تدوين كوكسيتر

المجالات الأساسية لمجموعات النقاط ثلاثية الأبعاد العاكسة
، $[ ] = [1] C 1v$	[ $2] C 2v$	[ $3] C 3v$	[ $4] C 4v$	[ $5] ج 5 فولت$	[ $6] C 6v$
الطلب رقم 2	الطلب رقم 4	الطلب رقم 6	الطلب رقم 8	الطلب رقم 10	الطلب رقم ١٢
$[2] = [2,1] D 1h$	$[2,2] D 2h$	$[2,3] D 3h$	$[2,4] D 4h$	$[2,5] D 5h$	$[2,6] D 6h$
الطلب رقم 4	الطلب رقم 8	الطلب رقم ١٢	الطلب رقم 16	الطلب رقم 20	الطلب رقم 24
، $[3,3]، T d$		، $[4,3] ، أوه$		، $[5,3]، أنا ح$
الطلب رقم 24		الطلب رقم 48		الطلب رقم 120
تُعبّر صيغة كوكسيتر عن مجموعات كوكسيتر كقائمة بترتيبات التفرع لمخطط كوكسيتر ، مثل المجموعات متعددة السطوح ، $= [p,q]$ . ويمكن التعبير عن المجموعات ثنائية السطوح ، كحاصل ضرب $[ ]\times[$ $n$ $]$ أو برمز واحد مع فرع صريح من الرتبة 2، $[2,$ $n$ $]$ .

في الهندسة ، يُعدّ ترميز كوكسيتر (أو رمز كوكسيتر ) نظامًا لتصنيف مجموعات التناظر ، يصف الزوايا بين الانعكاسات الأساسية لمجموعة كوكسيتر في ترميز بين قوسين يُعبّر عن بنية مخطط كوكسيتر-دينكين ، مع مُعدِّلات للإشارة إلى مجموعات فرعية مُحدَّدة. سُمّي هذا الترميز نسبةً إلى إتش إس إم كوكسيتر ، وقد عرّفه نورمان جونسون تعريفًا أكثر شمولًا .

مجموعات تأملية

بالنسبة لمجموعات كوكسيتر ، المُعرَّفة بالانعكاسات النقية، توجد مطابقة مباشرة بين رمز الأقواس ومخطط كوكسيتر-دينكين . تمثل الأرقام داخل رمز الأقواس رتب انعكاس المرآة في فروع مخطط كوكسيتر. ويستخدم المخطط نفس التبسيط، حيث يتم حذف الرتبة 2 بين المرايا المتعامدة.

يُبسّط ترميز كوكسيتر باستخدام الأسس لتمثيل عدد الفروع في صف واحد للرسم الخطي. لذا، تُمثَّل المجموعة A  _{n بالصيغة [3}^{n- 1} ]، مما يعني وجود n عقدة متصلة بـ n-1 فرعًا من الرتبة 3. على سبيل المثال ، A _2 = [3,3] = [3 ^2 ] أو [3 ^1,1 ] يُمثِّل الرسمين .

في البداية، مثّل كوكسيتر المخططات المتشعبة بوضع الأرقام عموديًا، ولكن تم اختصاره لاحقًا باستخدام رمز الأس، مثل [...,3 ^p,q ] أو [3 ^p,q,r ]، بدءًا من [3 ^1,1,1 ] أو [3,3 ^1,1 ] = أو كـ D _4. سمح كوكسيتر بالأصفار كحالات خاصة لتناسب عائلة A _n ، مثل A ₃ = [3,3,3,3] = [3 ^4,0,0 ] = [3 ^4,0 ] = [3 ^3,1 ] = [3 ^2,2 ]، مثل = = .

تُمثَّل مجموعات كوكسيتر المُشكَّلة بواسطة المخططات الدورية بأقواس داخل معقوفتين، مثل [(p,q,r)] = لمجموعة المثلث (pqr). إذا كانت رتب الفروع متساوية، فيمكن تجميعها كأسّ يساوي طول الدورة بين معقوفتين، مثل [(3,3,3,3)] = [3 ^[4] ]، الذي يُمثِّل مخطط كوكسيتر ، أو يمكن تمثيله كـ [3,(3,3,3)] أو [3,3 ^[3] ].

يمكن أيضًا التعبير عن مخططات الحلقات الأكثر تعقيدًا بعناية. يمكن تمثيل مجموعة كوكسيتر شبه المدمجة برمز كوكسيتر [(3,3,(3),3,3)]، حيث تُظهر الأقواس المتداخلة حلقتين متجاورتين [(3,3,3)]، كما يمكن تمثيلها بشكل أكثر إيجازًا برمز [3 ^[^]×[^] ]، الذي يُمثل التناظر المعيني لمخطط كوكسيتر. يُمثل مخطط الرسم البياني الكامل شبه المدمج، أو ، برمز [3 ^[3,3] ]، حيث يُشير الرمز العلوي [3,3] إلى تناظر مخطط كوكسيتر رباعي الأوجه المنتظم .

المجموعات المنتهية
رتبة	رمز المجموعة	تدوين الأقواس	مخطط كوكسيتر
2	أ ₂	[3]
2	ب ₂	[4]
2	H ₂	[5]
2	جي ₂	[6]
2	أنا ₂ ( ص )	[p]
3	أنا _ح ، ح ₃	[5,3]
3	تي _دي ، إيه ₃	[3,3]
3	أوه ، ب ₃	[4,3]
4	أ ₄	[3,3,3]
4	ب ₄	[4,3,3]
4	د ₄	[3 ^1,1,1 ]
4	F ₄	[3,4,3]
4	H ₄	[5,3,3]
ن	أن	[3 ^{n −1} ]	..
ن	ب _ن	[4,3 ^{n −2} ]	...
ن	د _ن	[3 ^n−3,1,1 ]	...
6	E ₆	[3 ^2,2,1 ]
7	E ₇	[3 ^3,2,1 ]
8	E ₈	[3 ^4,2,1 ]

المجموعات الأفينية
رمز المجموعة	تدوين الأقواس	مخطط كوكسيتر
${\tilde {I}}_{1},{\tilde {A}}_{1}$	[∞]
${\tilde {A}}_{2}$	[3 ^[3] ]
${\tilde {C}}_{2}$	[4,4]
${\tilde {G}}_{2}$	[6,3]
${\tilde {A}}_{3}$	[3 ^[4] ]
${\tilde {B}}_{3}$	[4,3 ^1,1 ]
${\tilde {C}}_{3}$	[4,3,4]
${\tilde {A}}_{4}$	[3 ^[5] ]
${\tilde {B}}_{4}$	[4,3,3 ^1,1 ]
${\tilde {C}}_{4}$	[4,3,3,4]
${\tilde {D}}_{4}$	[ 3 ^1,1,1,1 ]
${\tilde {F}}_{4}$	[3,4,3,3]
${\tilde {A}}_{n}$	[3 ^[n+1] ]	... أو ...
${\tilde {B}}_{n}$	[4,3 ⁿ⁻³ ,3 ^1,1 ]	...
${\tilde {C}}_{n}$	[4,3 ⁿ⁻² ,4]	...
${\tilde {D}}_{n}$	[ 3 ^1,1 ,3 ⁿ⁻⁴ ,3 ^1,1 ]	...
${\tilde {E}}_{6}$	[3 ^2,2,2 ]
${\tilde {E}}_{7}$	[3 ^3,3,1 ]
${\tilde {E}}_{8}=E_{9}$	[3 ^5,2,1 ]

المجموعات الزائدية
رمز المجموعة	تدوين الأقواس	مخطط كوكسيتر
	[p,q] حيث 2(p + q) < pq
	[(p,q,r)] مع ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1$
${\overline {BH}}_{3}$	[4,3,5]
${\overline {K}}_{3}$	[5,3,5]
${\overline {J}}_{3},{\tilde {H}}_{3}$	[3,5,3]
${\overline {DH}}_{3}$	[5,3 ^1,1 ]
${\widehat {AB}}_{3}$	[(3,3,3,4)]
${\widehat {AH}}_{3}$	[(3,3,3,5)]
${\widehat {BB}}_{3}$	[(3,4,3,4)]
${\widehat {BH}}_{3}$	[(3,4,3,5)]
${\widehat {HH}}_{3}$	[(3,5,3,5)]
${\overline {H}}_{4},{\tilde {H}}_{4},H_{5}$	[3,3,3,5]
${\overline {BH}}_{4}$	[4,3,3,5]
${\overline {K}}_{4}$	[5,3,3,5]
${\overline {DH}}_{4}$	[5,3,3 ^1,1 ]
${\widehat {AF}}_{4}$	[(3,3,3,3,4)]

بالنسبة للمجموعات الأفينية والزائدية، يكون الرقم السفلي أقل بواحد من عدد العقد في كل حالة، حيث تم الحصول على كل مجموعة من هذه المجموعات عن طريق إضافة عقدة إلى مخطط مجموعة منتهية.

مجموعات غير متصلة

عادةً ما يُبقي مخطط كوكسيتر الفروع من الرتبة 2 غير مرسومة، لكن رمز الأقواس يتضمن الرقم 2 صراحةً لربط الرسوم البيانية الفرعية. لذا، يمكن تمثيل مخطط كوكسيتر = A₂ × A₂ = 2A₂ _{بـ [3] × [3] = [3]}^{₂ = [3,2,3]. أحيانًا}_{، قد تُضاف الفروع من}_الرتبة 2 صراحةً إما بتسمية 2، أو بخط مفصول بفجوة: أو ، كعرض مطابق لـ [3,2,3].

الرتبة والبعد

رتبة مجموعة نقاط كوكسيتر تساوي عدد العقد، وهو ما يساوي أيضًا البُعد. توجد مرآة واحدة في بُعد واحد، [ ], ، بينما في بُعدين، توجد [1], أو [ ]×[ ] ⁺ . الرقم 1 هو رمز مكاني، وليس ترتيبًا فعليًا للفروع، بل هو علامة على مرآة متعامدة غير نشطة. يُمثل الرمز [ n ,1] مجموعة من الرتبة 3، كما في [ n ]×[ ] ⁺ أو . وبالمثل، [1,1] كما في [ ]×[ ] ⁺ ×[ ] ⁺ أو من الرتبة 2، و[1,1] ⁺ كما في [ ] ⁺ ×[ ] ⁺ ×[ ] ⁺ أو من الرتبة 1!

المجموعات الفرعية

تمثل صيغة كوكسيتر التناظر الدوراني/الانتقالي بإضافة عامل موجب ⁽⁺⁾ خارج الأقواس، [X] ^+، مما يقسم رتبة المجموعة [X] إلى النصف، وبالتالي تصبح زمرة فرعية ذات فهرس 2. يستلزم هذا العامل تطبيق عدد زوجي من العوامل، مما يستبدل الانعكاسات بالدوران (أو الانتقال). عند تطبيقه على زمرة كوكسيتر، تُسمى هذه الزمرة الفرعية زمرة مباشرة، لأن ما يتبقى هو فقط التماثلات المباشرة دون تناظر انعكاسي.

يمكن أيضًا تطبيق عامل الجمع ⁽⁺⁾ داخل الأقواس، مثل [X,Y ⁺ ] أو [X,(Y,Z) ⁺ ]، مما يُنشئ مجموعات فرعية "شبه مباشرة" قد تتضمن مولدات انعكاسية وغير انعكاسية. لا تنطبق المجموعات الفرعية شبه المباشرة إلا على مجموعات فرعية من زمرة كوكسيتر التي لها فروع متجاورة ذات رتبة زوجية. يمكن إعطاء العناصر الموجودة بين قوسين داخل زمرة كوكسيتر عامل الجمع ( ⁺⁾ كقيمة علوية، مما يؤدي إلى تقسيم الفروع المرتبة المتجاورة إلى نصف رتبة، ولذلك يُستخدم عادةً مع الأعداد الزوجية فقط. على سبيل المثال، [4,3 ⁺ ] و[4,(3,3) ⁺ ] ( ).

إذا تم تطبيقها مع الفرع الفردي المجاور، فإنها لا تنشئ مجموعة فرعية من الفهرس 2، ولكنها بدلاً من ذلك تنشئ مجالات أساسية متداخلة، مثل [5,1 ⁺ ] = [5/2]، والتي يمكن أن تحدد المضلعات الملفوفة بشكل مزدوج مثل النجمة الخماسية ، {5/2}، و[5,3 ⁺ ] تتعلق بمثلث شوارتز [5/2,3]، الكثافة 2.

أمثلة على مجموعات الرتبة الثانية
مجموعة	طلب	مولدات كهربائية	المجموعة الفرعية		طلب	مولدات كهربائية	ملحوظات
[ ص ]	2 بنس	{0,1}	[ ص ] ⁺		ص	{01}	المجموعة الفرعية المباشرة
[ 2p ⁺ ] = [ 2p ] ⁺	2 بنس	{01}	[ 2p ⁺ ] ⁺ = [2p ] +2 ⁼ [ p ] ⁺		ص	{0101}	المجموعة الفرعية المباشرة
[2 ص ]	4 بنس	{0,1}	[1 ⁺ 2p ] = [ p ]	= =	2 بنس	{010,1}	مجموعات فرعية نصفية
			[ 2p , 1 ⁺ ] = [ p ]	= =	2 بنس	{0,101}	مجموعات فرعية نصفية
			[1 ⁺ ,2 p ,1 ⁺ ] = [2 p ] ⁺² = [ p ] ⁺	= =	ص	{0101}	مجموعة الربع

يمكن رؤية المجموعات التي لا تحتوي على عناصر مجاورة موجبة ⁽⁺⁾ في العقد الحلقية. يرتبط مخطط كوكسيتر-دينكين للمضلعات المنتظمة وخلايا النحل بعقد فارغة حول العناصر الموجبة ( ⁺ ) ، وهي عبارة عن دوائر فارغة مع إزالة العقد المتناوبة. لذا ، فإن المكعب المقطوع له تناظر [4,3] ⁺ ، والهرم الرباعي المقطوع له تناظر [4,3+ ^] ، ونصف المكعب h {4,3} = {3,3} له تناظر [1 + ^, 4,3] = [3,3 ] .

ملاحظة: يمكن كتابة التناظر البيريتوهيدرالي على النحو التالي ، مع فصل الرسم البياني بفجوات للتوضيح، حيث تكون المولدات {0، 1، 2} من مجموعة كوكسيتر ، مما ينتج عنه مولدات بيريتوهيدرالية {0، 12}، وانعكاس ودوران ثلاثي. ويمكن كتابة التناظر الرباعي السطوح الكيرالي على النحو التالي أو ، [1 ⁺ ، 4، 3 ⁺ ] = [3، 3] ⁺ ، مع المولدات {12، 0120}.

تقسيم المجموعات الفرعية والمجموعات الموسعة إلى النصف

أمثلة على عمليات التنصيف

[ 1 ,4, 1 ] = [4]	= = [1 ⁺ ,4, 1 ]=[2]=[ ]×[ ]

= = [ 1 ,4,1 ⁺ ]=[2]=[ ]×[ ]	= = = [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2] ⁺

يُوسّع جونسون عامل الجمع ⁽⁺⁾ ليعمل مع عقدة افتراضية 1+ ^، مما يُزيل المرايا، ويُضاعف حجم المجال الأساسي، ويُقلل رتبة المجموعة إلى النصف. ^{[ 1 ]} بشكل عام، تنطبق هذه العملية فقط على المرايا الفردية المُحاطة بفروع من الرتبة الزوجية. يُمثل الرقم 1 مرآة، لذا يُمكن اعتبار [2p] على النحو التالي: [2p, 1 ]، أو [ 1 , 2p]، أو [ 1 , 2p, 1 ]، كما في الرسم التخطيطي أو ، حيث ترتبط مرآتان بزاوية ثنائية السطوح من الرتبة 2p. يتمثل تأثير إزالة المرآة في تكرار العقد المتصلة، وهو ما يُمكن رؤيته في مخططات كوكسيتر: = ، أو باستخدام تدوين الأقواس: [1+ ^, 2p, 1 ] = [ 1 , p, 1 ] = [p].

يمكن إزالة كل من هذه المرايا بحيث يكون h[2p] = [1 ⁺ ,2p,1] = [1,2p,1 ⁺ ] = [p]، وهو فهرس مجموعة فرعية عاكسة 2. ويمكن إظهار ذلك في مخطط كوكسيتر بإضافة رمز ⁺ فوق العقدة: = = .

إذا تمت إزالة المرآتين، فسيتم إنشاء مجموعة فرعية ربعية، ويصبح ترتيب الفرع نقطة دوران بنصف الترتيب:

q[2p] = [1 ⁺ ,2p,1 ⁺ ] = [p] ⁺ ، وهي مجموعة فرعية دورانية ذات دليل 4. = = = = .

على سبيل المثال، (مع p=2): [4,1 ⁺ ] = [1 ⁺ ,4] = [2] = [ ]×[ ]، من الرتبة 4. [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2] ⁺ ، من الرتبة 2.

إن عكس التنصيف هو المضاعفة ^{[ 2 ]} التي تضيف مرآة، وتقسم مجالًا أساسيًا، وتضاعف ترتيب المجموعة.

[[ص]] = [2p]

تُطبَّق عمليات التنصيف على المجموعات ذات الرتب الأعلى، مثل التناظر الرباعي الأوجه الذي يُمثِّل نصف مجموعة من المجموعة الثمانية الأوجه : h[4,3] = [1 ⁺ ,4,3] = [3,3]، مما يُزيل نصف المرايا عند الفرع 4. ويتمثل تأثير إزالة المرآة في تكرار جميع العقد المتصلة، وهو ما يُمكن ملاحظته في مخططات كوكسيتر: = ، h[2p,3] = [1 ⁺ ,2p,3] = [(p,3,3)].

إذا كانت العقد مفهرسة، فيمكن تسمية المجموعات الفرعية النصفية بمرايا جديدة كمجموعات مركبة. على سبيل المثال ، المجموعة الفرعية {0,1}، التي مولداتها {1,010}، تحتوي على مجموعة فرعية { 0,1}، حيث تُزال المرآة 0 وتُستبدل بنسخة من المرآة 1 معكوسة عبر المرآة 0. كذلك ، إذا كانت المجموعة الفرعية {0,1,2}، التي مولداتها {0,1,2}، تحتوي على مجموعة نصفية { 1,2,010}.

ينطبق مضاعفة العدد بإضافة مرآة أيضًا على عكس عملية التنصيف: [[3.3]] = [4,3]، أو بشكل أعم [[(q,q,p)]] = [2p,q].

التناظر الرباعي الأوجه	التناظر الثماني الأوجه
T _d , [3,3] = [1 ⁺ ,4,3] = = (الرتبة 24)	أوه _، [4،3] = [[3.3]] (الأمر رقم 48)

المجموعات الفرعية الجذرية

أضاف جونسون أيضًا علامة النجمة ( *) للدلالة على الزمر الجزئية "الجذرية"، ^{[ 3 ]} والتي تعمل بشكل مشابه لعلامة الجمع ⁽⁺⁾ ، ولكنها تزيل التناظر الدوراني. ويُشير فهرس الزمرة الجزئية الجذرية إلى رتبة العنصر المُزال. على سبيل المثال، [4,3*] ≅ [2,2]. الزمرة الجزئية المُزالة [3] رتبتها 6، لذا فإن [2,2] هي زمرة جزئية من [4,3] ذات فهرس 6.

تمثل المجموعات الفرعية الجذرية العملية العكسية لعملية تناظر موسعة . على سبيل المثال، [4,3*] ≅ [2,2]، وبالعكس، يمكن توسيع [2,2] لتصبح [3[2,2]] ≅ [4,3]. يمكن التعبير عن المجموعات الفرعية بمخطط كوكسيتر: أو ≅ . يؤدي حذف العقدة (المرآة) إلى تحويل المرايا الافتراضية المجاورة إلى مرايا حقيقية.

إذا كان للمجموعة [4,3] مولدات {0,1,2}، فإن المجموعة [4,3+ ^] ، ذات الفهرس 2، لها مولدات {0,12}؛ والمجموعة [1 ⁺ ,4,3] ≅ [3,3]، ذات الفهرس 2، لها مولدات {010,1,2}؛ بينما المجموعة الجذرية [4,3*] ≅ [2,2]، ذات الفهرس 6، لها مولدات {01210, 2, (012) ³ }؛ وأخيرًا، المجموعة [1 ⁺ ,4,3*]، ذات الفهرس 12، لها مولدات {0(12) ² 0, (012) ² 01}.

المجموعات الفرعية ثلاثية الأيونات

الزمرة الجزئية الثلاثية هي زمرة جزئية ذات دليل 3. يُعرّف جونسون الزمرة الجزئية الثلاثية بالمؤثر ⅄، دليل 3. بالنسبة لزمر كوكسيتر من الرتبة 2، [3]، فإن الزمرة الجزئية الثلاثية [3 ^⅄ ] هي [ ]، وهي زمرة معكوسة واحدة. وبالنسبة لـ [3 p ]، فإن الزمرة الجزئية الثلاثية هي [3 p ] ^⅄ ≅ [ p ]. بفرض أن ، مع مولدات {0,1}، فإن لها 3 زمر جزئية ثلاثية. يمكن التمييز بينها بوضع الرمز ⅄ بجوار مولد المرآة المراد إزالته، أو على فرع لكليهما: [3 p ,1 ^⅄ ] = = ، = ، و[3 p ^⅄ ] = = مع مولدات {0,10101}، {01010,1}، أو {101,010}.

المجموعات الفرعية الثلاثية للتناظر رباعي الأوجه : [3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ ,4]، التي تربط تناظر رباعي الأوجه المنتظم وثنائي الإسفين الرباعي .

بالنسبة لمجموعات كوكسيتر من الرتبة 3، [ p ,3]، توجد مجموعة فرعية ثلاثية [ p , ^3⅄ ] ≅ [ p /2, p ]، أو = . على سبيل المثال، المجموعة المنتهية [4,3⅄ ^] ≅ [2,4]، والمجموعة الإقليدية [6,3⅄ ^] ≅ [3,6]، والمجموعة الزائدية [8,3⅄ ^] ≅ [4,8].

لن يؤدي الفرع المجاور ذو الرتبة الفردية، p ، إلى خفض رتبة المجموعة، بل سيُنشئ نطاقات أساسية متداخلة. تبقى رتبة المجموعة كما هي، بينما تزداد الكثافة . على سبيل المثال، يصبح التناظر العشري الوجوه ، [5,3]، للمجسم العشري الوجوه المنتظم [5/2,5]، وهو تناظر مجسمين نجميين منتظمين. كما يربط هذا التناظر بين التبليط الزائدي {p,3} والتبليط الزائدي النجمي {p/2,p}.

بالنسبة للرتبة 4، [ q , 2p , 3⅄ ^] = [2p , ((p, q, q))], = .

على سبيل المثال، [3,4,3 ^⅄ ] = [4,3,3]، أو = ، مولدات {0,1,2,3} في [3,4,3] مع المجموعة الفرعية الثلاثية [4,3,3] مولدات {0,1,2,32123}. بالنسبة للمجموعات الزائدية، [3,6,3 ^⅄ ] = [6,3 ^[3] ]، و[4,4,3 ^⅄ ] = [4,4,4].

المجموعات الفرعية الثلاثية ذات التناظر الرباعي الأوجه

حدد جونسون مجموعتين فرعيتين ثلاثيتين محددتين ^{[ 4 ]} من [3,3]، الأولى هي المجموعة الفرعية ذات الدليل 3 [3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ ,4]، مع مولدات [3,3] ( = = ) {0,1,2}. ويمكن كتابتها أيضًا على النحو التالي [(3,3,2 ^⅄ )] ( ) كتذكير بمولداتها {02,1}. يمثل هذا الاختزال في التناظر العلاقة بين رباعي الأوجه المنتظم والسطح الإسفيني الرباعي ، ويمثل امتدادًا لرباعي الأوجه عموديًا على حافتين متقابلتين.

ثانيًا، يحدد مجموعة فرعية ذات مؤشر 6 ذات صلة [3,3] ^Δ أو [(3,3,2 ^⅄ )] ⁺ ( )، مؤشر 3 من [3,3] ⁺ ≅ [2,2] ⁺ ، مع مولدات {02,1021}، من [3,3] ومولداتها {0,1,2}.

تنطبق هذه المجموعات الفرعية أيضًا داخل مجموعات كوكسيتر الأكبر مع المجموعة الفرعية [3،3] ذات الفروع المجاورة ذات الترتيب الزوجي.

على سبيل المثال، تُعدّ [(3,3) ⁺ ,4] و[(3,3) ^⅄ ,4] و[(3,3) ^Δ ,4] مجموعات جزئية من [3,3,4]، ذات مؤشرات 2 و3 و6 على التوالي. مولدات [(3,3) ^⅄ ,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2 ⁺ ,8]، من الرتبة 128، هي {02,1,3} من مولدات [3,3,4] {0,1,2,3}. و[(3,3) ^Δ ,4] ≅ [[4.2 ⁺4]] ، من الرتبة 64، لها مولدات {02,1021,3}. كذلك، [3 ^⅄ ,4,3 ^⅄ ] ≅ [(3,3) ^⅄ ,4].

كما أن [3 ^1,1,1 ] = [3,3,4,1 ⁺ ] لها مجموعات فرعية ثلاثية: [3 ^1,1,1 ] ^⅄ = [(3,3) ^⅄ ,4,1 ⁺ ]، من الرتبة 64، و 1=[3 ^1,1,1 ] ^Δ = [(3,3) ^Δ ,4,1 ⁺ ] ≅ [[4,2 ⁺ ,4]] ⁺ ، من الرتبة 32.

الانقلاب المركزي

الانعكاس المركزي ثنائي الأبعاد هو دوران بزاوية 180 درجة، [2] ⁺

الانعكاس المركزي ، من الرتبة 2، يختلف عمليًا باختلاف الأبعاد. تمثل المجموعة [ ] ⁿ = [2 ^{n −1 ]}n مرايا متعامدة في فضاء ذي n بُعد، أو فضاءً فرعيًا مسطحًا من فضاء ذي n بُعد. مرايا المجموعة [2 ^{n −1} ] مرقمة . $0\dots n-1$ لا يهم ترتيب المرايا في حالة الانعكاس. مصفوفة الانعكاس المركزي هي $-I$ ، مصفوفة الوحدة مع وجود عنصر سالب واحد على القطر الرئيسي.

انطلاقًا من هذا الأساس، يمتلك الانعكاس المركزي مولدًا هو حاصل ضرب جميع المرايا المتعامدة. في تدوين كوكسيتر، تُعبَّر مجموعة الانعكاس هذه بإضافة علامة التناوب ⁽⁺⁾ إلى كل فرع من الفروع 2. ويُشار إلى تناظر التناوب على عقد مخطط كوكسيتر كعقد مفتوحة.

يمكن تمييز مخطط كوكسيتر-دينكين بفرعين صريحين يحددان تسلسلًا خطيًا من المرايا والعقد المفتوحة والعقد المفتوحة المزدوجة المشتركة لإظهار تسلسل مولدات الانعكاس .

على سبيل المثال، [2 ⁺ ,2] و[2,2 ⁺ ] هما مجموعتان فرعيتان من [2,2]، هما من الدرجة الثانية ، ويتم تمثيلهما بـ (أو ) و (أو ) على التوالي، مع مولدات {01,2} و{0,12} على التوالي. مجموعتهما الفرعية المشتركة من الدرجة الرابعة هي [2 ⁺ ,2 ⁺ ]، ويتم تمثيلها بـ (أو )، حيث يشير الفتح المزدوج إلى عقدة مشتركة في التناوبين، ومولد انعكاس دوراني واحد {012}.

الأبعاد	تدوين كوكسيتر	طلب	عملية	مولد
2	[2] ⁺	2	دوران 180 درجة ، C ₂	{01}
3	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2	انعكاس الدوران ، C _i أو S ₂	{012}
4	[2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2	دوران مزدوج	{0123}
5	[2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2	انعكاس دوراني مزدوج	{01234}
6	[2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2	دوران ثلاثي	{012345}
7	[2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2	انعكاس دوراني ثلاثي	{0123456}

الدوران والانعكاسات الدورانية

يتم إنشاء الدورانات والانعكاسات الدورانية بواسطة منتج مولد واحد لجميع انعكاسات مجموعة موشورية، [2 p ]×[2 q ]×... حيث gcd ( p , q ,...)=1، وهي متماثلة مع المجموعة الدورية المجردة Z _n ، من الرتبة n =2 pq .

تُعبّر كونواي عن الدورانات المزدوجة رباعية الأبعاد، [ 2p⁺ ^, 2⁺ , 2q⁺ ] (حيث القاسم ^{المشترك}^الأكبر لـ p و q يساوي 1)، والتي تتضمن مجموعة مركزية، بالصيغة ±[ _Cp × Cq _] ، ^[⁵^] من الرتبة 2pq . من مخطط كوكسيتر ، تتطلب المولدات {0 ^{, 1} , 2, 3} مولدين لـ [2p⁺, 2⁺ ^, 2q⁺ ] ^، مثل { 0123 , 0132}. أما أنصاف المجموعات، [2p⁺ , 2⁺ ^, 2q⁺ ] ^⁺^، أو الرسم ^{البياني} الدوري، [( 2p⁺ ^, 2⁺ , ^2q⁺ , 2⁺ ⁾ ]، التي عبّرت عنها كونواي بالصيغة [Cp _× Cq _] ، من الرتبة ^pq، بمولد واحد، مثل {0123}.

إذا وُجد عامل مشترك f ، يُمكن كتابة الدوران المزدوج على الصورة 1 / f [ 2pf ⁺ ,2 ⁺ , 2qf ⁺ ] (حيث القاسم المشترك الأكبر لـ p و q هو 1)، والمولدات هي {0123,0132}، والرتبة هي 2pqf . على سبيل المثال، إذا كان p = q = 1 و f = 2، فإن 1/2 [ 4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ] هي الرتبة 4. و 1 / f [ 2pf ⁺ ,2 ⁺ , 2qf ⁺ ] ⁺ ، والمولد هو {0123}، هي الرتبة pqf . على سبيل المثال، 1/2 [ 4 +^, 2 ⁺ ,4 ⁺ ] ⁺ هي الرتبة 2، وهي انعكاس مركزي .

بشكل عام، ^قد تتطلب مجموعة الدوران من الرتبة n، [2p1+, 2, 2p2+, 2, ..., pn+]، ما يصل إلى _n مولدًا إذا كان _القاسم^{المشترك} الأكبر لـ ^p1_, ... , _pn أكبر من ₁، وذلك كحاصل ضرب جميع المرايا، ثم تبديل الأزواج المتتالية. أما نصف المجموعة، [2p1 + ^, 2, 2p2 ₊, ²_, ..., pn ₊ ] ^+، فيحتوي على مربعات المولدات. وتتشابه انعكاسات الدوران من الرتبة n ^{في هذا الأمر.}

أمثلة
الأبعاد	تدوين كوكسيتر	طلب	عملية	مولدات كهربائية	المجموعة الفرعية المباشرة
2	[2 نقطة ] ⁺	2 بنس	تناوب	{01}	[2 p ] ⁺² = [ p ] ⁺	دوران بسيط: [2p ] + ² = [ p ] ⁺ رتبة p
3	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ]		انعكاس دوار	{012}	[ 2p ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺ = [ p ] ⁺
4	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]		دوران مزدوج	{0123}	[ 2p ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺ = [ p ] ⁺
5	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]		انعكاس دوراني مزدوج	{01234}	[ 2p ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺ = [ p ] ⁺
6	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]		دوران ثلاثي	{012345}	[ 2p ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺ = [ p ] ⁺
7	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]		انعكاس دوراني ثلاثي	{0123456}	[ 2p ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺ = [ p ] ⁺
4	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ]	2 pq	دوران مزدوج	{0123, 0132}	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ] ⁺	الدوران المزدوج: [2p + ^, 2 ⁺ , 2q ⁺ ] ⁺ الترتيب pq
5	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ ]		انعكاس دوراني مزدوج	{01234, 01243}	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺
6	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]		دوران ثلاثي	{012345, 012354, 013245}	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺
7	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]		انعكاس دوراني ثلاثي	{0123456, 0123465, 0124356, 0124356}	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺
6	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ ,2 r ⁺ ]	2 pqr	دوران ثلاثي	{012345, 012354, 013245}	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ ,2 r ⁺ ] ⁺	الدوران الثلاثي: [2 p ⁺ ،2 ⁺ ،2 q ⁺ ،2 ⁺ ،2 r ⁺ ] ⁺ الترتيب pqr
7	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ ,2 r ⁺ ,2 ⁺ ]	2 pqr	انعكاس دوراني ثلاثي	{0123456, 0123465, 0124356, 0213456}	[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ ,2 r ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺

مجموعات فرعية للمبدل

تحتوي المجموعات البسيطة ذات عناصر الفروع ذات الرتبة الفردية فقط على مجموعة فرعية دورانية/انتقالية واحدة فقط من الرتبة 2، وهي أيضًا مجموعة التبديل ، ومن أمثلتها [3,3] ⁺ ، [3,5] ⁺ ، [3,3,3] ⁺ ، [3,3,5] ⁺ . أما بالنسبة لمجموعات كوكسيتر الأخرى ذات الفروع ذات الرتبة الزوجية، فإن مجموعة التبديل لها فهرس 2^ ^c ، حيث c هو عدد الرسوم البيانية الفرعية غير المتصلة عند إزالة جميع الفروع ذات الرتبة الزوجية. ^{[ 6 ]}

على سبيل المثال، تحتوي المجموعة [4,4] على ثلاث عقد مستقلة في مخطط كوكسيتر عند حذف العقد 4 ، لذا فإن زمرتها التبادلية هي ذات الفهرس 2 ³ ، ويمكن تمثيلها بأشكال مختلفة، جميعها بثلاثة عوامل ^جمع : [4 ⁺ ,4 ⁺ ] ⁺ ، [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ]، [1 ⁺ ,4,4,1 ⁺ ] ⁺ ، أو [(4 ⁺ ,4 ⁺ ,2 ⁺ )]. ويمكن استخدام ترميز عام مع + c كأسّ للمجموعة، مثل [4,4] ⁺³ .

أمثلة على المجموعات الفرعية

أمثلة على المجموعات الفرعية من الرتبة 2

تحتوي مجموعات التناظر ثنائي السطوح ذات الرتب الزوجية على عدد من المجموعات الفرعية. يوضح هذا المثال مرآتين مولدتين للمجموعة [4] باللونين الأحمر والأخضر، ويستعرض جميع المجموعات الفرعية من خلال التنصيف، واختزال الرتبة، ومجموعاتها الفرعية المباشرة. تحتوي المجموعة [4] على مولدين مرآتين، 0 و1. يولد كل منهما مرآتين افتراضيتين، 101 و010، عن طريق الانعكاس حول الآخر.

المجموعات الفرعية من [4]
فِهرِس	1	2 (نصف)		4 (تخفيض الرتبة)
رسم بياني
كوكسيتر	[ 1 ,4, 1 ] = [4]	= = [1 ⁺ ,4, 1 ] = [1 ⁺ ,4] = [2]	= = [ 1 ,4,1 ⁺ ] = [4,1 ⁺ ] = [2]	[2,1 ⁺ ] = [ 1 ] = [ ]	[1 ⁺ ,2] = [ 1 ] = [ ]
مولدات كهربائية	{0,1}	{101,1}	{0,010}	{0}	{1}
المجموعات الفرعية المباشرة
فِهرِس	2	4		8
رسم بياني
كوكسيتر	[4] ⁺	= = = [4] ^{+ 2} = [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2] ⁺		[ ] ⁺
مولدات كهربائية	{01}	{(01) ² }		{0 ² } = {1 ² } = {(01) ⁴ } = { }

مثال على المجموعات الفرعية الإقليدية من الرتبة 3

تحتوي المجموعة [4,4] على 15 مجموعة فرعية صغيرة. يوضح هذا الجدول جميعها، مع نطاق أساسي أصفر للمجموعات العاكسة البحتة، ونطاقات بيضاء وزرقاء متناوبة تُكوّن نطاقات دورانية. تتوافق خطوط الانعكاس السماوية والحمراء والخضراء مع العقد ذات الألوان نفسها في مخطط كوكسيتر. يمكن التعبير عن مولدات المجموعات الفرعية كحاصل ضرب المرايا الثلاث الأصلية للنطاق الأساسي، {0,1,2}، والتي تُقابل العقد الثلاث في مخطط كوكسيتر. ينتج عن حاصل ضرب خطي انعكاس متقاطعين دوران، مثل {012} أو {12} أو {02}. يؤدي إزالة مرآة إلى ظهور نسختين من المرايا المجاورة، عبر المرآة المُزالة، مثل {010} و{212}. يؤدي دورانان متتاليان إلى تقليل رتبة الدوران إلى النصف، مثل {0101} أو {(01) ² } أو {1212} أو {(02) ² }. ينتج عن ضرب المرايا الثلاث انعكاسًا متبادلًا ، مثل {012} أو {120}.

مجموعات فرعية صغيرة من المؤشر [4،4]
فِهرِس	1	2			4
رسم بياني
كوكسيتر	[ 1 ,4, 1 ,4, 1 ] = [4,4]	[1 ⁺ ,4,4] =	[4,4,1 ⁺ ] =	[4,1 ⁺ ,4] =	[1 ⁺ ,4,4,1 ⁺ ] =	[4 ⁺ ,4 ⁺ ]
مولدات كهربائية	{ 0 , 1 , 2 }	{ 010 , 1 , 2 }	{ 0 , 1 , 212 }	{ 0 , 101 , 121 , 2 }	{ 010 , 1 , 212 , 20102 }	{(01) ² ,(12) ² , 012 , 120 }
أوربيفولد	*442			*2222		22×
المجموعات الفرعية شبه المباشرة
فِهرِس		2			4
رسم بياني
كوكسيتر		[4,4 ⁺ ]	[4 ⁺ ,4]	[(4,4,2 ⁺ )] =	[4,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = =	[1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4] = =
مولدات كهربائية		{ 0 ,12}	{01, 2 }	{02, 1 , 212 }	{ 0 , 101 ,(12) ² }	{(01) ² , 121 , 2 }
أوربيفولد		4*2		2*22
المجموعات الفرعية المباشرة
فِهرِس	2	4			8
رسم بياني
كوكسيتر	[4,4] ⁺ =	[4,4 ⁺ ] ⁺ =	[4 ⁺ ,4] ⁺ =	[(4,4,2 ⁺ )] ⁺ =	[4,4] ^{+ 3} = [(4 ⁺ ,4 ⁺ ,2 ⁺ )] = [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [4 ⁺ ,4 ⁺ ] ⁺ = = = =
مولدات كهربائية	{01,12}	{(01) ² ,12}	{01,(12) ² }	{02,(01) ² ,(12) ² }	{(01) ² ,(12) ² ,2(01) ² 2}
أوربيفولد	442			2222
المجموعات الفرعية الجذرية
فِهرِس		8		16
رسم بياني
كوكسيتر		[4,4*] =	[4*,4] =	[4,4*] ⁺ =	[4*,4] ⁺ =
أوربيفولد		*2222		2222

أمثلة على المجموعات الفرعية الزائدية

توجد نفس المجموعة المكونة من 15 مجموعة فرعية صغيرة على جميع مجموعات المثلثات ذات العناصر ذات الرتبة الزوجية، مثل [6,4] في المستوى الزائدي:

مجموعات فرعية صغيرة من المؤشر [6،4]
فِهرِس	1	2			4
رسم بياني
كوكسيتر	[ 1 ,6, 1 ,4, 1 ] = [6,4]	[1 ⁺ ,6,4] =	[6,4,1 ⁺ ] =	[6,1 ⁺ ,4] =	[1 ⁺ ,6,4,1 ⁺ ] =	[6 ⁺ ,4 ⁺ ]
مولدات كهربائية	{ 0 , 1 , 2 }	{ 010 , 1 , 2 }	{ 0 , 1 , 212 }	{ 0 , 101 , 121 , 2 }	{ 010 , 1 , 212 , 20102 }	{(01) ² ,(12) ² , 012 }
أوربيفولد	*642	*443	*662	*3222	*3232	32 ×
المجموعات الفرعية شبه المباشرة
رسم بياني
كوكسيتر		[6,4 ⁺ ]	[6 ⁺ ,4]	[(6,4,2 ⁺ )]	[6,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = = = =	[1 ⁺ ,6,1 ⁺ ,4] = = = =
مولدات كهربائية		{ 0 ,12}	{01, 2 }	{02, 1 , 212 }	{ 0 , 101 ,(12) ² }	{(01) ² , 121 , 2 }
أوربيفولد		4*3	6*2	2*32	2*33	3*22
المجموعات الفرعية المباشرة
فِهرِس	2	4			8
رسم بياني
كوكسيتر	[6,4] ⁺ =	[6,4 ⁺ ] ⁺ =	[6 ⁺ ,4] ⁺ =	[(6,4,2 ⁺ )] ⁺ =	[6 ⁺ ,4 ⁺ ] ⁺ = [1 ⁺ ,6,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = = =
مولدات كهربائية	{01,12}	{(01) ² ,12}	{01,(12) ² }	{02,(01) ² ,(12) ² }	{(01) ² ,(12) ² ,201012}
أوربيفولد	642	443	662	3222	3232
المجموعات الفرعية الجذرية
فِهرِس		8	12	16	24
رسم بياني
مولدات كهربائية		{0,101,21012,1210121}	{2,121,101020101,0102010, 010101020101010, 10101010201010101}
كوكسيتر (أوربيفولد)		[6,4] = (3333)	[6,4] (222222)	[6,4*] ⁺ = (3333)	[6*,4] ⁺ (222222)

المجموعات الفرعية المكافئة

يمكن تحديد الزمرة الجزئية المكافئة لزمرة كوكسيتر بإزالة مرآة مولدة واحدة أو أكثر، ممثلة بمخطط كوكسيتر. على سبيل المثال، تحتوي الزمرة الثمانية الأوجه على زمر جزئية مكافئة هي: [4] ، [ 2] ، [3 ] ، [4]. وباستخدام تدوين الأقواس، تحتوي الزمرة [4,3] على زمر جزئية مكافئة هي: [4]، [2]، [3]، ومرآة واحدة هي []. رتبة الزمرة الجزئية معروفة، وهي دائمًا رتبة زمرة عددية صحيحة، أو دليل. يمكن أيضًا كتابة الزمر الجزئية المكافئة باستخدام x عقدة، مثل : [4,3] = [4,3]، وذلك بإزالة المرآة الثانية: أو : [4,1] = [ ^4,3 ] = [4,1].

مجموعة بيتري الفرعية

يمكن إنشاء زمرة بتري جزئية من زمرة كوكسيتر غير قابلة للاختزال عن طريق ضرب جميع مولداتها. ويمكن ملاحظة ذلك في مضلع بتري المنتظم المائل لمضلع منتظم . تُسمى رتبة الزمرة الجديدة عدد كوكسيتر لزمرة كوكسيتر الأصلية. عدد كوكسيتر لزمرة كوكسيتر هو 2m / n ، حيث n هي الرتبة، و m هو عدد الانعكاسات. يمكن كتابة زمرة بتري جزئية باستخدام الرمز $π$ كدليل علوي . على سبيل المثال، [3,3] ^$π$ هي زمرة بتري جزئية لزمرة رباعية الأوجه، زمرة دورية من الرتبة 4، مُولَّدة بواسطة انعكاس دوراني . زمرة كوكسيتر من الرتبة 4 سيكون لها مولد دوران مزدوج ، مثل [4,3,3] ^$π$ من الرتبة 8.

التناظر الممتد

مجموعة خلفيات الشاشة	تناظر المثلث	التناظر الممتد	مخطط موسع	مجموعة موسعة	خلايا النحل
p3m1 (*333)	أ1	[3 ^[3] ]		${\tilde {A}}_{2}$	(لا أحد)
p6m (*632)	i2	[[3 ^{[ 3 ]} ]] ↔ [6,3]	↔	${\tilde {A}}_{2}\times 2\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}$	₁ ،₂
ص31م (3*3)	g3	[3 ⁺ [3 ^[3] ]] ↔ [6,3 ⁺ ]	↔	${\tilde {A}}_{2}\times 3\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}$	(لا أحد)
ص6 (632)	r6	[3[3 ^[3] ]] ⁺ ↔ [6,3] ⁺	↔	${\tfrac {1}{2}}{\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}$	₍₁₎
p6m (*632)	r6	[3[3 ^[3] ]] ↔ [6,3]	↔	${\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}$	₃

في المستوى الإقليدي،

{\tilde {A}}_{2}

يمكن توسيع ^مجموعة كوكسيتر بطريقتين إلى

{\tilde {G}}_{2}

، [6,3] مجموعة كوكسيتر وتربط التبليطات المنتظمة كرسوم بيانية حلقية.

تتضمن صيغة كوكسيتر استخدام الأقواس المربعة المزدوجة، [[X]] للتعبير عن التناظر الذاتي ضمن مخطط كوكسيتر. أضاف جونسون مضاعفة بديلة باستخدام الأقواس الزاوية <[X]>. كما أضاف جونسون مُعدِّل تناظر بادئة [Y[X]]، حيث يمكن أن يُمثل Y إما تناظر مخطط كوكسيتر لـ [X]، أو تناظر المجال الأساسي لـ [X].

على سبيل المثال، في الأبعاد الثلاثية، هذه المخططات الهندسية المتكافئة للمستطيل والمعين لـ ${\tilde {A}}_{3}$ و ، الأولى مكررة بين قوسين مربعين، [[3 ^{[ 4 ]}]] أو مضاعف مرتين كـ [2[3 ^[4] ]]، مع [2]، وتناظر من الرتبة 4 أعلى. ولتمييز الحالة الثانية، تُستخدم الأقواس الزاوية للمضاعفة، <[3 ^[4] ]> ومضاعفة مرتين كـ <2[3 ^[4] ]>، أيضًا بتناظر مختلف من الرتبة 4 [2]. أخيرًا، يمكن تمثيل التناظر الكامل حيث تكون جميع العقد الأربعة متكافئة بـ [4[3 ^[4] ]]، مع تناظر المربع من الرتبة 8 [4] . ولكن بالنظر إلى المجال الأساسي ثنائي الإسفين الرباعي، يمكن تمييز التناظر الممتد [4] للرسم البياني المربع بشكل أكثر وضوحًا كـ [(2 ⁺ ,4)[3 ^[4] ]] أو [2 ⁺ ,4[3 ^[4] ]].

يوجد تناظر إضافي في الدوري ${\tilde {A}}_{n}$ والتفرع $D_{3}$ ، ${\tilde {E}}_{6}$ ، و ${\tilde {D}}_{4}$ الرسوم البيانية. ${\tilde {A}}_{n}$ له تناظر من الرتبة 2 n لمضلع منتظم ذي n ضلع، { n }، ويتم تمثيله بواسطة [ n [3 ^{[ n ]} ]]. $D_{3}$ و ${\tilde {E}}_{6}$ يتم تمثيلها بواسطة [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3] و [3[3 ^2,2,2 ]] على التوالي بينما ${\tilde {D}}_{4}$ بواسطة [(3,3)[3 ^1,1,1,1 ]] = [3,3,4,3]، مع المخطط الذي يحتوي على تناظر من الرتبة 24 للهرم الرباعي المنتظم ، {3,3}. المجموعة الزائدية شبه المدمجة ${\bar {L}}_{5}$ = [3 ^1,1,1,1,1 ], , يحتوي على تناظر خلية 5 ، {3,3,3}، وبالتالي يتم تمثيله بواسطة [(3,3,3)[3 ^1,1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3,3].

تُعتبر علامة النجمة ( *) في أعلى الصورة بمثابة عملية عكسية، حيث تُنشئ مجموعات فرعية جذرية تزيل المرايا المتصلة ذات الترتيب الفردي. ^{[ 7 ]}

أمثلة:

مثال: المجموعات الموسعة والمجموعات الفرعية الجذرية

مجموعات موسعة	المجموعات الفرعية الجذرية	مخططات كوكسيتر	فِهرِس
[3[2,2]] = [4,3]	[4,3*] = [2,2]	=	6
[(3,3)[2,2,2]] = [4,3,3]	[4,(3,3)*] = [2,2,2]	=	24
[1[3 ^1,1 ]] = [[3.3]] = [3,4]	[3,4,1 ⁺ ] = [3,3]	=	2
[3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3]	[3*,4,3] = [3 ^1,1,1 ]	=	6
[2[3 ^1,1,1,1 ]] = [4,3,3,4]	[1 ⁺ ,4,3,3,4,1 ⁺ ] = [3 ^1,1,1,1 ]	=	4
[3[3,3 ^1,1,1 ]] = [3,3,4,3]	[3*,4,3,3] = [3 ^1,1,1,1 ]	=	6
[(3,3)[3 ^1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3]	[3,4,(3,3)*] = [3 ^1,1,1,1 ]	=	24
[2[3,3 ^1,1,1,1 ]] = [3,(3,4) ^1,1 ]	[3,(3,4,1 ⁺ ) ^1,1 ] = [3,3 ^1,1,1,1 ]	=	4
[(2,3)[ ^1,1 3 ^1,1,1 ]] = [4,3,3,4,3]	[3*,4,3,3,4,1 ⁺ ] = [3 ^1,1,1,1,1 ]	=	12
[(3,3)[3,3 ^1,1,1,1 ]] = [3,3,4,3,3]	[3,3,4,(3,3)*] = [3 ^1,1,1,1,1 ]	=	24
[(3,3,3)[3 ^1,1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3,3]	[3,4,(3,3,3)*] = [3 ^1,1,1,1,1 ]	=	120

مجموعات موسعة	المجموعات الفرعية الجذرية	مخططات كوكسيتر	فِهرِس
[1[3 ^[3] ]] = [3,6]	[3,6,1 ⁺ ] = [3 ^[3] ]	=	2
[3[3 ^[3] ]] = [6,3]	[6,3*] = [3 ^[3] ]	=	6
[1[3,3 ^[3] ]] = [3,3,6]	[3,3,6,1 ⁺ ] = [3,3 ^[3] ]	=	2
[(3,3)[3 ^[3,3] ]] = [6,3,3]	[6,(3,3)*] = [3 ^[3,3] ]	=	24
[1[∞] ² ] = [4,4]	[4,1 ⁺ ,4] = [∞] ² = [∞,2,∞]	=	2
[2[∞] ² ] = [4,4]	[1 ⁺ ,4,4,1 ⁺ ] = [(4,4,2*)] = [∞] ²	=	4
[4[∞] ² ] = [4,4]	[4,4*] = [∞] ²	=	8
[2[3 ^[4] ]] = [4,3,4]	[1 ⁺ ,4,3,4,1 ⁺ ] = [(4,3,4,2*)] = [3 ^[4] ]	= =	4
[3[∞] ³ ] = [4,3,4]	[4,3*,4] = [∞] ³ = [∞,2,∞,2,∞]	=	6
[(3,3)[∞] ³ ] = [4,3 ^1,1 ]	[4,(3 ^1,1 )*] = [∞] ³	=	24
[(4,3)[∞] ³ ] = [4,3,4]	[4,(3,4)*] = [∞] ³	=	48
[(3,3)[∞] ⁴ ] = [4,3,3,4]	[4,(3,3)*,4] = [∞] ⁴	=	24
[(4,3,3)[∞] ⁴ ] = [4,3,3,4]	[4,(3,3,4)*] = [∞] ⁴	=	384

عند النظر إلى المولدات، يُنظر إلى التناظر المزدوج على أنه إضافة عامل جديد يُحدد المواضع المتناظرة في مخطط كوكسيتر، مما يجعل بعض المولدات الأصلية زائدة عن الحاجة. بالنسبة لمجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد ومجموعات النقاط رباعية الأبعاد، يُعرّف كوكسيتر مجموعة فرعية ذات فهرس 2 من [[X]] , [[X] ⁺] ، والذي يُعرّفه بأنه حاصل ضرب المولدات الأصلية لـ [X] في مولد المضاعفة. وهذا يشبه [[X]] ⁺ ، وهي المجموعة الفرعية الكيرالية لـ [[X]] . على سبيل المثال، مجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد [[4،3،4]] ⁺ (I432, 211) و [[4،3،4] ⁺] (Pm 3 n, 223) هي مجموعات فرعية متميزة من [[4،3،4]] (Im 3 m, 229).

المجموعات المصنفة الأولى

في بُعد واحد، تُمثل المجموعة الثنائية [ ] تناظرًا مرآويًا واحدًا، Dih ₁ أو Z ₂ ، من رتبة التناظر 2. ويتم تمثيلها بمخطط كوكسيتر-دينكين بعقدة واحدة . أما مجموعة التطابق فهي المجموعة الفرعية المباشرة [ ] ⁺ ، Z ₁ ، من رتبة التناظر 1. يشير الرمز + إلى تجاهل الانعكاسات المرآوية المتبادلة، مما يجعل مجموعة التطابق هي المجموعة الأساسية في هذه الحالة. استخدم كوكسيتر عقدة مفتوحة واحدة لتمثيل التناوب .

مجموعة	تدوين كوكسيتر	مخطط كوكسيتر	طلب	وصف
ج ₁	[ ] ⁺		1	هوية
د ₂	[ ]		2	مجموعة التفكير

المجموعات المصنفة الثانية

في بُعدين، يمكن تمثيل المجموعة المستطيلة [2]، المجردة D ₂² أو D _{4 ،}كحاصل ضرب مباشر [ ]×[ ]، وهو حاصل ضرب مجموعتين ثنائيتين، ويمثل مرآتين متعامدتين، مع مخطط كوكسيتر، ، من الرتبة 4. يأتي الرقم 2 في [2] من خطية الرسوم البيانية الفرعية المتعامدة في مخطط كوكسيتر، كما هو الحال مع رتبة الفرع الصريحة 2. المجموعة المعينية ، [2] ⁺ ( أو )، نصف المجموعة المستطيلة، تناظر الانعكاس النقطي ، Z ₂ ، من الرتبة 2.

يُستخدم ترميز كوكسيتر للسماح بوضع عنصر نائب 1 للمجموعات ذات الرتبة الأدنى، لذا فإن [1] هو نفسه [ ]، و[1 ⁺ ] أو [1] ⁺ هو نفسه [ ] ⁺ ومخطط كوكسيتر .

تُوَلَّد المجموعة الكاملة ذات الرتبة p، وهي المجموعة ثنائية السطوح المجردة D 2 p (غير تبديلية عندما p>2)، من الرتبة 2 p، بواسطة مرآتين بزاوية π / p ، ممثلة _{بمخطط كوكسيتر} . أما المجموعة الفرعية ذات الرتبة p ، وهي المجموعة الدورية Z p ، ^منالرتبة p _، فتُوَلَّد بواسطة زاوية دوران π / p .

تستخدم صيغة كوكسيتر الأقواس المزدوجة لتمثيل مضاعفة التناظر التلقائية عن طريق إضافة مرآة منصفة إلى المجال الأساسي . على سبيل المثال، تضيف [[p]] مرآة منصفة إلى [p]، وهي متماثلة مع [2p].

في النهاية، عند الانتقال إلى بُعد واحد، نحصل على المجموعة اللانهائية الكاملة عندما تؤول الزاوية إلى الصفر، لذا فإن المجموعة [∞]، وهي المجموعة ثنائية السطوح اللانهائية D∞ _، تمثل مرآتين متوازيتين ولها مخطط كوكسيتر . أما المجموعة اللانهائية [∞] ⁺ ، وهي المجموعة الدورية اللانهائية Z∞ _،المتماثلة مع المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة ، فتتولد من خلال إزاحة واحدة غير صفرية.

في المستوى الزائدي، توجد زمرة شبه متوازية كاملة [ iπ/λ ]، وزمرة شبه متوازية جزئية [ iπ/λ ] ⁺ . توجد هذه الزمر في مضلعات منتظمة لا نهائية الأضلاع، طول ضلعها λ. جميع المرايا متعامدة على خط مستقيم واحد.

مثال على التناظرات المحدودة والزائدية من الرتبة 2
يكتب	محدود					أفين	القطع الزائد
الهندسة					...
كوكسيتر	[ ]	= [2]=[ ]×[ ]	[3]	[4]	[p]	[∞]	[∞]	[i π / λ ]
طلب	2	4	6	8	2 بنس	∞
تُلوّن الخطوط المتناظرة لتتوافق مع عُقد مخطط كوكسيتر. وتُلوّن المجالات الأساسية بالتناوب.
حتى الصور (مباشرة)					...
صور غريبة (مقلوبة)					...
كوكسيتر	[ ] ⁺	[2] ⁺	[3] ⁺	[4] ⁺	[p] ⁺	[∞] ⁺	[∞] ⁺	[i π / λ ] ⁺
طلب	1	2	3	4	ص	∞
تمثل المجموعات الفرعية الدورية انعكاسات متبادلة، وكلها صور زوجية (مباشرة).

مجموعة	دولي	أوربيفولد	كوكسيتر	طلب	وصف
محدود
Z _n	ن	ن•	[ن] ⁺	ن	الدوري: دورانات من الرتبة n . المجموعة المجردة Z _n ، مجموعة الأعداد الصحيحة تحت الجمع modulo n .
D _{2 n}	ن م	*ن•	[ن]	2 ن	ثنائي السطوح: دوري مع انعكاسات. المجموعة المجردة Dih _n ، مجموعة ثنائي السطوح .
أفين
Z _∞	∞	∞•	[∞] ⁺	∞	دورية: مجموعة غير منتظمة . مجموعة مجردة Z _∞ ، مجموعة الأعداد الصحيحة تحت الجمع.
Dih _∞	∞ متر	*∞•	[∞]	∞	ثنائي السطوح: انعكاسات متوازية. مجموعة ثنائية السطوح لانهائية مجردة Dih _∞ .
القطع الزائد
Z _∞			[πi/λ] ⁺	∞	المجموعة شبه التناسلية
Dih _∞			[πi/λ]	∞	مجموعة الخلايا الكاذبة الكاملة

المجموعات المصنفة الثالثة

يمكن التعبير عن مجموعات النقاط في ثلاثة أبعاد باستخدام تدوين الأقواس المتعلقة بمجموعات كوكسيتر من الرتبة 3:

المجموعات المنتهية من التماثلات في الفضاء ثلاثي الأبعاد ^{[ 2 ]}
مجموعات الدوران						مجموعات موسعة
اسم	قوس	محجر العين	مدرسة	خلاصة	طلب	اسم	قوس	محجر العين	مدرسة	خلاصة	طلب
هوية	[ ] ⁺	11	ج ₁	Z ₁	1	ثنائي	[1,1] = [ ]	*	د ₂	Z ₂	2
هوية	[ ] ⁺	11	ج ₁	Z ₁	1	وسط المدينة	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	×	C _i	2×Z ₁	2
المعيني	[1,2] ⁺ = [2] ⁺	22	ج ₂	Z ₂	2	مستطيل كبير	[1,2] = [2]	*22	C _2v	د ₄	4
						جيرورهومي	[2 ⁺ ،4 ⁺ ]	2×	S ₄	Z ₄	4
						معيني قائم	[2,2 ⁺ ]	2*	D _1d	Z ₂ × Z ₂	4
شبه معيني	[2,2] ⁺	222	د ₂	د ₄	4	مستطيل دوار	[2 ⁺ ,4]	2*2	D _2d	د ₈	8
شبه معيني	[2,2] ⁺	222	د ₂	د ₄	4	متعامد مستطيل	[2,2]	*222	D _2h	Z ₂ ×D ₄	8
أكرو- ب -جونال	[1, p ] ⁺ = [ p ] ⁺	ص	ج _ب	Z _p	ص	كامل أكرو- بي -جونال	[1, p ] = [ p ]	* ص	ج _{ب ف}	D _{2 p}	2 بنس
						جيرو- ب -جونال	[2 ⁺ ,2 p ⁺ ]	ص ×	S _{2 p}	Z _{2 p}	2 بنس
						أورثو- بي -جونال	[2, p ⁺ ]	ص *	C _{p h}	Z ₂ ×Z _p	2 بنس
بارا- بي -جونال	[2، ص] ⁺	ص 22	D _{2 p}	D _{2 p}	2 بنس	جيروسكوب كامل - مضلع	[2 ⁺ ,2 p ]	2* ص	D _{p d}	D _{4 ص}	4 بنس
بارا- بي -جونال	[2، ص] ⁺	ص 22	D _{2 p}	D _{2 p}	2 بنس	تقويم كامل متعامد- مائل	[2، ص ]	* ص 22	D _{p h}	Z ₂ ×D _{2 p}	4 بنس
رباعي الأوجه	[3,3]+	332	تي	أ ₄	12	رباعي الأوجه كامل	[3,3]	*332	تي _دي	S ₄	24
رباعي الأوجه	[3,3]+	332	تي	أ ₄	12	بيريتوهيدرالي	[3 ⁺ ,4]	3*2	ذ	2×A ₄	24
ثماني الأوجه	[3,4] ⁺	432	يا	S ₄	24	ثماني الأوجه كامل	[3,4]	*432	أوه	2×S ₄	48
عشروني الوجوه	[3,5] ⁺	532	أنا	5	60	هرم عشروني كامل	[3,5]	*532	أنا	2×A ₅	120

في ثلاثة أبعاد، تمثل المجموعة المعينية القائمة الكاملة أو المجموعة المستطيلة القائمة [2,2]، والتي تُرمز إليها بشكل مجرد بـ Z ₂³ ، من الرتبة 8، ثلاث مرايا متعامدة (مُمثلة أيضًا في مخطط كوكسيتر بثلاث نقاط منفصلة ). ويمكن تمثيلها أيضًا كحاصل ضرب مباشر [ ]×[ ]×[ ]، ولكن صيغة [2,2] تسمح بتعريف مجموعات فرعية.

أولًا، توجد زمرة فرعية "شبه مباشرة"، وهي الزمرة المعينية القائمة [2,2+ ^] ( أو _Z₂ × Z₂ )، _وهي مجردة من الرتبة 4. عندما يُكتب الرمز + داخل الأقواس، فهذا يعني أن الانعكاسات الناتجة فقط من المرايا المجاورة (كما هو مُحدد في مخطط كوكسيتر ) تتناوب. بشكل عام، يجب أن تكون رتب الفروع المجاورة للعقدة + زوجية. في هذه الحالة، تُمثل [2,2+ ^] و[2 ⁺ ,2] زمرتين فرعيتين متماثلتين ومختلفتين هندسيًا. أما الزمر الفرعية الأخرى فهي الزمرة شبه المعينية [2,2] ⁺ ( أو Z₂ )، وهي أيضًا من الرتبة 4، وأخيرًا الزمرة المركزية [2 ⁺ ,2 ⁺ ] ( أو Z₂ ) من الرتبة 2.

ثم تأتي المجموعة المتعامدة الكاملة من الرتبة p ، [2,p] ( )، والتي تُعرف تجريديًا باسم Z ₂ ×D ₂_p ، من الرتبة 4p، وتمثل مرآتين بزاوية ثنائية السطوح π/ p ، وكلتاهما متعامدتان على مرآة ثالثة. ويمكن تمثيلها أيضًا بمخطط كوكسيتر على النحو التالي :

تُسمى المجموعة الفرعية المباشرة بالمجموعة شبه- p- المضلعة ، [2,p] ⁺ ( أو )، بشكل مجرد D ₂_p ، من الرتبة 2p، ومجموعة فرعية أخرى هي [2,p ⁺ ] ( ) بشكل مجرد Z ₂ × Z _p ، أيضًا من الرتبة 2p.

الزمرة الجيروسكوبية الكاملة ، [2 ⁺ ,2 p ] ( أو )، بشكل مجرد D ₄_p ، من الرتبة 4 p . الزمرة الجيروسكوبية ، [2 ⁺ ,2p ⁺ ] ( أو )، بشكل مجرد Z ₂_p ، من الرتبة 2 p هي زمرة جزئية من كل من [2 ⁺ ,2 p ] و [2,2 p ⁺ ].

تستند المجموعات متعددة السطوح إلى تناظر المجسمات الأفلاطونية : رباعي السطوح ، وثماني السطوح ، والمكعب ، وعشروني السطوح ، واثني عشري السطوح ، برموز شلافلي {3,3}، {3,4}، {4,3}، {3,5}، و{5,3} على التوالي. وتُعرف مجموعات كوكسيتر لهذه المجسمات بـ: [3,3] ، [3,4] ، [3,5] ، وتُسمى على التوالي: التناظر الرباعي السطوح الكامل ، والتناظر الثماني السطوح الكامل ، والتناظر العشروني السطوح الكامل ، برتب 24، 48، و120.

في جميع هذه التناظرات، يمكن إزالة الانعكاسات المتبادلة، مما ينتج عنه مجموعات التناظر الدوراني رباعي الأوجه [3,3] ⁺ ( )، وثماني الأوجه [3,4] ⁺ ( )، وعشروني الأوجه [3,5] ⁺ ( ) من الرتب 12 و24 و60 على التوالي. تحتوي المجموعة ثمانية الأوجه أيضًا على مجموعة فرعية فريدة من نوعها ذات فهرس 2 تُسمى مجموعة تناظر البيريتوهيدرال ، [3 ⁺ ,4] ( أو )، من الرتبة 12، مع مزيج من التناظر الدوراني والانعكاسي. يُعد تناظر البيريتوهيدرال أيضًا مجموعة فرعية ذات فهرس 5 من تناظر عشريني الأوجه: --> ، مع مرآة افتراضية 1 حول 0 ، {010}، ودوران ثلاثي {12}.

تحتوي المجموعة رباعية الأوجه، [3,3] ( )، على مضاعفة [[3.3]] (والتي يمكن تمثيلها بعقد ملونة )، حيث يتم إسقاط المرآة الأولى والأخيرة على بعضهما البعض، مما ينتج عنه المجموعة [3,4] ( أو ). المجموعة الفرعية [3,4,1 ⁺ ] ( أو ) هي نفسها [3,3]، و[3 ⁺ ,4,1 ⁺ ] ( أو ) هي نفسها [3,3] ⁺ .

مثال على أشجار الزمر الفرعية من الرتبة 3 لمجموعات كوكسيتر المنتهية
التناظر الرباعي الأوجه	التناظر الثماني الأوجه

التناظر العشري الوجوه

المجموعات النقطية المنتهية في ثلاثة أبعاد

دولي *	Geo ^{[ 8 ]}	محجر العين.	شون.	هيكلي.	كوكسيتر		أمر.
1	1	1	ج ₁	Z ₁	[] = [ ] ⁺	=	1
2 = م	1	*	C _s	Z ₂	[ ]		2
2 3 4 5 6 ن	2 3 4 5 6 ن	22 33 44 55 66 nn	C ₂ C ₃ C ₄ C ₅ C ₆ C _n	Z ₂ Z ₃ Z ₄ Z ₅ Z ₆ Z _n	[1,2] ⁺ [1,3] ⁺ [1,4] ⁺ [1,5] ⁺ [1,6] ⁺ [1,n] ⁺		2 3 4 5 6 ن
2 مم 3 مم 4 مم 5 مم 6 مم ن مم ن م	2 3 4 5 6 ن	22 33 44 55 66 nn	C _{2 فولت} C _{3 فولت} C _{4 فولت} C _{5 فولت} C _{6 فولت} C _nv	D ₂ D ₃ D ₄ D ₅ D ₆ D _n	[1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6] [1, n ]		4 6 8 10 12 2n
2/م 3/م 4/م 5/م 6/م ن /م	2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	2* 3* 4* 5* 6* n*	C _2h C _3h C _4h C _5h C _6h C _nh	ض ₂ ×ض ₂ ض ₂ ×ض ₃ ض ₂ ×ض ₄ ض ₂ ×ض ₅ ض ₂ ×ض ₆ ض ₂ ×ض _ن	[2,2 ⁺ ] [2,3 ⁺ ] [2,4 ⁺ ] [2,5 ⁺ ] [2,6 ⁺ ] [2,n ⁺ ]		4 6 8 10 12 2n
1 4 3 8 5 12 2n n	2 2 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 2 ن 2	1× 2× 3× 4× 5× 6× ن×	C _i = S ₂ S ₄ S ₆ S ₈ S ₁₀ S ₁₂ S _2n	ض ₂ ض ₄ ض ₆ = ض ₂ × ض ₃ ض ₈ ض ₁₀ = ض ₂ × ض ₅ ض ₁₂ ض _{2 ن}	[2 ⁺ ,2 ⁺ ] [2 ⁺ ,4 ⁺ ] [2 ⁺ ,6 ⁺ ] [2 ⁺ ,8 ⁺ ] [2 ⁺ ,10 ⁺ ] [2 ⁺ ,12 ⁺ ] [2 ⁺ ,2ن ⁺ ]		2 4 6 8 10 12 2n

دولي	جغرافيا	محجر العين.	شون.	هيكلي.	كوكسيتر	أمر.
222 32 422 52 622 n22 n2	2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	222 223 224 225 226 22n	D ₂ D ₃ D ₄ D ₅ D ₆ D _n	D ₄ D ₆ D ₈ D ₁₀ D ₁₂ D _{2 n}	[2,2] ⁺ [2,3] ⁺ [2,4] ⁺ [2,5] ⁺ [2,6] ⁺ [2,n] ⁺	4 6 8 10 12 2n
م م 6 م 2 4/ م م 10 م 2 6/ م م م ن / ط م م 2 ن م2	2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	222 223 224 225 226 22n	د _{2 ساعة} د _{3 ساعات} د _{4 ساعات} د _{5 ساعات} د _{6 ساعات} د _{ن ح}	ض ₂ ×د ₄ ض ₂ ×د ₆ ض ₂ ×د ₈ ض ₂ ×د ₁₀ ض ₂ ×د ₁₂ ض ₂ ×د _{2 ن}	[2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	8 12 16 20 24 4n
4 2م 3 م 8 2م 5 م 12 2م 2 ن 2 م نم	4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 n 2	22 23 24 25 26 2n	د _{2 د} د _{3 د} د ₄ د ₅ د د _{6 د} د _{ن د}	D ₄ D ₆ D ₈ D ₁₀ D ₁₂ D _{2 n}	[2 ⁺ ,4] [2 ⁺ ,6] [2 ⁺ ,8] [2 ⁺ ,10] [2 ⁺ ,12] [2 ⁺ ,2ن]	8 12 16 20 24 4n
23	3 3	332	تي	أ ₄	[3,3] ⁺	12
م 3	4 3	3*2	ذ	A ₄ × S ₂	[3 ⁺ ,4]	24
4 3م	3 3	*332	تي _دي	S ₄	[3,3]	24
432	4 3	432	يا	S ₄	[3,4] ⁺	24
م 3 م	4 3	*432	أوه	S ₄ × S ₂	[3,4]	48
532	5 3	532	أنا	5	[3,5] ⁺	60
5 3 م	5 3	*532	أنا	A ₄ × S ₂	[3,5]	120

أفين

في المستوى الإقليدي، توجد ثلاث مجموعات انعكاسية أساسية ناتجة عن ثلاث مرايا، ممثلة بمخططات كوكسيتر [4،4] ، [6،3] ، و[(3،3،3)]. تشير الأقواس في المجموعة الأخيرة إلى دورة المخطط، ولها أيضًا اختصار [3 ^[3] ].

[[4.4]] كما أن مضاعفة المجموعة [4,4] أنتجت نفس التناظر مع تدوير π/4 من المجموعة الأصلية للمرايا.

المجموعات الفرعية المباشرة للتناظر الدوراني هي: [4,4] ⁺ ، [6,3] ⁺ ، و [(3,3,3)] ⁺ . [4 ⁺ ،4] و [6,3 ⁺ ] هما مجموعتان فرعيتان شبه مباشرتان.

شبه متقاربة ( مجموعات الزخرفة )
IUC	محجر العين.	جغرافيا	مدرسة.	كوكسيتر
ص1	∞∞	ص 1	C _∞	[∞] = [∞,1] ⁺ = [∞ ⁺ ,2,1 ⁺ ]	=
p1m1	*∞∞	ص1	C _∞v	[∞] = [∞,1] = [∞,2,1 ⁺ ]	=
ص11غ	∞×	صفحة ₁	S _2∞	[∞ ⁺ ,2 ⁺ ]
ص11م	∞*	ص 1	C _∞h	[∞ ⁺ ,2]
ص2	22∞	ص 2	D _∞	[∞,2] ⁺
p2mg	2*∞	ص2 _غ	D _∞d	[∞,2 ⁺ ]
p2mm	*22∞	ص2	D _∞h	[∞,2]

أفين ( مجموعات خلفيات الشاشة )
IUC	محجر العين.	جغرافيا	كوكسيتر
ص2	2222	ص 2	[4,1 ⁺ ,4] ⁺
p2gg	22×	صفحة 2 _غرام	[4 ⁺ ,4 ⁺ ]
p2mm	*2222	ص2	[4,1 ⁺ ,4]
c2mm	2*22	ج2	[[4 ⁺،4 ⁺]]
ص4	442	ص 4	[4,4] ⁺
p4gm	4*2	صفحة 4	[4 ⁺ ,4]
p4mm	*442	ص4	[4,4]
ص3	333	ص 3	[1 ⁺ ,6,3 ⁺ ] = [3 ^[3] ] ⁺	=
ص3م1	*333	ص3	[1 ⁺ ,6,3] = [3 ^[3] ]	=
ص31م	3*3	h3	[6,3 ⁺ ] = [3[3 ^[3] ] ⁺ ]
ص6	632	صفحة 6	[6,3] ⁺ = [3[3 ^[3] ]] ⁺
p6mm	*632	ص6	[6,3] = [3[3 ^[3] ]]

بعض المجموعات الفرعية الأفينية ذات المؤشر المنخفض، والمُعطاة بصيغة كوكسيتر ( صيغة أوربيفولد )، هي:

مجموعة تأملية	مجموعة فرعية انعكاسية	مجموعة فرعية مختلطة	مجموعة فرعية للدوران	دوران / انتقال غير صحيح	مجموعة فرعية للمبدل
[4,4], (*442)	[1 ⁺ ,4,4], (442) [4,1 ⁺ ,4], (2222) [1 ⁺ ,4,4,1 ⁺ ], (*2222)	[4 ⁺ ,4], (42) [(4,4,2 ⁺ )], (222) [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4], (2*22)	[4,4] ⁺ ، (442) [1 ⁺ ،4,4 ⁺ ], (442) [1 ⁺ ،4,1 ⁺ 4,1 ⁺ ], (2222)	[4 ⁺ ,4 ⁺ ], (22×)	[4 ⁺ ,4 ⁺ ] ⁺ , (2222)
[6,3], (*632)	[1 ⁺ ,6,3] = [3 ^[3] ], (*333)	[3 ⁺ ,6], (3*3)	[6,3] ⁺ ، (632) [1 ⁺ ،6,3 ⁺ ], (333)		[1 ⁺ ,6,3 ⁺ ], (333)

المجموعات المصنفة الرابعة

علاقات المجموعات الفرعية في مخطط هاس (جزئيًا!)

مجموعات النقاط

حددت المجموعات ذات الرتبة الرابعة مجموعات النقاط رباعية الأبعاد :

المجموعات المنتهية

[ ]:
رمز	طلب
[1] ⁺	1.1
[1] = [ ]	2.1

[2]:
رمز	طلب
[1 ⁺ ,2] ⁺	1.1
[2] ⁺	2.1
[2]	4.1

[2,2]:
رمز	طلب
[2 ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺ = [(2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ )]	1.1
[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2.1
[2,2] ⁺	4.1
[2 ⁺ ,2]	4.1
[2,2]	8.1

[2,2,2]:
رمز	طلب
[(2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ )] = [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺	1.1
[2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2.1
[2 ⁺ ,2,2 ⁺ ]	4.1
[(2,2) ⁺ ,2 ⁺ ]	4
[[2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]]	4
[2,2,2] ⁺	8
[2 ⁺ ,2,2]	8.1
[(2,2) ⁺ ,2]	8
[[2 ⁺ ,2,2 ⁺ ]]	8.1
[2,2,2]	16.1
[[2,2,2]] ⁺	16
[[2,2 ⁺ ,2]]	16
[[2,2,2]]	32

[ ص ]:
رمز	طلب
[ ص ] ⁺	ص
[ ص ]	2 بنس

[ص،2]:
رمز	طلب
[ ص ,2] ⁺	2 بنس
[ ص 2]	4 بنس

[2p,2 ⁺ ]:
رمز	طلب
[2 p ,2 ⁺ ]	4 بنس
[2 p ⁺ ,2 ⁺ ]	2 بنس

[ ص 22]:
رمز	طلب
[ p ⁺ ,2,2 ⁺ ]	2 بنس
[( p ,2) ⁺ ,2 ⁺ ]	2 بنس
[ ص 22] ⁺	4 بنس
[ p ,2,2 ⁺ ]	4 بنس
[p ⁺ ,2,2]	4 بنس
[(p,2) ⁺ ,2]	4 بنس
[ص،2،2]	8 بنس

[2 p ,2 ⁺ ,2]:
رمز	طلب
[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ] ⁺	ص
[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]	2 بنس
[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2]	4 بنس
[2 p ⁺ ,(2,2) ⁺ ]	4 بنس
[2 p ,(2,2) ⁺ ]	8 بنس
[2 ص ,2 ⁺ ,2]	8 بنس

[ p ,2, q ]:
رمز	طلب
[ p ⁺ ,2, q ⁺ ]	pq
[ p ,2, q ] ⁺	2 pq
[ p ⁺ ,2, q ]	2 pq
[ p ,2, q ]	4 pq
رمز	طلب
[( p ,2) ⁺ ,2 q ⁺ ]	2 pq
[( p ,2) ⁺ ,2 q ]	4 pq

[2 p ,2,2 q ]:
رمز	طلب
[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ] ⁺ = [(2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ,2 ⁺ )]	pq
[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ]	2pq
[2 p ,2 ⁺ ,2 q ⁺ ]	4 pq
[((2 p ,2) ⁺ ,(2 q ,2) ⁺ )]	4 pq
[2 p ,2 ⁺ ,2 q ]	8 pq

[[ p ,2, p ]]:
رمز	طلب
[[ p ⁺ ,2, p ⁺ ]]	2 ص ²
[[ p ,2, p ]] ⁺	4 ص ²
[[ p ,2, p ] ⁺ ]	4 ص ²
[[ p ,2, p ]]	8 ص ²

[[2 p ,2,2 p ]]:
رمز	طلب
[[(2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 p ⁺ ,2 ⁺ )]]	2 ص ²
[[2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 p ⁺ ]]	4 ص ²
[[((2 p ,2) ⁺ ,(2 p ,2) ⁺ )]]	8 ص ²
[[2 p ,2 ⁺ ,2 p ]]	16 ص ²

[3,3,2]:
رمز	طلب
[(3,3) ^Δ ,2,1 ⁺ ] ≅ [2,2] ⁺	4
[(3,3) ^Δ ,2] ≅ [2,(2,2) ⁺ ]	8
[(3,3) ^⅄ ,2,1 ⁺ ] ≅ [4,2 ⁺ ]	8
[(3,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [3,3] ⁺	12.5
[(3,3) ^⅄ ,2] ≅ [2,4,2 ⁺ ]	16
[3,3,2,1 ⁺ ] = [3,3]	24
[(3,3) ⁺ ,2]	24.10
[3,3,2] ⁺	24.10
[3,3,2]	48.36

[4,3,2]:
رمز	طلب
[1 ⁺ ,4,3 ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [3,3] ⁺	12
[3 ⁺ ،4،2 ⁺ ]	24
[(3,4) ⁺ ,2 ⁺ ]	24
[1 ⁺ ,4,3 ⁺ ,2] = [(3,3) ⁺ ,2]	24.10
[3 ⁺ ,4,2,1 ⁺ ] = [3 ⁺ ,4]	24.10
[(4,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [4,3] ⁺	24.15
[1 ⁺ ,4,3,2,1 ⁺ ] = [3,3]	24
[1 ⁺ ,4,(3,2) ⁺ ] = [3,3,2] ⁺	24
[3,4,2 ⁺ ]	48
[4,3 ⁺ ,2]	48.22
[4,(3,2) ⁺ ]	48
[(4,3) ⁺ ,2]	48.36
[1 ⁺ ,4,3,2] = [3,3,2]	48.36
[4,3,2,1 ⁺ ] = [4,3]	48.36
[4,3,2] ⁺	48.36
[4,3,2]	96.5

[5,3,2]:
رمز	طلب
[(5,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [5,3] ⁺	60.13
[5,3,2,1 ⁺ ] = [5,3]	120.2
[(5,3) ⁺ ,2]	120.2
[5,3,2] ⁺	120.2
[5,3,2]	240 (nc)

[3 ^1,1,1 ]:
رمز	طلب
[3 ^1,1,1 ] ^Δ ≅[[4,2 ⁺ ,4]] ⁺	32
[3 ^1,1,1 ] ^⅄	64
[3 ^1,1,1 ] ⁺	96.1
[3 ^1,1,1 ]	192.2
<[3,3 ^1,1 ]> = [4,3,3]	384.1
[3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3]	1152.1

[3,3,3]:
رمز	طلب
[3,3,3] ⁺	60.13
[3,3,3]	120.1
[[3,3,3]] ⁺	120.2
[[3,3,3] ⁺ ]	120.1
[[3,3,3]]	240.1

[4,3,3]:
رمز	طلب
[1 ⁺ ,4,(3,3) ^Δ ] = [3 ^1,1,1 ] ^Δ ≅[[4,2 ⁺ ,4]] ⁺	32
[4,(3,3) ^Δ ] = [2 ⁺ ,4[2,2,2] ⁺ ] ≅[[4,2 ⁺ ,4]]	64
[1 ⁺ ,4,(3,3) ^⅄ ] = [3 ^1,1,1 ] ^⅄	64
[1 ⁺ ,4,(3,3) ⁺ ] = [3 ^1,1,1 ] ⁺	96.1
[4,(3,3) ^⅄ ] ≅ [[4,2,4]]	128
[1 ⁺ ,4,3,3] = [3 ^1,1,1 ]	192.2
[4,(3,3) ⁺ ]	192.1
[4,3,3] ⁺	192.3
[4,3,3]	384.1

[3,4,3]:
رمز	طلب
[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]	288.1
[3,4,3 ^⅄ ] = [4,3,3]	384.1
[3,4,3] ⁺	576.2
[3 ⁺ ,4,3]	576.1
[[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]]	576 (nc)
[3,4,3]	1152.1
[[3,4,3]] ⁺	1152 (nc)
[[3,4,3] ⁺ ]	1152 (nc)
[[3,4,3]]	2304 (nc)

[5,3,3]:
رمز	طلب
[5,3,3] ⁺	7200 (nc)
[5,3,3]	14400 (nc)

المجموعات الفرعية

مجموعات النقاط العاكسة أحادية البعد إلى رباعية الأبعاد ومجموعاتها الفرعية
طلب	انعكاس	المجموعات الفرعية شبه المباشرة			المجموعات الفرعية المباشرة	مجموعة فرعية للمبدل
2	[ ]				[ ] ⁺	[ ] ⁺¹	[ ] ⁺
4	[2]				[2] ⁺	[2] ⁺²
8	[2,2]	[2 ⁺ ,2]	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]		[2,2] ⁺	[2,2] ⁺³
16	[2,2,2]	[2 ⁺ ,2,2] [(2,2) ⁺ ,2]	[2 ⁺ ,2 ⁺ ,2] [(2,2) ⁺ ,2 ⁺ ] [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ]		[2,2,2] ⁺ [2 ⁺ ,2,2 ⁺ ]	[2,2,2] ⁺⁴
16	[2 ^1,1,1 ]		[(2 ⁺ ) ^1,1,1 ]			[2,2,2] ⁺⁴
2ن	[ن]				[ن] ⁺	[ن] ⁺¹	[ن] ⁺
4ن	[2n]				[2n] ⁺	[2n] ⁺²
4ن	[2,n]	[2,n ⁺ ]			[2,n] ⁺	[2,n] ⁺²
8ن	[2,2n]	[2 ⁺ ,2n]	[2 ⁺ ,2n ⁺ ]		[2,2n] ⁺	[2,2n] ⁺³
8ن	[2,2,n]	[2 ⁺ ,2,n] [2,2,n ⁺ ]	[2 ⁺ ,(2,n) ⁺ ]		[2,2,n] ⁺ [2 ⁺ ,2,n ⁺ ]	[2,2,n] ⁺³
16ن	[2,2,2n]	[2,2 ⁺ ,2n]	[2 ⁺ ,2 ⁺ ,2n] [2,2 ⁺ ,2n ⁺ ] [(2,2) ⁺ ,2n ⁺ ] [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2n ⁺ ]		[2,2,2n] ⁺ [2 ⁺ ,2n,2 ⁺ ]	[2,2,2n] ⁺⁴
	[2,2n,2]		[2 ⁺ ،2n ⁺ ،2 ⁺ ]
	[2n,2 ^1,1 ]		[2n ⁺ ,(2 ⁺ ) ^1,1 ]
24	[3,3]				[3,3] ⁺	[3,3] ⁺¹	[3,3] ⁺
48	[3,3,2]	[(3,3) ⁺ ,2]			[3,3,2] ⁺	[3,3,2] ⁺²
48	[4,3]	[4,3 ⁺ ]			[4,3] ⁺	[4,3] ⁺²
96	[4,3,2]	[(4,3) ⁺ ,2] [4,(3,2) ⁺ ]			[4,3,2] ⁺	[4,3,2] ⁺³
96	[3,4,2]	[3,4,2 ⁺ ] [3 ⁺ ,4,2]	[(3,4) ⁺ ,2 ⁺ ]		[3 ⁺ ،4،2 ⁺ ]	[4,3,2] ⁺³
120	[5,3]				[5,3] ⁺	[5,3] ⁺¹	[5,3] ⁺
240	[5,3,2]	[(5,3) ⁺ ,2]			[5,3,2] ⁺	[5,3,2] ⁺²	[5,3] ⁺
4pq	[p,2,q]	[p ⁺ ,2,q]			[p,2,q] ⁺ [p ⁺ ,2,q ⁺ ]	[p,2,q] ⁺²	[p ⁺ ,2,q ⁺ ]
8pq	[2p,2,q]	[2p,(2,q) ⁺ ]	[2p ⁺ ,(2,q) ⁺ ]		[2p,2,q] ⁺	[2p,2,q] ⁺³
16pq	[2p,2,2q]	[2p,2 ⁺ ,2q]	[2ع ⁺ ,2 ⁺ ,2q] [2p ⁺ ,2 ⁺ ,2q ⁺ ] [(2p,(2,2q) ⁺ ,2 ⁺ )]	-	[2p,2,2q] ⁺	[2p,2,2q] ⁺⁴
120	[3,3,3]				[3,3,3] ⁺	[3,3,3] ⁺¹	[3,3,3] ⁺
192	[3 ^1,1,1 ]				[3 ^1,1,1 ] ⁺	[3 ^1,1,1 ] ⁺¹	[3 ^1,1,1 ] ⁺
384	[4,3,3]	[4,(3,3) ⁺ ]			[4,3,3] ⁺	[4,3,3] ⁺²	[3 ^1,1,1 ] ⁺
1152	[3,4,3]	[3 ⁺ ,4,3]			[3,4,3] ⁺ [3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]	[3,4,3] ⁺²	[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]
14400	[5,3,3]				[5,3,3] ⁺	[5,3,3] ⁺¹	[5,3,3] ⁺

المجموعات الفضائية

المجموعات الفضائية
التشاكل الأفيني والتطابقات	ثماني مجموعات فراغية مكعبة كتناظر ممتد من [3 ^[4] ]، مع مخططات كوكسيتر المربعة والمجالات الأساسية العاكسة	35 مجموعة فراغية مكعبة في الترميز الدولي، والترميز الليفي ، والترميز الكوكسيتر

صنّف أربع مجموعات كمجموعات فضاء ثلاثية الأبعاد

عيادة ثلاثية (1-2)
كوكسيتر	المجموعة الفضائية
[∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ]	(1) P1

أحادي الميل (3-15)
كوكسيتر	المجموعة الفضائية
[(∞,2,∞) ⁺ ,2,∞ ⁺ ]	(3) P2
[∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ,2,∞]	(6) مساءً
[(∞,2,∞) ⁺ ,2,∞]	(10) P2/m

المعيني القائم (16-74)
كوكسيتر	المجموعة الفضائية
[∞,2,∞,2,∞] ⁺	(16) ص222
[[∞,2,∞,2,∞]] ⁺	(23) I222
[∞ ⁺ ,2,∞,2,∞]	(25) Pmm2
[∞,2,∞,2,∞]	(47) هممم
[[∞,2,∞,2,∞]]	(71) Immm
[∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ]
[∞,2,∞,2 ⁺ ,∞]
[∞,2 ⁺ ,∞,2 ⁺ ,∞]

رباعي الأضلاع (75-142)
كوكسيتر	المجموعة الفضائية
[(4,4) ⁺ ,2,∞ ⁺ ]	(75) P4
[2 ⁺ [(4,4) ⁺ ,2,∞ ⁺ ]]	(79) I4
[(4,4) ⁺ ,2,∞]	(83) P4/m
[2 ⁺ [(4,4) ⁺ ,2,∞]]	(87) I4/m
[4,4,2,∞] ⁺	(89) ص422
[2 ⁺ [4,4,2,∞]] ⁺	(97) I422
[4,4,2,∞ ⁺ ]	(99) P4mm
[4,4,2,∞]	(123) P4/mmm
[2 ⁺ [4,4,2,∞]]	(139) I4/mmm
[4,(4,2) ⁺ ,∞]	(140) I4/mcm
[4,4,2 ⁺ ,∞]
[(4,4) ⁺ ,2 ⁺ ,∞]
[4,4,2 ⁺ ,∞ ⁺ ]
[(4,4) ⁺ ,2 ⁺ ,∞ ⁺ ]
[4 ⁺ ,4 ⁺ ,2 ⁺ ,∞]
[4,4 ⁺ ,2,∞]
[4,4 ⁺ ,2 ⁺ ,∞]
[((4,2 ⁺ ,4)),2,∞]
[4,4 ⁺ ,2,∞ ⁺ ]
[4,4 ⁺ ,2 ⁺ ,∞ ⁺ ]
[((4,2 ⁺ ,4)),2,∞ ⁺ ]

ثلاثي (143-167)، معيني الأوجه
كوكسيتر	المجموعة الفضائية

سداسي (168-194)
[(6,3) ⁺ ,2,∞ ⁺ ]	(168) P6
[(6,3) ⁺ ,2,∞]	(175) P6/m
[6,3,2,∞] ⁺	(177) ص622
[6,3,2,∞ ⁺ ]	(183) P6mm
[6,3,2,∞]	(191) P6/mmm
[(3 ^[3] ) ⁺ ,2,∞ ⁺ ]
[3 ^[3] ,2,∞]
[6,3 ⁺ ,2,∞]
[6,3 ⁺ ,2,∞ ⁺ ]
[3 ^[3] ,2,∞] ⁺
[3 ^[3] ,2,∞ ⁺ ]
[(3 ^[3] ) ⁺ ,2,∞]

مكعب (195-230)
مجموعة	كوكسيتر	المجموعة الفضائية	فِهرِس
[[4,3,4]]	[[4,3,4]]	(229) Im 3 m	1
	[[4,3,4]] ⁺	(211) I432	2
	[[4,3,4] ⁺ ]	(223) Pm 3 n	2
	[[4,3 ⁺ ,4]]	(204) I 3	2
	[[(4,3,4,2 ⁺ )]]	(217) I 4 3m	2
	[[4,3 ⁺ ,4]] ⁺	(197) I23	4
	[[4,3,4] ⁺ ] ⁺	(208) P4 ₂ 32	4
	[[4,3 ⁺ ,4)] ⁺ ]	(201) Pn 4 3	4
	[[(4,3,4,2 ⁺ )] ⁺ ]	(218) P 4 3n	4
[4,3,4]	[4,3,4]	(221) 3 م	2
	[4,3,4] ⁺	(207) ص432	4
	[4,3 ⁺ ,4]	(200) مساءً 3	4
	[4,(3,4) ⁺ ]	(226) Fm 3 c	4
	[(4,3,4,2 ⁺ )]	(215) P 4 3m	4
	[[{4,(3} ⁺ ,4) ⁺ ]]	(228) Fd 3 c	4
	[4,3 ⁺ ,4] ⁺	(195) ص23	8
	[{4,(3} ⁺ ,4) ⁺ ]	(219) F 4 3c	8
[4,3 ^1,1 ]	[4,3 ^1,1 ]	(225) Fm 3 m	4
	[4,(3 ^1,1 ) ⁺ ]	(202) Fm 3	8
	[4,3 ^1,1 ] ⁺	(209) F432	8
[[3 ^[4] ]]
	[(4 ⁺ ,2 ⁺ )[3 ^[4] ]]	(222) Pn 3 n	2
	[[3 ^[4] ]]	(227) Fd 3 م	4
	[[3 ^[4] ]] ⁺	(203) Fd 3	8
	[[3 ^[4] ] ⁺ ]	(210) F4 ₁ 32	8
[3 ^[4] ]	[3 ^[4] ]	(216) F 4 3m	8
[3 ^[4] ]	[3 ^[4] ] ⁺	(196) F23	16

مجموعات الخطوط

كما حددت المجموعات المصنفة في المرتبة الرابعة مجموعات الخطوط ثلاثية الأبعاد :

مجموعات شبه متقاربة (ثلاثية الأبعاد)
مجموعة النقاط			مجموعة الخطوط
هيرمان-ماوجين		شونفليس	هيرمان-ماوجين		نوع الإزاحة	ورق جدران			Coxeter [∞ _h ,2,p _v ]
حتى ن	ن فردي	شونفليس	حتى ن	ن فردي	نوع الإزاحة	IUC	أوربيفولد	رسم بياني	Coxeter [∞ _h ,2,p _v ]
ن		سي _إن	P n _q		حلزوني: q	ص1	o		[∞ ⁺ ,2,n ⁺ ]
2 ن	ن	S _{2 n}	P 2 n	P n	لا أحد	p11g، pg(h)	××		[(∞,2) ⁺ ,2n ⁺ ]
ن /م	2 ن	Cn _h	P n /m	P 2 n	لا أحد	p11m, pm(h)	**		[∞ ⁺ ,2,n]
2 ن /م		C _{2 n h}	P2 n _n /m		متعرج	c11m، سم(ح)	*×		[∞ ⁺ ,2 ⁺ ,2n]
ن مم	ن م	C _{n v}	P n mm	P n m	لا أحد	p1m1، pm(v)	**		[∞,2,n ⁺ ]
ن مم	ن م	C _{n v}	P n cc	P n c	انعكاس مستوٍ	p1g1، pg(v)	××		[∞ ⁺ ,(2,n) ⁺ ]
2 نانومتر		C _{2 n v}	P2 n _n mc		متعرج	c1m1, cm(v)	*×		[∞,2 ⁺ ,2n ⁺ ]
رقم 22	ن 2	د _ن	P n _q 22	P n _q 2	حلزوني: q	ص2	2222		[∞,2,n] ⁺
2 ن 2م	ن م	د _{ن د}	P 2 n 2m	P n m	لا أحد	p2mg, pmg(h)	22*		[(∞,2) ⁺ ,2n]
2 ن 2م	ن م	د _{ن د}	P 2 n 2c	P n c	انعكاس مستوٍ	p2gg، pgg	22×		[ ⁺ (∞,(2),2n) ⁺ ]
ن /ممم	2 ن 2م	Dn _h	P n /mmm	P 2 n 2m	لا أحد	p2mm، pmm	*2222		[∞,2,n]
ن /ممم	2 ن 2م	Dn _h	P n /mcc	P 2 n 2c	انعكاس مستوٍ	p2mg, pmg(v)	22*		[∞,(2,n) ⁺ ]
2 ن /ممم		D _{2 n h}	P2 n _n /mcm		متعرج	c2mm، سم	2*22		[∞,2 ⁺ ,2n]

مجموعة ثنائية المنشور

تناظر منشوري مزدوج ممتد

مجموعات ثنائية المنشور الممتدة، [p]×[p] أو [p,2,p] أو ، معبر عنها بالنسبة لتناظر المجال الأساسي الرباعي الأضلاع ثنائي الإسفين .

تُعرّف المجموعات من الرتبة الرابعة المجموعات ثنائية المنشور رباعية الأبعاد. وعندما يؤول كل من p و q إلى اللانهاية، فإنها تتلاشى إلى بُعدين وتُصبح مجموعات ورق الجدران.

مجموعات ثنائية المنشور (4D)
ورق جدران			كوكسيتر [ص،2،ق]	كوكسيتر [[ص،2،ص]]	ورق جدران
IUC	أوربيفولد	رسم بياني	كوكسيتر [ص،2،ق]	كوكسيتر [[ص،2،ص]]	IUC	أوربيفولد	رسم بياني
ص1	o		[p ⁺ ,2,q ⁺ ]	[[p ⁺,2,p ⁺]]	ص1	o
صفحة	××		[(p,2) ⁺ ,2q ⁺ ]	-
مساءً	**		[p ⁺ ,2,q]	-
سم	*×		[2p ⁺ ,2 ⁺ ,2q]	-
ص2	2222		[p,2,q] ⁺	[[ص،2،ص]] ⁺	ص4	442
بي إم جي	22*		[(p,2) ⁺ ,2q]	-
pgg	22×		[ ⁺ (2p,(2),2q) ⁺ ]	[[⁺(2p,(2),2p) ⁺]]	سم	2*22
pmm	*2222		[p,2,q]	[[ص،2،ص]]	p4m	*442
سم	2*22		[2p,2 ⁺ ,2q]	[[2p,2 ⁺,2p]]	p4g	4*2

مجموعات خلفيات الشاشة

كما حددت المجموعات المصنفة في المرتبة الرابعة بعض مجموعات ورق الحائط ثنائية الأبعاد ، باعتبارها حالات محدودة لمجموعات المنشور المزدوج رباعي الأبعاد:

أفين (مستوى ثنائي الأبعاد)

IUC	محجر العين.	جغرافيا	كوكسيتر
ص1	o	ص 1	[∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ]
			[∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞ ⁺ ]
			[(∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞ ⁺ ,2 ⁺ )]
ص2	2222	ص 2	[∞,2,∞] ⁺
ص2	2222	ص 2	[(∞,2 ⁺ ,∞,2 ⁺ )]
ص11غ	××	الصفحة 1	h: [∞ ⁺ ,(2,∞) ⁺ ]
ص1ج1	××	الصفحة 1	v: [(∞,2) ⁺ ,∞ ⁺ ]
p2gm	22*	صفحة ٢	h: [(∞,2) ⁺ ,∞]
p2mg	22*	صفحة ٢	v: [∞,(2,∞) ⁺ ]

IUC	محجر العين.	جغرافيا	كوكسيتر
ص11م	**	ص1	h: [∞ ⁺ ,2,∞]
p1m1	**	ص1	v: [∞,2,∞ ⁺ ]
p2mm	*2222	ص2	[∞,2,∞]
c11m	*×	ج1	h: [∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞]
c1m1	*×	ج1	v: [∞,2 ⁺ ,∞ ⁺ ]
p2gg	22×	صفحة 2 _غرام	[ ⁺ (∞,(2),∞) ⁺ ] [((∞,2) ⁺ ) ^[2] ]
c2mm	2*22	ج2	[∞,2 ⁺ ,∞]

يمكن التعبير عن المجموعات الفرعية لـ [∞,2,∞]، (*2222) وصولاً إلى مجموعة التبديل الفرعية ذات الدليل 16:

المجموعات الفرعية لـ [∞,2,∞]
مجموعة تأملية	مجموعة فرعية انعكاسية	مجموعة فرعية مختلطة	مجموعة فرعية للدوران	دوران / انتقال غير صحيح	مجموعة فرعية للمبدل
[∞,2,∞], (*2222)	[1 ⁺ ,∞,2,∞], (*2222)	[∞ ⁺ ,2,∞], (**)	[∞,2,∞] ⁺ , (2222)	[∞,2 ⁺ ,∞] ⁺ , (°) [∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞ ⁺ ], (°) [∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ], (°) [∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞], (*×) [(∞,2) ⁺ ,∞ ⁺ ], (××) [((∞,2) ⁺ ,(∞,2) ⁺ )], (22×)	[(∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞ ⁺ ,2 ⁺ )], (°)
[∞,2,∞], (*2222)	[1 ⁺ ,∞,2,∞], (*2222)	[∞,2 ⁺ ,∞], (222) [(∞,2) ⁺ ,∞], (22)	[∞,2,∞] ⁺ , (2222)		[(∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞ ⁺ ,2 ⁺ )], (°)

انعكاسات معقدة

تم توسيع ترميز كوكسيتر ليشمل الفضاء المركب ، Cⁿ ^، حيث تمثل العقد انعكاسات وحدوية دورية من الدرجة الثانية أو أكبر. تُسمى العقد بفهرس، يُفترض أن يكون 2 للانعكاس الحقيقي العادي إذا تم حذفه. تُسمى مجموعات الانعكاس المركبة بمجموعات شيبارد بدلاً من مجموعات كوكسيتر ، ويمكن استخدامها لإنشاء متعددات الوجوه المركبة .

في $\mathbb {C} ^{1}$ ، مجموعة شيبارد من الرتبة 1 ، من الرتبة p ، يتم تمثيلها على النحو التالي: _p [ ]، [ ] _p أو ] _p [. لها مولد واحد، يمثل دورانًا بمقدار 2 π / p راديان في المستوى المركب : $e^{2\pi i/p}$ .

يكتب كوكسيتر المجموعة المركبة من الرتبة 2، _p [ q ] _r، ويمثل مخطط كوكسيتر . يجب حذف p و r فقط إذا كان كلاهما يساوي 2، وهو الحالة الحقيقية [ q ]. رتبة المجموعة من الرتبة 2 _p [ q ] _r هي $g=8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ [ ⁹^]

الحلول من الرتبة 2 التي تولد مضلعات معقدة هي: _p [4] ₂ (حيث p هي 2، 3، 4، ...)، ₃ [3] ₃ ، ₃ [6] ₂ ، ₃ [ 4 ] 3، 4 [3] ₄ ، ₃_[ 8 _] 2 _، 4 _[ 6] ₂ ، ₄ [4] ₃ ، ₃ [5] ₃ ، ₅ [3] ₅ ، ₃ [10] ₂ ، ₅ [6] ₂ ، و ₅ [4] ₃ مع مخططات كوكسيتر ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، .

المجموعات اللانهائية هي ₃ [12] ₂ ، ₄ [8] ₂ ، ₆ [6] ₂ ، ₃ [6] ₃ ، ₆ [4] ₃ ، ₄ [4] ₄ ، و ₆ [3] ₆ أو ، ، ، ، ، ، .

توجد مجموعات فرعية من الرتبة 2 بإزالة انعكاس حقيقي: _p [ 2q ] ₂ → _p [ q ] _p . كما توجد مجموعات فرعية من الرتبة r لأربعة فروع: _p [4] _r → _p [ r ] _p .

بالنسبة للعائلة اللانهائية _p [4] ₂ ، لأي p = 2، 3، 4، ...، هناك مجموعتان فرعيتان: _p [4] ₂ → [ p ]، الدليل p ، بينما _p [4] ₂ → _p [ ]× _p [ ]، الدليل 2.

الحساب باستخدام مصفوفات الانعكاس كمولدات للتناظر

تُعطى مجموعة كوكسيتر، المُمثلة بمخطط كوكسيتر ، رمز كوكسيتر [p,q] لترتيب الفروع. يُمثل كل عقدة في مخطط كوكسيتر مرآة، تُسمى اصطلاحًا ρᵢ ₍ ومصفوفتها Rᵢ ₎ . مولدات هذه المجموعة [p,q] هي انعكاسات: ρ₀ _و ρ₁ و ρ₂ _. يُعطى التناظر الدوراني الجزئي كحاصل ضرب انعكاسات: اصطلاحًا، σ₀ _,₁₍ ومصفوفتها S₀ _,₁₎ = ρ₀ρ₁ _يُمثل دورانًا بزاوية π/p، و σ₁ _,₂₌ ρ₁ρ₂ يُمثل دورانًا بزاوية π _/ q، و σ₀ _, ₂ ₌ ρ₀ρ₂ يُمثل دورانًا بزاوية π/2 _.

[p,q] ⁺ , , هي مجموعة فرعية ذات دليل 2 ممثلة بمولدين دوران، كل منهما ناتج عن انعكاسين: σ _0,1 , σ _1,2 , وتمثل دورانات بزوايا π/ p و π/ q على التوالي.

مع فرع زوجي واحد، [ p ⁺ ,2 q ]، أو ، هي مجموعة فرعية أخرى من الدليل 2، ممثلة بمولد الدوران σ _0,1 ، والانعكاس ρ ₂ .

مع الفروع الزوجية، [2 p ⁺ ,2 q ⁺ ], ، هي مجموعة فرعية من الدليل 4 مع مولدين، تم إنشاؤها كحاصل ضرب جميع مصفوفات الانعكاس الثلاثة: حسب الاصطلاح: ψ _0,1,2 و ψ _1,2,0 ، وهي انعكاسات دورانية ، تمثل انعكاسًا ودورانًا أو انعكاسًا.

في حالة مجموعات كوكسيتر الأفينية مثل ، أو ، يتم إزاحة مرآة واحدة، عادةً الأخيرة، بعيدًا عن نقطة الأصل. يتم إنشاء مولد الإزاحة τ _0,1 (والمصفوفة T _0,1 ) كحاصل ضرب انعكاسين (أو عدد زوجي من) الانعكاسات، بما في ذلك الانعكاس الأفيني. يمكن أن يكون الانعكاس المستعرض (انعكاس بالإضافة إلى إزاحة) حاصل ضرب عدد فردي من الانعكاسات φ _0,1,2 (والمصفوفة V _0,1,2 )، مثل المجموعة الفرعية ذات الدليل 4 : [4 ⁺ ،4 ⁺ ] = .

يمثل مولد مركب آخر، يُشار إليه اصطلاحًا بالرمز ζ (والمصفوفة Z)، عملية الانعكاس ، حيث يُحوّل نقطةً إلى معكوسها. بالنسبة للمجموعتين [4,3] و[5,3]، فإن ζ = (ρ₀ _ρ₁ ρ₂ ₎_h / ² ، حيث h تساوي 6 و10 على التوالي، وهو عدد كوكسيتر لكل مجموعة. بالنسبة لمجموعة كوكسيتر ثلاثية الأبعاد [p,q] ، فإن هذه المجموعة الفرعية هي انعكاس دوراني [2⁺ ^, h⁺ ^] .

تُصنَّف مجموعات كوكسيتر حسب رتبتها، وهي عدد العقد في مخطط كوكسيتر-دينكين الخاص بها . كما يُوضَّح هيكل المجموعات مع أنواعها المجردة: في هذه المقالة، تُمثَّل المجموعات ثنائية السطوح المجردة بـ Dih _n ، وتُمثَّل المجموعات الدورية بـ Z _n ، حيث Dih ₁ = Z ₂ .

المرتبة الثانية

مجموعات ثنائية السطوح	المجموعات الحلقية
[2]	[2] ⁺
[3]	[3] ⁺
[4]	[4] ⁺
[6]	[6] ⁺

على سبيل المثال، في البعدين، يتم تمثيل مجموعة كوكسيتر [ p ] ( ) بواسطة مصفوفتي انعكاس R0 _و R1 _، ويتم تمثيل التناظر الدوري [ p ] ⁺ ( ) بواسطة مولد الدوران للمصفوفة _S0,1 .

[ ص ],
	تأملات		تناوب
اسم	R ₀	R ₁	S _0,1 =R ₀ ×R ₁
طلب	2	2	ص
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$

[2]،
	تأملات		تناوب
اسم	R ₀	R ₁	S _0,1 =R ₀ ×R ₁
طلب	2	2	2
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$

[3],
	تأملات		تناوب
اسم	R ₀	R ₁	S _0,1 =R ₀ ×R ₁
طلب	2	2	3
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2\\-{\sqrt {3}}/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

[4]،
	تأملات		تناوب
اسم	R ₀	R ₁	S _0,1 =R ₀ ×R ₁
طلب	2	2	4
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$

[6]،
	تأملات		تناوب
اسم	R ₀	R ₁	S _0,1 =R ₀ ×R ₁
طلب	2	2	6
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {3}}/2&1/2\\1/2&-{\sqrt {3}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {3}}/2&1/2\\-1/2&{\sqrt {3}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

[8]،
	تأملات		تناوب
اسم	R ₀	R ₁	S _0,1 =R ₀ ×R ₁
طلب	2	2	8
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\{\sqrt {2}}/2&-{\sqrt {2}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

المرتبة الثالثة

مجموعات كوكسيتر ذات الرتبة المحدودة 3 هي [1، p ]، [2، p ]، [3،3]، [3،4]، و[3،5].

لعكس نقطة عبر مستوى $ax+by+cz=0$ (الذي يمر عبر نقطة الأصل)، يمكن للمرء أن يستخدم $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}$ ، أين $\mathbf {I}$ هي مصفوفة الوحدة 3×3 و $\mathbf {N}$ هو متجه الوحدة ثلاثي الأبعاد للمتجه العمودي على المستوى. إذا كان معيار L2 لـ $a,b,$ و $c$ إذا كانت المصفوفة تساوي واحدًا، فيمكن التعبير عن مصفوفة التحويل على النحو التالي:

\mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]

[ ص 2]

المجموعة الانعكاسية المحدودة ثلاثية الأبعاد القابلة للاختزال هي تناظر ثنائي السطوح ، [ p ,2]، من الرتبة 4p . مولدات الانعكاس هي المصفوفات R₀ _، R₁ _، R₂ _. R₀² ₌ R₁² ⁼_R₂² = ( R₀ × ^R₁ )³ = (R₁ × R₂) ^³ = ₍ R₀ _×^R₂ ) ² ₌ مصفوفة _الوحدة . ^يتم توليد [ p,2]+ بواسطة اثنين من ثلاثة دورانات: S₀ , ₁ ^، S₁ _,_₂ ، ^و_S₀ , ₂ _._{يتم توليد}انعكاس دوراني _من الرتبة p بواسطة V₀ _,₁,₂ ، وهو حاصل ضرب الانعكاسات الثلاثة.

[ص،2]،
	تأملات			تناوب			انعكاس الدوران
اسم	R ₀	R ₁	R ₂	S _0,1	S _1,2	S _0,2	V _0,1,2
مجموعة
طلب	2	2	2	ص	2		2 بنس
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&-\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$

[3,3]

أبسط زمرة انعكاسية محدودة ثلاثية الأبعاد غير قابلة للاختزال هي الزمرة ذات التناظر الرباعي الأوجه [3,3]، من الرتبة 24. مولدات الانعكاس، من بناء D³ ₌ A³ _، هي المصفوفات R₀ _و R₁ _و R₂ _. R₀² ₌ R₁² ⁼_R₂² = (R₀ × _{R₁ )}^³ = (R₁ _× R₂ ₎ ³ ⁼ (R₀ × _R₂ ) _² = ^مصفوفة الوحدة. تتولد الزمرة [3,3] ^⁺ بواسطة دورانين من أصل ثلاثة: S₀ , _₁ و S₁ ^,_₂ و S₀ _,₂^. تتولد زمرة فرعية ثلاثية، متماثلة مع [2⁺,4]، من الرتبة 8، بواسطة S₀ , ₂ و ^R₁_._يتولد_انعكاس دوراني من _الرتبة 4 بواسطة V₀ , ₁ _,₂ ، وهو حاصل ضرب الانعكاسات الثلاثة.

[3,3],
	تأملات			التناوب			انعكاس الدوران
اسم	R ₀	R ₁	R ₂	S _0,1	S _1,2	S _0,2	V _0,1,2
اسم
طلب	2	2	2	3		2	4
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,1,−1) _ن	(1,−1,0) _ن	(0,1,1) _ن	_المحور (1,1,1)	_المحور (1،1،-1)	_المحور (1,0,0)

[4,3]

مجموعة انعكاسية ثلاثية الأبعاد محدودة غير قابلة للاختزال هي التناظر الثماني السطوح ، [4,3]، _من الرتبة 48. مصفوفات مولدات الانعكاس هي R₀ ، _R₁ ، _R₂ . _R₀² = _R₁² = ^R₂² = ₍ R₀ × R₁)⁴ = (R₁ _× R₂ ⁾^³₌ ( ^R₀ × R₂ ₎ ² ₌ مصفوفة ^الوحدة . يتولد التناظر الثماني السطوح الكيرالي، [4,3] _⁺_،^من خلال دورانين من أصل ثلاثة: S₀ , _₁ ، S₁ ^,_₂ ، وS₀ _,₂ . يتولد التناظر البيريتوهيدرالي [4,3⁺ ^] من خلال الانعكاس R₀ _{والدوران} S₁ _,₂ . يتولد انعكاس دوراني سداسي بواسطة V₀ _,₁,₂ ، وهو حاصل ضرب الانعكاسات الثلاثة.

[4,3],
	تأملات			التناوب			انعكاس الدوران
اسم	R ₀	R ₁	R ₂	S _0,1	S _1,2	S _0,2	V _0,1,2
مجموعة
طلب	2	2	2	4	3	2	6
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,1) _ن	(0,1,−1) _ن	(1,−1,0) _ن	_المحور (1,0,0)	_المحور (1,1,1)	_المحور (1، -1، 0)

[5,3]

المجموعة الانعكاسية النهائية غير القابلة للاختزال ثلاثية الأبعاد ذات التناظر العشري الوجوه ، [5,3]، من الرتبة 120. مصفوفات مولدات الانعكاس هي R₀ _، R₁ _، R₂ _. R₀² ₌ R₁² ⁼ R₂² = ₍ R₀ _× R₁)₅ = (R₁ × _R₂ ) ^³₌⁽ R₀ × _R₂ ) _² = ^مصفوفة الوحدة. يتم توليد [5,3] ⁺ ( ) بواسطة دورانين من أصل ثلاثة: S₀, _₁_، S₁, ^₂_،_و S₀ ^,_{₂ . يتم توليد}انعكاس دوراني من الرتبة 10 بواسطة V₀, _₁,₂ ، وهو حاصل ضرب الانعكاسات الثلاثة.

[5,3],
	تأملات			التناوب			انعكاس الدوران
اسم	R ₀	R ₁	R ₂	S _0,1	S _1,2	S _0,2	V _0,1,2
مجموعة
طلب	2	2	2	5	3	2	10
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0) _ن	( φ , 1, φ - 1) _n	(0,1,0) _ن	( φ ,1,0) _المحور	_المحور (1,1,1)	_المحور (1,0,0)

المرتبة الرابعة

هناك 4 مجموعات كوكسيتر غير قابلة للاختزال في 4 أبعاد: [3,3,3]، [4,3,3]، [3 ^1,1,1 ]، [3,4,4]، [5,3,3]، بالإضافة إلى عائلة لانهائية من المجموعات المنشورية المزدوجة [ p ,2, q ].

[ p ,2, q ]

المجموعة المنشورية المزدوجة، [ p ,2, q ]، لها رتبة 4pq .

[ p ,2, q ],
	تأملات
اسم	R ₀	R ₁	R ₂	R ₃
عنصر المجموعة
طلب	2	2	2	2
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos 2\pi /q&\sin 2\pi /q\\0&0&\sin 2\pi /q&-\cos 2\pi /q\\\end{smallmatrix}}\right]$

[[ p ,2, p ]]

يمكن للمجموعة المنشورية المزدوجة أن تتضاعف بالترتيب، إلى 8 p ² ، مع دوران ثنائي بين المستويين.

[[ p ,2, p ]] ,
	تناوب	تأملات
اسم	تي	R ₀	R ₁	R ₂ =TR ₁ T	R ₃ =TR ₀ T
عنصر
طلب	2	2	2
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\0&0&\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$

[3,3,3]

التناظر الفائق رباعي الأوجه، [3،3،3]، من الرتبة 120، هو الأسهل تمثيله بـ 4 مرايا في 5 أبعاد، كمجموعة فرعية من [4،3،3،3].

[3,3,3],
	تأملات				التناوب						انعكاسات الدوران		دوران مزدوج
اسم	R ₀	R ₁	R ₂	R ₃	S _0,1	S _1,2	S _2,3	S _0,2	S _1,3	S _2,3	V _0,1,2	V _0,1,3	W _0,1,2,3
مجموعة العناصر
طلب	2	2	2	2	3			2			4	6	5
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,0,1,-1) _ن	(0,0,1,−1,0) _n	(0,1,−1,0,0) _ن	(1,−1,0,0,0) _n

[[3,3,3]]

تُضاعف المجموعة الموسعة [[3,3,3]] ، من الرتبة 240، بواسطة مصفوفة دوران ثنائية T، مع عكس ترتيب الإحداثيات وإشارتها: يوجد 3 مولدات {T, R ₀ , R ₁ }. بما أن T متبادلة ذاتيًا، فإن R ₃ = TR ₀ T، و R ₂ = TR ₁ T.

[[3,3,3]] ,
	تناوب	تأملات
اسم	تي	R ₀	R ₁	TR ₁ T=R ₂	TR ₀ T=R ₃
مجموعة العناصر
طلب	2	2	2	2	2
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0&-1\\0&0&0&-1&0\\0&0&-1&0&0\\0&-1&0&0&0\\-1&0&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
		(0,0,0,1,-1) _ن	(0,0,1,−1,0) _n	(0,1,−1,0,0) _ن	(1,−1,0,0,0) _n

[4,3,3]

A irreducible 4-dimensional finite reflective group is hyperoctahedral group (or hexadecachoric group (for 16-cell), B₄=[4,3,3], order 384, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)⁴=(R₁×R₂)³=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₁×R₃)²=(R₀×R₃)²=Identity.

Chiral hyperoctahedral symmetry, [4,3,3]⁺, () is generated by 3 of 6 rotations: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3, and S_0,3. Hyperpyritohedral symmetry [4,(3,3)⁺], () is generated by reflection R₀ and rotations S_1,2 and S_2,3. An 8-fold double rotation is generated by W_0,1,2,3, the product of all 4 reflections.

[4,3,3],
	Reflections				Rotations						Rotoreflection				Double rotation
Name	R₀	R₁	R₂	R₃	S_0,1	S_1,2	S_2,3	S_0,2	S_1,3	S_0,3	V_1,2,3	V_0,1,3	V_0,1,2	V_0,2,3	W_0,1,2,3
Group
Order	2	2	2	2	4	3		2			4		6		8
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,0,1)_n	(0,0,1,−1)_n	(0,1,−1,0)_n	(1,−1,0,0)_n

[3,3^1,1]

A half group of [4,3,3] is [3,3^1,1], , order 192. It shares 3 generators with [4,3,3] group, but has two copies of an adjacent generator, one reflected across the removed mirror.

[3,3^1,1],
	Reflections
Name	R₀	R₁	R₂	R₃
Group
Order	2	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,−1,0,0)_n	(0,1,−1,0)_n	(0,0,1,−1)_n	(0,0,1,1)_n

[3,4,3]

A irreducible 4-dimensional finite reflective group is Icositetrachoric group (for 24-cell), F₄=[3,4,3], order 1152, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)⁴=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₁×R₃)²=(R₀×R₃)²=Identity.

Chiral icositetrachoric symmetry, [3,4,3]⁺, () is generated by 3 of 6 rotations: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3, and S_0,3. Ionic diminished [3,4,3⁺] group, () is generated by reflection R₀ and rotations S_1,2 and S_2,3. A 12-fold double rotation is generated by W_0,1,2,3, the product of all 4 reflections.

[3,4,3],
	Reflections				Rotations
Name	R₀	R₁	R₂	R₃	S_0,1	S_1,2	S_2,3	S_0,2	S_1,3	S_0,3
Element group
Order	2	2	2	2	3	4	3	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,−1,0,0)_n	(0,1,−1,0)_n	(0,0,1,0)_n	(−1,−1,−1,−1)_n

[3,4,3],
	Rotoreflection				Double rotation
Name	V_1,2,3	V_0,1,3	V_0,1,2	V_0,2,3	W_0,1,2,3
Element group
Order	6				12
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

[[3,4,3]]

The group [[3,4,3]] extends [3,4,3] by a 2-fold rotation, T, doubling order to 2304.

[[3,4,3]],
	Rotation	Reflections
Name	T	R₀	R₁	R₂ = TR₁T	R₃ = TR₀T
Element group
Order	2	2	2	2	2
Matrix		$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$
		(1,−1,0,0)_n	(0,1,−1,0)_n	(0,0,1,0)_n	(−1,−1,−1,−1)_n

[5,3,3]

Stereographic projections
[5,3,3]⁺ 72 order-5 gyrations	[5,3,3]⁺ 200 order-3 gyrations
[5,3,3]⁺ 450 order-2 gyrations	[5,3,3]⁺ all gyrations

The hyper-icosahedral symmetry, [5,3,3], order 14400, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₀×R₃)²=(R₁×R₃)²=Identity. [5,3,3]⁺ () is generated by 3 rotations: S_0,1 = R₀×R₁, S_1,2 = R₁×R₂, S_2,3 = R₂×R₃, etc.

[5,3,3],
	Reflections
Name	R₀	R₁	R₂	R₃
Element group
Order	2	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&0\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&0\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\0&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0,0)_n	(φ,1,φ−1,0)_n	(0,1,0,0)_n	(0,−1,φ,1−φ)_n

Rank 8

[3^4,2,1]

The E8 Coxeter group, [3^4,2,1], , has 8 mirror nodes, order 696729600 (192x10!). E7 and E6, [3^3,2,1], , and [3^2,2,1], can be constructed by ignoring the first mirror or the first two mirrors respectively.

E8=[3^4,2,1],
	Reflections
Name	R₀	R₁	R₂	R₃	R₄	R₅	R₆	R₇
Element group
Order	2	2	2	2	2	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,-1,0,0,0,0,0,0)_n	(0,1,-1,0,0,0,0,0)_n	(0,0,1,-1,0,0,0,0)_n	(0,0,0,1,-1,0,0,0)_n	(0,0,0,0,1,-1,0,0)_n	(0,0,0,0,0,1,-1,0)_n	(0,0,0,0,0,1,1,0)_n	(1,1,1,1,1,1,1,1)_n

Affine rank 2

Affine matrices are represented by adding an extra row and column, the last row being zero except last entry 1. The last column represents a translation vector.

[∞]

The affine group [∞], , can be given by two reflection matrices, x=0 and x=1.

[∞],
	Reflections		Translation
Name	R₀	R₁	S_0,1
Element group
Order	2	2	∞
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&1\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&-1\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hyperplane	x=0	x=1

Affine rank 3

[4,4]

The affine group [4,4], , (p4m), can be given by three reflection matrices, reflections across the x axis (y=0), a diagonal (x=y), and the affine reflection across the line (x=1). [4,4]⁺ () (p4) is generated by S_0,1 S_1,2, and S_0,2. [4⁺,4⁺] () (pgg) is generated by 2-fold rotation S_0,2 and glide reflection (transreflection) V_0,1,2. [4⁺,4] () (p4g) is generated by S_0,1 and R₃. The group [(4,4,2⁺)] () (cmm), is generated by 2-fold rotation S_1,3 and reflection R₂.

[4,4],
	Reflections			Rotations			Glides
Name	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2	V_0,2,1
Element group
Order	2	2	2	4		2	∞ (2)
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&-2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&2\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hyperplane	y=0	x=y	x=1

[3,6]

The affine group [3,6], , (p6m), can be given by three reflection matrices, reflections across the x axis (y=0), line y=(√3/2)x, and vertical line x=1.

[3,6],
	Reflections			Rotations			Glides
Name	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2	V_0,2,1
Element group
Order	2	2	2	3	6	2	∞ (2)
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2&-1\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2&-1\\{\sqrt {3}}/2&-1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-{\sqrt {3}}/2&2\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hyperplane	y=0	y=(√3/2)x	x=1

[3^[3]]

The affine group [3^[3]] can be constructed as a half group of . R₂ is replaced by R'₂ = R₂×R₁×R₂, presented by the hyperplane: y+(√3/2)x=2. The fundamental domain is an equilateral triangle with edge length 2.

[3^[3]],
	Reflections			Rotations			Glides
Name	R₀	R₁	R'₂ = R₂×R₁×R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2	V_0,2,1
Element group
Order	2	2	2	3			∞ (2)
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&2{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\{\sqrt {3}}/2&-1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&-2{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hyperplane	y=0	y=(√3/2)x	y+(√3/2)x=2

Affine rank 4

[4,3,4]

The affine group is [4,3,4] (), can be given by four reflection matrices. Mirror R₀ can be put on z=0 plane. Mirror R₁ can be put on plane y=z. Mirror R₂ can be put on x=y plane. Mirror R₃ can be put on x=1 plane. [4,3,4]⁺ () is generated by S_0,1, S_1,2, and S_2,3.

[4,3,4],
	Reflections				Rotations						Transflections		Screw axis
Name	R₀	R₁	R₂	R₃	S_0,1	S_1,2	S_2,3	S_0,2	S_0,3	S_1,3	T_0,1,2	T_1,2,3	U_0,1,2,3
Element group
Order	2	2	2	2	4	3	4	2			6		∞ (3)
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&-2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hyperplane	z=0	y=z	x=y	x=1

[[4,3,4]]

The extended group [[4,3,4]] doubles the group order, adding with a 2-fold rotation matrix T, with a fixed axis through points (1,1/2,0) and (1/2,1/2,1/2). The generators are {R₀,R₁,T}. R₂ = T×R₁×T and R₃ = T×R₀×T.

[[4,3,4]],
	Rotation	Reflections
Name	T	R₀	R₁	R₂ = T×R₁×T	R₃ = T×R₀×T
Element group
Order	2	2	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1&1\\0&-1&0&1\\-1&0&0&1\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hyperplane	Point (1/2,1/2,1/2) Axis (-1,0,1)	z=0	y=z	x=y	x=1

[4,3^1,1]

The group [4,3^1,1] can be constructed from [4,3,4], by computing [4,3,4,1⁺], , as R'₃=R₃×R₂×R₃, with new R'₃ as an image of R₂ across R₃.

[4,3^1,1],
	Reflections				Rotations
Name	R₀	R₁	R₂	R'₃	S_0,1	S_1,2	S_1,3	S_0,2	S_0,3	S_2,3
Element group
Order	2	2	2	2	3	3	3	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&-1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hyperplane	z=0	y=z	x=y	x+y=2

[3^[4]]

The group [3^[4]] can be constructed from [4,3,4], by removing first and last mirrors, [1⁺,4,3,4,1⁺], , by R'₁=R₀×R₁×R₀ and R'₃=R₃×R₂×R₃.

[3^[4]]
	Reflections				Rotations
Name	R'₀	R₁	R₂	R'₃	S_0,1	S_1,2	S_1,3	S_0,2	S_0,3	S_2,3
Element group
Order	2	2	2	2	3	3	3	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&-1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&-1&0\\1&0&0&-2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&-1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hyperplane	y=-z	y=z	x=y	x+y=2

Notes

↑Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 255, halving subgroups
1 2Johnson (2018), pp.231-236, and p 245 Table 11.4 Finite groups of isometries in 3-space
↑Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 259, radical subgroup
↑Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 258, trionic subgroups
↑Conway, 2003, p.46, Table 4.2 Chiral groups II
↑Coxeter and Moser, 1980, Sec 9.5 Commutator subgroup, p. 124–126
↑Johnson, Norman W.; Weiss, Asia Ivić (1999). "Quaternionic modular groups". Linear Algebra and Its Applications. 295 (1–3): 159–189. doi:10.1016/S0024-3795(99)00107-X.
↑The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF
↑Coxeter, Regular Complex Polytopes, 9.7 Two-generator subgroups reflections. pp. 178–179

References

H.S.M. Coxeter:
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
  - (Paper 22) Coxeter, H.S.M. (1940), "Regular and Semi Regular Polytopes I", Math. Z., 46: 380–407, doi:10.1007/bf01181449, S2CID 186237114
  - (Paper 23) Coxeter, H.S.M. (1985), "Regular and Semi-Regular Polytopes II", Math. Z., 188 (4): 559–591, doi:10.1007/bf01161657, S2CID 120429557
  - (Paper 24) Coxeter, H.S.M. (1988), "Regular and Semi-Regular Polytopes III", Math. Z., 200: 3–45, doi:10.1007/bf01161745, S2CID 186237142
Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
Norman JohnsonUniform Polytopes, Manuscript (1991)
- N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
- Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter GroupsArchived 2023-03-26 at the Wayback MachinePDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336
- N. W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 PDF
كونواي, جون هورتون ; ديلجادو فريدريش، أولاف؛ هوسون، دانييل هـ؛ Thurston، William P. (2001)، “في المجموعات الفضائية ثلاثية الأبعاد” ، Beiträge zur Algebra und Geometrie ، 42 (2): 475–507 ، ISSN 0138-4821 ، MR 1865535
جون إتش. كونواي وديريك أ. سميث، حول الرباعيات والأوكتونيات ، 2003، رقم ISBN 978-1-56881-134-5
تناظرات الأشياء 2008، جون إتش. كونواي، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، رقم ISBN 978-1-56881-220-5الفصل 22: 35 مجموعة فضاء أولية ، الفصل 25: 184 مجموعة فضاء مركبة ، الفصل 26: مجموعات نقطية رباعية الأبعاد

[subgroups2-1] Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 255, halving subgroups

[subgroups-2] 1 2Johnson (2018), pp.231-236, and p 245 Table 11.4 Finite groups of isometries in 3-space

[3] Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 259, radical subgroup

[4] Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 258, trionic subgroups

[5] Conway, 2003, p.46, Table 4.2 Chiral groups II

[6] Coxeter and Moser, 1980, Sec 9.5 Commutator subgroup, p. 124–126

[7] Johnson, Norman W.; Weiss, Asia Ivić (1999). "Quaternionic modular groups". Linear Algebra and Its Applications. 295 (1–3): 159–189. doi:10.1016/S0024-3795(99)00107-X.

[8] The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF

[9] Coxeter, Regular Complex Polytopes, 9.7 Two-generator subgroups reflections. pp. 178–179

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

9

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

مجموعات تأملية

مجموعات غير متصلة

الرتبة والبعد

المجموعات الفرعية

تقسيم المجموعات الفرعية والمجموعات الموسعة إلى النصف

المجموعات الفرعية الجذرية

المجموعات الفرعية ثلاثية الأيونات

المجموعات الفرعية الثلاثية ذات التناظر الرباعي الأوجه

الانقلاب المركزي

الدوران والانعكاسات الدورانية

مجموعات فرعية للمبدل

أمثلة على المجموعات الفرعية

أمثلة على المجموعات الفرعية من الرتبة 2

مثال على المجموعات الفرعية الإقليدية من الرتبة 3

أمثلة على المجموعات الفرعية الزائدية

المجموعات الفرعية المكافئة

مجموعة بيتري الفرعية

التناظر الممتد

المجموعات المصنفة الأولى

المجموعات المصنفة الثانية

المجموعات المصنفة الثالثة

أفين

المجموعات المصنفة الرابعة

مجموعات النقاط

المجموعات الفرعية

المجموعات الفضائية

مجموعات الخطوط

مجموعة ثنائية المنشور

مجموعات خلفيات الشاشة

انعكاسات معقدة

الحساب باستخدام مصفوفات الانعكاس كمولدات للتناظر

المرتبة الثانية

المرتبة الثالثة

[ ص 2]

[3,3]

[4,3]

[5,3]

المرتبة الرابعة

[ p ,2, q ]

[[ p ,2, p ]]

[3,3,3]

[[3,3,3]]

[4,3,3]

[3,31,1]

[3,4,3]

[[3,4,3]]

[5,3,3]

Rank 8

[34,2,1]

Affine rank 2

[∞]

Affine rank 3

[4,4]

[3,6]

[3[3]]

Affine rank 4

[4,3,4]

[[4,3,4]]

[4,31,1]

[3[4]]

Notes

References

[3,3^1,1]

[3^4,2,1]

[3^[3]]

[4,3^1,1]

[3^[4]]