نظرية بيك

إحدى طرق إثبات هذه النظرية هي تقسيم المضلع إلى مثلثات بثلاثة رؤوس صحيحة ولا توجد بها رؤوس صحيحة أخرى. ويمكن بعد ذلك إثبات أن مساحة كل مثلث مقسم تساوي بالضبط${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$وبالتالي، فإن مساحة المضلع بأكمله تساوي نصف عدد المثلثات في التقسيم الفرعي. بعد ربط المساحة بعدد المثلثات بهذه الطريقة، يختتم البرهان باستخدام صيغة أويلر للمضلعات متعددة السطوح لربط عدد المثلثات بعدد نقاط الشبكة في المضلع. ^{[ 5 ]}

يُبين الجزء الأول من هذا البرهان أن مساحة المثلث الذي له ثلاثة رؤوس صحيحة ولا توجد به أي نقاط صحيحة أخرى تساوي بالضبط${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$كما تنص صيغة بيك. يعتمد البرهان على حقيقة أن جميع المثلثات تُغطي المستوى ، مع دوران المثلثات المتجاورة بزاوية 180 درجة حول ضلعها المشترك. ^{[ 9 ]} بالنسبة للتبليط بواسطة مثلث بثلاثة رؤوس صحيحة ولا توجد به نقاط صحيحة أخرى، فإن كل نقطة من نقاط الشبكة الصحيحة تُمثل رأسًا لستة مربعات. ولأن عدد المثلثات لكل نقطة شبكة (ستة) يساوي ضعف عدد نقاط الشبكة لكل مثلث (ثلاثة)، فإن كثافة المثلثات في المستوى تكون ضعف كثافة نقاط الشبكة. أي منطقة مُقاسة من المستوى تحتوي على ضعف عدد المثلثات (عندما يؤول عامل القياس إلى اللانهاية) مقارنةً بعدد نقاط الشبكة التي تحتويها. لذلك، تبلغ مساحة كل مثلث${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$^{[ 5 ]} ، حسب الحاجة لإثبات ذلك.

برهان بديل على أن هذه المثلثات لها مساحة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$تستخدم نظرية مينكوفسكي التي تنص على أن المجموعة المحدبة المتناظرة التي تتمركز عند نقطة شبكية ولا تحتوي على أي نقطة شبكية داخلية أخرى لها مساحة${\displaystyle \leq 4}$بتطبيق ذلك على متوازي أضلاع مُنشأ من ثماني نسخ من مثلث مُعطى ، يتضح أن مساحة المثلث لا تتجاوز${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$لكن وفقًا لصيغة رباط الحذاء ، فإن مساحة هذا المثلث هي نصف عدد صحيح موجب، لذا يجب أن تساوي المساحة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$[ ^{10 ]​}

هذا يُثبت بالفعل صحة صيغة بيك للمضلع الذي يُمثل أحد هذه المثلثات الخاصة. يمكن تقسيم أي مضلع آخر إلى مثلثات خاصة: أضف قطعًا مستقيمة غير متقاطعة داخل المضلع بين أزواج من نقاط الشبكة حتى لا يُمكن إضافة المزيد من القطع المستقيمة. المضلعات الوحيدة التي لا يُمكن تقسيمها بهذه الطريقة هي المثلثات الخاصة المذكورة أعلاه؛ لذلك، لا يُمكن أن تظهر في التقسيم الناتج إلا المثلثات الخاصة. لأن مساحة كل مثلث خاص هي${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$، مضلع مساحته${\displaystyle A}$سيتم تقسيمها إلى${\displaystyle 2A}$المثلثات الخاصة. ^{[ 5 ]}

يؤدي تقسيم المضلع إلى مثلثات إلى تكوين رسم بياني مستوٍ ، وصيغة أويلر${\displaystyle V-E+F=2}$تعطي معادلة تنطبق على عدد الرؤوس والحواف والوجوه لأي رسم بياني مستوٍ. الرؤوس هي ببساطة نقاط الشبكة للمضلع؛ هناك${\displaystyle V=i+b}$منها. الوجوه هي مثلثات التقسيم الفرعي، والمنطقة الوحيدة من المستوى خارج المضلع. عدد المثلثات هو${\displaystyle 2A}$إذن، إجمالاً هناك${\displaystyle F=2A+1}$الوجوه. لحساب الحواف، لاحظ أن هناك${\displaystyle 6A}$أضلاع المثلثات في التقسيم الفرعي. كل ضلع داخلي للمضلع هو ضلع مثلثين. ومع ذلك، هناك${\displaystyle b}$أضلاع المثلثات التي تقع على طول حدود المضلع وتشكل جزءًا من مثلث واحد فقط. لذلك، فإن عدد أضلاع المثلثات يخضع للمعادلة التالية:${\displaystyle 6A=2E-b}$ومنها يمكن حساب عدد الحواف،${\displaystyle E={\tfrac {6A+b}{2}}}$. إدخال هذه القيم لـ${\displaystyle V}$،${\displaystyle E}$، و${\displaystyle F}$في صيغة أويلر${\displaystyle V-E+F=2}$أعطِ $${\displaystyle (i+b)-{\frac {6A+b}{2}}+(2A+1)=2.}$$ يتم الحصول على صيغة بيك عن طريق حل هذه المعادلة الخطية لـ${\displaystyle A}$[ ^{5 ]} هناك حساب بديل ولكنه مشابه يتضمن إثبات أن عدد حواف نفس التقسيم الفرعي ^هو${\displaystyle E=3i+2b-3}$مما يؤدي إلى النتيجة نفسها. ^{[ 11 ]}

من الممكن أيضاً اتباع الاتجاه المعاكس، باستخدام نظرية بيك (التي تم إثباتها بطريقة مختلفة) كأساس لإثبات صيغة أويلر. ^{[ 6 ] [ 12 ]}

تتضمن البراهين البديلة لنظرية بيك التي لا تستخدم صيغة أويلر ما يلي.

• يمكن تقسيم المضلع المعطى إلى مثلثات بشكل متكرر، مما يسمح بأن تكون مساحة بعض مثلثات التقسيم أكبر من النصف. تُجمع كل من المساحة وعدد النقاط المستخدمة في صيغة بيك بنفس الطريقة، لذا فإن صحة صيغة بيك للمضلعات العامة تنبع من صحتها للمثلثات. يقسم أي مثلث صندوقه المحيط إلى المثلث نفسه ومثلثات قائمة الزاوية إضافية ، ومن السهل حساب مساحات كل من الصندوق المحيط والمثلثات القائمة الزاوية. يؤدي دمج حسابات المساحة هذه إلى صيغة بيك للمثلثات، ويؤدي دمج المثلثات إلى صيغة بيك للمضلعات العشوائية. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 13 ]}
• بدلاً من استخدام مربعات الشبكة المتمركزة عند نقاط الشبكة، يمكن استخدام مربعات شبكة رؤوسها عند نقاط الشبكة. تقسم هذه المربعات المضلع المعطى إلى أجزاء، يمكن إعادة ترتيبها (عن طريق مطابقة أزواج المربعات على طول كل ضلع من أضلاع المضلع) لتكوين متعدد الأضلاع (polyomino ) بنفس المساحة. ^{[ 14 ]}
• يمكن أيضًا إثبات نظرية بيك بناءً على التكامل المعقد لدالة دورية مزدوجة مرتبطة بدوال فايرشتراس الإهليلجية . ^{[ 15 ]}
• يؤدي تطبيق صيغة جمع بواسون على الدالة المميزة للمضلع إلى برهان آخر. ^{[ 16 ]}

أُدرجت نظرية بيك في قائمة على الإنترنت عام 1999 تضم "أفضل 100 نظرية رياضية"، والتي استخدمها لاحقًا فريك ويديك كمعيار لاختبار فعالية مختلف برامج المساعدة في البرهان . اعتبارًا من عام 2024، تم صياغة نظرية بيك وإثباتها في اثنين فقط من مساعدي البرهان العشرة الذين سجلهم ويديك. ^{[ 17 ]}