شكل موجة ماس

مؤثر لابلاس الزائدي على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \Delta :C^{\infty}({\mathcal {H}})\to C^{\infty }({\mathcal {H}}),}$

${\displaystyle \Delta =-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}$

نموذج ماس للمجموعة${\displaystyle \Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$هي دالة سلسة ذات قيم مركبة${\displaystyle f}$على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$مُرضٍ

1. ${\displaystyle f(\gamma z)=f(z){\text{ لجميع }}\gamma \in \Gamma (1),\qquad z\in {\mathcal {H}}}$
2. ${\displaystyle {\text{there exists }}\lambda \in \mathbb {C} {\text{ with }}\Delta (f)=\lambda f}$
3. ${\displaystyle {\text{there exists }}N\in \mathbb {N} {\text{ with }}f(x+iy)={\mathcal {O}}(y^{N}){\text{ for }}y\geq 1}$

لو

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(z+t)dt=0{\text{ for all }}z\in {\mathcal {H}}}$

نسمي${\displaystyle f}$شكل الحدبة الماسية.

يترك${\displaystyle f}$أن يكون شكلاً من أشكال ماس. بما أن

${\displaystyle \gamma$ :={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)}

لدينا:

${\displaystyle \forall z\in {\mathcal {H}}:\qquad f(z)=f(\gamma z)=f(z+1).}$

لذلك${\displaystyle f}$له تحليل فورييه على الشكل التالي

${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi inx},}$

باستخدام دوال المعاملات${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} .}$

من السهل إثبات ذلك${\displaystyle f}$تكون صيغة ماس على شكل حدبة إذا وفقط إذا${\displaystyle a_{0}(y)=0\;\;\forall y>0}$.

يمكننا حساب دوال المعاملات بدقة. ولذلك نحتاج إلى دالة بيسل.${\displaystyle K_{v}}$.

التعريف: دالة بيسل${\displaystyle K_{v}}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle K_{s}(y):={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {y(t+t^{-1})}{2}}}t^{s}{\frac {dt}{t}},\qquad s\in \mathbb {C} ,y>0.}$

يتقارب التكامل محليًا وبشكل منتظم ومطلقًا لـ${\displaystyle y>0}$في${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$وعدم المساواة

${\displaystyle K_{s}(y)\leq e^{-{\frac {y}{2}}}K_{\operatorname {Re} (s)}(2)}$

ينطبق على الجميع${\displaystyle y>4}$.

لذلك،${\displaystyle |K_{s}|}$يتناقص بشكل أُسّي لـ${\displaystyle y\to \infty }$علاوة على ذلك، لدينا${\displaystyle K_{-s}(y)=K_{s}(y)}$للجميع${\displaystyle s\in \mathbb {C} ,y>0}$.

الدليل: لدينا

${\displaystyle \Delta (f)=\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f.}$

بحسب تعريف معاملات فورييه نحصل على

${\displaystyle a_{n}(y)=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx}$

ل${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

وبناءً على ذلك، فإن ذلك يترتب عليه ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)a_{n}(y)&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx+\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\right)\\[4pt]&{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\\[4pt]&=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\end{aligned}}}$

ل${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

في (1) استخدمنا أن معامل فورييه رقم n لـ${\textstyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$يكون${\displaystyle (2\pi in)^{2}a_{n}(y)}$بالنسبة للحد الأول من المجموع. في الحد الثاني، قمنا بتغيير ترتيب التكامل والتفاضل، وهو أمر مسموح به لأن الدالة f سلسة في y. نحصل على معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية:

${\displaystyle y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)+\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}-4\pi n^{2}y^{2}\right)a_{n}(y)=0}$

ل${\displaystyle n=0}$يمكن للمرء أن يثبت أنه لكل حل${\displaystyle f}$توجد معاملات فريدة${\displaystyle c_{0},d_{0}\in \mathbb {C} }$مع العقار${\displaystyle a_{0}(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }.}$

ل${\displaystyle n\neq 0}$كل حل${\displaystyle f}$لها معاملات من الشكل

${\displaystyle a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}(2\pi |n|y)}$

للحصول على شيء فريد${\displaystyle c_{n},d_{n}\in \mathbb {C} }$. هنا${\displaystyle K_{v}(s)}$و${\displaystyle I_{v}(s)}$هي دوال بيسل.

دوال بيسل${\displaystyle I_{v}}$تنمو بشكل أُسّي، بينما وظائف بيسل${\displaystyle K_{v}}$يتناقص أُسّيًا. وبالاقتران مع شرط النمو متعدد الحدود 3) نحصل على${\displaystyle f:a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)}$(أيضًا${\displaystyle d_{n}=0}$) لـ فريد${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$. QED

أشكال ماس الزوجية والفردية: ليكن${\displaystyle i(z):=-{\overline {z}}}$ثم يعمل i على جميع الوظائف${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$بواسطة${\displaystyle i(f):=f(i(z))}$ويتنقل مع لابلاس الزائدي. شكل ماس${\displaystyle f}$يُطلق عليه اسم الزوجي، إذا${\displaystyle i(f)=f}$وغريب إذا${\displaystyle i(f)=-f}$إذا كانت f صيغة ماس، فإن${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f+i(f))}$هو شكل ماس زوجي و${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$شكل غريب من أشكال ماس، وينص على ذلك.${\displaystyle f={\tfrac {1}{2}}(f+i(f))+{\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$.

نحن نعرض فقط${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$الثبات - والمعادلة التفاضلية. يمكن إيجاد برهان على السلاسة في كتاب ديتمار أو بامب. وينتج شرط النمو من متسلسلة أيزنشتاين في تحليل فورييه.

سنعرض أولاً${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ثبات-. ليكن

${\displaystyle \Gamma _{\infty }:=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathbb {Z} \\0&1\\\end{pmatrix}}}$

كن مجموعة التثبيت${\displaystyle \infty }$بما يتوافق مع عملية${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$على${\displaystyle {\mathcal {H}}\cup \{\infty \}}$.

الفرضية. E هو${\displaystyle \Gamma (1)}$ثابت.

البرهان. التعريف:

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s):=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}.}$

(أ)${\displaystyle {\tilde {E}}}$يتقارب بشكل مطلق في${\displaystyle z\in {\mathcal {H}}}$ل${\displaystyle \Re (s)>1}$و${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s).}$

منذ

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)\Longrightarrow \Im (\gamma z)={\frac {\Im (z)}{|cz+d|^{2}}},}$

نحصل على

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}.}$

وهذا يثبت التقارب المطلق في${\displaystyle z\in {\mathcal {H}}}$ل${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1.}$

علاوة على ذلك، يترتب على ذلك أن

${\displaystyle \zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|ncz+nd|^{2s}}}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}},}$

منذ الخريطة

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {N} \times \{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}:(x,y)=1\}\to \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}\\(n,(x,y))\mapsto (nx,ny)\end{cases}}}$

يتبع ذلك تقابل (أ).

(ب) لدينا${\displaystyle E(\gamma z,s)=E(z,s)}$للجميع${\displaystyle \gamma \in \Gamma (1)}$.

ل${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Gamma (1)}$نحصل

${\displaystyle {\tilde {E}}({\tilde {\gamma }}z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im ({\tilde {\gamma }}\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}={\tilde {E}}(z,s).}$

بالإضافة إلى (أ)،${\displaystyle E}$وهو ثابت أيضًا تحت${\displaystyle \Gamma (1)}$. QED

الفرضية: E هي شكل ذاتي لمؤثر لابلاس الزائدي

نحتاج إلى اللمة التالية:

اللمة:${\displaystyle \Delta }$يتنقل مع تشغيل${\displaystyle G}$على${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {H}})}$وبشكل أدق للجميع${\displaystyle g\in G}$لدينا:${\displaystyle L_{g}\Delta =\Delta L_{g}.}$

الدليل: المجموعة${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$يتم توليدها بواسطة عناصر النموذج

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}},a\in \mathbb {R} ^{\times };\quad {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\\\end{pmatrix}},x\in \mathbb {R}$ ;\quad S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}.}

يتم حساب قيمة المطالبة لهذه المولدات والحصول على قيمة المطالبة لجميعها${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$. QED

منذ${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)}$يكفي إظهار المعادلة التفاضلية لـ${\displaystyle {\tilde {E}}}$لدينا:

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s):=\Delta \sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)}$

علاوة على ذلك، يمتلك المرء

${\displaystyle \Delta \left(\Im (z)^{s}\right)=\Delta (y^{s})=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial y^{2}}}\right)=s(1-s)y^{s}.}$

بما أن عامل لابلاس يتنقل مع عملية${\displaystyle \Gamma (1)}$، نحصل

${\displaystyle \forall \gamma \in \Gamma (1):\quad \Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)=s(1-s)\Im (\gamma z)^{s}}$

وهكذا

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s)=s(1-s){\tilde {E}}(z,s).}$

لذلك، فإن المعادلة التفاضلية صحيحة بالنسبة لـ E في${\displaystyle \Re (s)>3}$من أجل الحصول على المطالبة بالكل${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$، ضع في اعتبارك الدالة${\displaystyle \Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s)}$بحساب متسلسلة فورييه لهذه الدالة بشكل صريح، نحصل على أنها دالة ميرومورفية . لأنها تتلاشى عندما${\displaystyle \Re (s)>3}$، يجب أن تكون الدالة الصفرية وفقًا لنظرية الهوية .

ل${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$يترك${\displaystyle \Gamma (N)}$كن نواة الإسقاط الكنسي

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).}$

ندعو${\displaystyle \Gamma (N)}$مجموعة فرعية للتطابق الرئيسي من المستوى${\displaystyle N}$مجموعة فرعية${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$يُطلق عليها اسم مجموعة فرعية للتطابق، إذا وُجدت${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$، لهذا السبب${\displaystyle \Gamma (N)\subseteq \Gamma }$جميع المجموعات الفرعية للتطابق منفصلة.

يترك

${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}:=\Gamma (1)/\{\pm 1\}.}$

بالنسبة لمجموعة فرعية متطابقة${\displaystyle \Gamma ,}$يترك${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$كن صورة لـ${\displaystyle \Gamma }$في${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}}$إذا كان S نظامًا من ممثلي${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\backslash {\overline {\Gamma (1)}}}$، ثم

${\displaystyle SD=\bigcup _{\gamma \in S}\gamma D}$

يُعد مجالًا أساسيًا لـ${\displaystyle \Gamma }$المجموعة${\displaystyle S}$يتم تحديده بشكل فريد من خلال المجال الأساسي${\displaystyle SD}$. بالإضافة إلى،${\displaystyle S}$محدود.

النقاط${\displaystyle \gamma \infty }$ل${\displaystyle \gamma \in S}$تُسمى هذه النقاط بنقاط التقاء المجال الأساسي${\displaystyle SD}$وهي مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$.

لكل نقطة تحول${\displaystyle c}$يوجد${\displaystyle \sigma \in \Gamma (1)}$مع${\displaystyle \sigma \infty =c}$.

يترك${\displaystyle \Gamma }$أن تكون مجموعة فرعية متطابقة و${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

نُعرّف مؤثر لابلاس الزائدي${\displaystyle \Delta _{k}}$وزن${\displaystyle k}$مثل

${\displaystyle \Delta _{k}:C^{\infty }({\mathcal {H}})\to C^{\infty }({\mathcal {H}}),}$

${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.}$

هذا تعميم لمؤثر لابلاس الزائدي${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta }$.

نُعرّف عملية من${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$على${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {H}})}$بواسطة

${\displaystyle f_{||k}g(z):=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{-k}f(gz)}$

أين

${\displaystyle z\in {\mathcal {H}},g={\begin{pmatrix}\ast &\ast \\c&d\\\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),f\in C^{\infty }({\mathcal {H}}).}$

يمكن إثبات ذلك

${\displaystyle (\Delta _{k}f)_{||k}g=\Delta _{k}(f_{||k}g)}$

ينطبق على الجميع${\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathcal {H}}),k\in \mathbb {Z} }$وكل${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$.

لذلك،${\displaystyle \Delta _{k}}$يعمل على الفضاء المتجهي

${\displaystyle C^{\infty }(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k):=\{f\in C^{\infty }({\mathcal {H}}):f_{||k}\gamma =f\forall \gamma \in \Gamma \}}$.

التعريف: شكل من أشكال الوزن يُقاس بالكتلة${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ل${\displaystyle \Gamma }$هي دالة${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$هذه دالة ذاتية لـ${\displaystyle \Delta _{k}}$ويكون نموه معتدلاً عند الأطراف.

يحتاج مصطلح النمو المعتدل عند نقاط التحول إلى توضيح. إنفينيتي هي نقطة تحول لـ${\displaystyle \Gamma ,}$دالة${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$يشهد نمواً معتدلاً في${\displaystyle \infty }$لو${\displaystyle f(x+iy)}$محدودة بكثيرة حدود في y كما${\displaystyle y\to \infty }$. يترك${\displaystyle c\in \mathbb {Q} }$يكون هناك حد فاصل آخر. ثم يوجد${\displaystyle \theta \in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$مع${\displaystyle \theta (\infty )=c}$. يترك${\displaystyle f':=f_{||k}\theta }$. ثم${\displaystyle f'\in C^{\infty }(\Gamma '\backslash {\mathcal {H}},k)}$، أين${\displaystyle \Gamma '}$هي مجموعة فرعية للتطابق${\displaystyle \theta ^{-1}\Gamma \theta }$نقول${\displaystyle f}$يتميز بنمو معتدل عند الحد الفاصل${\displaystyle c}$، لو${\displaystyle f'}$يشهد نمواً معتدلاً في${\displaystyle \infty }$.

التعريف. إذا${\displaystyle \Gamma }$يحتوي على مجموعة فرعية للتوافق الرئيسي من المستوى${\displaystyle N}$نقول ذلك${\displaystyle f}$يكون مدببًا عند اللانهاية، إذا

${\displaystyle \forall z\in {\mathcal {H}}:\quad \int _{0}^{N}f(z+u)du=0.}$

نقول ذلك${\displaystyle f}$يكون على شكل حرف S عند الحد الفاصل${\displaystyle c}$لو${\displaystyle f'}$يكون المنحنى مدببًا عند اللانهاية. إذا${\displaystyle f}$هي مدببة عند كل مفترق طرق، نسميها${\displaystyle f}$شكل مدبب .

نقدم مثالاً بسيطاً على شكل ماس للوزن${\displaystyle k>1}$بالنسبة للمجموعة المعيارية:

مثال. ليكن${\displaystyle g:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$أن يكون شكلاً معيارياً متساوي الوزن${\displaystyle k}$ل${\displaystyle \Gamma (1).}$ثم${\displaystyle f(z):=y^{\frac {k}{2}}g(z)}$هو شكل من أشكال الوزن وفقًا لمفهوم الكتلة${\displaystyle k}$للمجموعة${\displaystyle \Gamma (1)}$.

يترك${\displaystyle \Gamma }$أن تكون مجموعة فرعية متطابقة من${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ودع${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$ليكن فضاء المتجهات لجميع الدوال القابلة للقياس${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$مع${\displaystyle f_{||k}\gamma =f}$للجميع${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$مُرضٍ

${\displaystyle \|f\|^{2}:=\int _{\Gamma \backslash {\mathcal {H}}}|f(z)|^{2}d\mu (z)<\infty }$

دوال باقي القسمة مع${\displaystyle \|f\|=0.}$التكامل مُعرَّف جيدًا، لأن الدالة${\displaystyle |f(z)|^{2}}$يكون${\displaystyle \Gamma }$ثابت تحت تأثير عامل معين. هذا فضاء هيلبرت ذو جداء داخلي .

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Gamma \backslash {\mathcal {H}}}f(z){\overline {g(z)}}d\mu (z).}$

المشغل${\displaystyle \Delta _{k}}$يمكن تعريفها في فضاء متجهي${\displaystyle B\subset L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$وهو كثيف في${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$. هناك${\displaystyle \Delta _{k}}$هو مؤثر متناظر شبه موجب. ويمكن إثبات وجود امتداد ذاتي مرافق وحيد على${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k).}$

يُعرِّف${\displaystyle C(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$باعتبارها مساحة جميع أشكال الرؤوس المدببة${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k).}$ثم${\displaystyle \Delta _{k}}$يعمل على${\displaystyle C(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$وله طيف منفصل . أما الطيف الذي ينتمي إلى المكمل المتعامد فيحتوي على جزء متصل، ويمكن وصفه باستخدام متسلسلات أيزنشتاين غير الهولومورفية (المعدلة)، واستمراراتها الميرومورفية، وبقاياها. (انظر بامب أو إيوانيك ).

لو${\displaystyle \Gamma }$هي مجموعة فرعية منفصلة (خالية من الالتواء) من${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$بحيث يكون ناتج القسمة${\displaystyle \Gamma \backslash {\mathcal {H}}}$عندما تكون المجموعة مضغوطة، تتبسط المسألة الطيفية. وذلك لأن المجموعة الفرعية المدمجة المنفصلة لا تحتوي على نقاط حادة. هنا كل الفضاء${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$هو مجموع الفضاءات الذاتية.

${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$هي مجموعة أحادية المعامل متراصة محليًا ذات طوبولوجيا من${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$يترك${\displaystyle \Gamma }$لتكن مجموعة جزئية متطابقة. بما أن${\displaystyle \Gamma }$منفصل في${\displaystyle G}$، وهو مغلق في${\displaystyle G}$كذلك. المجموعة${\displaystyle G}$هي أحادية النمط، وبما أن مقياس العد هو مقياس هار على المجموعة المنفصلة${\displaystyle \Gamma }$،${\displaystyle \Gamma }$وهي أيضًا أحادية القيمة. وبحسب صيغة القسمة والتكامل، يوجد${\displaystyle G}$مقياس رادون الثابت من اليمين${\displaystyle dx}$في المساحة المدمجة محليًا${\displaystyle \Gamma \backslash G}$. يترك${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$ليكن المقابل${\displaystyle L^{2}}$الفضاء -. ينقسم هذا الفضاء إلى مجموع مباشر في فضاء هيلبرت:

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }L^{2}(\Gamma \backslash G,k)}$

أين

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k):=\left\{\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G)\mid \phi (xk_{\theta })=e^{ik\theta }F(x)\forall x\in \Gamma \backslash G\forall \theta \in \mathbb {R} \right\}}$

و

${\displaystyle k_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\\\end{pmatrix}}\in SO(2),\theta \in \mathbb {R} .}$

مساحة هيلبرت${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$يمكن تضمينها بشكل متساوي القياس في فضاء هيلبرت${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k)}$يتم تحديد التماثل الهندسي بواسطة الخريطة

${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{k}:L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)\to L^{2}(\Gamma \backslash G,k)\\\psi _{k}(f)(g):=f_{||k}\gamma (i)\end{cases}}}$

لذلك، فإن جميع أشكال ماس المدببة لمجموعة التطابق${\displaystyle \Gamma }$يمكن اعتبارها عناصر من${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$.

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$هو فضاء هيلبرت يحمل عملية للمجموعة${\displaystyle G}$، ما يسمى بالتمثيل المنتظم الأيمن :

${\displaystyle R_{g}\phi$ :=\phi (xg),{\text{ حيث }}x\in \Gamma \backslash G{\text{ و }}\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G).}

يمكن للمرء أن يثبت بسهولة أن${\displaystyle R}$هو تمثيل موحد لـ${\displaystyle G}$في مساحة هيلبرت${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$يهتم المرء بتفكيك التمثيل إلى تمثيلات فرعية غير قابلة للاختزال. وهذا ممكن فقط إذا${\displaystyle \Gamma }$تكون متراصة. وإذا لم تكن كذلك، فهناك أيضًا جزء تكاملي متصل لهيلبرت. والجزء المثير للاهتمام هو أن حل هذه المسألة يحل أيضًا المسألة الطيفية لأشكال ماس. (انظر بامب ، ج. 2.3)

ليكن k عددًا صحيحًا، و s عددًا مركبًا، و Γ زمرة جزئية منفصلة من SL ₂ ( R ) . إن شكل ماس ذو الوزن k للزمرة Γ مع قيمة لابلاس الذاتية s هو دالة سلسة من النصف العلوي للمستوى إلى الأعداد المركبة تحقق الشروط التالية:

• للجميع${\displaystyle \gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma }$وكل شيء${\displaystyle z\in {\mathcal {H}}}$لدينا${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{k}f(z).}$
• لدينا${\displaystyle \Delta _{k}f=sf}$، أين${\displaystyle \Delta _{k}}$الوزن k هو لابلاس الزائدي المعرف على النحو التالي$${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.}$$
• الوظيفة${\displaystyle f}$يكون نموه عند نقاط التقاطع على الأكثر متعدد الحدود .

يُعرَّف شكل ماس الضعيف بشكل مشابه، ولكن مع استبدال الشرط الثالث بـ "الدالة " .${\displaystyle f}$"يبلغ أقصى نمو أسي خطي عند نقاط التحول". علاوة على ذلك،${\displaystyle f}$يقال إنها توافقية إذا تم إفناؤها بواسطة مؤثر لابلاس.

يترك${\displaystyle f}$ليكن شكلاً ماسياً ذا وزن صفري. معامل فورييه المعياري له عند عدد أولي p محدود بالعلاقة p ^{− 7/64} + p ^{− 7/64} . هذه النظرية منسوبة إلى هنري كيم وبيتر سارناك ، وهي تقريب لتخمين رامانوجان-بيترسون .

يمكن اعتبار أشكال ماس الحدية أشكالًا ذاتية الشكل على GL(2). ومن الطبيعي تعريف أشكال ماس الحدية على GL( n ) على أنها أشكال كروية ذاتية الشكل على GL( n ) فوق حقل الأعداد النسبية. وقد أثبت وجودها كلٌ من ميلر ومولر وغيرهما.

يترك${\displaystyle R}$لتكن حلقة تبديلية مع عنصر محايد، ولتكن${\displaystyle G_{R}:=\mathrm {GL} _{2}(R)}$كن مجموعة من${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات ذات المدخلات في${\displaystyle R}$ومحدد قابل للعكس. ليكن${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$كن حلقة من أديل العقلانية،${\displaystyle \mathbb {A} _{\text{fin}}}$حلقة الأديلات (النسبية) المنتهية ولعدد أولي${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$يترك${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ليكن حقل الأعداد p -adic. علاوة على ذلك، ليكن${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ليكن حلقة الأعداد الصحيحة p-adic (انظر حلقة أديل ). عرّف${\displaystyle G_{p}:=G_{\mathbb {Q} _{p}}}$. كلاهما${\displaystyle G_{p}}$و${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$تُعتبر مجموعات أحادية المعامل متراصة محليًا إذا تم تزويدها بطوبولوجيات الفضاء الجزئي لـ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{4}}$على التوالى${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. ثم:

${\displaystyle G_{\text{fin}}:=G_{\mathbb {A} _{\text{fin}}}\cong {\widehat {\prod _{p<\infty }^{K_{p}}}}G_{p}.}$

الجانب الأيمن هو المنتج المقيد، فيما يتعلق بالمجموعات الفرعية المدمجة والمفتوحة.${\displaystyle K_{p}:=G_{\mathbb {Z} _{p}}}$ل${\displaystyle G_{p}}$. ثم${\displaystyle G_{\text{fin}}}$مجموعة مضغوطة محليًا، إذا قمنا بتزويدها بطوبولوجيا المنتج المقيدة.