المد والجزر غير الخطي

تنشأ المد والجزر غير الخطية نتيجةً للتشوهات الهيدروديناميكية للمد والجزر . ويُقال إن موجة المد والجزر غير خطية عندما ينحرف شكلها عن الموجة الجيبية النقية. رياضياً، تُعزى عدم خطية الموجة إلى حدود الحمل والاحتكاك غير الخطية في المعادلات الحاكمة. وتزداد أهمية هذه الحدود في المناطق الضحلة، مثل مصبات الأنهار . تُدرس المد والجزر غير الخطية في مجالات ديناميكيات مورفولوجيا السواحل ، والهندسة الساحلية ، وعلم المحيطات الفيزيائي . ولعدم خطية المد والجزر آثارٌ بالغة الأهمية على نقل الرواسب .

من منظور رياضي، تنشأ اللاخطية في المد والجزر من الحدود اللاخطية الموجودة في معادلات نافيير-ستوكس . ولتحليل المد والجزر، من الأنسب النظر في معادلات المياه الضحلة المتوسطة العمق : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}[(D_{0}+\eta )u]+{\frac {\partial }{\partial y}}[(D_{0}+\eta )v]=0,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-{\frac {\tau _{b,x}}{\rho (D_{0}+\eta )}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-{\frac {\tau _{b,y}}{\rho (D_{0}+\eta )}}.}$$هنا،${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$المناطق (${\displaystyle x}$) والزوال (${\displaystyle y}$) سرعة التدفق على التوالي،${\displaystyle g}$هو التسارع الناتج عن الجاذبية ،${\displaystyle \rho }$الكثافة،${\displaystyle \tau _{b,x}}$ و${\displaystyle \tau _{b,y}}$هي مكونات مقاومة القاع في${\displaystyle x}$- و${\displaystyle y}$- في الاتجاه على التوالي، ${\displaystyle D_{0}}$هو متوسط ​​عمق المياه و${\displaystyle \eta }$يمثل ارتفاع سطح الماء بالنسبة إلى متوسط ​​مستوى الماء. تُعرف المعادلة الأولى من المعادلات الثلاث بمعادلة الاستمرارية، بينما تمثل المعادلات الأخرى توازن الزخم في${\displaystyle x}$- و${\displaystyle y}$-الاتجاه على التوالي.

تستند هذه المعادلات إلى افتراضات مفادها أن الماء غير قابل للانضغاط، وأنه لا يعبر القاع أو السطح، وأن تغيرات الضغط فوق السطح ضئيلة. يسمح هذا الأخير باستبدال حدود تدرج الضغط في معادلات نافيير-ستوكس القياسية بتدرجات في${\displaystyle \eta }$علاوة على ذلك، تم حذف مصطلحات كوريوليس والخلط الجزيئي في المعادلات أعلاه لأنها صغيرة نسبيًا على النطاق الزمني والمكاني للمد والجزر في المياه الضحلة.

لأغراض تعليمية، لا تتناول بقية هذه المقالة سوى تدفق أحادي البعد مع موجة مد وجزر منتشرة في الاتجاه الموجب${\displaystyle x}$-الاتجاه. وهذا يعني أن${\displaystyle v=0}$الصفر، وجميع الكميات متجانسة في${\displaystyle y}$في الاتجاه المعاكس. لذلك، كل${\displaystyle \partial /\partial y}$الحدود تساوي صفرًا، والمعادلة الأخيرة من المعادلات المذكورة أعلاه اختيارية.

لفهم اللاخطية الناتجة عن حد التباعد ، يمكن النظر في سرعة انتشار موجة في المياه الضحلة. ^{[ 2 ]} وبإهمال الاحتكاك، تُعطى سرعة الموجة على النحو التالي: ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle c_{0}\approx {\sqrt {g(D_{0}+\eta )}}}$$

مقارنة مستويات المياه المنخفضة (LW) بمستويات المياه المرتفعة (HW)${\displaystyle \eta _{LW}<\eta _{HW}}$تتحرك الموجة المنخفضة (LW) في المياه الضحلة بشكل أبطأ من قمتها (HW). ونتيجة لذلك، "تلحق" القمة بالقاع وتصبح الموجة المدية غير متناظرة. ^{[ 4 ]}

لفهم اللاخطية الناتجة عن حد الحمل، يمكن النظر في سعة تيار المد والجزر. ^{[ 2 ]} بإهمال الاحتكاك، تُعطى سعة تيار المد والجزر على النحو التالي:

$${\displaystyle U_{0}\approx c_{0}{\frac {\eta }{D_{0}}}}$$

عندما لا يكون نطاق المد والجزر صغيرًا مقارنة بعمق الماء، أي${\displaystyle \eta /D_{0}}$تُعد سرعة التدفق ذات أهمية بالغة.${\displaystyle u}$لا يمكن إهمالها فيما يتعلق بـ${\displaystyle c_{0}}$وبالتالي، فإن سرعة انتشار الموجة عند القمة هي${\displaystyle c_{0}+u}$أما عند قاع الموجة، فتكون سرعة الموجة${\displaystyle c_{0}-u}$. على غرار التشوه الناجم عن مصطلح التباعد، ينتج عن ذلك "اللحاق" بالقمة مع القاع بحيث تصبح موجة المد والجزر غير متماثلة.

بالنسبة لكل من حد التباعد غير الخطي وحد الحمل، يكون التشوه غير متناظر. وهذا يعني أنه يتم توليد توافقيات أعلى، وهي غير متناظرة حول عقدة المد الرئيسي.

التحليل الرياضي

تعتمد معادلات المياه الضحلة الخطية على افتراض أن سعة تغيرات مستوى سطح البحر أصغر بكثير من العمق الكلي. ^{[ 1 ]} لا يصح هذا الافتراض بالضرورة في مناطق المياه الضحلة. عند إهمال الاحتكاك، تصبح معادلات المياه الضحلة غير الخطية أحادية البعد كما يلي:$${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial \eta }{\partial x}}} _{i}+(D_{0}+\underbrace {\eta ){\frac {\partial u}{\partial x}}} _{i}=0,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial u}{\partial x}}} _{ii}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}.}$$هنا${\displaystyle D_{0}}$يمثل عمق الماء غير المضطرب، والذي يُفترض أنه ثابت. تحتوي هذه المعادلات على ثلاثة حدود غير خطية، اثنان منها ناتجان عن تدفق الكتلة في معادلة الاستمرارية (المشار إليها بالرمز السفلي).${\displaystyle i}$وينشأ أحدهما من الحمل المضمن في معادلة الزخم (المشار إليها بالرمز السفلي).${\displaystyle ii}$لتحليل هذه المجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية ، يمكن تحويل المعادلات الحاكمة إلى شكل لا بُعدي . ويتم ذلك بناءً على افتراض أن${\displaystyle u}$و${\displaystyle \eta }$يتم وصفها بموجة مائية منتشرة، ذات سعة مستوى الماء${\displaystyle H_{0}}$، تردد راديان${\displaystyle \omega }$ورقم موجي${\displaystyle k}$وبناءً على ذلك، يتم تطبيق مبادئ التحويل التالية:$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}x={\frac {1}{k}}{\tilde {x}}\\\eta =H_{0}{\tilde {\eta }}\\t={\frac {1}{\omega }}{\tilde {t}}\\u=H_{0}{\sqrt {\frac {g}{D_{0}}}}{\tilde {u}}\end{array}}\right.}$$تُضرب المتغيرات غير البُعدية، المشار إليها بعلامات التلدة، بمقياس مناسب للطول أو الزمن أو السرعة للمتغير البُعدي. وبتعويض المتغيرات غير البُعدية، تصبح المعادلات الحاكمة كما يلي:$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}+(1+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {\eta }}){\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}}$$يُظهر التحويل إلى صيغة لا بُعدية أن الحدود غير الخطية تكون صغيرة جدًا إذا كان متوسط ​​عمق الماء أكبر بكثير من تغيرات مستوى الماء، أي${\textstyle {\frac {H_{0}}{D_{0}}}}$صغير. في حالة أن${\displaystyle H_{0}/D_{0}<<1}$يمكن استخدام تحليل الاضطراب الخطي لمزيد من تحليل هذه المجموعة من المعادلات. يفترض هذا التحليل وجود اضطرابات صغيرة حول حالة متوسطة لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$:$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}={\tilde {\eta }}_{0}+\epsilon {\tilde {\eta }}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\\{\tilde {u}}={\tilde {u}}_{0}+\epsilon {\tilde {u}}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\end{array}}\right.}$$هنا${\displaystyle \epsilon =H_{0}/D_{0}}$.

عند إدخال هذه السلسلة الخطية في المعادلات الحاكمة غير البعدية، فإن الحدود من الرتبة الصفرية تخضع لما يلي:$${\displaystyle {\frac {\partial {{\tilde {\eta }}_{0}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$هذه معادلة موجية خطية ذات حل بسيط على الشكل التالي:

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\\{\tilde {u}}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\end{array}}\right.}$$جمع${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$الحدود والقسمة على${\displaystyle \epsilon }$ينتج عنه:

$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {\eta }}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}}$$تبقى ثلاثة حدود غير خطية. ومع ذلك، فإن الحدود غير الخطية لا تتضمن سوى حدود من${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$والتي تُعرف حلولها. ومن ثم يمكن حسابها. بعد ذلك، بأخذ${\displaystyle {\tilde {t}}}$-مشتق الجزء العلوي وطرح${\displaystyle {\tilde {x}}}$مشتقة المعادلة السفلية تعطي معادلة موجية واحدة:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}^{2}}}=-3\cos(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))}$$

تخضع هذه المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية غير المتجانسة للحل الجزيئي التالي:

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\\{\tilde {u}}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\end{array}}\right.}$$

بالعودة إلى الحل البُعدي لارتفاع سطح البحر:

$${\displaystyle \eta =H_{0}\cos(kx-\omega t)+{\frac {3}{4}}{\frac {H_{0}^{2}kx}{D_{0}}}\sin(2(kx-\omega t))}$$

هذا الحل صالح لاضطراب من الدرجة الأولى. وتُعزى الحدود غير الخطية إلى توليد إشارة توافقية أعلى بتردد مضاعف لتردد المد الرئيسي. علاوة على ذلك، يتناسب الحد التوافقي الأعلى مع${\displaystyle x}$،${\displaystyle H_{0}/D_{0}}$و${\displaystyle k}$وبالتالي، سينحرف شكل الموجة أكثر فأكثر عن شكلها الأصلي أثناء انتشارها في${\displaystyle x}$في الاتجاه -، لنطاق مد وجزر كبير نسبيًا ولأطوال موجية أقصر. عند النظر في مبدأ مشترك${\displaystyle M2}$تؤدي الحدود غير الخطية في المعادلة إلى توليد المد والجزر .${\displaystyle M_{4}}$التوافقي. عند النظر في الرتبة الأعلى${\displaystyle \epsilon }$من حيث المصطلحات، يمكن للمرء أن يجد أيضًا التوافقيات الأعلى.

إن مصطلح الاحتكاك في معادلات المياه الضحلة غير خطي في كل من السرعة وعمق الماء.

لفهم هذا الأخير، يمكن للمرء أن يستنتج من${\displaystyle \tau _{b}/(D_{0}+\eta )}$يشير هذا المصطلح إلى أن الاحتكاك يكون في أقصى قوته عند انخفاض منسوب المياه. ولذلك، "تلحق" قمة الموجة بقاعها لأنها تواجه احتكاكًا أقل يُبطئها. ومثل اللاخطية الناتجة عن مصطلحي التباعد والانتقال، يتسبب هذا في موجة مدية غير متناظرة.

لفهم التأثير غير الخطي للسرعة، ينبغي مراعاة أن الإجهاد السفلي غالباً ما يتم تحديده بشكل تربيعي:$${\displaystyle \tau _{b}=\rho C_{d}u|u|}$$هنا ${\displaystyle C_{d}}$معامل السحب ، والذي يُفترض غالباً أنه ثابت (${\displaystyle C_{d}=0.0025}$).

مرتين في كل دورة مد وجزر، عند ذروة المد وذروة الجزر،${\displaystyle |u|}$يصل إلى أقصى قيمة له، ومع ذلك، فإن إشارة${\displaystyle u|u|}$يكون الوضع معاكساً في هاتين اللحظتين. وبشكل سببي، يتغير التدفق بشكل متناظر حول عقدة الموجة. وهذا يقود إلى استنتاج مفاده أن هذه اللاخطية تُنتج توافقيات أعلى فردية، وهي متناظرة حول عقدة المد والجزر الرئيسي.

في مصبات الأنهار الضحلة، تلعب العوامل غير الخطية دورًا هامًا وقد تُسبب عدم تناظر المد والجزر. يُمكن فهم ذلك بديهيًا عند الأخذ في الاعتبار أنه كلما قلّ عمق الماء، قلّ الاحتكاك الذي يُبطئ موجة المد والجزر. بالنسبة لمصب نهر ذي منطقة مد وجزر صغيرة (الحالة الأولى)، يزداد متوسط ​​عمق الماء عمومًا أثناء ارتفاع المد. لذلك، تواجه قمة موجة المد احتكاكًا أقل يُبطئها، فتلحق بقاع الموجة. وهذا يُسبب عدم تناظر المد والجزر مع ارتفاع سريع نسبيًا. أما بالنسبة لمصب نهر ذي منطقة مد وجزر واسعة (الحالة الثانية)، فيزداد عمق الماء في القناة الرئيسية أيضًا أثناء ارتفاع المد. ومع ذلك، وبسبب منطقة المد والجزر، يقلّ متوسط ​​عمق الماء في العرض عمومًا. لذلك، يواجه قاع موجة المد احتكاكًا أقل نسبيًا يُبطئها، فتلحق بالقمة. وهذا يُسبب عدم تناظر المد والجزر مع ارتفاع بطيء نسبيًا. في مصب نهر يهيمن عليه الاحتكاك، تتوافق مرحلة المد مع ارتفاع المد، وتتوافق مرحلة الجزر مع انخفاض المد. لذلك، فإن الحالتين (أ) و(ب) تتوافقان مع المد والجزر المهيمنين على التوالي.

لإيجاد تعبير رياضي يحدد نوع عدم التناظر في مصب النهر، ينبغي مراعاة سرعة الموجة. وباتباع تحليل اضطراب غير خطي، ^{[ 7 ]} تُعطى سرعة الموجة المتغيرة مع الزمن لمصب نهر متقارب على النحو التالي: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle c(t)\sim {\frac {h(t)}{b(t)^{2}}}\approx {\frac {\langle h\rangle [1+(\eta /H_{0})(H_{0}/\langle h\rangle )]}{\langle b\rangle ^{1/2}[1+(\eta /H_{0})(\Delta b/\langle b\rangle )]^{1/2}}}}$$

مع${\displaystyle h(t)}$عمق القناة،${\displaystyle b(t)}$عرض المصب، والجانب الأيمن مجرد تحليل لهذه الكميات في متوسطاتها المدية (يرمز لها بـ${\displaystyle \langle \rangle }$) وانحرافها عنه. باستخدام متسلسلة تايلور من الدرجة الأولى، يمكن تبسيط ذلك إلى:

$${\displaystyle c\sim {\frac {\langle h\rangle }{\langle b\rangle ^{1/2}}}[1+\gamma (\eta /H_{0})]}$$

هنا:

$${\displaystyle \gamma ={\frac {H_{0}}{\langle h\rangle }}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta b}{\langle b\rangle }}}$$

يمثل هذا المعامل عدم تناظر المد والجزر. الحالة التي نوقشت (i)، أي المد والجزر السريع، تتوافق مع ${\displaystyle \gamma >0}$أما الحالة (ii)، أي المد والجزر البطيء الارتفاع، فتتوافق مع${\displaystyle \gamma <0}$. تُعيد المحاكاة العددية غير الخطية التي أجراها فريدريش وأوبري ^{[ 9 ]} إنتاج علاقة مماثلة لـ${\displaystyle \gamma }$.

Consider a tidal flow induced by a tidal force in the x-direction such as in the figure. Far away from the coast, the flow will be in the x-direction only. Since at the coast the water cannot flow cross-shore, the streamlines are parallel to the coast. Therefore, the flow curves around the coast. The centripetal force to accommodate for this change in the momentum budget is the pressure gradient perpendicular to a streamline. This is induced by a gradient in the sea level height.^[10] Analogues to the gravity force that keeps planets in their orbit, the gradient in sea level height for a streamline curvature with radius ${\displaystyle r}$ is given as:

$${\displaystyle g{\frac {\partial \eta }{\partial r}}={\frac {u^{2}}{r}}}$$

For a convex coast, this corresponds to a decreasing water level height when approaching the coast. For a concave coast this is opposite, such that the sea level height increases when approaching the coast. This pattern is the same when the tide reverses the current. Therefore, one finds that the flow curvature lowers or raises the water level height twice per tidal cycle. Hence it adds a tidal constituent with a frequency twice that of the principal component. This higher harmonic is indicative of nonlinearity, but this is also observed by the quadratic term in the above expression.

A mean flow, e.g. a river flow, can alter the nonlinear effects. Considering a river inflow into an estuary, the river flow will cause a decrease of the flood flow velocities, while increasing the ebb flow velocities. Since the friction scales quadratically with the flow velocities, the increase in friction is larger for the ebb flow velocities than the decrease for the flood flow velocities. Hence, creating a higher harmonic with double the frequency of the principal tide. When the mean flow is larger than the amplitude of the tidal current, this would lead to no reversal of the flow direction. Thus, the generation of the odd higher harmonics by the nonlinearity in the friction would be reduced. Moreover, an increase in the mean flow discharge can cause an increase in the mean water depth and therefore reduce the relative importance of nonlinear deformation.^[11]

The Severn Estuary is relatively shallow and its tidal range is relatively large. Therefore, nonlinear tidal deformation is notable in this estuary. Using GESLA data من خلال قياس ارتفاع مستوى الماء في محطة القياس بالقرب من أفونماوث، يمكن تأكيد وجود المد والجزر غير الخطي. وباستخدام خوارزمية مطابقة توافقية بسيطة مع نافذة زمنية متحركة مدتها 25 ساعة، يمكن إيجاد سعة مستوى الماء لمختلف مكونات المد والجزر. وقد تم ذلك لعام 2011.${\displaystyle M_{2}}$،${\displaystyle M_{4}}$و${\displaystyle M_{6}}$المكونات. في الشكل، سعة مستوى الماء لـ${\displaystyle M_{4}}$و${\displaystyle M_{6}}$التوافقيات،${\displaystyle H_{M4}}$و${\displaystyle H_{M6}}$على التوالي، يتم رسمها مقابل سعة مستوى الماء الرئيسي${\displaystyle M_{2}}$المد والجزر${\displaystyle H_{M2}}$يمكن ملاحظة أن التوافقيات الأعلى، التي يتم توليدها عن طريق اللاخطية، لها أهمية كبيرة فيما يتعلق بالمد الرئيسي.

العلاقة بين${\displaystyle H_{M2}}$و${\displaystyle H_{M4}}$ يبدو الأمر تربيعيًا إلى حد ما. ويمكن توقع هذا الاعتماد التربيعي من التحليل الرياضي الوارد في هذه المقالة. أولًا، ينتج عن تحليل التباعد والانتقال تعبيرًا، بالنسبة لقيمة ثابتة${\displaystyle x}$، مما يعني:

${\displaystyle H_{M4}\propto H_{M2}^{2}}$

ثانيًا، يُظهر تحليل اللاخطية في الاحتكاك مع عمق الماء توافقية ثانية أعلى. في التحليل الرياضي، تم افتراض تمثيل خطي لإجهاد القاع. مع ذلك، يتناسب إجهاد القاع في الواقع تناسبًا طرديًا تقريبًا مع سرعة التدفق. وينعكس هذا في العلاقة التربيعية بين${\displaystyle H_{M2}}$و ${\displaystyle H_{M4}}$.

في الرسم البياني، بالنسبة لنطاق مد وجزر صغير، يكون الارتباط بين${\displaystyle H_{M2}}$و${\displaystyle H_{M6}}$تتناسب تقريبًا تناسبًا طرديًا. وتنتج هذه العلاقة بين المد الرئيسي وتوافقه الثالث من اللاخطية في الاحتكاك مع السرعة، وهو ما ينعكس في الصيغة المشتقة. بالنسبة لنطاقات المد والجزر الأكبر،${\displaystyle H_{M6}}$تبدأ بالتناقص. ولا يزال هذا السلوك غير قابل للحل بالنظرية التي تناولتها هذه المقالة.

قد يكون لتشوه المد والجزر أهمية كبيرة في نقل الرواسب . ^{[ 15 ]} ولتحليل ذلك، من البديهي التمييز بين ديناميكيات الرواسب العالقة ورواسب قاع النهر . ويمكن عمومًا قياس نقل الرواسب العالقة (في بُعد واحد) كما يلي: ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle q_{s}=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }(uc-K_{b}{\frac {\partial c}{\partial z}})dz}$$

هنا${\displaystyle q_{s}}$هو تدفق الرواسب المتكامل مع العمق،${\displaystyle c}$تركيز الرواسب،${\displaystyle K_{b}}$هو معامل الانتشار الأفقي و${\displaystyle a_{r}}$يمثل الارتفاع المرجعي فوق السطح${\displaystyle z_{b}}$يمكن تقدير نقل حمولة القاع من خلال التعريف الاستدلالي التالي:

$${\displaystyle q_{b}=\beta u^{3}}$$هنا${\displaystyle \beta }$هو معامل التآكل.

يمكن تمثيل سرعة التدفق النطاقي كمتسلسلة فورييه مقطوعة . عند النظر في تدفق المد والجزر المكون من فقط ${\displaystyle M_{2}}$و${\displaystyle M_{4}}$المكونات، يتم تحديد التيار في موقع محدد على النحو التالي:$${\displaystyle u(t)=U_{M2}\cos(\omega _{M2}t-\phi _{M2})+U_{M4}\cos(\omega _{M4}t-\phi _{M4}).}$$يتطلب الحصول على تعبير لمتوسط ​​تدفق الرواسب العالقة خلال المد والجزر وصفًا للتطور المحلي لتركيز الرواسب العالقة. التغير المحلي لتركيز الرواسب العالقة المتكامل مع العمق (${\displaystyle C=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }cdz}$) تخضع لما يلي: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}=\alpha u^{2}-{\frac {W_{s}^{2}}{K_{v}}}C}$$

هنا${\displaystyle W_{s}}$هي سرعة السقوط،${\displaystyle K_{v}}$هو معامل الانتشار الرأسي و${\displaystyle \alpha }$هو معامل التآكل. يتم إهمال الحمل في هذا النموذج. بالنظر إلى تعريف${\displaystyle u(t)}$و${\displaystyle C}$ويمكن الحصول على تعبير لنقل حمولة القاع والحمولة المعلقة المتوسطة بفعل المد والجزر:$${\displaystyle \langle q_{s}\rangle ={\frac {K_{v}\alpha }{W_{s}^{2}}}({\frac {1}{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}})+{\frac {a}{2}}U_{M2}^{2}U_{M4}\sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}}))}$$$${\displaystyle \langle q_{b}\rangle ={\frac {3\beta }{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$$هنا${\textstyle a={\frac {\omega _{M2}K_{v}^{2}}{W_{s}}}}$، وهي نسبة زمن الترسيب إلى زمن المد والجزر. ويمكن تحديد آليتين مهمتين باستخدام تعريفات${\displaystyle \langle q_{b}\rangle }$و${\displaystyle \langle q_{s}\rangle }$سيتم مناقشة آليتي النقل هاتين بإيجاز.

عدم تناظر السرعة

تعتمد آلية عدم تناظر السرعة على اختلاف في أقصى سرعة تدفق بين ذروة الجزر وذروة المد . ويتم تلخيص قياس هذه الآلية من خلال${\textstyle \cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$المصطلح. تُلخّص دلالات هذا المصطلح في الجدول أدناه:

${\displaystyle 2\phi _{M2}-\phi _{M4}}$	${\displaystyle \langle q_{s}\rangle _{va}}$	${\displaystyle \langle q_{b}\rangle _{va}}$
${\displaystyle \pm \;90^{\circ }}$	0	0
${\displaystyle 0^{\circ }\leq |2\phi _{M2}-\phi _{M2}|<90^{\circ }}$	${\displaystyle >0}$	${\displaystyle >0}$
${\displaystyle 90^{\circ }<|2\phi _{M2}-\phi _{M2}|\leq 180^{\circ }}$	${\displaystyle <0}$	${\displaystyle <0}$

وبالتالي، تتسبب آلية عدم تناظر السرعة في نقل صافٍ باتجاه الجزر إذا كانت القيمة المطلقة لفرق الطور النسبي${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|>90^{\circ }}$بينما يتسبب ذلك في نقل صافٍ موجه للفيضان إذا${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }}$في الحالة الأخيرة، ستكون ذروة تدفقات الفيضان أكبر من ذروة تدفقات الجزر. وبالتالي، سيتم نقل الرواسب لمسافة أكبر في اتجاه الفيضان، مما يجعل${\displaystyle \langle q_{s}\rangle >0}$و${\displaystyle \langle q_{b}\rangle >0}$وينطبق العكس على${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }}$.

عدم تناسق المدة

يمكن لآلية عدم تناظر المدة أن تتسبب أيضًا في نقل متوسط ​​الحمل المعلق على مدار المد والجزر. تسمح هذه الآلية فقط بتدفق متوسط ​​للرواسب العالقة على مدار المد والجزر. ويتم تلخيص قياس هذه الآلية من خلال${\textstyle \sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$المصطلح، وهو غائب في${\displaystyle \langle q_{b}\rangle }$معادلة. تُلخّص دلالات هذا المصطلح في الجدول أدناه:

${\displaystyle 2\phi _{M2}-\phi _{M4}}$	${\displaystyle \langle q_{s}\rangle _{da}}$
${\displaystyle 0^{\circ }}$	0
${\displaystyle 0^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<180^{\circ }}$	${\displaystyle >0}$
${\displaystyle 180^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<360^{\circ }}$	${\displaystyle <0}$

متى ${\displaystyle 0^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<180^{\circ }}$تكون الفترة الزمنية بين ذروة الفيضان وذروة الجزر أطول من الفترة الزمنية بين ذروة الجزر وذروة الفيضان. وهذا يسمح بترسيب كمية أكبر من الرواسب خلال هذه الفترة، وبالتالي تقل كمية الرواسب العالقة عند ذروة الجزر، مما يؤدي إلى نقل صافٍ في اتجاه الفيضان. وينطبق تفسير مشابه، ولكن معاكس، على${\displaystyle 180^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<360^{\circ }}$لا تتأثر عملية نقل حمولة القاع بهذه الآلية لأن الآلية تتطلب فترة تأخر في ترسيب الجزيئات، أي أن الجزيئات يجب أن تستغرق وقتًا للترسيب ويتكيف التركيز تدريجيًا مع سرعات التدفق.

• الرنين المدّي
• موجة المد والجزر
• اللاخطية الموجية
• المد والجزر في البحار الهامشية
• نقل الرواسب