متعدد الأوجه

يمكن تصنيف المجسمات متعددة الأوجه، وغالبًا ما تُسمى وفقًا لعدد أوجهها. يعتمد نظام التسمية على اللغة اليونانية الكلاسيكية، ويجمع بين بادئة تُشير إلى عدد الأوجه واللاحقة "هيدرون" التي تعني "قاعدة" أو "مقعد" وتُشير إلى الأوجه. على سبيل المثال، رباعي الأوجه هو مجسم متعدد الأوجه ذو أربعة أوجه، وخماسي الأوجه هو مجسم متعدد الأوجه ذو خمسة أوجه، وسداسي الأوجه هو مجسم متعدد الأوجه ذو ستة أوجه، وهكذا. ^{[ 18 ]} للاطلاع على قائمة كاملة ببادئات الأرقام اليونانية، انظر قسم "بادئات الأرقام"  في "جدول بادئات الأرقام باللغة الإنجليزية" ، في عمود الأعداد اليونانية الأصلية. تُستخدم أسماء رباعيات الأوجه، وسداسيات الأوجه، وثمانيات الأوجه (متعددات الأوجه ذات الثمانية جوانب)، واثني عشريات الأوجه (متعددات الأوجه ذات الاثني عشر جانبًا)، وعشرونيات الأوجه (متعددات الأوجه ذات العشرين جانبًا) أحيانًا دون أي تحديد إضافي للإشارة إلى المجسمات الأفلاطونية ، وأحيانًا تُستخدم للإشارة بشكل عام إلى متعددات الأوجه ذات عدد معين من الجوانب دون أي افتراض للتناظر. ^{[ 19 ]}

بعض المجسمات متعددة الأوجه لها وجهان مختلفان. على سبيل المثال، يمكن تلوين الوجه الداخلي والخارجي لنموذج ورقي لمجسم متعدد الأوجه محدب بلون مختلف (مع أن اللون الداخلي سيكون مخفيًا عن الأنظار). هذه المجسمات قابلة للتوجيه . وينطبق الأمر نفسه على المجسمات غير المحدبة التي لا تتقاطع أوجهها مع بعضها. يمكن تلوين بعض المجسمات غير المحدبة التي تتقاطع أوجهها مع بعضها بنفس الطريقة، ولكن مع قلب بعض المناطق بحيث يظهر كلا اللونين على السطح الخارجي في أماكن مختلفة؛ وتُعتبر هذه المجسمات قابلة للتوجيه. مع ذلك، بالنسبة لبعض المجسمات الأخرى التي تتقاطع أوجهها مع بعضها ذات الأوجه المضلعة البسيطة، مثل رباعي نصف سداسي الأوجه ، لا يمكن تلوين وجهي كل وجه بلونين مختلفين بحيث تتناسق ألوان الأوجه المتجاورة. في هذه الحالة، يُقال إن المجسم غير قابل للتوجيه. بالنسبة للمجسمات متعددة الأوجه ذات الوجوه المتقاطعة ذاتيًا، قد لا يكون من الواضح ما يعنيه أن تكون الوجوه المتجاورة ملونة بشكل متسق، ولكن بالنسبة لهذه المجسمات، لا يزال من الممكن تحديد ما إذا كانت قابلة للتوجيه أم لا من خلال النظر في مركب خلية طوبولوجية له نفس حالات التداخل بين رؤوسه وحوافه ووجوهه. ^{[ 20 ]}

يتمثل أحد الفروق الأكثر دقة بين أسطح المجسمات متعددة السطوح في خاصية أويلر الخاصة بها ، والتي تجمع بين عدد الرؤوس.${\displaystyle V}$، الحواف${\displaystyle E}$ووجوه${\displaystyle F}$تحويل متعدد السطوح إلى رقم واحد${\displaystyle \chi }$محدد بالصيغة

${\displaystyle \chi =V-E+F.\ }$

تُستخدم الصيغة نفسها لحساب خاصية أويلر لأنواع أخرى من الأسطح الطوبولوجية. وهي خاصية ثابتة للسطح، بمعنى أنه عند تقسيم سطح واحد إلى رؤوس وحواف ووجوه بأكثر من طريقة، تظل خاصية أويلر ثابتة لهذه التقسيمات. بالنسبة للمجسم المحدب، أو بشكل أعم، أي مجسم بسيط الاتصال بسطح كرة طوبولوجية، فإنها تساوي دائمًا 2. أما بالنسبة للأشكال الأكثر تعقيدًا، فترتبط خاصية أويلر بعدد الثقوب الحلقية أو المقابض أو الأغطية المتقاطعة في السطح، وتكون أقل من 2. ^{[ 21 ]} جميع المجسمات ذات خصائص أويلر الفردية غير قابلة للتوجيه. قد يكون الشكل ذو خاصية أويلر الزوجية قابلًا للتوجيه أو غير قابل له. على سبيل المثال، المجسم الحلقي ذو الثقب الواحد وزجاجة كلاين لهما خاصية أويلر زوجية.${\displaystyle \chi =0}$^{[ 20 ]}​

في العديد من طرق تعريف المجسمات متعددة الأوجه (وليس جميعها)، يُشترط أن يكون سطح المجسم متعدد الأوجه متعدد الشعب . وهذا يعني أن كل حافة تقع على حدود وجهين فقط (مما يمنع وجود أشكال مثل اتحاد مكعبين يلتقيان فقط على طول حافة مشتركة)، وأن كل رأس يقع على دورة متناوبة واحدة من الحواف والوجوه (مما يمنع وجود أشكال مثل اتحاد مكعبين يشتركان في رأس واحد فقط). بالنسبة للمجسمات متعددة الأوجه المُعرَّفة بهذه الطرق، فإن تصنيف متعددات الشعب يعني أن النوع الطوبولوجي للسطح يتحدد تمامًا من خلال الجمع بين خاصية أويلر وقابلية التوجيه. على سبيل المثال، كل مجسم متعدد الأوجه يكون سطحه متعدد الشعب قابلًا للتوجيه وتكون خاصية أويلر الخاصة به 2، يجب أن يكون كرة طوبولوجية. ^{[ 20 ]}

المجسم الحلقي هو مجسم تكون خاصيته الأويلرية أقل من أو تساوي صفرًا، أو بعبارة أخرى، يكون جنسه واحدًا أو أكثر. من الناحية الطوبولوجية، تكون أسطح هذه المجسمات أسطحًا حلقية تحتوي على ثقب واحد أو أكثر في مركزها. ^{[ 22 ]} ومن الأمثلة البارزة على ذلك مجسم زيلاسي ، الذي يحقق هندسيًا خريطة هيوود . أما المجسم الذي يتمتع بتناظرات المجسم المنتظم ويكون جنسه أكبر من واحد، فيُسمى مجسم ليوناردو . ^{[ 23 ]}

لكل متعدد السطوح محدب، يوجد متعدد سطوح ثنائي له

• وجوه مكان رؤوس الأصل والعكس صحيح، و
• نفس عدد الحواف.

يمكن الحصول على ثنائي متعدد السطوح المحدب من خلال عملية التبادل القطبي . ^{[ 24 ]} توجد متعددات السطوح الثنائية في أزواج، وثنائي الثنائي هو ببساطة متعدد السطوح الأصلي مرة أخرى. بعض متعددات السطوح ذاتية الثنائية، أي أن ثنائي متعدد السطوح متطابق مع متعدد السطوح الأصلي. ^{[ 25 ]} مع ذلك، وخلافًا للتبادل القطبي، من الممكن ألا تكون الثنائية الذاتية انقلابًا ، بمعنى أن تكرار الثنائية الذاتية مرتين قد لا يعيد كل رأس ووجه من متعدد السطوح إلى موضعه الأصلي. ^{[ 26 ]}

للمجسمات المجردة أيضًا ثنائيات، تُستَحصَل عليها بعكس الترتيب الجزئي الذي يُعرِّف المجسم للحصول على ثنائيته أو ترتيبها المعاكس . ^{[ 15 ]} تتمتع هذه الثنائيات بنفس خاصية أويلر وقابلية التوجيه التي يتمتع بها المجسم الأصلي. مع ذلك، لا يصف هذا الشكل من الثنائية شكل المجسم الثنائي، بل يصف بنيته التوافقية فقط. بالنسبة لبعض تعريفات المجسمات الهندسية غير المحدبة، توجد مجسمات لا يمكن تمثيل ثنائياتها المجردة كمجسمات هندسية وفقًا للتعريف نفسه. ^{[ 12 ]}

لكل رأس، يمكن تعريف شكل رأسي يصف البنية المحلية للمجسم حول ذلك الرأس. تختلف التعريفات الدقيقة، ولكن يمكن اعتبار الشكل الرأسي بمثابة المضلع المكشوف عند قطع رأس من المجسم بقطعة في المجسم. ^{[ 10 ]} بالنسبة للمجسمات الأفلاطونية وغيرها من المجسمات المتناظرة للغاية، يمكن اختيار هذه القطعة لتمر بمنتصف كل ضلع متصل بالرأس، ^{[ 27 ]} ولكن قد لا تحتوي المجسمات الأخرى على مستوى يمر بهذه النقاط. بالنسبة للمجسمات المحدبة، وبشكل أعم للمجسمات التي تكون رؤوسها في وضع محدب ، يمكن اختيار هذه القطعة كأي مستوى يفصل الرأس عن الرؤوس الأخرى. ^{[ 28 ]} عندما يكون للمجسم مركز تناظر، فمن المعتاد اختيار هذا المستوى ليكون عموديًا على الخط المار بالرأس المحدد والمركز. ^{[ 29 ]} بهذا الخيار، يتحدد شكل رأس المجسم حتى تغيير المقياس. عندما لا تكون رؤوس المجسم متعدد السطوح في وضع محدب، لن يكون هناك دائمًا مستوى يفصل كل رأس عن البقية. في هذه الحالة، من الشائع تقسيم المجسم متعدد السطوح بواسطة كرة صغيرة مركزها الرأس. ^{[ 30 ]} مرة أخرى، ينتج عن هذا شكل لرأس المجسم ثابت حتى تغيير المقياس. تؤدي جميع هذه الخيارات إلى أشكال رؤوس ذات بنية تركيبية متشابهة، بالنسبة للمجسمات متعددة السطوح التي يمكن تطبيقها عليها، ولكنها قد تعطيها أشكالًا هندسية مختلفة.

مساحة سطح متعدد السطوح هي مجموع مساحات أوجهه، وذلك وفقًا لتعريفات متعددات السطوح التي تكون فيها مساحة الوجه محددة بدقة. المسافة الجيوديسية بين أي نقطتين على سطح متعدد السطوح هي طول أقصر منحنى يربط بين النقطتين، ويبقى ضمن السطح. وبحسب نظرية ألكسندروف للتفرد ، فإن كل متعدد سطوح محدب يُحدد بشكل فريد بواسطة الفضاء المتري للمسافات الجيوديسية على سطحه. مع ذلك، قد تتساوى المسافات السطحية لمتعددات السطوح غير المحدبة فيما بينها، أو قد تتساوى مع مسافات سطحية لبعض متعددات السطوح المحدبة. ^{[ 31 ]}

عندما يصل خط مستقيم بين رأسين لا يقعان على نفس الوجه، فإنه يشكل خطًا قطريًا للمجسم. ^{[ 32 ]} لا تحتوي جميع المجسمات على خطوط قطرية، كما هو الحال في عائلة الأهرامات ^{[ 33 ]} . يحتوي مجسم شونهاردت على ثلاثة خطوط قطرية، تقع جميعها خارجه تمامًا، بينما لا يحتوي مجسم تشاسار على أي خطوط قطرية (بل إن كل زوج من الرؤوس متصل بحافة). ^{[ 34 ]}

تتميز المجسمات متعددة الأوجه بكمية مرتبطة بها تُسمى الحجم ، وهي تقيس مقدار الفراغ الذي تشغله. قد تمتلك عائلات بسيطة من المجسمات صيغًا بسيطة لحساب أحجامها؛ فعلى سبيل المثال، يمكن التعبير بسهولة عن أحجام الأهرامات والموشورات ومتوازيات المستطيلات بدلالة أطوال أضلاعها أو إحداثيات أخرى. (انظر قسم "صيغ الحجم" للاطلاع على قائمة تتضمن العديد من هذه الصيغ).

قد لا تكون صيغ حساب أحجام المجسمات متعددة الأوجه الأكثر تعقيدًا بسيطة. يمكن حساب أحجام هذه المجسمات بتقسيمها إلى أجزاء أصغر (على سبيل المثال، باستخدام التثليث ). فعلى سبيل المثال، يمكن حساب حجم المجسم الأفلاطوني بتقسيمه إلى أهرامات متطابقة ، بحيث يكون لكل هرم قاعدة من أوجه المجسم ومركز المجسم قمته.

بشكل عام، يمكن استنتاج من نظرية التباعد أن حجم المجسم متعدد السطوح يُعطى بالعلاقة التالية $${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,}$$ حيث يكون المجموع على الوجوه${\displaystyle F}$من متعدد السطوح،${\displaystyle Q_{F}}$هي نقطة عشوائية على الوجه${\displaystyle F}$،${\displaystyle N_{F}}$هو متجه الوحدة العمودي على${\displaystyle F}$يشير إلى خارج المجسم، ونقطة الضرب هي حاصل الضرب النقطي . ^{[ 35 ]} في الأبعاد الأعلى، قد يكون حساب الحجم صعبًا، ويرجع ذلك جزئيًا إلى صعوبة سرد أوجه متعدد السطوح المحدب المحدد فقط برؤوسه، وتوجد خوارزميات متخصصة لتحديد الحجم في هذه الحالات. ^{[ 36 ]}

في بُعدين، تنص نظرية بولياي-جيروين على أنه يمكن تحويل أي مضلع إلى أي مضلع آخر له نفس المساحة عن طريق تقسيمه إلى عدد محدود من الأجزاء المضلعة وإعادة ترتيبها . وكان السؤال المماثل بالنسبة للمجسمات موضوعًا لمسألة هيلبرت الثالثة . وقد حل ماكس دين هذه المسألة بإثبات أنه، على عكس الحالة ثنائية الأبعاد، توجد مجسمات لها نفس الحجم لا يمكن تقسيمها إلى مجسمات أصغر وإعادة تجميعها. ولإثبات ذلك، اكتشف دين قيمة أخرى مرتبطة بالمجسم، وهي ثابت دين ، بحيث لا يمكن تقسيم مجسمين إلا إذا كان لهما نفس الحجم ونفس ثابت دين. وقد أثبت سيدلر لاحقًا أن هذا هو العائق الوحيد أمام التقسيم: فكل مجسمين إقليديين لهما نفس الحجم وثابت دين يمكن تقسيمهما وإعادة تجميعهما. ^{[ 37 ]} إن ثابت دين ليس عددًا، بل هو متجه في فضاء متجهي لا نهائي الأبعاد، يتم تحديده من أطوال وزوايا ثنائية السطوح لحواف متعدد السطوح. ^{[ 38 ]}

تتعلق إحدى مسائل هيلبرت، وهي المسألة الثامنة عشرة لهيلبرت ، (من بين أمور أخرى) بالمجسمات متعددة السطوح التي تقسم الفضاء . يجب أن يكون لكل مجسم متعدد السطوح من هذا النوع ثابت دين يساوي صفرًا. ^{[ 39 ]} وقد رُبط ثابت دين أيضًا بالمجسمات متعددة السطوح المرنة من خلال نظرية المنفاخ القوي، التي تنص على أن ثابت دين لأي مجسم متعدد السطوح مرن يظل ثابتًا أثناء انثناءه. ^{[ 40 ]}

يمكن فرد أوجه بعض المجسمات متعددة السطوح إلى ترتيب من المضلعات المتصلة حوافها في المستوى، دون تداخل بينها. يُعرف هذا الترتيب بشبكة المجسم متعدد السطوح . ويمكن استخدام الشبكات لبناء نماذج للمجسمات متعددة السطوح من الورق أو مواد مرنة أخرى. ^{[ 41 ]}

تُشكل جميع العناصر (الرأس، والوجه، والحافة) التي يمكن وضعها فوق بعضها البعض بواسطة التناظرات مدارًا تناظريًا . إذا كانت هذه العناصر تقع في نفس المدار، فقد يكون الشكل متعديًا على هذا المدار. بشكل فردي، تكون هذه العناصر متساوية الأوجه (أو متعدية على الأوجه، أي أن تحويلات التناظر تشمل أوجه المجسمات متعددة الأوجه في المدار)، ^{[ 43 ] [ أ ]} متساوية المحاور (أو متعدية على الحواف، والتي تشمل مجسمات الحواف)، ^{[ 44 ]} ومتساوية الزوايا (أو متعدية على الرؤوس، والتي تشمل رؤوس المجسمات متعددة الأوجه). على سبيل المثال، يبقى المكعب الذي تقع جميع أوجهه في مدار واحد، والذي يشمل الدوران والانعكاسات في هذا المدار، دون تغيير في مظهره؛ وبالتالي، فإن المكعب متعدٍ على الأوجه. يتمتع المكعب أيضًا بالتناظرين الآخرين من هذا النوع. ^{[ 45 ]}

عندما يمتلك متعدد السطوح ثلاث تناظرات من هذا النوع، يُعرف باسم متعدد السطوح المنتظم . ^{[ 45 ]} توجد تسعة متعددات سطوح منتظمة: خمسة مجسمات أفلاطونية (المكعب، وثماني السطوح ، وعشروني السطوح ، ورباعي السطوح ، واثني عشري السطوح - جميعها ذات أوجه مضلعة منتظمة) وأربعة متعددات سطوح كبلر-بوانسو . مع ذلك، قد لا يمتلك بعض متعددات السطوح تناظرًا واحدًا أو اثنين من هذه التناظرات.

• يُقال عن متعدد السطوح الذي يكون متعديًا على الرؤوس ومتعديًا على الحواف أنه شبه منتظم ؛ له وجوه منتظمة، وتكون ثنائياته متعدية على الوجوه ومتعدية على الحواف.
• يُقال عن متعدد السطوح ذي الوجوه المضلعة المنتظمة، والذي لا يكون متعديًا على الرؤوس ولكنه غير متعدٍ على الحواف، أنه شبه منتظم . ^{[ ب ]} يشمل ذلك الموشورات والموشورات المضادة . المجسم الثنائي لمتعدد السطوح شبه المنتظم يكون متعديًا على الوجوه، وكل رأس فيه منتظم.
• يُقال عن متعدد السطوح ذي الأوجه المضلعة المنتظمة والمتناظر رأسيًا أنه متعدد السطوح منتظم . تشمل هذه الفئة متعددات السطوح المنتظمة، وشبه المنتظمة، وشبه المنتظمة. يمكن تطبيق هذا التعريف على كل من متعددات السطوح المحدبة والنجمية. يكون ثنائي متعدد السطوح المنتظم متناظرًا وجهيًا وله رؤوس منتظمة، ولكنه ليس بالضرورة متناظرًا رأسيًا. تُصنف متعددات السطوح المنتظمة وثنائياتها تقليديًا وفقًا لدرجة تناظرها، وما إذا كانت محدبة أم لا.
• يُقال عن متعدد السطوح الذي يكون متعديًا على الوجوه والرؤوس (ولكن ليس بالضرورة على الحواف) أنه نبيل . متعددات السطوح المنتظمة نبيلة أيضًا؛ فهي متعددات السطوح المنتظمة النبيلة الوحيدة. ثنائيات متعددات السطوح النبيلة هي نفسها نبيلة.

بعض المجسمات متعددة الأوجه لا تمتلك تناظرًا انعكاسيًا ، لذا فهي تمتلك شكلين متماثلين، وهما انعكاسان لبعضهما البعض. ومن الأمثلة على ذلك المكعب الثماني الأوجه المقطوع والمجسم العشري الاثني عشري الأوجه المقطوع . في هذه الحالة، يُقال إن المجسم متعدد الأوجه كيرالي .

تعني مجموعة النقاط للمجسمات متعددة الأوجه مجموعة رياضية مزودة بعمليات التناظر الخاصة بها بحيث يبقى شكل المجسمات متعددة الأوجه محفوظًا أثناء تحويلها في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يشمل التحويل المشار إليه هنا الدوران حول المحاور، والانعكاس عبر المستوى، والانعكاس حول نقطة مركزية، ومزيج من هذه التحويلات الثلاثة. ^{[ 46 ]}

مجموعة السطوح المتعددة هي مجموعة التناظر المشتقة أصلاً من المجسمات الأفلاطونية الثلاثة: رباعي الأوجه، وثماني الأوجه، وعشروني الأوجه. ولكل من هذه المجسمات الثلاثة مجموعات تناظر نقطية تُعرف على التوالي بتناظر رباعي الأوجه ، وتناظر ثماني الأوجه ، وتناظر عشريني الأوجه . تركز كل مجموعة من هذه المجموعات على مجموعة دوران المجسمات المتعددة الأوجه، والمعروفة باسم مجموعة السطوح المتعددة الأوجه الكيرالية ، بينما يُعرف تناظر الانعكاس الإضافي باسم مجموعة السطوح المتعددة الأوجه الكاملة . تتضمن إحدى مجموعات التناظر النقطية، وهي تناظر البيريتوهيدرا ، دوران تناظر رباعي الأوجه، بالإضافة إلى ثلاثة مستويات من تناظر الانعكاس وبعض الانعكاسات الدورانية . إجمالاً، يمكن تلخيص مجموعات السطوح المتعددة المذكورة في النقاط التالية: ^{[ 47 ]}

• التناظر الرباعي الأوجه اللولبي${\displaystyle \mathrm {T} }$، وهي مجموعة الدوران لهرم رباعي منتظم ولها رتبة اثني عشر.
• تناظر رباعي الأوجه كامل${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {d} }}$، وهي مجموعة التناظر لرباعي الأوجه المنتظم ولها رتبة أربعة وعشرين.
• التناظر البيريتوهيدرالي${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {h} }}$، وهو تناظر البيريتوهيدرون وله رتبة أربعة وعشرين.
• التناظر الثماني السطوح الكيرالي${\displaystyle \mathrm {O} }$، وهي مجموعة الدوران لكل من المكعب وثماني السطوح المنتظم ولها الرتبة أربعة وعشرون.
• تناظر ثماني الأوجه كامل${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$، وهي مجموعة التناظر لكل من المكعب وثماني السطوح المنتظم ولها رتبة ثمانية وأربعين.
• التناظر العشري الوجوه الكيرالي${\displaystyle \mathrm {I} }$، وهي مجموعة الدوران لكل من المجسم العشري الوجوه المنتظم والمجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم ولها رتبة ستين.
• تناظر كامل عشريني الوجوه${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$، وهي مجموعة التناظر لكل من المجسم العشري الوجوه المنتظم والمجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم ولها رتبة مائة وعشرين.

قد تسمح مجموعات النقاط في ثلاثة أبعاد أيضًا بالحفاظ على مظهر المجسمات متعددة الأوجه من خلال الدوران حول محور. وهناك ثلاثة أنواع مختلفة من مجموعات النقاط هذه:

• التناظر الهرمي${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$مما يسمح بتدوير المحور المار بالقمة وقاعدتها ، بالإضافة إلى الانعكاس بالنسبة للمستويات العمودية المارة بمنصف القاعدة. يمكن إيجاد تناظر مجموعة النقاط هذا في الأهرامات، ^{[ 48 ]} والقباب ، والمستديرات .
• التناظر المنشوري${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$يشبه هذا التناظر التناظر الهرمي، ولكنه يتضمن تحويلاً إضافياً عن طريق عكسه عبر مستوى أفقي. ^{[ 48 ]} ويمكن تحقيق ذلك من خلال عائلة الموشورات وثنائيات الهرم المزدوجة التابعة لها . ^{[ 48 ]}
• التناظر المضاد للمنشور${\displaystyle D_{n\mathrm {v} }}$، وهو ما يحافظ على التناظر عن طريق تدوير نصف قاعدته وانعكاسه عبر المستوى الأفقي. ^{[ 48 ]} ويمكن إيجاد أمثلة على ذلك في الموشورات المضادة.

مجموعة نقطية${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$يتألف من الدوران حول محور التناظر والانعكاس على المستوى الأفقي. في حالة${\displaystyle n=1}$تحافظ مجموعة التناظر على التناظر فقط من خلال دوران كامل، وعادةً ما تشير إلى${\displaystyle C_{s}}$[ ^{49 ] قد يكون للمجسمات متعددة الأوجه دوران فقط للحفاظ على} التناظر، ويمكن اعتبار مجموعة التناظر بمثابة المجموعة الدورية${\displaystyle C_{n}}$[ ^{50 ] المجسمات متعددة الأوجه} ذات خاصية الدوران والانعكاس والدوران بواسطة المجموعة الدورية هي مجموعة نقطية${\displaystyle S_{n}}$[ ^{51 ]​}

المجسم متعدد السطوح الذي يملأ الفراغ هو مجسم يمكن رصّ نسخ منه معًا لملء الفراغ بالكامل. يُطلق على هذا الرصّ المُحكم أو ملء الفراغ غالبًا اسم تبليط الفراغ أو خلية النحل . تشمل هذه المجسمات متوازيات السطوح (أو مجسمات فيدوروف)، حيث يُشكّل كل منها تبليطًا باستخدام نسخ منه مُزاحة دون دوران؛ ^{[ 74 ]} ومجسمات البليسيو ، المُعرّفة بأنها خلايا فورونوي لمجموعات ديلون المتناظرة ؛ ومجسمات هيل رباعية السطوح ، وهي عائلة من مجسمات رباعية السطوح التي تملأ الفراغ. تُعدّ متوازيات السطوح ومجسمات البليسيو أمثلة على المجسمات المجسمة ، التي تُبلّط الفراغ بشكل متساوي السطوح. ^{[ 75 ]} يجب أن يكون ثابت دين لكل مجسم متعدد السطوح يملأ الفراغ مساويًا للصفر. ^{[ 76 ]}

تتضمن بعض خلايا النحل أكثر من نوع واحد من متعددات السطوح، مثل تبليط ثماني السطوح ورباعي السطوح وثماني السطوح ومكعب ثماني السطوح . ^{[ 77 ]}

متعدد السطوح ستيفن وأحد أنواع متعددات السطوح بريكارد

تستطيع بعض المجسمات تغيير شكلها العام مع الحفاظ على أشكال أوجهها ثابتة، وذلك بتغيير زوايا حوافها. يُطلق على المجسم الذي يتمتع بهذه الخاصية اسم المجسم المرن. وبحسب نظرية كوشي للصلابة ، يجب أن تكون المجسمات المرنة غير محدبة. كما يجب أن يظل حجم المجسم المرن ثابتًا أثناء انثناءه؛ وتُعرف هذه النتيجة بنظرية المنفاخ. ^{[ 78 ]} ومن الأمثلة على ذلك مجسم ستيفن ، ^{[ 79 ]} وثماني السطوح بريكارد ، ^{[ 80 ]} ومجسم كوكوتساكيس . ^{[ 81 ]}

يمكن تعريف المجسمات المحدبة في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد بنفس طريقة تعريفها في الفضاء الإقليدي، باعتبارها الأغلفة المحدبة لمجموعات منتهية من النقاط. مع ذلك، في الفضاء الزائدي، من الممكن أيضًا اعتبار النقاط المثالية والنقاط الواقعة ضمن هذا الفضاء. المجسم المثالي هو الغلاف المحدب لمجموعة منتهية من النقاط المثالية. ^{[ 82 ]} وجوهه عبارة عن مضلعات مثالية، لكن حوافه تُعرَّف بخطوط زائدية كاملة بدلًا من قطع مستقيمة، ورؤوسه (النقاط المثالية التي يُمثل غلافها المحدب) لا تقع ضمن الفضاء الزائدي.

تُسمى المجسمات المحدبة التي تكون إحداثيات جميع رؤوسها أعدادًا صحيحة بالمجسمات الشبكية أو المجسمات التكاملية . تحسب متعددة حدود إيرهارت للمجسم الشبكي عدد النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة التي تقع ضمن نسخة مُكبّرة من المجسم، كدالة لمعامل التكبير. يقع مجال دراسة هذه المتعددات الحدودية عند تقاطع التوافقية والجبر التبادلي . ^{[ 83 ]} ومن الأمثلة على ذلك رباعي الأوجه ريف . ^{[ 84 ]}

توجد علاقة تكافؤ واسعة النطاق بين متعددات السطوح الشبكية وبعض الأصناف الجبرية التي تسمى الأصناف التوريكية . ^{[ 85 ]} وقد استخدم ستانلي هذه العلاقة لإثبات معادلات دين-سومرفيل للمتعددات السطحية التبسيطية . ^{[ 86 ]}

يتكون المركب متعدد السطوح من اثنين أو أكثر من متعددات السطوح التي تشترك في مركز واحد. غالبًا ما تشترك المركبات المتناظرة في نفس الرؤوس مع متعددات السطوح الأخرى المعروفة، وقد تتشكل أيضًا عن طريق التنميط النجمي . على سبيل المثال، يتكون مركب رباعيي السطوح من رباعيي سطوح منتظمين يتقاطعان، أو بدلاً من ذلك عن طريق تمديد الأوجه الأساسية لثماني السطوح منتظم ، ولذلك يُطلق عليه أيضًا اسم "ثماني السطوح النجمي"؛ ويُشكل متعدد السطوح الناتج أوجهًا مثلثية إضافية. ^{[ 87 ]}

الزونوهيدرون هو متعدد السطوح محدب يكون كل وجه فيه مضلعًا متناظرًا عند الدوران بزاوية 180 درجة. ويمكن أيضًا وصف الزونوهيدرونات بأنها مجموع مينكوفسكي للقطع المستقيمة، وتشمل العديد من متعددات السطوح المهمة التي تملأ الفراغ. ^{[ 88 ]}

تُوصف المجسمات متعددة الأوجه بأنها متعامدة لأن جميع حوافها موازية لمحاور نظام الإحداثيات الديكارتية. ^{[ 89 ]} وهذا يعني أن جميع الأوجه تلتقي بزوايا قائمة ، لكن هذا الشرط ليس شرطًا ثابتًا: فمجسم جيسن ذو العشرين وجهًا له أوجه تلتقي بزوايا قائمة، لكن حوافه ليست موازية لمحاوره. ^{[ 90 ]} باستثناء متوازيات المستطيلات ، فإن المجسمات متعددة الأوجه المتعامدة غير محدبة. وهي النظائر ثلاثية الأبعاد للمضلعات المتعامدة ثنائية الأبعاد، والمعروفة أيضًا بالمضلعات المستقيمة . تُستخدم المجسمات متعددة الأوجه المتعامدة في الهندسة الحسابية ، حيث مكّن هيكلها المقيد من إحراز تقدم في حل مسائل لم تُحل للمجسمات متعددة الأوجه الأخرى، على سبيل المثال، فرد سطح المجسم متعدد الأوجه إلى شبكة مضلعية . ^{[ 91 ]} المكعبات المتعددة هي حالة خاصة من متعددات السطوح المتعامدة التي يمكن تحليلها إلى مكعبات متطابقة، وهي نظائر ثلاثية الأبعاد لمتعددات السطوح المستوية . ^{[ 92 ]}

السطح متعدد السطوح الكلاسيكي له عدد محدود من الأوجه، متصلة في أزواج على طول الحواف. أما الأوجه اللانهائية فتشكل فئة مشابهة من الأجسام ذات عدد لا نهائي من الأوجه. ومن أمثلة الأوجه اللانهائية تبليط أو تجزئة المستوى، وهياكل إسفنجية تُسمى متعددات السطوح المائلة اللانهائية .

ثلاثة أشكال هندسية منتظمة منحرفة غير منتظمة من تصميم بيتري وكوكسيتر: مكعب صغير، ثماني السطوح صغير، ورباعي السطوح صغير

المجسمات المائلة هي مجسمات ذات أوجه غير مستوية. نشأت المجسمات المائلة المنتظمة غير المستوية من امتداد المضلعات المائلة المنتظمة . وتُعرف هذه المضلعات برؤوسها غير المستوية. ابتكر جون فليندرز بيتري ، الذي عمم هذا المفهوم إلى حالة ثلاثية الأبعاد عام 1926، أول نوعين من هذه المجسمات غير المستوية. وهما المكعب الصغير والمجسم الثماني الأوجه الصغير، اللذان تم بناؤهما من مكعبات ومجسمات ثمانية الأوجه مقطوعة عن طريق إزالة الأوجه المربعة المشتركة للمجسمات المتجاورة لتشكيل أنفاق. أما المجسم المائل المنتظم الثالث، وهو المجسم الرباعي الأوجه، فقد اكتشفه لاحقًا هارولد سكوت ماكدونالد كوكسيتر من خلال بناء العديد من المجسمات الرباعية الأوجه المقطوعة وفقًا لإجراء بيتري. ^{[ 93 ]}

توجد أشكال تُسمى متعددات السطوح المركبة، والتي يكون فضاءها الأساسي فضاء هيلبرت مركبًا وليس فضاءً إقليديًا حقيقيًا. ولا توجد تعريفات دقيقة إلا لمتعددات السطوح المركبة المنتظمة، التي تكون مجموعات تناظرها مجموعات انعكاس مركبة . وترتبط متعددات السطوح المركبة رياضيًا بالتكوينات أكثر من ارتباطها بمتعددات السطوح الحقيقية. ^{[ 94 ]}

تسمح بعض مجالات الدراسة بوجود أوجه وحواف منحنية في المجسمات متعددة الأوجه. ويمكن للأوجه المنحنية أن تسمح بوجود أوجه ثنائية ذات مساحة موجبة.

• عند تقسيم سطح كرة بواسطة عدد محدود من الأقواس الكبيرة (أو بمستويات تمر بمركز الكرة)، يُطلق على الناتج اسم متعدد السطوح الكروي . يمكن إسقاط العديد من متعددات السطوح المحدبة التي تتمتع بدرجة من التناظر (مثل جميع المجسمات الأفلاطونية) على سطح كرة متحدة المركز لإنتاج متعدد سطوح كروي. مع ذلك، لا يمكن دائمًا عكس العملية؛ فبعض متعددات السطوح الكروية (مثل المجسمات متعددة السطوح ) ليس لها نظير مسطح. ^{[ 95 ]}
• إذا سُمح للأسطح بأن تكون مقعرة ومحدبة، فيمكن جعل الأسطح المتجاورة تلتقي معًا دون أي فجوة. بعض هذه المجسمات المنحنية متعددة الأوجه يمكن أن تتراص معًا لملء الفراغ. من أهم أنواعها الفقاعات الموجودة في الرغوة، مثل فقاعات واير-فيلان ^{[ 96 ]} ، والأشكال المستخدمة في الهندسة المعمارية ^{[ 97 ] .}

ظهرت الأشكال متعددة الأوجه في أشكال معمارية مبكرة مثل المكعبات ومتوازيات المستطيلات، حيث يعود تاريخ أقدم الأهرامات المصرية رباعية الأوجه إلى القرن السابع والعشرين قبل الميلاد . ^{[ 99 ]} تتضمن بردية موسكو الرياضية، التي تعود إلى الفترة ما بين 1800 و1650 قبل الميلاد تقريبًا، دراسة مكتوبة مبكرة عن الأشكال متعددة الأوجه وأحجامها (وتحديدًا حجم المخروط الناقص ). ^{[ 100 ]} كما تضمنت رياضيات الإمبراطورية البابلية القديمة ، التي تعود إلى نفس الفترة الزمنية تقريبًا لبردية موسكو، حسابات لأحجام متوازيات المستطيلات ( والأسطوانات غير متعددة الأوجه )، وحسابات لارتفاع هذا الشكل اللازم لتحقيق حجم معين. ^{[ 101 ]}

سبق الأتروسكان الإغريق في معرفتهم ببعض الأشكال متعددة السطوح المنتظمة على الأقل، كما يتضح من اكتشاف مجسم إتروسكاني ذي اثني عشر وجهًا مصنوع من حجر الصابون في مونتي لوفا . وقد نُقشت على أوجهه تصاميم مختلفة، مما يوحي لبعض الباحثين بأنه ربما استُخدم كأداة للعب. ^{[ 102 ]}

الأجسام الأفلاطونية المنسوبة إلى العناصر (رسومات من كتاب كيبلر " هارمونيسيس موندي" ) 

اكتشف علماء الرياضيات اليونانيون القدماء المجسمات المنتظمة المحدبة ودرسوها ، والتي عُرفت فيما بعد باسم الأجسام الأفلاطونية . أول وصف مكتوب لها ورد في كتاب طيماوس لأفلاطون (حوالي 360 قبل الميلاد)، حيث ربط أربعة منها بالعناصر الأربعة ، والخامس بالشكل العام للكون. بعد ذلك بوقت قصير، كُتب تحليل رياضي أكثر تفصيلًا لهذه المجسمات الخمسة في كتاب أصول إقليدس . كتب أحد المعلقين الأوائل على كتاب إقليدس (ربما جيمينوس ) أن نسبة هذه الأشكال إلى أفلاطون غير صحيحة: فقد عرف فيثاغورس رباعي الأوجه والمكعب وذو الاثني عشر وجهًا ، واكتشف ثييتيتوس (حوالي 417 قبل الميلاد) الشكلين الآخرين، وهما ثماني الأوجه وعشروني الأوجه . ^{[ 103 ]} لاحقًا، وسّع أرخميدس دراسته ليشمل المجسمات المنتظمة المحدبة التي تحمل اسمه الآن. فُقد عمله الأصلي، ووصلت إلينا مجسماته من خلال بابوس . ^{[ 104 ]}

يعود تاريخ كل من النرد المكعب والنرد ذي 14 وجهًا على شكل ثماني السطوح المقطوع في الصين إلى فترة الممالك المتحاربة . ^{[ 105 ]}

بحلول عام 236 ميلادي، كان ليو هوي يصف تقسيم المكعب إلى رباعي الأوجه المميز له ( المخطط القائم ) والأجسام الصلبة ذات الصلة، مستخدماً تجمعات هذه الأجسام الصلبة كأساس لحساب أحجام التربة التي يجب نقلها أثناء عمليات الحفر الهندسية. ^{[ 106 ]}

بعد انتهاء العصر الكلاسيكي، واصل علماء الحضارة الإسلامية تطوير المعرفة اليونانية (انظر: الرياضيات في الإسلام في العصور الوسطى ). ^{[ 107 ]} وقد أدرج العالم ثابت بن قرة، في القرن التاسع، حساب الحجوم في دراساته، ^{[ 108 ]} وكتب مؤلفًا عن المكعب الثماني الأوجه . ثم في القرن العاشر، وصف أبو الوفاء المجسمات الكروية المحدبة المنتظمة وشبه المنتظمة. ^{[ 109 ]}

لوحة "دوبيو ريتراتو" ، المنسوبة إلى جاكوبو دي بارباري ، تصور لوكا باتشولي وطالبًا يدرسان مجسمًا زجاجيًا مكعبًا ثماني الأوجه نصف مملوء بالماء. ^{[ 110 ]}

مجسم هيكلي متعدد الأوجه (وتحديداً، مجسم ثماني الأوجه مكعب معيني ) رسمه ليوناردو دافنشي لتوضيح كتاب من تأليف لوكا باتشولي

كما هو الحال مع مجالات أخرى من الفكر اليوناني التي حافظ عليها وطورها علماء المسلمين، انتعش الاهتمام الغربي بالمجسمات متعددة الأوجه خلال عصر النهضة الإيطالية . قام الفنانون ببناء مجسمات هيكلية متعددة الأوجه، مصورين إياها من الواقع كجزء من دراساتهم في علم المنظور . ^{[ 111 ]} أصبحت المجسمات الحلقية ، المصنوعة من الخشب والمستخدمة لدعم أغطية الرأس، تمرينًا شائعًا في الرسم المنظوري، وتم تصويرها في لوحات التطعيم في تلك الفترة كرمز للهندسة. ^{[ 112 ]} كتب بييرو ديلا فرانشيسكا عن بناء مناظر منظور للمجسمات متعددة الأوجه، وأعاد اكتشاف العديد من المجسمات الأرخميدية. قام ليوناردو دافنشي بتوضيح نماذج هيكلية لعدة مجسمات متعددة الأوجه لكتاب من تأليف لوكا باتشولي ، ^{[ 113 ]} مع نص منقول إلى حد كبير من ديلا فرانشيسكا. ^{[ 114 ]} تظهر الشبكات متعددة الأوجه في أعمال ألبريشت دورر . ^{[ 115 ]}

تستكشف العديد من الأعمال الفنية من تلك الفترة المجسمات النجمية متعددة الأوجه وغيرها من تجليات الأشكال الأفلاطونية الأساسية. وتُصوّر لوحة رخامية في أرضية كاتدرائية سان ماركو في البندقية، من تصميم باولو أوتشيلو ، مجسمًا نجميًا ذا اثني عشر وجهًا. ^{[ 116 ]} ومع انتشار عصر النهضة خارج إيطاليا، قام فنانون لاحقون، مثل وينزل جامنيتزر ودورر وغيرهم، بتصوير مجسمات متعددة الأوجه ذات تعقيد متزايد، وكثير منها مبتكر، في نقوش إبداعية. ^{[ 111 ]} استخدم يوهانس كيبلر (1571-1630) المضلعات النجمية ، وخاصةً النجوم الخماسية ، لبناء مجسمات نجمية متعددة الأوجه. ربما اكتُشفت بعض هذه الأشكال قبل عصر كيبلر، لكنه كان أول من أدرك أنه يمكن اعتبارها "منتظمة" إذا أُزيل شرط أن تكون المجسمات المنتظمة متعددة الأوجه محدبة. ^{[ 117 ]}

في نفس الفترة، تم ذكر صيغة أويلر متعددة السطوح ، وهي معادلة خطية تربط أعداد الرؤوس والحواف والوجوه متعددة السطوح، للأجسام الأفلاطونية في عام 1537 في مخطوطة غير منشورة لفرانشيسكو ماوروليكو . ^{[ 118 ]}

كتب رينيه ديكارت ، حوالي عام 1630، كتابه "De solidorum elementis" الذي تناول فيه المجسمات المحدبة كمفهوم عام، لا يقتصر على المجسمات الأفلاطونية وتفصيلاتها. فُقد هذا العمل، ولم يُعاد اكتشافه إلا في القرن التاسع عشر. ومن بين إسهاماته نظرية ديكارت حول النقص الزاوي الكلي ، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بصيغة أويلر للمجسمات. ^{[ 119 ]} وقد قدّم ليونارد أويلر ، الذي سُميت الصيغة باسمه، هذه الصيغة عام 1758 للمجسمات المحدبة بشكل أعم، وإن كان برهانه غير دقيق. ^{[ 120 ]} وأصبح عمل أويلر (إلى جانب حله السابق للغز جسور كونيغسبرغ السبعة ) أساسًا لعلم الطوبولوجيا الجديد . ^{[ 121 ]} تم تطوير المفاهيم الأساسية لهذا المجال، بما في ذلك تعميمات الصيغة متعددة السطوح، في أواخر القرن التاسع عشر على يد هنري بوانكاريه ، وإنريكو بيتي ، وبرنهارد ريمان ، وآخرين. ^{[ 122 ]}

في أوائل القرن التاسع عشر، وسّع لويس بوينسو عمل كبلر، واكتشف المجسمين النجميين المنتظمين المتبقيين. بعد ذلك بوقت قصير، أثبت أوغستين لويس كوشي اكتمال قائمة بوينسو، مع افتراض ضمني مفاده أن تسلسل رؤوس وحواف كل ضلع مضلع لا يمكن أن يسمح بالتكرار (وهو افتراض تم النظر فيه ولكن تم رفضه في العمل السابق لـ أ. ف. ل. مايستر). ^{[ 123 ]} عُرفت هذه المجسمات باسم مجسمات كبلر-بوينسو ، وأطلق عليها آرثر كايلي أسماءها الشائعة . ^{[ 124 ]} في غضون ذلك، أدى اكتشاف الأبعاد الأعلى في أوائل القرن التاسع عشر إلى دفع لودفيج شلافلي بحلول عام 1853 إلى فكرة المجسمات متعددة الأوجه ذات الأبعاد الأعلى. ^{[ 125 ]} بالإضافة إلى ذلك، في أواخر القرن التاسع عشر، أكمل عالم البلورات الروسي إيفغراف فيدوروف تصنيف متوازيات الأوجه ، وهي مجسمات محدبة تقسم الفضاء عن طريق الإزاحات. ^{[ 126 ]}

بدأت الرياضيات في القرن العشرين بمسائل هيلبرت ، إحداها، وهي المسألة الثالثة لهيلبرت ، تناولت المجسمات متعددة الأوجه وتجزئتها . وقد حلّها سريعًا ماكس دين ، تلميذ هيلبرت ، مُقدّمًا ثابت دين للمجسمات متعددة الأوجه. ^{[ 127 ]} أما نظرية شتاينيتز ، التي نشرها إرنست شتاينيتز عام 1992، فقد وصفت رسوم المجسمات متعددة الأوجه المحدبة، مُدخلةً بذلك أفكارًا حديثة من نظرية الرسوم البيانية والتوافقية إلى دراسة المجسمات متعددة الأوجه . ^{[ 128 ]}

يمكن بناء متعددات وجوه كيبلر-بوانسو من المجسمات الأفلاطونية عبر عملية تُسمى التَّشَعُّل . معظم هذه التَّشَعُّل غير منتظم. وقد حظيت دراسة تَّشَعُّل المجسمات الأفلاطونية بدفعة كبيرة من قِبَل إتش إس إم كوكسيتر وآخرين عام 1938، من خلال بحثهم الشهير " المجسمات العشرية التسع والخمسون" . ^{[ 129 ]} أشار تحليل كوكسيتر إلى إحياء الاهتمام بالهندسة. وقد قام كوكسيتر نفسه بتعداد متعددات الوجوه النجمية المنتظمة لأول مرة، ومعالجتها كأشكال متعددة الوجوه، واكتشاف متعددات الوجوه المائلة المنتظمة ، وتطوير نظرية متعددات الوجوه المعقدة التي اكتشفها شيبارد لأول مرة عام 1952، بالإضافة إلى تقديمه إسهامات جوهرية في العديد من مجالات الهندسة الأخرى. ^{[ 130 ]}

في النصف الثاني من القرن العشرين، أشار كلٌ من برانكو غرونباوم وإيمري لاكاتوس إلى ميل علماء الرياضيات إلى تعريف "متعدد السطوح" بطرق مختلفة، وأحيانًا متضاربة، لتناسب متطلبات اللحظة الراهنة. ^{[ 3 ] [ 2 ]} وفي سلسلة من الأبحاث، وسّع غرونباوم التعريف المقبول لمتعدد السطوح، مكتشفًا العديد من متعددات السطوح المنتظمة الجديدة . وفي نهاية القرن العشرين، اندمجت هذه الأفكار الأخيرة مع أعمال أخرى حول مجمعات الوقوع لتكوين المفهوم الحديث لمتعدد السطوح المجرد (كمتعدد سطوح ثلاثي الأبعاد مجرد)، والذي قدمه ماكمولين وشولتي على وجه الخصوص. ^{[ 131 ]}

الشعاعيات سيركوجونيا إيكوساهيدرا

خريطة دايمكسيون ، التي تم إنشاؤها بواسطة شبكة من عشرين وجهًا منتظمًا

تم اكتشاف المجسمات متعددة الأوجه في العديد من مجالات العلوم. ظهرت المجسمات الأفلاطونية في الكائنات الحية، كما في حالة Braarudosphaera bigelowii التي تمتلك بنية منتظمة ذات اثني عشر وجهًا. ^{[ 132 ]} وصف إرنست هيكل عددًا من أنواع الشعاعيات ، التي تتخذ أصداف بعضها شكل مجسمات متعددة الأوجه منتظمة. ^{[ 133 ]} تشكل الأغلفة البروتينية الخارجية للعديد من الفيروسات مجسمات متعددة الأوجه منتظمة. على سبيل المثال، يُحاط فيروس نقص المناعة البشرية بمجسم عشريني الوجوه منتظم، كما هو الحال في رأس فيروس عضلي نموذجي . ^{[ 134 ] [ 135 ]} ربما ظهر المجسم العشري الوجوه المنتظم أيضًا في تطبيقات رسم الخرائط عندما استخدمه ر. بوكمينستر فولر في مشروعه المعروف باسم خريطة دايمكسيون ، حيث أدرك بإحباط أن مساحة جرينلاند أصغر من مساحة أمريكا الجنوبية . ^{[ 136 ]}

تظهر المجسمات متعددة الأوجه بشكل متكرر في الهندسة الحسابية الحديثة ، ورسومات الحاسوب ، والتصميم الهندسي، وتشمل مواضيعها إعادة بناء أسطح المجسمات متعددة الأوجه أو شبكات الأسطح من نقاط بيانات متناثرة، ^{[ 137 ]} والجيوديسيات على أسطح المجسمات متعددة الأوجه، ^{[ 138 ]} والرؤية والإضاءة في مشاهد المجسمات متعددة الأوجه، ^{[ 139 ]} والمكعبات المتعددة وغيرها من المجسمات غير المحدبة ذات الأضلاع الموازية للمحاور، ^{[ 140 ]} والصيغ الخوارزمية لنظرية شتاينيتز، ^{[ 141 ]} والمشكلة التي لم تُحل بعد والمتعلقة بوجود شبكات متعددة الأوجه للمجسمات المحدبة. ^{[ 142 ]}