متعدد

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 47 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء، وخاصةً في فيزياء الجسيمات ، يُعرَّف المضاعف بأنه فضاء الحالة لدرجات الحرية "الداخلية" للجسيم ؛ أي درجات الحرية المرتبطة بالجسيم نفسه، على عكس درجات الحرية "الخارجية" مثل موقع الجسيم في الفضاء. ومن أمثلة هذه الدرجات حالة الدوران المغزلي للجسيم في ميكانيكا الكم ، أو حالة اللون ، وحالة الدوران النظائري، وحالة الشحنة الفائقة للجسيمات في النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات. وصفًا رسميًا، نصف فضاء الحالة هذا بفضاء متجهي يحمل تأثير مجموعة من التناظرات المتصلة.

الصياغة الرياضية

رياضياً، يتم وصف المضاعفات من خلال تمثيلات مجموعة لي أو جبر لي المقابل لها ، وعادة ما تستخدم للإشارة إلى التمثيلات غير القابلة للاختزال (irreps، باختصار).

على مستوى المجموعة، هذا عبارة عن ثلاثية(V،جي،ρ){\displaystyle (V,G,\rho )}أين

  • V{\displaystyle V}هو فضاء متجهي فوق حقل (بالمعنى الجبري)ك{\displaystyle K}، والتي تعتبر عموماًك=R{\displaystyle K=\mathbb {R} }أوج{\displaystyle \mathbb {C} }
  • جي{\displaystyle G}هي مجموعة كاذبة. وغالبًا ما تكون هذه المجموعة الكاذبة متماسكة.
  • ρ{\displaystyle \rho }هو تماثل زمرجي→GL(V){\displaystyle G\rightarrow {\text{GL}}(V)}أي خريطة من المجموعةجي{\displaystyle G}إلى فضاء التطبيقات الخطية القابلة للعكس علىV{\displaystyle V}يجب أن تحافظ هذه الخريطة على بنية المجموعة: لـز1،ز2∈جي،{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,}لديناρ(ز1⋅ز2)=ρ(ز1)ρ(ز2){\displaystyle \rho (g_{1}\cdot g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})}.

على مستوى الجبر، هذا عبارة عن ثلاثية(V،ز،ρ){\displaystyle (V,{\mathfrak {g}},\rho )}، أين

  • V{\displaystyle V}الوضع كما كان من قبل.
  • ز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}هو جبر لي. وغالبًا ما يكون جبر لي محدود الأبعاد علىR{\displaystyle \mathbb {R} }أوج{\displaystyle \mathbb {C} }.
  • ρ{\displaystyle \rho }هو تشاكل جبر ليز→نهاية(V){\displaystyle {\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)}هذه دالة خطية تحافظ على قوس لي: لـX1،X2∈ز،{\displaystyle X_{1},X_{2}\in {\mathfrak {g}},}لديناρ([X1،X2])=[ρ(X1)،ρ(X2)]{\displaystyle \rho ([X_{1},X_{2}])=[\rho (X_{1}),\rho (X_{2})]}.

الرمزρ{\displaystyle \rho }يستخدم لكل من جبر لي ومجموعات لي حيث أن هناك، على الأقل في البعد المحدود، تطابقًا مفهومًا جيدًا بين مجموعات لي وجبر لي.

في الرياضيات، من الشائع الإشارة إلى التشاكلρ{\displaystyle \rho }على سبيل المثال، في جملة "ضع في اعتبارك تمثيلاً"ρ{\displaystyle \rho }والفضاء المتجهيV{\displaystyle V}يُشار إليه باسم "فضاء التمثيل". في الفيزياء، يُشار أحيانًا إلى فضاء المتجهات باسم التمثيل، على سبيل المثال في جملة "نُنمذج الجسيم على أنه يتحول في تمثيل المفردة"، أو حتى للإشارة إلى حقل كمومي يأخذ قيمًا في مثل هذا التمثيل، والجسيمات الفيزيائية التي يُنمذجها هذا الحقل الكمومي.

بالنسبة للتمثيل غير القابل للاختزال،ن{\displaystyle n}يشير مصطلح " plet" إلىن{\displaystyle n}التمثيل غير القابل للاختزال البُعدي. عمومًا، قد تمتلك المجموعة تمثيلات متعددة غير متماثلة من نفس البُعد، لذا فإن هذا لا يصف التمثيل وصفًا كاملًا. ويُستثنى من ذلكSU(2){\displaystyle {\text{SU}}(2)}والذي له تمثيل واحد غير قابل للاختزال فقط ذو بُعدن{\displaystyle n}لكل عدد صحيح غير سالبن{\displaystyle n}.

على سبيل المثال، لنأخذ الفضاء الحقيقي ثلاثي الأبعاد،R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}تؤثر مجموعة الدورانات ثلاثية الأبعاد SO(3) بشكل طبيعي على هذا الفضاء كمجموعة من3×3{\displaystyle 3\times 3}المصفوفات. يُعرف هذا التمثيل الصريح لمجموعة الدوران بالتمثيل الأساسي.ρتمويل{\displaystyle \rho _{\text{fund}}}، لذاR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}هي فضاء تمثيلي. البيانات الكاملة للتمثيل هي(R3،SO(3)،ρتمويل){\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},{\text{SO(3)}},\rho _{\text{fund}})}بما أن بُعد فضاء التمثيل هذا هو 3، يُعرف هذا باسم تمثيل الثلاثيات لـلذا(3){\displaystyle {\text{SO}}(3)}ومن الشائع الإشارة إلى ذلك على النحو التالي:3{\displaystyle \mathbf {3} }.

تطبيق على الفيزياء النظرية

بالنسبة للتطبيقات في الفيزياء النظرية، يمكننا حصر اهتمامنا بنظرية التمثيل لعدد قليل من المجموعات ذات الأهمية الفيزيائية. العديد من هذه المجموعات لديها نظرية تمثيل مفهومة جيدًا.

  • يو(1){\displaystyle {\text{U}}(1)}جزء من مجموعة القياس للنموذج القياسي، ومجموعة القياس لنظريات الكهرومغناطيسية. جميع التمثيلات غير الصحيحة أحادية البعد ويتم فهرستها بأعداد صحيحة.Z{\displaystyle \mathbb {Z} }، كما هو موضح صراحةً بواسطةρن:يو(1)→GL(ج)؛هـأناθ↦هـأنانθ{\displaystyle \rho _{n}:{\text{U}}(1)\rightarrow {\text{GL}}(\mathbb {C} );e^{i\theta }\mapsto e^{in\theta }}يمكن فهم الفهرس على أنه رقم اللفة في الخريطة.
  • SU(2)≅يلف(3){\displaystyle {\text{SU}}(2)\cong {\text{Spin}}(3)}جزء من مجموعة القياس في النموذج القياسي. يتم فهرسة التمثيلات غير الصحيحة بأعداد صحيحة غير سالبة فين∈شمال≥0{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 0}}، معن{\displaystyle n}يصف هذا بُعد التمثيل، أو، مع التقييس المناسب، أعلى وزن للتمثيل. في الفيزياء، من المتعارف عليه تسمية هذه الأبعاد بأنصاف أعداد صحيحة. انظر نظرية تمثيل SU(2) .
  • لذا(3){\displaystyle {\text{SO}}(3)}مجموعة دورانات الفضاء ثلاثي الأبعاد. التمثيلات غير القابلة للاختزال هي تمثيلات غير قابلة للاختزال ذات أبعاد فردية.SU(2){\displaystyle {\text{SU}}(2)}
  • SU(3){\displaystyle {\text{SU}}(3)}: جزء من مجموعة القياس في النموذج القياسي. تمثل Irreps أزواجًا مفهرسة من الأعداد الصحيحة غير السالبة.(م،ن){\displaystyle (m,n)}، وهو ما يصف أعلى وزن للتمثيل. انظر معاملات كليبيش-غوردان لـ SU(3) .
  • لذا(1،3){\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}مجموعة لورنتز : هي التناظرات الخطية للزمكان المسطح. تنشأ جميع التمثيلات كتمثيلات لمجموعة الدوران المقابلة لها. انظر نظرية تمثيل مجموعة لورنتز .
  • SL(2،ج)≅يلف(1،3){\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\cong {\text{Spin}}(1,3)}: مجموعة الدوران لـلذا(1،3){\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}يتم فهرسة الـ Irreps بواسطة أزواج من الأعداد الصحيحة غير السالبة.(μ،ν){\displaystyle (\mu ,\nu )}، مع فهرسة بُعد التمثيل.
  • هـ(1،3)≅R1،3⋊لذا(1،3){\displaystyle {\text{E}}(1,3)\cong \mathbb {R} ^{1,3}\rtimes {\text{SO}}(1,3)}مجموعة بوانكاريه للتناظرات في الزمكان المسطح. يمكن فهم ذلك من خلال نظرية تمثيل المجموعات المذكورة أعلاه. انظر تصنيف ويغنر .

تظهر هذه المجموعات جميعها في نظرية النموذج القياسي. أما بالنسبة للنظريات التي توسع هذه التناظرات، فيمكن النظر في نظرية تمثيل بعض المجموعات الأخرى:

  • التناظر المطابق: بالنسبة للفضاء شبه الإقليدي، يتم وصف التناظرات بواسطة المجموعة المطابقةمؤتمر(ص،q)≅يا(ص،q)/Z2{\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)\cong O(p,q)/\mathbb {Z} _{2}}.
  • التناظر الفائق: التناظر الذي يصفه زمرة فائقة.
  • النظريات الموحدة الكبرى: مجموعات القياس التي تحتوي على مجموعة قياس النموذج القياسي كمجموعة فرعية. تشمل المرشحات المقترحة ما يلي:SU(5)،لذا(10){\displaystyle {\text{SU}}(5),{\text{SO}}(10)}وهـ6{\displaystyle {\text{E}}_{6}}.

الفيزياء

نظرية الحقل الكمومي

في الفيزياء الكمومية، يُطبَّق المفهوم الرياضي عادةً على تمثيلات مجموعة القياس . على سبيل المثال،SU(2){\displaystyle {\text{SU}}(2)}ستحتوي نظرية القياس على مضاعفات، وهي حقول يمثلها تمثيلSU(2){\displaystyle {\text{SU}}(2)}يتم تحديده بواسطة عدد نصف صحيح واحدs=:ن/2{\displaystyle s=:n/2}، الإيزوسبين. لأنه غير قابل للاختزالSU(2){\displaystyle {\text{SU}}(2)}التمثيلات متماثلة معن{\displaystyle n}لكل حقل قوة متناظرة من التمثيل الأساسين{\displaystyle n}مؤشرات داخلية متناظرة.

تتحول الحقول أيضًا في ظل تمثيلات مجموعة لورنتزلذا(1،3){\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}أو بشكل أعم مجموعة الدوران الخاصة بهايلف(1،3){\displaystyle {\text{Spin}}(1,3)}والتي يمكن تحديدها بـSL(2،ج){\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}بسبب تماثل استثنائي . ومن الأمثلة على ذلك الحقول العددية ، والتي يُشار إليها عادةً بـϕ{\displaystyle \phi }والتي تتحول في التمثيل البسيط، حقول المتجهاتأμ{\displaystyle A_{\mu }}(بشكل أدق، قد يكون من الأنسب تسميته حقل متجه مشترك)، والذي يتحول كمتجه رباعي، وحقول سبينورψα{\displaystyle \psi _{\alpha }}مثل سبينورات ديراك أو ويل التي تتحول إلى تمثيلات لـSL(2،ج){\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}يتحول سبينور فايل الأيمن في التمثيل الأساسي،ج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}، لSL(2،ج){\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}.

انتبه إلى أنه بالإضافة إلى مجموعة لورنتز، يمكن أن يتحول الحقل تحت تأثير مجموعة قياس. على سبيل المثال، حقل قياسيϕ(x){\displaystyle \phi (x)}، أينx{\displaystyle x}هي نقطة في الزمكان، وقد يكون لها حالة دوران نظائري تأخذ قيمًا في التمثيل الأساسيج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}لSU(2){\displaystyle {\text{SU}}(2)}. ثمϕ(x){\displaystyle \phi (x)}هي دالة متجهة للزمكان، ولكن لا يزال يشار إليها باسم حقل قياسي، لأنها تتحول بشكل تافه تحت تحويلات لورنتز.

في نظرية الحقل الكمومي، تتوافق الجسيمات المختلفة بشكل فردي مع الحقول المقاسة التي تتحول إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال للمجموعة الداخلية ومجموعة لورنتز. وبالتالي، أصبح مصطلح "المضاعفة" يُستخدم أيضًا لوصف مجموعة من الجسيمات دون الذرية التي تُوصف بهذه التمثيلات.

أمثلة

أشهر مثال على ذلك هو المضاعف الدوراني ، الذي يصف تناظرات تمثيل المجموعة لمجموعة فرعية SU(2) من جبر لورنتز ، والذي يُستخدم لتعريف تكميم الدوران. المفرد الدوراني هو تمثيل تافه، والمزدوج الدوراني هو تمثيل أساسي ، والثلاثي الدوراني هو تمثيل متجهي أو تمثيل مرافق .

في نظرية الكروموديناميكا الكمية ، توجد الكواركات في مجموعة متعددة من SU(3) ، وتحديداً التمثيل الأساسي ثلاثي الأبعاد.

استخدامات أخرى

التحليل الطيفي

في علم الأطياف، وخاصةً أطياف أشعة غاما وأطياف الأشعة السينية ، يُعرف المضاعف بأنه مجموعة من الخطوط الطيفية المترابطة أو غير القابلة للفصل . عندما يكون عدد الخطوط غير القابلة للفصل قليلاً، يُشار إليها غالبًا باسم قمم ثنائية أو ثلاثية، بينما يُستخدم مصطلح المضاعف لوصف مجموعات من القمم مهما كان عددها.

مراجع

  • جورجي، هـ. (1999). جبر لي في فيزياء الجسيمات: من الإيزوسبين إلى النظريات الموحدة (الطبعة الأولى). مطبعة سي آر سي. https://doi.org/10.1201/9780429499210

انظر أيضاً