التصور الرياضي

يمكن تعريف الهندسة بأنها دراسة الأشكال، من حيث حجمها وزواياها وأبعادها ونسبها. ^{[ 1 ]} غالبًا ما تُصاحب مواضيع الهندسة تمثيلات بصرية، ومسائل هندسية، وبراهين، وتعبيرات، وما إلى ذلك. وتعتمد أجزاء مختلفة من الهندسة على التمثيل البصري. في الهندسة غير الإقليدية وغيرها من المجالات التي لا تتطلب فيها المناهج الرياضية فهمًا بديهيًا، يُساعد التمثيل البصري.

لطالما تم تصوير الهندسة في الغالب عن طريق الرسومات ثنائية الأبعاد اليدوية، ولكن منذ الستينيات من القرن الماضي، أدت التطورات في القدرة الحاسوبية إلى تطوير آلات حاسبة هندسية وأجهزة تصوير ذات قوة متزايدة، والتي تتجاوز أغراضها الرياضيات وتلعب دورًا أساسيًا في العديد من الصناعات.

الجبر الخطي هو فرع من الرياضيات يُعنى بالمعادلات الخطية والمتباينات والتحويلات الخطية، وما إلى ذلك. ^{[ 2 ]} ويتم تمثيل الجبر بيانيًا في الغالب باستخدام الرسوم البيانية، حيث تُستخدم النقاط والخطوط والمساحات وغيرها لتمثيل مختلف معايير المسائل. تستطيع الآلات الحاسبة البيانية إدخال البيانات على شكل تعابير ورسم رسوم بيانية توضح وظائفها. ديسموس هو آلة حاسبة بيانية تعمل عبر المتصفح.

في التحليل المركب ، تكون دوال المستوى المركب رباعية الأبعاد بطبيعتها، ولكن لا يوجد إسقاط هندسي طبيعي لها على تمثيلات بصرية ذات أبعاد أقل. بدلاً من ذلك، تُستغل رؤية الألوان لالتقاط المعلومات البُعدية باستخدام تقنيات مثل تلوين المجال .

نظرية الفوضى هي فرع من الرياضيات يُعنى بفهم الأنظمة غير الخطية والشروط الابتدائية، وتتناول السلوك العشوائي وغير المتوقع. وتُستخدم في الغالب مخططات التشعب ومخططات الطور لتمثيل هذه النظرية بصريًا . ^{[ 3 ]}

يتمتع الكثير من الناس بخيال ذهني واسع فيما يتعلق بعلم الطوبولوجيا وكيفية تفاعله مع العالم. يُعرف عدم القدرة على تكوين صورة ذهنية قوية باسم "انعدام التخيل" ، بينما يعاني البعض من قدرة فائقة على تكوين صور ذهنية قوية للغاية، تُسمى "فرط التخيل" . يدرس الباحثون كيفية نشوء هاتين الحالتين من خلال تغيرات في بنية الدماغ.

لعب التصوير دورًا هامًا في بدايات نظرية العقد الطوبولوجية، حيث استُخدمت التفكيكات متعددة السطوح لحساب تماثل فضاءات تغطية العقد. وبتوسيع أسطح ريمان، التي كانت مستحيلة فيزيائيًا، إلى ثلاثة أبعاد ، والتي استُخدمت لتصنيف جميع المشعبات الثنائية المغلقة القابلة للتوجيه، تناولت أطروحة هيغارد عام 1898 بنىً مماثلة لدوال متغيرين عقديين، وذلك بأخذ سطح تخيلي رباعي الأبعاد في الفضاء الإقليدي سداسي الأبعاد (الموافق للدالة f=x²-y³) وإسقاطه مجسميًا (مع التعددية) على الكرة ثلاثية الأبعاد. في عشرينيات القرن العشرين، استخدم ألكسندر وبريغز هذه التقنية لحساب تماثل الأغطية المتفرعة الدورية للعقد ذات ثمانية تقاطعات أو أقل، ونجحا في تمييزها جميعًا عن بعضها البعض (وعن العقدة غير المُغلفة). وبحلول عام 1932، وسّع ريديميستر هذا ليشمل تسعة تقاطعات، معتمدًا على أرقام الربط بين منحنيات التفرع لأغطية العقد غير الدورية. إن حقيقة أن هذه الأشياء التخيلية لا وجود لها في الواقع لا تحول دون فائدتها في إثبات تميز العقد. فقد كانت هذه الحقيقة مفتاح اكتشاف بيركو عام 1973 لنوع العقدة المكررة في جدول ليتل للعقد ذات العشرة تقاطعات عام 1899.

تتميز مجموعات التبديل بتصورات بصرية رائعة لعناصرها، مما يساعد في شرح بنيتها، على سبيل المثال، المضلعات المنتظمة ذات الرتبة p المدورة والمقلوبة التي تشكل المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 2p. ويمكن استخدامها "لرؤية" العلاقات بين أعداد الربط بين منحنيات الفروع للفضاءات ثنائية السطوح التي تغطي العقد والروابط. ^{[ 5 ]}

يُعد كتاب ستيفن وولفرام عن الأوتوماتا الخلوية ، "نوع جديد من العلوم " (2002)، من أكثر الكتب استخدامًا للرسومات في مجال الرياضيات. وقد وُجهت إليه انتقادات بسبب اعتماده المفرط على الرسوم، حيث تُنقل الكثير من المعلومات من خلال صور لا تحمل معنىً رسميًا. ^{[ 7 ]}

• لقد وُجدت البراهين بدون كلمات منذ العصور القديمة، كما هو الحال في برهان نظرية فيثاغورس الموجود في النص الصيني Zhoubi Suanjing الذي يعود تاريخه إلى 1046 قبل الميلاد إلى 256 قبل الميلاد.
• يوضح سطح كليبش القطري الخطوط الـ 27 على سطح مكعب .

• انقلاب الكرة - أي أن الكرة يمكن قلبها من الداخل إلى الخارج في ثلاثة أبعاد إذا سُمح لها بالمرور عبر نفسها، ولكن بدون انحناءات - كانت نتيجة مذهلة وغير بديهية، تم إثباتها في الأصل بوسائل مجردة، ثم تم توضيحها لاحقًا بشكل بياني، أولاً في الرسومات، ثم في الرسوم المتحركة الحاسوبية.

يظهر غلاف مجلة " إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية" بانتظام تمثيلاً مرئياً رياضياً.