الطابع الحلقي

في نظرية الأعداد ، يُعرف المَحْرِس الدائري بأنه مَحْرِس زمرة غالوا الذي يُعطي تأثير غالوا على زمرة جذور الوحدة . وباعتباره تمثيلاً أحادي البُعد على حلقة R ، يُرمز إلى فضاء تمثيله عمومًا بـ R (1) (أي أنه تمثيل χ  : G → Aut _R ( R (1)) ≈ GL(1, R ) ).

لنفترض أن p عدد أولي ، ولنفرض${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}$تشير إلى مجموعة غالوا المطلقة للأعداد النسبية . جذور الوحدة$${\displaystyle \mu _{p^{n}}=\left\{\zeta \in {\bar {\mathbf {Q} }}^{\times }\mid \zeta ^{p^{n}}=1\right\}}$$تشكل مجموعة دورية من الرتبة${\displaystyle p^{n}}$، يتم توليدها عن طريق أي اختيار لجذر الوحدة الأولي p ⁿ ζ _{p ⁿ} .

بما أن جميع الجذور الأولية في${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$هي مرافقة جالوا ، مجموعة جالوا${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}$أعمال بشأن${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$بواسطة التشاكلات الذاتية. بعد تثبيت جذر أولي للوحدة${\displaystyle \zeta _{p^{n}}}$توليد${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$أي عنصر${\displaystyle \zeta \in \mu _{p^{n}}}$يمكن كتابتها كقوة لـ${\displaystyle \zeta _{p^{n}}}$حيث يكون الأس عنصرًا فريدًا في${\displaystyle \mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} }$، وهي وحدة إذا${\displaystyle \zeta }$وهو بدائي أيضًا. يمكن للمرء بالتالي أن يكتب، لـ${\displaystyle \sigma \in G_{\mathbf {Q} }}$،

$${\displaystyle \sigma .\zeta$$ :=\sigma (\zeta )=\zeta _{p^{n}}^{a(\sigma ,n)}}

أين${\displaystyle a(\sigma ,n)\in (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }}$وهو العنصر الفريد كما هو مذكور أعلاه، ويعتمد على كليهما${\displaystyle \sigma }$و${\displaystyle p}$وهذا يُعرّف تشاكلًا جماعيًا يُسمى الخاصية الحلقية modulo p ⁿ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\chi _{p^{n}}}:G_{\mathbf {Q} }&\to (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\\\sigma &\mapsto a(\sigma ,n),\end{محاذاة}}}$$ والذي يُنظر إليه على أنه شخصية لأن الفعل يتوافق مع التماثل${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }\to \mathrm {Aut} (\mu _{p^{n}})\cong (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathrm {GL} _{1}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )}$.

تحديد${\displaystyle p}$و${\displaystyle \sigma }$ومتفاوتة${\displaystyle n}$، ال${\displaystyle a(\sigma ,n)}$تشكل نظامًا متوافقًا بمعنى أنها تعطي عنصرًا من النهاية العكسية$${\displaystyle \varprojlim _{n}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathbf {Z} _{p}^{\times },}$$الوحدات في حلقة الأعداد الصحيحة p-adic . وبالتالي${\displaystyle {\chi _{p^{n}}}}$تجميعها لتكوين تماثل جماعي يسمى الخاصية الحلقية p -adic :

$$//$$ ترميز فعل${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}$على جميع جذور الوحدة ذات القوة p${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$في الوقت نفسه. في الواقع، تجهيز${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}$مع بنية كرول و${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$إن استخدام الطوبولوجيا p -adic يجعل هذا تمثيلاً مستمراً لمجموعة طوبولوجية .

بتغيير قيمة ℓ على جميع الأعداد الأولية، نحصل على نظام متوافق من التمثيلات ℓ-adic من الأحرف الدائرية ℓ -adic (عند النظر في أنظمة التمثيلات المتوافقة، يُستخدم الرمز ℓ للدلالة على عدد أولي بدلاً من p ). أي أن χ = { χ _ℓ } _ℓ هي "عائلة" من التمثيلات ℓ -adic.

${\displaystyle \chi _{\ell }:G_{\mathbf {Q} }\rightarrow \operatorname {GL} _{1}(\mathbf {Z} _{\ell })}$

تحقيق توافقات معينة بين الأعداد الأولية المختلفة. في الواقع، تشكل χ _ℓ نظامًا متوافقًا تمامًا من التمثيلات ℓ-adic .

الخاصية الحلقية p -adic هي وحدة تيت p -adic لمخطط المجموعة الضربية G _{m , Q} على Q. وعلى هذا النحو، يمكن اعتبار فضاء تمثيلها بمثابة النهاية العكسية لمجموعات الجذور p ⁿ للوحدة في Q.

من حيث علم التماثل ، فإن الخاصية الحلقية p -adic هي ثنائية مجموعة التماثل الإيتالية p -adic الأولى لـ G _m . ويمكن إيجادها أيضًا في علم التماثل الإيتالي لمتنوعة إسقاطية ، وتحديدًا الخط الإسقاطي : فهي ثنائية H ² _ét ( P ¹ ) .

من حيث الدوافع ، فإن الخاصية الحلقية p -adic هي التحقيق p -adic لدافع تيت Z (1) . وباعتباره دافع غروتينديك ، فإن دافع تيت هو ثنائي H ² ( P ¹ ) . ^{[ 1 ]}

تتميز الخاصية الحلقية p -adic بالعديد من الخصائص الجيدة.

• وهي غير متفرعة عند جميع الأعداد الأولية ℓ ≠ p (أي أن مجموعة القصور الذاتي عند ℓ تعمل بشكل تافه).
• إذا كان Frob _ℓ عنصر فروبينيوس لـ ℓ ≠ p ، فإن χ _p (Frob _ℓ ) =  ℓ .
• وهو بلوري عند درجة حرارة p .

• تيت تويست