نظرية تمثيل SU(2)

الجبر الحقيقي للكذب${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$له أساس معطى بواسطة

${\displaystyle u_{1}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}},\qquad u_{2}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&~~0\end{bmatrix}},\qquad u_{3}={\begin{bmatrix}i&~~0\\0&-i\end{bmatrix}}~,}$

(ترتبط مصفوفات الأساس هذه بمصفوفات باولي من خلال${\displaystyle u_{1}=+i\ \sigma _{1}\;,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}\;,}$ و${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$)

تمثل المصفوفات تمثيلاً للأعداد الرباعية :

${\displaystyle u_{1}\,u_{1}=-I\,,~~\quad u_{2}\,u_{2}=-I\,,~~\quad u_{3}\,u_{3}=-I\,,}$

${\displaystyle u_{1}\,u_{2}=+u_{3}\,,\quad u_{2}\,u_{3}=+u_{1}\,,\quad u_{3}\,u_{1}=+u_{2}\,,}$

${\displaystyle u_{2}\,u_{1}=-u_{3}\,,\quad u_{3}\,u_{2}=-u_{1}\,,\quad u_{1}\,u_{3}=-u_{2}~.}$

حيث I هي مصفوفة الوحدة التقليدية 2×2 :${\displaystyle ~~I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~.}$

وبالتالي، فإن أقواس التبديل للمصفوفات تحقق

${\displaystyle [u_{1},u_{2}]=2u_{3}\,,\quad [u_{2},u_{3}]=2u_{1}\,,\quad [u_{3},u_{1}]=2u_{2}~.}$

ومن ثم يصبح من الملائم الانتقال إلى جبر لي المعقد

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)+i\,{\mathfrak {su}}(2)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )~.}$

(إن جمع المصفوفات المترافقة الذاتية المائلة ذات الأثر الصفري مع المصفوفات المترافقة الذاتية ذات الأثر الصفري يعطي جميع المصفوفات ذات الأثر الصفري.) طالما أننا نتعامل مع تمثيلات على${\displaystyle \mathbb {C} }$هذا الانتقال من جبر لي الحقيقي إلى جبر لي المعقد غير ضار. ^{[ 3 ]} والسبب في الانتقال إلى التعقيد هو أنه يسمح لنا ببناء أساس جيد من نوع غير موجود في جبر لي الحقيقي.${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$.

يتم توليد جبر لي المعقد بواسطة ثلاثة عناصر${\displaystyle X}$،${\displaystyle Y}$، و${\displaystyle H}$، مقدمة من

${\displaystyle H={\frac {1}{i}}u_{3},\qquad X={\frac {1}{2i}}\left(u_{1}-iu_{2}\right),\qquad Y={\frac {1}{2i}}(u_{1}+iu_{2})~;}$

أو، بشكل صريح،

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&~~0\\0&-1\end{bmatrix}},\qquad X={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},\qquad Y={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}~.}$

الجزء غير التافه/غير المتطابق من جدول ضرب المجموعة هو

${\displaystyle HX~=~~~~X,\qquad HY~=-Y,\qquad XY~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I+H\right),}$

${\displaystyle XH~=-X,\qquad YH~=~~~~Y,\qquad YX~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I-H\right),}$

${\displaystyle HH~=~~~I~,\qquad XX~=~~~~O,\qquad YY~=~~O,}$

حيث O هي مصفوفة 2×2 جميع عناصرها أصفار. وبالتالي فإن علاقات التبادل بينهما هي

${\displaystyle [H,X]=2X,\qquad [H,Y]=-2Y,\qquad [X,Y]=H.}$

حتى عامل 2، العناصر${\displaystyle H}$،${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$يمكن تحديدها باستخدام مؤثرات الزخم الزاوي${\displaystyle J_{z}}$،${\displaystyle J_{+}}$، و${\displaystyle J_{-}}$على التوالي. يُعدّ العامل 2 اختلافًا بين الاصطلاحات في الرياضيات والفيزياء؛ وسنحاول ذكر كلا الاصطلاحين في النتائج اللاحقة.

في هذا السياق، تكون القيم الذاتية لـ${\displaystyle H}$تُعرف هذه القيم بأوزان التمثيل. وتُعدّ النتيجة الأولية التالية ^{[ 4 ]} خطوةً أساسيةً في التحليل. لنفترض أن${\displaystyle v}$هو متجه ذاتي لـ${\displaystyle H}$مع القيمة الذاتية${\displaystyle \alpha }$أي أن${\displaystyle Hv=\alpha v.}$ثم

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}H(Xv)&=(XH+[H,X])v&&=(\alpha +2)Xv,\\[3pt]H(Yv)&=(YH+[H,Y])v&&=(\alpha -2)Yv.\end{alignedat}}}$

بعبارة أخرى،${\displaystyle Xv}$إما أن يكون متجهًا صفريًا أو متجهًا ذاتيًا لـ${\displaystyle H}$مع القيمة الذاتية${\displaystyle \alpha +2}$و${\displaystyle Yv}$إما أن يكون صفرًا أو متجهًا ذاتيًا لـ${\displaystyle H}$مع القيمة الذاتية${\displaystyle \alpha -2.}$وبالتالي، فإن المشغل${\displaystyle X}$يعمل كعامل رفع ، مما يزيد الوزن بمقدار 2، بينما${\displaystyle Y}$يعمل كعامل خفض .

لنفترض الآن أن${\displaystyle V}$هو تمثيل غير قابل للاختزال ومحدود الأبعاد لجبر لي المعقد . إذن${\displaystyle H}$لا يمكن أن يكون للمصفوفة إلا عدد محدود من القيم الذاتية. وعلى وجه الخصوص، يجب أن تكون هناك قيمة ذاتية نهائية.${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$مع العقار الذي${\displaystyle \lambda +2}$ليست قيمة ذاتية. ليكن${\displaystyle v_{0}}$ليكن متجهًا ذاتيًا لـ${\displaystyle H}$مع تلك القيمة الذاتية${\displaystyle \lambda$ :}

${\displaystyle Hv_{0}=\lambda v_{0},}$

إذن يجب أن يكون لدينا

${\displaystyle Xv_{0}=0,}$

وإلا فإن الهوية المذكورة أعلاه ستخبرنا بذلك${\displaystyle Xv_{0}}$هو متجه ذاتي ذو قيمة ذاتية${\displaystyle \lambda +2.}$

الآن، حدد "سلسلة" من المتجهات${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots }$بواسطة

${\displaystyle v_{k}=Y^{k}v_{0}}$.

ثم تُظهر حجة بسيطة بالاستقراء ^{[ 5 ] أن}

${\displaystyle Xv_{k}=k(\lambda -(k-1))v_{k-1}}$

للجميع${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$الآن، إذا${\displaystyle v_{k}}$ليس متجه الصفر، بل هو متجه ذاتي لـ${\displaystyle H}$مع القيمة الذاتية${\displaystyle \lambda -2k.}$لأن، مرة أخرى،${\displaystyle H}$بما أن لها عددًا محدودًا فقط من المتجهات الذاتية، نستنتج أن${\displaystyle v_{\ell }}$يجب أن تكون القيمة صفرًا بالنسبة للبعض${\displaystyle \ell }$(وثم${\displaystyle v_{k}=0}$للجميع${\displaystyle k>\ell }$).

يترك${\displaystyle v_{m}}$ليكن المتجه الأخير غير الصفري في السلسلة؛ أي${\displaystyle v_{m}\neq 0}$لكن${\displaystyle v_{m+1}=0.}$ثم بالطبع${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$وبناءً على التطابق المذكور أعلاه مع${\displaystyle k=m+1,}$لدينا

${\displaystyle 0=Xv_{m+1}=(m+1)(\lambda -m)v_{m}.}$

منذ${\displaystyle m+1}$واحد على الأقل و${\displaystyle v_{m}\neq 0,}$نستنتج أن${\displaystyle \lambda }$يجب أن يكون مساوياً لعدد صحيح غير سالب${\displaystyle m.}$

وبذلك نحصل على سلسلة من${\displaystyle m+1}$المتجهات،${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m},}$بحيث${\displaystyle Y}$يعمل كـ

${\displaystyle Yv_{m}=0,\quad Yv_{k}=v_{k+1}\quad (k<m)}$

و${\displaystyle X}$يعمل كـ

${\displaystyle Xv_{0}=0,\quad Xv_{k}=k(m-(k-1))v_{k-1}\quad (k\geq 1)}$

و${\displaystyle H}$يعمل كـ

${\displaystyle Hv_{k}=(m-2k)v_{k}.}$

(لقد استبدلنا)${\displaystyle \lambda }$بقيمتها المعروفة حاليًا وهي${\displaystyle m}$(في الصيغ أعلاه.)

بما أن المتجهات${\displaystyle v_{k}}$هي متجهات ذاتية لـ${\displaystyle H}$إذا كانت لها قيم ذاتية مميزة، فلا بد أن تكون مستقلة خطيًا. علاوة على ذلك، فإن مدى${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{m}}$من الواضح أنها ثابتة تحت تأثير جبر لي المعقد.${\displaystyle V}$بافتراض أن هذا النطاق غير قابل للاختزال، يجب أن يكون هذا النطاق هو كل${\displaystyle V.}$وبذلك نحصل على وصف كامل لما يجب أن يبدو عليه التمثيل غير القابل للاختزال؛ أي أساس للفضاء ووصف كامل لكيفية عمل مولدات جبر لي. وعلى العكس من ذلك، لأي${\displaystyle m\geq 0}$يمكننا بناء تمثيل باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه والتحقق من صحة علاقات التبادل. ويمكن بعد ذلك إثبات أن هذا التمثيل غير قابل للاختزال. ^{[ 6 ]}

الخلاصة : لكل عدد صحيح غير سالب${\displaystyle m,}$يوجد تمثيل فريد غير قابل للاختزال ذو وزن أعلى${\displaystyle m.}$كل تمثيل غير قابل للاختزال يعادل أحد هذه التمثيلات. التمثيل ذو الوزن الأعلى${\displaystyle m}$له أبعاد${\displaystyle m+1}$مع الأوزان${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$لكل منها تعدد واحد.

نقدم الآن عنصر كازيمير (التربيعي) ،${\displaystyle C}$مقدم من

${\displaystyle C=-\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\right)}$.

يمكننا أن نرى${\displaystyle C}$كعنصر من عناصر الجبر الشامل أو كمؤثر في كل تمثيل غير قابل للاختزال. عرض${\displaystyle C}$كعامل على التمثيل ذي الوزن الأعلى${\displaystyle m}$يمكننا بسهولة حساب ذلك${\displaystyle C}$التنقل مع كل${\displaystyle u_{i}.}$وبالتالي، وفقًا لفرضية شور ،${\displaystyle C}$يعمل كمضاعف قياسي${\displaystyle c_{m}}$هوية كل${\displaystyle m.}$يمكننا الكتابة${\displaystyle C}$فيما يتعلق بـ${\displaystyle \{H,X,Y\}}$على أساس ما يلي:

${\displaystyle C=(X+Y)^{2}-(-X+Y)^{2}+H^{2},}$

والتي يمكن اختصارها إلى

${\displaystyle C=4YX+H^{2}+2H.}$

القيمة الذاتية لـ${\displaystyle C}$في التمثيل ذي الوزن الأعلى${\displaystyle m}$يمكن حسابها عن طريق تطبيق${\displaystyle C}$إلى متجه الوزن الأعلى، والذي يتم إبادته بواسطة${\displaystyle X;}$وهكذا نحصل على

${\displaystyle c_{m}=m^{2}+2m=m(m+2).}$

في الأدبيات الفيزيائية، يتم تطبيع كازيمير على النحو التالي:${\textstyle C'={\frac {1}{4}}C.}$تصنيف الأشياء من حيث${\textstyle \ell ={\frac {1}{2}}m,}$القيمة الذاتية${\displaystyle d_{\ell }}$ل${\displaystyle C'}$ثم يتم حسابها على النحو التالي

${\displaystyle d_{\ell }={\frac {1}{4}}(2\ell )(2\ell +2)=\ell (\ell +1).}$

بما أن SU(2) متصلة ببساطة، تُظهر نتيجة عامة أن كل تمثيل لجبر لي (المعقد) الخاص بها يُنتج تمثيلًا لـ SU(2) نفسها. ومع ذلك، من المستحسن تقديم تمثيل صريح لهذه التمثيلات على مستوى المجموعة. يمكن تحقيق تمثيلات المجموعة على فضاءات كثيرات الحدود في متغيرين عقديين. ^{[ 7 ]} أي، لكل عدد صحيح غير سالب${\displaystyle m}$، نحن نترك${\displaystyle V_{m}}$يرمز إلى فضاء كثيرات الحدود المتجانسة${\displaystyle p}$درجة علمية${\displaystyle m}$في متغيرين مركبين. ثم بُعد${\displaystyle V_{m}}$يكون${\displaystyle m+1}$يوجد تأثير طبيعي لـ SU(2) على كل${\displaystyle V_{m}}$، مقدمة من

${\displaystyle [U\cdot p](z)=p\left(U^{-1}z\right),\quad z\in \mathbb {C} ^{2},U\in \mathrm {SU} (2)}$.

إن تمثيل جبر لي المرتبط هو ببساطة التمثيل الموصوف في القسم السابق. (انظر هنا للحصول على صيغة صريحة لتأثير جبر لي على فضاء كثيرات الحدود).

طبيعة التمثيل​${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$هي الوظيفة${\displaystyle \mathrm {X} :G\rightarrow \mathbb {C} }$مقدم من

${\displaystyle \mathrm {X} (g)=\operatorname {trace} (\Pi (g))}$.

تلعب الخصائص دورًا هامًا في نظرية تمثيل المجموعات المدمجة . ومن السهل ملاحظة أن الخاصية هي دالة فئة، أي أنها ثابتة تحت الاقتران.

في حالة SU(2)، فإن كون الخاصية دالة فئة يعني أنها تُحدد بقيمتها على الطارة القصوى.${\displaystyle T}$تتكون من المصفوفات القطرية في SU(2)، لأن عناصرها قابلة للتقطير المتعامد وفقًا لنظرية الطيف. ^{[ 8 ]} نظرًا لأن التمثيل غير القابل للاختزال ذو الوزن الأعلى${\displaystyle m}$له أوزان${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m}$من السهل ملاحظة أن الشخصية المرتبطة بها تحقق الشرط التالي:

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

هذا التعبير عبارة عن متسلسلة هندسية منتهية يمكن تبسيطها إلى

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

هذا التعبير الأخير هو مجرد بيان لصيغة ويل المميزة لحالة SU(2). ^{[ 9 ]}

في الواقع، باتباع تحليل فايل الأصلي لنظرية تمثيل الزمر المتراصة، يمكن تصنيف التمثيلات كليًا من منظور الزمرة، دون استخدام تمثيلات جبر لي على الإطلاق. في هذا النهج، تلعب صيغة فايل المميزة دورًا أساسيًا في التصنيف، إلى جانب نظرية بيتر-فايل . يُشرح هنا مثال SU(2) من هذا السياق .

لاحظ أن جميع أوزان التمثيل إما أن تكون زوجية (إذا${\displaystyle m}$(زوجي) أو جميع الأوزان فردية (إذا${\displaystyle m}$(فردي). من الناحية الفيزيائية، يُعد هذا التمييز مهمًا: فالتمثيلات ذات الأوزان الزوجية تُقابل التمثيلات العادية لمجموعة الدوران SO(3) . ^{[ 10 ]} في المقابل، تُقابل التمثيلات ذات الأوزان الفردية التمثيل ثنائي القيمة (الدوراني) لـ SO(3)، والمعروف أيضًا بالتمثيلات الإسقاطية .

في الاصطلاحات الفيزيائية،${\displaystyle m}$الوجود حتى يتوافق مع${\displaystyle l}$كونه عددًا صحيحًا بينما${\displaystyle m}$كون المرء غريباً يتوافق مع${\displaystyle l}$كونه نصف عدد صحيح. تُوصف هاتان الحالتان على التوالي باللف المغزلي الصحيح واللف المغزلي نصف الصحيح . التمثيلات ذات القيم الفردية الموجبة لـ${\displaystyle m}$تمثل هذه التمثيلات تمثيلات أمينة لـ SU(2)، بينما تمثل تمثيلات SU(2) ذات القيم غير السالبة، والزوجية${\displaystyle m}$غير مخلصين. ^{[ 11 ]}