رسم الخرائط الدورية

في الرياضيات ، وفي مجال الهندسة الجبرية ، يربط تعيين الدورة عائلات مشعبات كاهلر بعائلات هياكل هودج .

ليكن f  : X → B تشاكلاً تام الشكل غمرياً. بالنسبة لنقطة b من B ، نرمز إلى ألياف f فوق b بـ X _b . لنثبت نقطة 0 في B. تضمن نظرية إهرسمان وجود جوار مفتوح صغير U حول 0 حيث تصبح f حزمة ألياف . أي أن f ^{− 1} ( U ) متماثلة مع X ₀ × U. على وجه الخصوص ، الخريطة المركبة

${\displaystyle X_{b}\hookrightarrow f^{-1}(U)\cong X_{0}\times U\twoheadrightarrow X_{0}}$

هو تماثل تفاضلي. هذا التماثل التفاضلي ليس فريدًا لأنه يعتمد على اختيار التبسيط. يُبنى التبسيط من مسارات ملساء في U ، ويمكن إثبات أن فئة التماثل للتماثل التفاضلي تعتمد فقط على اختيار فئة تماثل للمسارات من b إلى 0. على وجه الخصوص، إذا كانت U قابلة للانكماش، فسيكون هناك تماثل تفاضلي مُعرَّف جيدًا حتى التماثل.

يؤدي التحويل التفاضلي من X _b إلى X ₀ إلى تماثل مجموعات التماثل .

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{b}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0},\mathbf {Z} ),}$

وبما أن الخرائط المتماثلة تؤدي إلى خرائط متطابقة على علم التماثل، فإن هذا التشاكل يعتمد فقط على فئة التماثل للمسار من b إلى 0.

لنفترض أن f دالة مناسبة وأن X₀ منوع كاهلر. شرط كاهلر مفتوح، لذا بعد تقليص U ، _يكون Xₖ متراصًا وكاهلريًا لجميع b في U. بعد تقليص U أكثر _، يمكننا افتراض أنه قابل للانكماش. عندئذٍ، يوجد تماثل مُحدد جيدًا بين مجموعات التماثل لـ _X₀ و Xₖ . _لن تحافظ هذه التماثلات لمجموعات التماثل عمومًا على بنى هودج لـ X₀ و Xₖ لأنها مُستحثة بواسطة التماثلات التفاضلية، وليست _{التماثلات} الثنائية . لنرمز بـ ^FₚHₖ ( Xₖ ^, _C ) إلى الخطوة p من ترشيح هودج . أعداد هودج لـ Xₖ هي نفسها أعداد هودج _{لـ X₀} ، [ ^{1 ]} لذا _فإن العدد bₚ , _{k =} dim FₚHₖ ( Xₖ , C ⁾ مستقل _{عن b} ^{. خريطة} الدورة هي الخريطة

${\displaystyle {\mathcal {P}}:U\rightarrow F=F_{b_{1,k},\ldots ,b_{k,k}}(H^{k}(X_{0},\mathbf {C} )),}$

حيث F هي مجموعة الأعلام لسلاسل الفضاءات الجزئية ذات الأبعاد b و _{p و k} لجميع قيم p ، والتي ترسل

${\displaystyle b\mapsto (F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} ))_{p}.}$

بما أن X _b عبارة عن متعدد شعب كاهلر، فإن ترشيح هودج يحقق علاقات هودج-ريمان الثنائية الخطية . وهذا يعني أن

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )=F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )\oplus {\overline {F^{k-p+1}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )}}.}$

لا تحقق جميع أعلام الفضاءات الجزئية هذا الشرط. تُسمى المجموعة الجزئية من تنوع الأعلام التي تحقق هذا الشرط مجال الفترة المحلية غير المستقطبة، ويُرمز لها بـ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من مجموعة الأعلام F.

لنفترض الآن ليس فقط أن كل X _{_b} هو فئة كاهلر، بل أن هناك فئة كاهلر تتغير شكليًا في b . بعبارة أخرى، لنفترض وجود فئة ω في H ^₂ ( X , Z ) بحيث يكون تقييد ω_{_b} لـ ω على X _{_b} لكل b فئة كاهلر. تحدد ω_{_b} شكلًا ثنائي الخطية Q على H ^_k ( X _{_b} , C ) وفقًا للقاعدة

${\displaystyle Q(\xi ,\eta )=\int \omega _{b}^{nk}\wedge \xi \wedge \eta .}$

يتغير هذا الشكل بشكل هولومورفي في b ، وبالتالي فإن صورة تعيين الدورة تخضع لقيود إضافية مستمدة بدورها من علاقات هودج - ريمان الثنائية الخطية. وهذه هي:

1. التعامد : F ^p H ^k ( X _b , C ) متعامد مع F ^{k − p + 1} H ^k ( X _b , C ) بالنسبة إلى Q .
2. التحديد الإيجابي : لكل p + q = k ، يكون تقييد${\displaystyle \textstyle (-1)^{k(k-1)/2}i^{pq}Q}$إلى الفئات الأولية من النوع ( p ، q ) موجبة التحديد.

نطاق الفترة المحلية المستقطبة هو مجموعة جزئية من نطاق الفترة المحلية غير المستقطبة التي تحقق أعلامها هذه الشروط الإضافية. الشرط الأول هو شرط الإغلاق، والثاني هو شرط الانفتاح، وبالتالي فإن نطاق الفترة المحلية المستقطبة هو مجموعة جزئية مغلقة محليًا من نطاق الفترة المحلية غير المستقطبة ومن تنوع الأعلام F. يتم تعريف تعيين الفترة بنفس الطريقة السابقة.

لا يزال يُشار إلى نطاق الفترة المحلية المستقطبة ورسم خرائط الفترة المستقطبة.${\displaystyle {\mathcal {D}}}$و${\displaystyle {\mathcal {P}}}$، على التوالى.

إن التركيز فقط على تحويلات الفترة المحلية يتجاهل المعلومات الموجودة في طوبولوجيا الفضاء الأساسي B. تُبنى تحويلات الفترة العالمية بحيث تظل هذه المعلومات متاحة. تكمن صعوبة بناء تحويلات الفترة العالمية في أحادية B : لم يعد هناك فئة تماثل فريدة من التحويلات التفاضلية التي تربط الألياف Xb و X0 _. بدلاً من ذلك، تُنتج فئات التماثل المتميزة للمسارات في B فئات تماثل متميزة محتملة من التحويلات التفاضلية ، وبالتالي تحويلات متماثلة متميزة محتملة لمجموعات التماثل. ونتيجة لذلك _، لم يعد هناك علم محدد جيدًا لكل ليف. بدلاً من ذلك، يُحدد العلم فقط حتى تأثير المجموعة الأساسية .

في الحالة غير المستقطبة، تُعرَّف مجموعة المونودروميا Γ بأنها المجموعة الجزئية من GL( ^Hk ( X0 , _Z ) ) التي تتألف من جميع التشاكلات الذاتية المُستحثة بواسطة فئة تماثلية من المنحنيات في B كما ذُكر سابقًا. تُمثل مجموعة الأعلام خارج قسمة مجموعة لي على مجموعة جزئية مكافئة، بينما تُمثل مجموعة المونودروميا مجموعة جزئية حسابية من مجموعة لي. يُمثل نطاق الدورة غير المستقطب العالمي خارج قسمة نطاق الدورة غير المستقطب المحلي على تأثير Γ (وبالتالي فهو مجموعة من المجموعات المشاركة المزدوجة ). في الحالة المستقطبة، يُشترط أن تحافظ عناصر مجموعة المونودروميا أيضًا على الشكل الثنائي الخطي Q ، ويتم إنشاء نطاق الدورة المستقطب العالمي كخارج قسمة على Γ بنفس الطريقة. في كلتا الحالتين، يأخذ تطبيق الدورة نقطة من B إلى فئة ترشيح هودج على Xb _.

أثبت غريفيث أن دالة الدورة هي دالة تحليلية. وتحدّ نظرية التعامد التي وضعها من نطاق دالة الدورة.

تُعد خرائط الفترة في الواقع أنواعًا شبه إسقاطية ، لأنها قابلة للتعريف بشكل أدنى . ^{[ 2 ]}

يمكن التعبير عن ترشيح هودج في إحداثيات باستخدام مصفوفات دورية. اختر أساسًا δ₁ _، ...، _δᵣ للجزء الخالي من الالتواء من مجموعة التماثل التكاملية من الرتبة k، _Hₖ ( X , Z ) . ثبّت p و q بحيث يكون p + q = k ، واختر أساسًا ω₁ _، ...، _ωᵣ للأشكال التوافقية من النوع ( p , q ) . مصفوفة دورية X₀ بالنسبة لهذه _الأسس هي المصفوفة

${\displaystyle \Omega ={\Big (}\int _{\delta _{i}}\omega _{j}{\Big )}_{1\leq i\leq r,1\leq j\leq s}.}$

تعتمد عناصر مصفوفة الدورة على اختيار الأساس وعلى البنية المعقدة. يمكن تغيير قيم δ باختيار مصفوفة Λ في SL( r , Z ) ، ويمكن تغيير قيم ω باختيار مصفوفة A في GL( s , C ) . تُكافئ مصفوفة الدورة Ω إذا أمكن كتابتها على الصورة A Ω Λ لبعض قيم A و Λ .

لنأخذ عائلة المنحنيات الإهليلجية كمثال

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

حيث λ أي عدد مركب لا يساوي صفرًا ولا واحدًا. تتكون عملية ترشيح هودج على مجموعة التماثل الأولى لمنحنى من خطوتين، F₀ و F₁ . مع ذلك، فإن ^F₀ هي مجموعة التماثل بأكملها، لذا فإن الحد الوحيد المهم في عملية الترشيح هو F₁ ، وهو ^{H₁ ,} ₀ ^، فضاء الأشكال التوافقية الهولومورفية ^من الرتبة 1 .

H ^1,0 أحادي البعد لأن المنحنى إهليلجي، ولجميع قيم λ ، يمتد عليه الشكل التفاضلي ω = dx / y . ولإيجاد تمثيلات صريحة لمجموعة التماثل للمنحنى، لاحظ أنه يمكن تمثيل المنحنى كرسم بياني للدالة متعددة القيم.

${\displaystyle y={\sqrt {x(x-1)(x-\lambda )}}}$

على سطح ريمان . تقع نقاط تفرع هذه الدالة عند الصفر، والواحد، و λ ، واللانهاية. قم بعمل قطعين للتفرع، أحدهما يمتد من الصفر إلى الواحد، والآخر من λ إلى اللانهاية. هذان القطعان يستنفدان نقاط تفرع الدالة، وبالتالي يقسمان الدالة متعددة القيم إلى ورقتين أحاديتي القيمة. ثبّت قيمة صغيرة لـ ε > 0. على إحدى هاتين الورقتين، ارسم المنحنى γ ( t ) = 1/2 + (1/2 + ε ) exp(2πit ) . بالنسبة لقيم ε الصغيرة بما يكفي، يحيط هذا المنحنى بقطع التفرع [0, 1] ولا يتقاطع مع قطع التفرع [ λ , ∞ ] . الآن، ارسم منحنى آخر δ ( t ) يبدأ في إحدى الورقتين كـ δ ( t ) = 1 + 2( λ − 1) t لـ 0 ≤ t ≤ 1/2 ، ويستمر في الورقة الأخرى كـ δ ( t ) = λ + 2(1 − λ )( t − 1/2) لـ 1/2 ≤ t ≤ 1. يربط كل نصف من هذا المنحنى النقطتين 1 و λ على الورقتين من سطح ريمان . من خلال نظرية سيفرت-فان كامبن ، فإن زمرة التماثل لهذا المنحنى خالية من الرتبة الثانية. ولأن المنحنيين يلتقيان في نقطة واحدة، 1 + ε ، فإن أيًا من فئتي التماثل الخاصتين بهما ليس مضاعفًا صحيحًا لفئة تماثل أخرى، وبالتالي يشكلان أساسًا لـ H1 _. مصفوفة الدورة لهذه العائلة هي

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\omega \\\int _{\delta }\omega \end{pmatrix}}.}$

سنختصر العنصر الأول في هذه المصفوفة بالحرف A ، والثاني بالحرف B.

الصيغة الثنائية الخطية √ − 1 Q موجبة تمامًا لأنه محليًا، يمكننا دائمًا كتابة ω على شكل f dz ، وبالتالي

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}\omega \wedge {\bar {\omega }}={\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}|f|^{2}\,dz\wedge d{\bar {z}}>0.}$

بحسب ازدواجية بوانكاريه ، ^فإن γ و δ تُقابلان فئتي التماثل γ ^* و δ ^* اللتين تُشكلان معًا أساسًا لـ H1 ( X0 _, Z ) . وبالتالي، يُمكن كتابة ω كتركيبة خطية من γ ^* و δ ^* . وتُعطى المعاملات بتقييم ω بالنسبة لعناصر الأساس المزدوج γ و δ .

${\displaystyle \omega =A\gamma ^{*}+B\delta ^{*}.}$

عندما نعيد كتابة الإيجابية المحددة لـ Q بهذه المصطلحات، نحصل على

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}A{\bar {B}}\gamma ^{*}\wedge {\bar {\delta }}^{*}+{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*}=\int _{X_{0}}\operatorname {Im} \,(2{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*})>0}$

بما أن γ ^* و δ ^* عددان صحيحان، فإنهما لا يتغيران تحت تأثير المرافق. علاوة على ذلك، بما أن γ و δ يتقاطعان في نقطة واحدة، وهذه النقطة مولدة لـ H₀ ، فإن حاصل الضرب الكأسي لـ γ ^* و δ ^* هو الفئة الأساسية لـ X₀ _{. وبالتالي ،} فإن هذا التكامل يساوي${\displaystyle \operatorname {Im} \,2{\bar {A}}B}$التكامل موجب تمامًا، لذا لا يمكن أن تكون A ولا B مساوية للصفر.

بعد إعادة قياس ω ، يمكننا افتراض أن مصفوفة الدورة تساوي (1 τ ) لعدد مركب τ ذي جزء تخيلي موجب تمامًا. هذا يزيل الغموض الناتج عن فعل GL(1, C ) . عندئذٍ، يكون فعل SL(2, Z ) هو الفعل المعتاد للمجموعة النمطية على النصف العلوي من المستوى . بالتالي، يكون نطاق الدورة هو كرة ريمان. هذه هي المعلمة المعتادة لمنحنى إهليلجي كشبكة.

• نظرية هودج
• صنف جاكوبيان
• مجموعة معيارية

• رسم الخرائط الدورية في موسوعة الرياضيات