PSL(2,7)

في الرياضيات ، تُعدّ المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2, 7) ، المتماثلة مع GL(3, 2) ، مجموعةً بسيطةً منتهيةً لها تطبيقاتٌ مهمةٌ في الجبر والهندسة ونظرية الأعداد . وهي مجموعة التشاكل الذاتي لرباعي كلاين، بالإضافة إلى كونها مجموعة التناظر لمستوى فانو . وبـ 168 عنصرًا، تُعتبر PSL(2, 7) أصغر مجموعة بسيطة غير تبديلية بعد المجموعة المتناوبة A⁵ _التي تحتوي على 60 عنصرًا، والمتماثلة مع PSL(2, 5) .

تتألف المجموعة الخطية العامة GL(2, 7) من جميع المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة 2×2 على الحقل المنتهي F₇ _، الذي يحتوي على 7 عناصر. لهذه المصفوفات محدد غير صفري. تتألف المجموعة الجزئية SL(2, 7) من جميع هذه المصفوفات ذات المحدد الواحدي . بالتالي، تُعرَّف PSL(2, 7) بأنها مجموعة القسمة .

SL(2, 7) / { I , − I }

يتم الحصول عليها بتحديد I و − I ، حيث I هي مصفوفة الوحدة . في هذه المقالة، نرمز بـ G إلى أي مجموعة متماثلة مع PSL(2, 7) .

تحتوي المصفوفة G = PSL(2, 7) على 168 عنصرًا. يمكن إثبات ذلك بحساب الأعمدة الممكنة؛ فهناك 48 احتمالًا للعمود الأول ( ^7² - 1) ، و 42 احتمالًا للعمود الثاني ( ^7² - 7). يجب القسمة على 6 (7 - 1) لجعل المحدد يساوي واحدًا، ثم القسمة على 2 عند تحديد I و  -I . والنتيجة هي (48 × 42) / (6 × 2) = 168 .

من النتائج العامة أن PSL( n , q ) بسيطة عندما يكون n و q ≥ 2 ( حيث q قوة لعدد أولي)، إلا إذا كان ( n , q ) = (2, 2) أو (2, 3) . تتماثل PSL(2, 2) مع المجموعة المتناظرة S3 _، وتتماثل PSL(2, 3) مع المجموعة المتناوبة A4 _. في الواقع، تُعد PSL(2, 7) ثاني أصغر مجموعة بسيطة غير تبديلية ، بعد المجموعة المتناوبة A5 = PSL(2, ₅ ) = PSL(2, 4) . 

عدد فئات الترافق والتمثيلات غير القابلة للاختزال هو  6. أحجام فئات الترافق هي 1، 21، 42، 56، 24،  24. أبعاد التمثيلات غير القابلة للاختزال هي 1، 3، 3، 6، 7،  8.

جدول الشخصيات

${\displaystyle {\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4}&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{صفيف}},}$

أين

${\displaystyle \sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.}$

يصف الجدول التالي فئات الاقتران من حيث رتبة العنصر في الفئة، وحجم الفئة، وأصغر متعددة حدود لكل ممثل في GL(3, 2)، ورمز الدالة لممثل في PSL(2, 7). لاحظ أن الفئتين 7A و7B يتم تبديلهما بواسطة تشاكل ذاتي، لذا يمكن تبديل الممثلين من GL(3, 2) وPSL(2, 7) بشكل عشوائي.

رتبة المجموعة هي 168 = 3 × 7 × 8 ، مما يعني وجود زمر جزئية من زمر سيلو من الرتب 3 و7 و 8 _.  من السهل وصف الزمرتين الأوليين، فهما دوريتان، لأن أي زمرة من رتبة أولية تكون دورية . أي عنصر من فئة الترافق 3A⁵⁶ يُولّد زمرة سيلو من الرتبة 3. أي عنصر من فئتي الترافق 7A⁴ و ₇ B⁴ ​​يُولّد زمرة سيلو من الرتبة 7. زمرة سيلو من الرتبة 2 هي زمرة ثنائية السطوح من الرتبة 8. يمكن وصفها بأنها مركزية أي عنصر من فئة الترافق 2A⁴ . في تمثيل GL(3, 2) ، تتكون زمرة سيلو _{من الرتبة 2 من المصفوفات المثلثية} العلوية.

توفر هذه المجموعة ومجموعتها الفرعية من نوع Sylow 2 مثالًا مضادًا للعديد من نظريات المتمم p العادية لـ p = 2 .

G = PSL(2, 7) تعمل عبر تحويل كسري خطي على الخط الإسقاطي P ¹ (7) فوق الحقل ذي 7 عناصر:

${\displaystyle {\text{لـ }}\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{PSL}}(2,7){\text{ و }}x\in \mathbf {P} ^{1}\!(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}.}$

ينشأ كل تماثل ذاتي يحافظ على الاتجاه لـ P ¹ (7) بهذه الطريقة، وبالتالي يمكن اعتبار G = PSL(2, 7) هندسيًا كمجموعة من تناظرات الخط الإسقاطي P ¹ (7)؛ المجموعة الكاملة من التماثلات الخطية الإسقاطية التي قد تعكس الاتجاه هي بدلاً من ذلك الامتداد من الرتبة 2 PGL(2, 7) ، ومجموعة التوازيات للخط الإسقاطي هي المجموعة المتناظرة الكاملة للنقاط.

مع ذلك، فإن PSL(2, 7) متماثلة أيضًا مع PSL(3, 2) ( حيث SL(3, 2) = GL(3, 2) )، وهي المجموعة الخطية الخاصة (العامة) للمصفوفات 3×3 على الحقل ذي العنصرين. وبالمثل، تؤثر G = PSL(3, 2) على المستوى الإسقاطي P ² (2) على الحقل ذي العنصرين ، والمعروف أيضًا بمستوى فانو .

ل${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\text{PSL}}(3,2)\ \ }$و${\displaystyle \ \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}\!(2),\ \ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}}$

مرة أخرى، ينشأ كل تشاكل ذاتي لـ P ² (2) بهذه الطريقة، وبالتالي يمكن اعتبار G = PSL(3, 2) هندسيًا كمجموعة التناظر لهذا المستوى الإسقاطي. يمكن استخدام مستوى فانو لوصف ضرب الأوكتونيونات ، لذا فإن G تؤثر على مجموعة جداول ضرب الأوكتونيونات.

الرباعي كلاين هو التنوع الإسقاطي على الأعداد المركبة C المعرف بواسطة متعدد الحدود الرباعي

x ³ y + y ³ z + z ³ x = 0.

هو سطح ريمان مضغوط من النوع g = 3 ، وهو السطح الوحيد من نوعه الذي يصل فيه حجم زمرة التشاكل المطابق إلى الحد الأقصى وهو 84( g − 1) . ويعود هذا الحد إلى نظرية هورويتز للتشاكلات الذاتية ، التي تنطبق على جميع قيم g > 1. تُعدّ أسطح هورويتز نادرة؛ فالنوع التالي الذي توجد له أسطح هو g = 7 ، والذي يليه هو g = 14 .

كما هو الحال مع جميع أسطح هورويتز ، يمكن إعطاء سطح كلاين الرباعي مقياسًا ذا انحناء سالب ثابت ، ثم تبليطه بمضلعات سباعية منتظمة (زائدية) ، كحاصل قسمة على تبليط سباعي من الرتبة 3 ، مع تطابق تناظرات السطح كسطح ريماني أو منحنى جبري تمامًا مع تناظرات التبليط. بالنسبة لسطح كلاين الرباعي، ينتج عن ذلك تبليط بـ 24 مضلعًا سباعيًا، وبالتالي ترتبط رتبة G بحقيقة أن 24 × 7 = 168. وبالمثل، يمكن تبليطه بـ 56 مثلثًا متساوي الأضلاع، لكل منها 24 رأسًا، درجة كل منها 7، كحاصل قسمة على تبليط مثلثي من الرتبة 7 .

تظهر رباعية كلاين في العديد من مجالات الرياضيات، بما في ذلك نظرية التمثيل، ونظرية التماثل، وضرب الأوكتونيون، ونظرية فيرما الأخيرة ، ونظرية ستارك حول حقول الأعداد التربيعية التخيلية من الفئة رقم  1.

تُعدّ PSL(2, 7) زمرةً جزئيةً قصوى من زمرة ماثيو M ₂₁ ؛ ويمكن إنشاء الزمرتين M ₂₁ وM _{24 كامتدادات لـ} PSL(2, 7) . ويمكن تفسير هذه الامتدادات من حيث تبليط رباعي كلاين، ولكنها لا تتحقق من خلال التناظرات الهندسية للتبليط. ^{[ 1 ]}

تؤثر المجموعة PSL(2, 7) على مجموعات منتهية مختلفة:

• في تفسيرها الأصلي كـ PSL(2, 7) ، وهي عبارة عن تحويلات خطية ذاتية تحافظ على _اتجاه الخط الإسقاطي P1 ⁽ F7 ) ، فإنها تؤثر بشكل متعدٍ على النقاط الثماني مع مُثبِّت من الرتبة 21 يُثبِّت نقطة معينة. كما أنها تؤثر بشكل متعدٍ من الرتبة 2 مع مُثبِّت من الرتبة 3 على كل زوج من النقاط؛ ولها مداران على ثلاثيات النقاط، مع مُثبِّت تافه على كل ثلاثية. (المجموعة الأكبر PGL(2, 7) تؤثر بشكل حاد بشكل متعدٍ من الرتبة 3).
• يتم تفسيرها على أنها PGL(3, 2) ، وهي تحويلات خطية ذاتية لمستوى فانو P ² ( F ₂ )، وتعمل بشكل متعدٍ من الدرجة 2 على النقاط السبع، مع مثبت من الدرجة 24 يثبت كل نقطة، ومثبت من الدرجة 4 يثبت كل زوج من النقاط.
• يتم تفسيرها على أنها تشاكلات ذاتية لتبليط رباعي كلاين، وهي تعمل بشكل متعدٍ على الرؤوس الـ 24 (أو بشكل مزدوج، 24 سباعي الأضلاع)، مع مثبت من الرتبة 7 (يتوافق مع الدوران حول الرأس / سباعي الأضلاع).
• إذا تم تفسيرها على أنها مجموعة فرعية من مجموعة ماثيو M ₂₁ ، فإن المجموعة الفرعية تعمل بشكل غير متعدٍ على 21 نقطة.

• براون، عزرا؛ لوهر، نيكولاس (2009). "لماذا PSL (2,7)≅ GL (3,2)؟" (ملف PDF) . المجلة الأمريكية للرياضيات ، 116 (8): 727-732 . doi : 10.4169/193009709X460859 . Zbl 1229.20046 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 9 أكتوبر 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 سبتمبر 2014 . 

• الطريق الثماني: جمال منحنى كلاين الرباعي (سيلفيو ليفي، محرر).
• اكتشافات هذا الأسبوع في الفيزياء الرياضية - الأسبوع 214 (جون بايز)
• الرباعية كلاين في نظرية الأعداد (نعوم إلكيس)
• المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية: PSL(3, 2)