية للتحويلات، هي أسيات معقدة . أي أنه إذا كان المدخل إلى نظام ما هو شكل موجة معقد لبعض السعة المعقدة والتردد المعقد ، فسيكون المخرج عبارة عن ثابت معقد مضروبًا في المدخل، على سبيل المثال لبعض السعة المعقدة الجديدة . النسبة هي دالة النقل عند التردد . ${\displaystyle A_{s}e^{st}}$${\displaystyle A_{s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B_{s}e^{st}}$${\displaystyle B_{s}}$${\displaystyle B_{s}/A_{s}}$${\displaystyle s}$

نظرًا لأن الجيوب الأنفية عبارة عن مجموع من الأسيات المعقدة ذات الترددات المترافقة المعقدة، فإذا كان المدخل إلى النظام عبارة عن جيب تمام، فسيكون مخرج النظام أيضًا جيب تمام، ربما بسعة مختلفة وطور مختلف ، ولكن دائمًا بنفس التردد عند الوصول إلى الحالة المستقرة. لا يمكن لأنظمة LTI إنتاج مكونات تردد غير موجودة في المدخلات.

نظرية نظام LTI جيدة في وصف العديد من الأنظمة المهمة. تعتبر معظم أنظمة LTI "سهلة" للتحليل، على الأقل مقارنة بحالة التغير الزمني و/أو غير الخطية. أي نظام يمكن نمذجته كمعادلة تفاضلية خطية ذات معاملات ثابتة هو نظام LTI. أمثلة على هذه الأنظمة هي الدوائر الكهربائية المكونة من المقاومات والمحثات والمكثفات ( دوائر RLC ) . أنظمة الزنبرك والكتلة والمثبط المثالية هي أيضًا أنظمة LTI، وهي معادلة رياضيًا لدوائر RLC.

تتشابه معظم مفاهيم أنظمة LTI بين حالات الزمن المستمر والزمن المنفصل (الثابت في التحول الخطي). في معالجة الصور، يتم استبدال متغير الزمن بمتغيرين مكانيين، ويتم استبدال مفهوم ثبات الزمن بثبات التحول ثنائي الأبعاد. عند تحليل بنوك المرشحات وأنظمة MIMO ، غالبًا ما يكون من المفيد مراعاة متجهات الإشارات.

يمكن حل النظام الخطي الذي لا يتغير مع الزمن باستخدام طرق أخرى مثل طريقة دالة جرين .

يتم وصف سلوك النظام الخطي المستمر في الزمن والمتغير زمنيًا مع إشارة الإدخال x ( t ) وإشارة الإخراج y ( t ) بواسطة التكامل الالتفافي: ^[3]

${\displaystyle y(t)=(x*h)(t)}$	${\displaystyle \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \int \limits _{-\infty}^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\, \mathrm {د} \tau }$
	${\displaystyle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,}$      (باستخدام التبادلية )

حيث تكون استجابة النظام للنبضة : . وبالتالي فهي متناسبة مع المتوسط ​​المرجح لدالة الإدخال . تكون دالة الترجيح هي ، يتم إزاحتها ببساطة بمقدار . ومع التغيرات، تؤكد دالة الترجيح على أجزاء مختلفة من دالة الإدخال. عندما تكون صفرًا لجميع القيم السالبة ، تعتمد فقط على قيم قبل الوقت ، ويقال إن النظام سببي . ${\textstyle h(t)}$${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$${\نمط النص y(t)}$${\textstyle x(\tau )}$${\textstyle h(-\tau )}$${\نمط النص ت}$${\نمط النص ت}$${\textstyle h(\tau )}$${\textstyle \tau }$${\نمط النص y(t)}$${\نمط النص س}$${\نمط النص ت}$

لفهم سبب إنتاج الالتفاف لإخراج نظام LTI، دع الترميز يمثل الدالة ذات المتغير والثابت . ودع الترميز الأقصر يمثل . ثم يحول نظام الوقت المستمر دالة الإدخال، إلى دالة إخراج، . وبشكل عام، يمكن أن تعتمد كل قيمة من قيم الإخراج على كل قيمة من قيم الإدخال. يتم تمثيل هذا المفهوم بواسطة: حيث هو عامل التحويل للوقت . في نظام نموذجي، يعتمد بشكل كبير على قيم التي حدثت بالقرب من الوقت . ما لم يتغير التحويل نفسه مع ، تكون دالة الإخراج ثابتة فقط، والنظام غير مثير للاهتمام. ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$${\textstyle x(u-\tau )}$${\textstyle u}$${\textstyle \tau }$${\textstyle \{x\}}$${\textstyle \{x(u);\u\}}$${\textstyle \{x\},}$${\textstyle \{y\}}$$${\displaystyle y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},}$$${\textstyle O_{t}}$${\نمط النص ت}$${\نمط النص y(t)}$${\نمط النص س}$${\نمط النص ت}$${\نمط النص ت}$

بالنسبة للنظام الخطي، يجب أن يلبي المعادلة 1 : ${\textstyle O}$

${\displaystyle O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ; \ u\right\}=\int \limits _{-\infty}^{\infty}c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{ \tau }\}}\,\mathrm {d} \tau .}$

( المعادلة 2 )

ومتطلب ثبات الزمن هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\u\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y(t-\tau )\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}}$

( المعادلة 3 )

في هذا التدوين، يمكننا كتابة استجابة النبضة على النحو التالي${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\u\}.}$

بصورة مماثلة:

${\displaystyle h(t-\tau )}$	${\displaystyle \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}}$
	${\displaystyle =O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.}$      (باستخدام المعادلة 3 )

استبدال هذه النتيجة في التكامل الالتفافي: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$$

الذي له شكل الجانب الأيمن من المعادلة 2 للحالة و${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

ثم تسمح المعادلة 2 بهذا الاستمرار: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}}$$

باختصار، يمكن تمثيل دالة الإدخال، ، من خلال استمرارية من وظائف النبضات المحولة زمنيًا، مجتمعة "خطيًا"، كما هو موضح في المعادلة 1. تسمح خاصية الخطية للنظام بتمثيل استجابة النظام من خلال الاستمرارية المقابلة لاستجابات النبضات ، مجتمعة بنفس الطريقة. وتسمح خاصية الثبات الزمني بتمثيل هذه التركيبة من خلال التكامل الالتفافي. ${\textstyle \{x\}}$

العمليات الحسابية المذكورة أعلاه لها محاكاة رسومية بسيطة. ^[4]

الدالة الذاتية هي دالة يكون ناتج عاملها عبارة عن نسخة مقياسية من نفس الدالة. أي حيث f هي الدالة الذاتية و هي القيمة الذاتية ، ثابت. $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$${\displaystyle \lambda }$

الدوال الأسية ، حيث ، هي دوال ذاتية لمشغل خطي ثابت زمنيًا . يوضح دليل بسيط هذا المفهوم. افترض أن المدخل هو . إذن، فإن خرج النظام مع استجابة النبضة هو ، والذي، وفقًا للخاصية التبديلية للالتفاف ، يعادل ${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$${\displaystyle h(t)}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\\\end{aligned}}}$$

حيث يعتمد العدد القياسي فقط على المعلمة s . $${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$

لذا فإن استجابة النظام هي نسخة مصغرة من المدخلات. وعلى وجه الخصوص، بالنسبة لأي ، فإن مخرجات النظام هي حاصل ضرب المدخلات والثابت . وبالتالي، هي دالة ذاتية لنظام LTI، والقيمة الذاتية المقابلة هي . ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle H(s)}$

من الممكن أيضًا اشتقاق الأسس المعقدة بشكل مباشر كوظائف ذاتية لأنظمة LTI.

دعونا نضع بعض الأسّي المعقد وإصدارًا زمنيًا منه. ${\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}$${\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}$بالخطية بالنسبة للثابت . ${\displaystyle e^{i\omega a}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}$حسب ثبات الزمن . ${\displaystyle H}$

لذا ، من خلال الضبط وإعادة التسمية نحصل على: أي أن الأسي المعقد كمدخل سيعطي أسيًا معقدًا بنفس تردد المخرج. ${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}$${\displaystyle t=0}$$${\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}$$${\displaystyle e^{i\omega \tau }}$

إن خاصية الدالة الذاتية للأسس مفيدة جدًا لكل من التحليل والتعمق في أنظمة LTI. إن تحويل لابلاس أحادي الجانب هو بالضبط الطريقة للحصول على القيم الذاتية من استجابة النبضة. ومن الأمور ذات الأهمية الخاصة الجيبيات النقية (أي الدوال الأسية من النموذج حيث و ). يعطي تحويل فورييه القيم الذاتية للجيبيات المعقدة النقية. يُطلق على كل من و دالة النظام أو استجابة النظام أو دالة النقل . $${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$${\displaystyle e^{j\omega t}}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$${\displaystyle j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(j\omega )}$

تُستخدم تحويلات لابلاس عادةً في سياق الإشارات أحادية الجانب، أي الإشارات التي تكون صفرًا لجميع قيم t الأقل من قيمة ما. عادةً، يتم ضبط "وقت البدء" هذا على الصفر، للراحة ودون فقدان العمومية، مع أخذ تكامل التحويل من الصفر إلى ما لا نهاية (التحويل الموضح أعلاه مع الحد الأدنى للتكامل من ما لا نهاية سالبة يُعرف رسميًا باسم تحويل لابلاس الثنائي ).

يستخدم تحويل فورييه لتحليل الأنظمة التي تعالج الإشارات التي لا حدود لها، مثل الجيوب الأنفية المعدلة، على الرغم من أنه لا يمكن تطبيقه مباشرة على إشارات الإدخال والإخراج التي لا يمكن تكاملها مربعًا . يعمل تحويل لابلاس في الواقع بشكل مباشر لهذه الإشارات إذا كانت صفرًا قبل وقت البدء، حتى لو لم تكن قابلة للتكامل مربعًا، للأنظمة المستقرة. غالبًا ما يتم تطبيق تحويل فورييه على أطياف الإشارات اللانهائية عبر نظرية وينر-كينشين حتى عندما لا توجد تحويلات فورييه للإشارات.

بسبب خاصية الالتفاف لكلا التحويلين، يمكن تحويل الالتفاف الذي يعطي خرج النظام إلى عملية ضرب في مجال التحويل، مع الأخذ في الاعتبار الإشارات التي توجد لها التحويلات $${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}$$

يمكن للمرء استخدام استجابة النظام بشكل مباشر لتحديد كيفية التعامل مع أي مكون تردد معين بواسطة نظام باستخدام تحويل لابلاس هذا. إذا قمنا بتقييم استجابة النظام (تحويل لابلاس لاستجابة النبضة) عند التردد المركب s = jω ، حيث ω = 2 πf ، نحصل على | H ( s )| وهو مكسب النظام للتردد f . وبالمثل، يتم إعطاء التحول الطوري النسبي بين الخرج والمدخل لمكون التردد هذا بواسطة arg( H ( s )).

من أهم خصائص النظام السببية والاستقرار. السببية ضرورة لأي نظام فيزيائي يكون متغيره المستقل هو الزمن، إلا أن هذا القيد غير موجود في حالات أخرى مثل معالجة الصور.

يكون النظام سببيًا إذا كان الناتج يعتمد فقط على المدخلات الحالية والماضية، ولكن ليس على المدخلات المستقبلية. الشرط الضروري والكافي للسببية هو $${\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}$$

أين هي استجابة النبضة. ليس من الممكن بشكل عام تحديد السببية من تحويل لابلاس ثنائي الجانب . ومع ذلك، عند العمل في مجال الوقت، يستخدم المرء عادةً تحويل لابلاس أحادي الجانب والذي يتطلب السببية. ${\displaystyle h(t)}$

يكون النظام مستقرًا من حيث المدخلات والمخرجات المحدودة (مستقر وفقًا لمعيار BIBO) إذا كان المخرج محدودًا لكل مدخل محدود. رياضيًا، إذا كان كل مدخل يلبي متطلبات $${\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }$$

يؤدي إلى إنتاج مرضي $${\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }$$

(أي أن القيمة المطلقة القصوى المحدودة لـ تعني القيمة المطلقة القصوى المحدودة لـ )، فإن النظام يكون مستقرًا. الشرط الضروري والكافي هو أن تكون استجابة النبضة، في L ¹ (لها معيار L ¹ محدود ): ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle h(t)}$$${\displaystyle \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}$$

في مجال التردد، يجب أن تحتوي منطقة التقارب على المحور التخيلي . ${\displaystyle s=j\omega }$

على سبيل المثال، فإن مرشح الترددات المنخفضة المثالي مع استجابة نبضية تساوي دالة جيب التمام ليس مستقرًا وفقًا لمعيار BIBO، لأن دالة جيب التمام ليس لها معيار L ¹ محدود . وبالتالي، بالنسبة لبعض المدخلات المحدودة، فإن خرج مرشح الترددات المنخفضة المثالي غير محدود. على وجه الخصوص، إذا كان المدخل صفرًا لـ ومساويًا لجيب التمام عند تردد القطع لـ ، فسيكون الخرج غير محدود لجميع الأوقات بخلاف تقاطعات الصفر. ^{[ مشكوك فيه - ناقش ]}${\displaystyle t<0}$${\displaystyle t>0}$

كل شيء تقريبا في أنظمة الزمن المتصل له نظيره في أنظمة الزمن المنفصل.

في العديد من السياقات، يعد نظام التوقيت المنفصل (DT) في الواقع جزءًا من نظام زمني مستمر (CT) أكبر. على سبيل المثال، يأخذ نظام التسجيل الرقمي صوتًا تناظريًا، ويحوله إلى صيغة رقمية، وربما يعالج الإشارات الرقمية، ويعيد تشغيل صوت تناظري ليستمع إليه الناس.

في الأنظمة العملية، تكون إشارات DT التي تم الحصول عليها عادةً إصدارات تم أخذ عينات منها بشكل موحد من إشارات CT. إذا كانت إشارة CT، فإن دائرة أخذ العينات المستخدمة قبل المحول التناظري إلى الرقمي ستحولها إلى إشارة DT: حيث T هي فترة أخذ العينات . قبل أخذ العينات، يتم تشغيل إشارة الإدخال عادةً من خلال ما يسمى بمرشح نيكويست الذي يزيل الترددات أعلى من "تردد الطي" 1/(2T)؛ وهذا يضمن عدم فقد أي معلومات في الإشارة المفلترة. بدون الترشيح، يتم تحويل أي مكون تردد أعلى من تردد الطي (أو تردد نيكويست ) إلى تردد مختلف (وبالتالي تشويه الإشارة الأصلية)، حيث لا يمكن لإشارة DT دعم سوى مكونات التردد الأقل من تردد الطي. ${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}$$

دعونا نمثل التسلسل${\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}$${\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}$

ودع التدوين الأقصر يمثل${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x[m];\ m\}.}$

يقوم النظام المنفصل بتحويل تسلسل الإدخال إلى تسلسل إخراج، وبشكل عام، يمكن أن يعتمد كل عنصر من عناصر الإخراج على كل عنصر من عناصر الإدخال. من خلال تمثيل عامل التحويل بواسطة ، يمكننا كتابة: ${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{y\}.}$${\displaystyle O}$$${\displaystyle y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.}$$

لاحظ أنه ما لم يتغير التحويل نفسه مع n ، فإن تسلسل الإخراج يكون ثابتًا فقط، والنظام غير مثير للاهتمام. (وبالتالي فإن الرمز السفلي، n .) في النظام النموذجي، يعتمد y [ n ] بشكل كبير على عناصر x التي تكون مؤشراتها قريبة من n .

بالنسبة للحالة الخاصة لدالة دلتا كرونيكر ، فإن تسلسل الإخراج هو استجابة النبضة : ${\displaystyle x[m]=\delta [m],}$$${\displaystyle h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.}$$

بالنسبة للنظام الخطي، يجب تلبية: ${\displaystyle O}$

${\displaystyle O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.}$

( المعادلة 4 )

ومتطلب ثبات الزمن هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{x[m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y[n-k]\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n-k}\{x\}.\,\end{aligned}}}$

( المعادلة 5 )

في مثل هذا النظام، فإن استجابة النبضة، ، تميز النظام بشكل كامل. أي أنه بالنسبة لأي تسلسل إدخال، يمكن حساب تسلسل الإخراج من حيث الإدخال واستجابة النبضة. لمعرفة كيفية القيام بذلك، ضع في اعتبارك الهوية: ${\displaystyle \{h\}}$$${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],}$$

والتي يتم التعبير عنها من حيث مجموع وظائف دلتا المرجحة. ${\displaystyle \{x\}}$

لذلك: $${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}$$

حيث استحضرنا المعادلة رقم 4 للحالة و . ${\displaystyle c_{k}=x[k]}$${\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]}$

وبسبب المعادلة 5 ، يمكننا أن نكتب: $${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}}$$

لذلك:

${\displaystyle y[n]}$	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]}$
	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],}$      ( التبديلية )

وهي صيغة الالتفاف المنفصلة المألوفة. وبالتالي يمكن تفسير المشغل على أنه متناسب مع المتوسط ​​المرجح للدالة x [ k ]. دالة الترجيح هي h [− k ]، والتي يتم تحويلها ببساطة بمقدار n . ومع تغير n ، تؤكد دالة الترجيح على أجزاء مختلفة من دالة الإدخال. وعلى نحو مكافئ، فإن استجابة النظام للنبضة عند n = 0 هي نسخة "معكوسة زمنيًا" من دالة الترجيح غير المحولة. عندما تكون h [ k ] صفرًا لجميع k السالبة ، يقال إن النظام سببي . ${\displaystyle O_{n}}$

الدالة الذاتية هي دالة يكون ناتج عاملها هو نفس الدالة، مع قياسها بواسطة ثابت ما. في الرموز، $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$

حيث f هي الدالة الذاتية و هي القيمة الذاتية ، ثابت. ${\displaystyle \lambda }$

الدوال الأسية ، حيث ، هي دوال ذاتية لمشغل خطي ثابت زمنيًا . هي فترة أخذ العينات، و . يوضح دليل بسيط هذا المفهوم. ${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$

افترض أن المدخل هو . إذن فإن مخرج النظام مع استجابة النبضة هو ${\displaystyle x[n]=z^{n}}$${\displaystyle h[n]}$$${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$$

وهو ما يعادل ما يلي بواسطة الخاصية التبديلية للالتفاف حيث يعتمد فقط على المعلمة z . $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$$$${\displaystyle H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$$

وهذا هو الحال بالنسبة لدالة ذاتية لنظام LTI لأن استجابة النظام هي نفسها مضروبة في الثابت المدخل . ${\displaystyle z^{n}}$${\displaystyle H(z)}$

تعتبر خاصية الدالة الذاتية للأسس مفيدة جدًا لكل من التحليل والتعمق في أنظمة LTI. تحويل Z $${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$$

هذه هي الطريقة بالضبط للحصول على القيم الذاتية من استجابة النبضة. ^{[ بحاجة لتوضيح ]} من الأمور ذات الأهمية الخاصة الجيوب الأنفية النقية؛ أي الأسيات من النموذج ، حيث . ويمكن أيضًا كتابتها على النحو التالي مع ^{[ بحاجة لتوضيح ]} . يعطي تحويل فورييه للزمن المنفصل (DTFT) القيم الذاتية للجيوب الأنفية النقية ^{[ بحاجة لتوضيح ]} . يُطلق على كل من و دالة النظام أو استجابة النظام أو دالة النقل . ${\displaystyle e^{j\omega n}}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$${\displaystyle z^{n}}$${\displaystyle z=e^{j\omega }}$${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$${\displaystyle H(z)}$${\displaystyle H(e^{j\omega })}$

مثل تحويل لابلاس أحادي الجانب، يستخدم تحويل Z عادةً في سياق الإشارات أحادية الجانب، أي الإشارات التي تكون صفرًا عند t<0. يمكن استخدام سلسلة فورييه لتحويل فورييه المنفصل في تحليل الإشارات الدورية.

بسبب خاصية الالتفاف لكلا التحويلين، يمكن تحويل الالتفاف الذي يعطي ناتج النظام إلى عملية ضرب في مجال التحويل. أي، $${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}$$

كما هو الحال مع دالة نقل تحويل لابلاس في تحليل النظام المستمر، فإن تحويل Z يجعل من الأسهل تحليل الأنظمة والحصول على نظرة ثاقبة لسلوكها.

يمكن وصف خصائص الإدخال والإخراج لنظام LTI في الوقت المنفصل بالكامل من خلال استجابته النبضية . اثنتان من أهم خصائص النظام هما السببية والاستقرار. يمكن تعريف الأنظمة غير السببية (في الوقت) وتحليلها كما هو موضح أعلاه، ولكن لا يمكن تحقيقها في الوقت الفعلي. يمكن أيضًا تحليل الأنظمة غير المستقرة وبنائها، ولكنها مفيدة فقط كجزء من نظام أكبر تكون دالة النقل الإجمالية فيه مستقرة. ${\displaystyle h[n]}$

يكون نظام LTI في الزمن المنفصل سببيًا إذا كانت القيمة الحالية للإخراج تعتمد فقط على القيمة الحالية والقيم السابقة للمدخلات. ^[5] الشرط الضروري والكافي للسببية هو حيث هو استجابة النبضة. من غير الممكن بشكل عام تحديد السببية من تحويل Z، لأن التحويل العكسي ليس فريدًا ^{[ مشكوك فيه - ناقش ]} . عندما يتم تحديد منطقة التقارب ، فيمكن تحديد السببية. $${\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}$$${\displaystyle h[n]}$

يكون النظام مدخلاً محدودًا ومخرجًا محدودًا مستقرًا (مستقرًا وفقًا لمعيار BIBO) إذا كان المخرج محدودًا لكل مدخل محدود. رياضيًا، إذا كان $${\displaystyle \|x[n]\|_{\infty }<\infty }$$

يعني ذلك $${\displaystyle \|y[n]\|_{\infty }<\infty }$$

(أي إذا كان المدخل المحدود يعني مخرجًا محدودًا، بمعنى أن القيم المطلقة القصوى لـ و محدودة)، فإن النظام يكون مستقرًا. الشرط الضروري والكافي هو أن ، استجابة النبضة، تلبي ${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle h[n]}$$${\displaystyle \|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .}$$

في مجال التردد، يجب أن تحتوي منطقة التقارب على دائرة الوحدة (أي، المحل الذي يلبي المعقد z ). ${\displaystyle |z|=1}$

• مصفوفة دائرية
• استجابة التردد
• استجابة النبضة
• تحليل النظام
• وظيفة خضراء
• الرسم البياني لتدفق الإشارة

• فيليبس، سي إل، بار، جيه إم، وريسكين، إي إيه (2007). الإشارات والأنظمة والتحويلات . برنتيس هول. رقم ISBN 978-0-13-041207-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Hespanha, JP (2009). نظرية النظام الخطي . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-14021-6.
• Crutchfield, Steve (12 أكتوبر 2010)، "متعة الالتفاف"، جامعة جونز هوبكنز ، تم استرجاعه في 21 نوفمبر 2010
• فايدياناثان، بي بي؛ تشين، تي. (مايو 1995). "دور المعادلات العكسية في بنوك المرشحات متعددة المعدلات - الجزء الأول: أساسيات النظرية النظامية" (ملف PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 43 (6): 1090. Bibcode :1995ITSP...43.1090V. doi :10.1109/78.382395.

• ECE 209: مراجعة الدوائر كنظم LTI – مقدمة موجزة عن التحليل الرياضي لنظم LTI (الكهربائية).
• ECE 209: مصادر تحول الطور - يقدم شرحًا بديهيًا لمصدر تحول الطور في نظامين كهربائيين شائعين لـ LTI.
• ملاحظات دورة الإشارات والأنظمة 520.214 JHU. دورة مختصرة عن نظرية نظام LTI. مناسبة للتعلم الذاتي.
• مثال على نظام LTI: مرشح الترددات المنخفضة RC. استجابة السعة والطور.