إسفنجة مينجر

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة
رسم توضيحي للإسفنجة M 4 بعد أربع دورات من عملية البناء

في الرياضيات ، تُعرف إسفنجة مينجر (المعروفة أيضًا باسم مكعب مينجر ، أو منحنى مينجر العالمي ، أو مكعب سيربينسكي ، أو إسفنجة سيربينسكي ) [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] بأنها منحنى كسري . وهي تعميم ثلاثي الأبعاد لسجادة سيربينسكي ثنائية الأبعاد . وقد وصفها كارل مينجر لأول مرة عام 1926، في دراساته لمفهوم البعد الطوبولوجي . [ 4 ] [ 5 ]

له خصائص مشابهة لمجموعة كانتور وغبار كانتور، لأن التركيب يتطلب في كلتا الحالتين إزالة الثلث الداخلي.

بناء

رسم توضيحي للبناء التكراري لإسفنجة مينجر حتى M 3 ، التكرار الثالث

يمكن وصف عملية بناء إسفنجة مينجر على النحو التالي:

  1. ابدأ بمكعب.
  2. قسّم كل وجه من أوجه المكعب إلى تسعة مربعات بطريقة مشابهة لمكعب روبيك . هذا يقسم المكعب إلى 27 مكعبًا أصغر.
  3. أزل المكعب الأصغر الموجود في منتصف كل وجه، ثم أزل المكعب الأصغر الموجود في مركز المكعب الأكبر، ليتبقى لديك 20 مكعبًا أصغر. هذا مكعب إسفنجي من المستوى الأول (يشبه مكعب الفراغ).
  4. كرر الخطوتين الثانية والثالثة لكل مكعب من المكعبات الصغيرة المتبقية واستمر في التكرار إلى ما لا نهاية .

تُنتج الدورة الثانية إسفنجة من المستوى الثاني، وتُنتج الدورة الثالثة إسفنجة من المستوى الثالث، وهكذا. وتُمثل إسفنجة مينجر نفسها الحد الأقصى لهذه العملية بعد عدد لا نهائي من الدورات.

ملكيات

مقطع عرضي سداسي لإسفنجة مينجر من المستوى 4. (جزء من سلسلة من المقاطع العمودية على القطر الخارجي).

الن{\displaystyle n}المرحلة الرابعة من اسفنج منجر,من{\displaystyle M_{n}}، يتكون من20ن{\displaystyle 20^{n}}مكعبات أصغر، طول ضلع كل منها (1/3) ن . الحجم الكلي لـمن{\displaystyle M_{n}}وبالتالي(2027)ن{\textstyle \left({\frac {20}{27}}\right)^{n}}المساحة السطحية الإجمالية لـمن{\displaystyle M_{n}}يُعطى بالتعبير2(20/9)ن+4(8/9)ن{\displaystyle 2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}}[ 6 ] [ 7 ] لذلك ، يقترب حجم البناء من الصفر بينما تزداد مساحة سطحه بلا حدود. ومع ذلك، فإن أي سطح مختار في البناء سيتعرض للاختراق التام مع استمرار البناء، بحيث لا يكون الحد مجسمًا صلبًا ولا سطحًا؛ بل له بُعد طوبولوجي يساوي 1، وبالتالي يُعرَّف بأنه منحنى.

يُصبح كل وجه من أوجه البناء سجادة سيربينسكي ، ويُشكّل تقاطع الإسفنجة مع أي قطر من أقطار المكعب أو أي خط وسطي للأوجه مجموعة كانتور . المقطع العرضي للإسفنجة المار بمركزها والعمودي على قطر فضائي هو شكل سداسي منتظم مُثقّب بسداسيات مُرتبة بتناظر سداسي. [ 8 ] يُعطى عدد هذه السداسيات، تنازليًا حسب الحجم، بالعلاقة التكرارية التالية :أن=9أن-1-12أن-2{\displaystyle a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}}، معأ0=1، أ1=6{\displaystyle a_{0}=1,\ a_{1}=6}[ 9 ]​

بُعد هاوسدورف للإسفنجة هو log 20 / log  3  ≅ 2.727. [ 10 ] بُعد تغطية ليبيغ لإسفنجة مينغر هو واحد، وهو نفس بُعد أي منحنى . بيّن مينغر، في بنائه عام 1926، أن الإسفنجة منحنى شامل ، بمعنى أن كل منحنى متماثل الشكل مع مجموعة جزئية من إسفنجة مينغر، حيث يُقصد بالمنحنى أي فضاء متري مضغوط ذي بُعد تغطية ليبيغ يساوي واحدًا؛ ويشمل ذلك الأشجار والرسوم البيانية ذات عدد قابل للعد من الحواف والرؤوس والحلقات المغلقة، المتصلة بطرق عشوائية. وبالمثل، فإن سجادة سيربينسكي منحنى شامل لجميع المنحنيات التي يمكن رسمها على المستوى ثنائي الأبعاد. توسع إسفنجة مينغر المبنية في ثلاثة أبعاد هذه الفكرة لتشمل الرسوم البيانية غير المستوية والتي قد تكون مضمنة في أي عدد من الأبعاد.

في عام 2024، أثبت برودن ونازاريث وفوت أن جميع العقد يمكن العثور عليها أيضًا داخل إسفنجة مينجر. [ 11 ]

مجموعة مينجر الإسفنجية هي مجموعة مغلقة ؛ ولأنها محدودة أيضًا، فإن نظرية هاين-بوريل تُشير إلى أنها مجموعة متراصة . قياسها وفقًا لمقياس ليبيغ يساوي صفرًا. ولأنها تحتوي على مسارات متصلة، فهي مجموعة غير قابلة للعد .

أظهرت التجارب أيضاً أن المكعبات ذات البنية الشبيهة بإسفنج مينجر يمكنها تبديد الصدمات بشكل أفضل بخمس مرات لنفس المادة مقارنة بالمكعبات الخالية من المسام. [ 12 ]

التعريف الرسمي

يمكن تعريف إسفنجة مينجر رسميًا على النحو التالي (باستخدام تقاطع المجموعات ):

م:=⋂ن∈شمالمن{\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}

أينم0{\displaystyle M_{0}}هو مكعب الوحدة و

من+1:={(x،y،z)∈R3:(∃أنا،ج،ك∈{0،1،2}(3x-أنا،3y-ج،3z-ك)∈منوواحد على الأكثر من أنا،ج،ك يساوي 1)}.{\displaystyle M_{n+1}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:\left({\begin{array}{r}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}\,\,(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\text{وواحد على الأكثر من }}i,j,k{\text{ يساوي 1}}\end{array}}\right)\right\}.}

ميجامينجر

كان مشروع ميغامينغر يهدف إلى بناء أكبر نموذج فركتالي، وقد ابتكره مات باركر من جامعة كوين ماري بلندن ولورا تالمان من جامعة جيمس ماديسون . يتكون كل مكعب صغير من ست بطاقات عمل مطوية متشابكة، ليصل المجموع إلى 960,000 بطاقة لإسفنجة من المستوى الرابع. تُغطى الأسطح الخارجية بألواح من الورق أو الكرتون مطبوع عليها تصميم سجادة سيربينسكي لإضفاء مظهر جمالي . [ 13 ] في عام 2014، تم بناء عشرين إسفنجة مينغر من المستوى الثالث، والتي ستشكل مجتمعة إسفنجة مينغر موزعة من المستوى الرابع. [ 14 ]

الفراكتلات المتشابهة

مكعب القدس

مكعب القدس هو شكل هندسي كسري وصفه إريك بيرد لأول مرة عام ٢٠١١. يُصنع هذا المكعب عن طريق حفر ثقوب متكررة على شكل صليب يوناني في مكعب. [ ١٥ ] [ ١٦ ] يشبه تركيبه إسفنجة مينجر، لكن باستخدام مكعبين مختلفي الحجم. ويستمد اسمه من وجه المكعب الذي يشبه نمط صليب القدس . [ ١٧ ]

يمكن وصف عملية بناء مكعب القدس على النحو التالي:

  1. ابدأ بمكعب.
  2. قم بعمل صليب عبر كل جانب من جوانب المكعب، تاركًا ثمانية مكعبات (من الرتبة +1) في زوايا المكعب الأصلي، بالإضافة إلى اثني عشر مكعبًا أصغر (من الرتبة +2) متمركزة على حواف المكعب الأصلي بين مكعبات الرتبة +1.
  3. كرر العملية على المكعبات من الرتبتين 1 و 2.

يؤدي التكرار لعدد لا نهائي من المرات إلى الحصول على مكعب القدس.

بما أن طول ضلع مكعب من الرتبة N يساوي طول ضلع مكعبين من الرتبة N+1 ومكعب من الرتبة N+2، فإنه يترتب على ذلك أن عامل القياس يجب أن يحققك2+2ك=1{\displaystyle k^{2}+2k=1}، لذلكك=2-1{\displaystyle k={\sqrt {2}}-1}وهذا يعني أنه لا يمكن إنشاء الشكل الكسري باستخدام نقاط على شبكة منطقية .

بما أن المكعب ذو الرتبة N ينقسم إلى 8 مكعبات من الرتبة N+1 و12 مكعبًا من الرتبة N+2، فإن بُعد هاوسدورف يجب أن يحقق8كد+12(ك2)د=1{\displaystyle 8k^{d}+12(k^{2})^{d}=1}الحل الدقيق هو

د=سجل⁡(76-13)سجل⁡(2-1){\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}

وهو ما يعادل تقريبًا 2.529

كما هو الحال مع إسفنجة مينجر، فإن أوجه مكعب القدس هي أشكال كسورية [ 17 ] بنفس عامل القياس. في هذه الحالة، يجب أن يحقق بُعد هاوسدورف الشرط التالي:4كد+4(ك2)د=1{\displaystyle 4k^{d}+4(ك^{2})^{d}=1}الحل الدقيق هو

د=سجل⁡(2-12)سجل⁡(2-1){\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}

وهو ما يعادل تقريبًا 1.786

آحرون

ندفة ثلج سيربينسكي-مينجر
  • ندفة الثلج موسلي هي شكل كسري مكعب الشكل يتم فيه إزالة الزوايا بشكل متكرر. [ 18 ]
  • التتريكس هو شكل كسري قائم على رباعي الأوجه مصنوع من أربع نسخ أصغر مرتبة في شكل رباعي الأوجه . [ 19 ]
  • ندفة الثلج سيربينسكي-مينجر هي شكل كسري مكعب، حيث يتم الاحتفاظ بثمانية مكعبات زاوية ومكعب مركزي واحد في كل خطوة من خطوات التكرار الأدنى. يتميز هذا الشكل الكسري ثلاثي الأبعاد ببعد هاوسدورف مماثل للبعد الثنائي الأبعاد، مثل المستوى، أي log 9 / log 3 = 2  

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيك، كريستيان؛ شوغل، فريدريش (1995). الديناميكا الحرارية للأنظمة الفوضوية: مقدمة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص  97. ISBN 9780521484510.
  2. ↑ بوند، أرمين؛ هافلين، شلومو (2013). الفراكتلات في العلوم . سبرينغر. ص 7. ISBN  9783642779534.
  3. ↑ مينجر، كارل (2013). ذكريات حلقة فيينا والندوة الرياضية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 11. ISBN  9789401111027.
  4. ^ منجر ، كارل (1928)، Dimensionstheorie ، BG Teubner، OCLC 371071 
  5. ^ مينجر، كارل (1926)، “Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.”، الاتصالات إلى أكاديمية أمستردام للعلومأُعيد نشر الترجمة الإنجليزية في كتاب إدغار، جيرالد أ. (محرر) (2004)، كلاسيكيات في الفراكتلات ، دراسات في اللاخطية، دار ويستفيو للنشر. برنامج الكتب المتقدمة، بولدر، كولورادو، رقم ISBN 978-0-8133-4153-8MR 2049443​ 
  6. ↑ مشروع عروض وولفرام، حجم ومساحة سطح إسفنجة مينجر
  7. ↑ مجموعة أبحاث تعليم العلوم والرياضيات بجامعة كولومبيا البريطانية، هندسة الرياضيات: إسفنجة مينجر
  8. ↑ تشانغ، كينيث (27 يونيو 2011). "لغز إسفنجة مينغر" . صحيفة نيويورك تايمز . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2017 – عبر موقع NYTimes.com.
  9. ↑ "A299916 - OEIS" . oeis.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2018-08-02 .
  10. ↑ كوين، جون ر. (2013). "تطبيقات مبدأ الانكماش". في: كارفي، ديفيد؛ لابيدوس، ميشيل ل.؛ بيرس، إيرين ب. ج.؛ فان فرانكنهويسن، ماتشيل (محررون). الهندسة الكسورية والأنظمة الديناميكية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. الجزء الثاني: الكسور في الرياضيات التطبيقية . الرياضيات المعاصرة. المجلد 601. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات. الصفحات 345-358 . doi : 10.1090/conm/601/11957 . ISBN   978-0-8218-9148-3MR 3203870 .​ انظر المثال 2، صفحة 351 .
  11. ↑ باربر، غريغوري (26 نوفمبر 2024). "رياضيون مراهقون يعقدون عقدًا من خلال شكل كسري مذهل" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 نوفمبر 2024 .
  12. ↑ داتلباوم، دانا م.؛ إيونيتا، أكسينت؛ باترسون، برايان م.؛ برانش، بريتاني أ.؛ كويتنر، ليندسي (2020-07-01). "تبديد الموجات الصدمية بواسطة الهياكل المسامية التي يهيمن عليها السطح البيني" . AIP Advances . 10 (7): 075016. Bibcode : 2020AIPA...10g5016D . doi : 10.1063/5.0015179 .
  13. ↑ تيم شارتييه (10 نوفمبر 2014). "مليون بطاقة عمل تُشكّل تحديًا رياضيًا" . هاف بوست . تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 أبريل 2015 .
  14. ^ "ميجا مينجر" . تم الاسترجاع 2015/02/15 .
  15. ^ روبرت ديكاو (2014/08/31). "كروس منجر (القدس) مكعب كسورية" . روبرت ديكاو . تم الاسترجاع 2017/05/08 .
  16. ↑ إريك بيرد (18 أغسطس 2011). "مكعب القدس" . Alt.Fractals . تاريخ الاسترجاع: 13 مارس 2013 .، نُشر في مجلة Tangente 150، "l'art fractal" (2013)، ص 45.
  17. 1 2 إريك بيرد (30 نوفمبر 2011). "ساحة القدس" . Alt.Fractals . تم الاسترجاع في 9 ديسمبر 2021 .
  18. ↑ ويد، ليزي. "فن طي الفراكتال من 49000 بطاقة عمل" . وايرد . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2017 .
  19. ↑ و.، وايسشتاين، إريك. "تتريكس" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2017 .{{cite web}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

للمزيد من القراءة