سطح بارامتري

لنفترض أن السطح البارامتري معطى بالمعادلة $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$$ أين${\displaystyle \mathbf {r} }$هي دالة متجهة القيم للمعاملات ( u , v )، وتتغير هذه المعاملات ضمن نطاق معين D في المستوى البارامتري uv . ويُشار عادةً إلى المشتقات الجزئية الأولى بالنسبة للمعاملات بـ${\textstyle \mathbf {r} _{u}:={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}}$و${\displaystyle \mathbf {r} _{v},}$وبالمثل بالنسبة للمشتقات الأعلى،${\displaystyle \mathbf {r} _{uu},\mathbf {r} _{uv},\mathbf {r} _{vv}.}$

في حساب المتجهات ، يُشار إلى المعاملات غالبًا بالرمز ( s , t ) وتُكتب المشتقات الجزئية باستخدام رمز ∂ : $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial t^{2}}}.}$$

تكون المعلمة منتظمة للقيم المعطاة للمعلمات إذا كانت المتجهات $${\displaystyle \mathbf {r} _{u},\mathbf {r} _{v}}$$ مستقلة خطيًا. المستوى المماس عند نقطة منتظمة هو المستوى الأفيني في الفضاء ثلاثي الأبعاد ^R³ الذي تولده هذه المتجهات ويمر بالنقطة r ( u , v ) على السطح المحدد بالمعاملات. يمكن تحليل أي متجه مماس بشكل فريد إلى توليفة خطية من${\displaystyle \mathbf {r} _{u}}$و${\displaystyle \mathbf {r} _{v}.}$حاصل الضرب الاتجاهي لهذه المتجهات هو متجه عمودي على المستوى المماس . قسمة هذا المتجه على طوله تعطي متجه وحدة عمودي على السطح المُعَلم عند نقطة منتظمة. $${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|}}.}$$

بشكل عام، يوجد خياران لمتجه الوحدة العمودي على سطح ما عند نقطة معينة، ولكن بالنسبة لسطح منتظم ذي معلمات، تختار الصيغة السابقة أحدهما باستمرار، وبالتالي تحدد اتجاه السطح. بعض الثوابت الهندسية التفاضلية لسطح في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (R³ ⁾ تُعرَّف بواسطة السطح نفسه وتكون مستقلة عن الاتجاه، بينما يتغير بعضها الآخر في الإشارة عند عكس الاتجاه.

يمكن حساب مساحة السطح عن طريق تكامل طول متجه الوحدة العمودي${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}$إلى السطح فوق المنطقة المناسبة D في المستوى البارامتري uv : $${\displaystyle A(D)=\iint _{D}\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|du\,dv.}$$

على الرغم من أن هذه الصيغة تُقدّم تعبيرًا مغلقًا لمساحة السطح، إلا أنها تُنتج، باستثناء بعض الأسطح الخاصة جدًا، تكاملًا مزدوجًا معقدًا ، يُحسب عادةً باستخدام نظام جبر حاسوبي أو يُقارب عدديًا. لحسن الحظ، تُشكّل العديد من الأسطح الشائعة استثناءات، ومساحاتها معروفة بشكل صريح. ينطبق هذا على الأسطوانة الدائرية ، والكرة ، والمخروط ، والحلقة ، وبعض الأسطح الدورانية الأخرى .

ويمكن التعبير عن ذلك أيضاً كتكامل سطحي على الحقل القياسي 1: $${\displaystyle \int _{S}1\,dS.}$$

الشكل الأساسي الأول هو شكل تربيعي$${\displaystyle \mathrm {I} =E\,du^{2}+2\,F\,du\,dv+G\,dv^{2}}$$ على المستوى المماس للسطح الذي يُستخدم لحساب المسافات والزوايا. بالنسبة للسطح المُعَلم.${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$يمكن حساب معاملاته على النحو التالي: $${\displaystyle E=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{u},\quad F=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{v},\quad G=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {r} _{v}.}$$

طول قوس المنحنيات ذات المعلمات على السطح S ، والزاوية بين المنحنيات على S ، ومساحة السطح، كلها تقبل تعبيرات بدلالة الشكل الأساسي الأول.

إذا كان ( u ( t ), v ( t )) , a ≤ t ≤ b يمثل منحنى مُعامل على هذا السطح، فيمكن حساب طول قوسه على أنه التكامل: $${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {E\,u'(t)^{2}+2F\,u'(t)v'(t)+G\,v'(t)^{2}}}\,dt.}$$

يمكن النظر إلى الشكل الأساسي الأول على أنه مجموعة من الأشكال الثنائية الخطية المتماثلة الموجبة المحددة على المستوى المماس عند كل نقطة من السطح، والتي تعتمد بسلاسة على تلك النقطة. يساعد هذا المنظور في حساب الزاوية بين منحنيين على السطح S يتقاطعان عند نقطة معينة. هذه الزاوية تساوي الزاوية بين متجهي المماس للمنحنيين. أول شكل أساسي يُحسب على هذا الزوج من المتجهات هو حاصل ضربهما القياسي ، ويمكن إيجاد الزاوية من الصيغة القياسية. $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}}$$ التعبير عن جيب تمام الزاوية عن طريق الضرب النقطي.

يمكن التعبير عن مساحة السطح بدلالة الشكل الأساسي الأول على النحو التالي: $${\displaystyle A(D)=\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$$

بحسب متطابقة لاغرانج ، فإن المقدار الموجود تحت الجذر التربيعي هو بالضبط${\displaystyle \left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|^{2}}$وبالتالي فهي موجبة تمامًا عند النقاط العادية.

الشكل الأساسي الثاني $${\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}}$$ هي صيغة تربيعية على المستوى المماس للسطح، تُحدد، مع الصيغة الأساسية الأولى، انحناءات المنحنيات على السطح. في الحالة الخاصة عندما يكون ( u , v ) = ( x , y ) ويكون المستوى المماس للسطح عند النقطة المعطاة أفقيًا، فإن الصيغة الأساسية الثانية هي في جوهرها الجزء التربيعي من متسلسلة تايلور لـ z كدالة في x و y .

بالنسبة للسطح البارامتري العام، يكون التعريف أكثر تعقيدًا، لكن الشكل الأساسي الثاني يعتمد فقط على المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى والثانية. وتُعرَّف معاملاته بأنها إسقاطات المشتقات الجزئية الثانية لـ${\displaystyle \mathbf {r} }$على متجه الوحدة العمودي${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$محدد بواسطة المعلمات: $${\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}.}$$

مثل الشكل الأساسي الأول، يمكن اعتبار الشكل الأساسي الثاني بمثابة عائلة من الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة على المستوى المماسي عند كل نقطة من السطح والتي تعتمد بسلاسة على النقطة.

تحدد الأشكال الأساسية الأولى والثانية للسطح ثوابته الهندسية التفاضلية المهمة : انحناء غاوس ، والانحناء المتوسط ، والانحناءات الرئيسية .

الانحناءات الرئيسية هي ثوابت الزوج المكون من الشكلين الأساسيين الثاني والأول. وهي _جذور المعادلة التربيعية κ1 _و κ2$${\displaystyle \det(\mathrm {I\!I} -\kappa \mathrm {I} )=0,\quad \det {\begin{bmatrix}L-\kappa E&M-\kappa F\\M-\kappa F&N-\kappa G\end{bmatrix}}=0.}$$

يمكن حساب انحناء غاوس K = κ 1 _κ 2 _ومتوسط ​​الانحناء H = ( κ ₁ + κ ₂ )/2 على النحو التالي:$${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},\quad H={\frac {EN-2FM+GL}{2(EG-F^{2})}}.}$$

باستثناء إشارة معينة، تبقى هذه الكميات مستقلة عن المعاملات المستخدمة، ولذا فهي تُشكل أدوات مهمة لتحليل هندسة السطح. وبشكل أدق، تتغير إشارة الانحناءات الرئيسية والانحناء المتوسط ​​إذا عُكس اتجاه السطح، بينما يبقى انحناء غاوس مستقلاً تماماً عن المعاملات.

تحدد إشارة انحناء غاوس عند نقطة ما شكل السطح بالقرب من تلك النقطة: فعندما تكون K > 0 يكون السطح محدبًا محليًا وتُسمى النقطة إهليلجية ، بينما عندما تكون K < 0 يكون السطح على شكل سرج وتُسمى النقطة زائدية . تُسمى النقاط التي يكون عندها انحناء غاوس صفرًا نقاطًا مكافئة . بشكل عام، تُشكل النقاط المكافئة منحنى على السطح يُسمى الخط المكافئ . الشكل الأساسي الأول موجب تمامًا ، وبالتالي فإن محدده EG − F ² موجب في كل مكان. لذلك، تتطابق إشارة K مع إشارة LN − M ² ، وهو محدد الشكل الأساسي الثاني.

يمكن تنظيم معاملات الشكل الأساسي الأول الموضح أعلاه في مصفوفة متناظرة : $${\displaystyle F_{1}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}.}$$ وينطبق الأمر نفسه على معاملات الشكل الأساسي الثاني ، والتي تم عرضها أعلاه أيضاً: $${\displaystyle F_{2}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}$$

تعريف المصفوفة الآن${\displaystyle A=F_{1}^{-1}F_{2}}$^، الانحناءات الرئيسية κ ₁ و κ ₂ هي القيم الذاتية لـ A. [ ^{1 ]}

الآن، إذا كان v1 = ( v11 , v12 ₎ هو المتجه الذاتي للمصفوفة A الموافق للانحناء الرئيسي _κ1 ، _{فإن متجه} الوحدة في اتجاه${\displaystyle \mathbf {t} _{1}=v_{11}\mathbf {r} _{u}+v_{12}\mathbf {r} _{v}}$يُطلق عليه اسم المتجه الرئيسي المقابل للانحناء الرئيسي κ ₁ .

وبناءً على ذلك، إذا كان v ₂ = ( v ₂₁ , v ₂₂ ) هو المتجه الذاتي للمصفوفة A الموافق للانحناء الرئيسي κ ₂ ، فإن متجه الوحدة في اتجاه${\displaystyle \mathbf {t} _{2}=v_{21}\mathbf {r} _{u}+v_{22}\mathbf {r} _{v}}$يُطلق عليه اسم المتجه الرئيسي المقابل للانحناء الرئيسي κ ₂ .